专题04 二次函数（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期北京版

专题04 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的图象和性质 考点02 待定系数法求二次函数解析式 考点03 二次函数的平移 考点04 二次函数与a、b、c的关系 考点05二次函数与一元二次方程、不等式 考点06 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数的图象和性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期末)如果二次函数的图象经过点，那么该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用二次函数的对称性解答即可； 【详解】二次函数的图象得对称轴是直线， ∵二次函数的图象经过点 ∴二次函数的图象必经过点， 故选：B 2．(24-25九上·北京通州区·期末)关于函数，，，的图象的共同点，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．都有最低点 C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴 【答案】D 【分析】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数的图象性质是解题的关键． 根据值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或最低点，从而判定B；根据函数的增减性判定C；根据函数的对称轴判定D． 【详解】解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上，故此选项不符合题意； B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点，故此选项不符合题意； C．函数与，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；函数与，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；故此选项不符合题意； D．函数的对称轴都是轴，故此选项符合题意； 故选：D． 3．(24-25九上·北京石景山区·期末)抛物线的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．对于二次函数，其顶点坐标是，对称轴是直线． 已知抛物线的顶点式，即可直接得出其顶点坐标． 【详解】解：∵是抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的性质可知，顶点坐标是， 故选：A． 4．(24-25九上·北京石景山区·期末)二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数图象与y轴正半轴相交， ∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为， ∵二次函数图象过点， ∴函数的大致图象为： ∴二次函数图象开口向下， ∴， 故结论①错误，不符合题意； ∵二次函数图象过点，开口向下， ∴当时，， ∴， 故结论②正确，符合题意； ∵二次函数的对称轴为，函数图象过点， ∴二次函数过x轴的另一个交点为， ∴的两个根分别为， 故结论③正确，符合题意， ∴正确的结论为②③， 故选：C． 5．(24-25九上·北京昌平区·期末)把二次函数化为的形式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，利用配方法将二次函数的一般式化成顶点式即可得到答案，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：由二次函数， 故选：． 6．(24-25九上·北京石景山区·期末)若抛物线（是常数）的顶点在轴上，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点坐标公式．根据二次函数的性质和轴上点的坐标特征计算即可． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 顶点的纵坐标是， 即， 解得， 故答案为：． 7．(24-25九上·北京通州区·期末)若将二次函数化为的形式，则所得表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，将所给二次函数表达式转化为顶点式即可． 【详解】解： 故选：A ． 二、填空题 8．(24-25九上·北京燕山·期末)抛物线的顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 向上 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式，准确分析是解题的关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】∵抛物线，二次项系数为， ∴顶点坐标为，开口向上 故答案为：，向上． 9．(24-25九上·北京石景山区·期末)写出一个函数表达式，满足：当时，随的增大而增大，则此函数表达式可以为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．当时，随的增大而增大，这数是一个开口向下且对称轴为轴的抛物线，这个抛物线的解析式可以是 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为轴， 二次函数当时，随的增大而增大， 故答案为： ． 10．(24-25九上·北京通州区·期末)抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式．根据形如的抛物线的顶点坐标是解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 11．(24-25九上·北京顺义区·期末)在平面直角坐标系中，若无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，依据题意，由直线（k是常数，）过点，抛物线开口向下，对称轴为直线，则时，满足题意． 【详解】解：∵直线， ∴直线过定点， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵无论k为何值时，直线与抛物线总有公共点， ∴时，，即， ∴无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 12．(24-25九上·北京门头沟区·期末)写出一个与抛物线开口方向相同的抛物线的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质． 根据二次函数性质可得抛物线的开口方向是由二次项系数符号确定的，故只要二次项系数即可解答． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴与抛物线开口方向相同的抛物线只要二次项系数， ∴与抛物线开口方向相同的抛物线为：，不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 13．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线，当时，y随x的增大而增大，任写出一个符合题意的m值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴，牢固掌握增减性性质是解题关键． 先判断出开口方向向上，对称轴为直线，则当时，随的增大而增大，又时，随的增大而增大，故，在此范围内任意选择一个值即可． 【详解】解：由二次函数，可得其对称轴为直线，图象开口向上， ∴当时，随的增大而增大， 又当时，随的增大而增大， 则，所以可取大于等于1的一切数． 故答案为：2（答案不唯一）． 三、解答题 14．(24-25九上·北京石景山区·期末)已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标； (2)求二次函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)见解答 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数求二次函数解析式． （1）把已知点的坐标代入求出即可求出二次函数解析式，再利用配方法即可得到抛物线的顶点坐标，； （2）通过解方程得二次函数图象与轴交点的坐标； （3）利用描点法画出二次函数图象． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为 （2）解：当时，， 解得：， ∴二次函数图象与轴交点的坐标为； （3）解：∵二次函数图象与轴交点的坐标为，顶点坐标为，故画图如下， 地 城 考点02 待定系数法求二次函数解析式 一、单选题 1．(24-25九上·北京西城区·期末)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（    ） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点，，， 则， 解得：， ， 最佳加工时间为3.75分钟， 故选：B． 二、解答题 2．(24-25九上·北京平谷区·期末)已知二次函数几组与的对应值如下表： (1)直接写出的值，____； (2)求此二次函数的表达式． 【答案】(1) (2)二次函数的表达式为 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、运用待定系数法求函数解析式等知识点，掌握待定系数法是解题的关键． （1）直接运用二次函数图像的对称性解答即可； （2）由题意可得二次函数图像的顶点坐标为，然后设该二次函数表达式为：，再将代入求得即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数图像经过点和， ∴该二次函数图像的对称轴为直线． ∴当和时的函数值相等， ∴， 故答案为：． （2）解：由题意可知：二次函数图像的顶点坐标为 ， ∴设该二次函数表达式为：， 将点代入得：， ∴， ∴． 3．(24-25九上·北京门头沟区·期末)已知二次函数几组与的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与不等式，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）分析函数的开口方向及与轴的交点情况求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，函数过点，，，设二次函数解析式为：， 分别代入各点可得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：； （2）解：由表格可得：二次函数与轴的交点坐标为，， 又∵由（1）可得：，抛物线的开口向上， ∴，的取值范围为：． 4．(24-25九上·北京石景山区·期末)已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标； (2)求二次函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)见解答 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数求二次函数解析式． （1）把已知点的坐标代入求出即可求出二次函数解析式，再利用配方法即可得到抛物线的顶点坐标，； （2）通过解方程得二次函数图象与轴交点的坐标； （3）利用描点法画出二次函数图象． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为 （2）解：当时，， 解得：， ∴二次函数图象与轴交点的坐标为； （3）解：∵二次函数图象与轴交点的坐标为，顶点坐标为，故画图如下， 5．(24-25九上·北京房山区·期末)已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)求二次函数的表达式； (3)当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． 【答案】(1)；0； (2) (3)或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； （3）当即时，则当时，，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解∶由表格数据知，顶点坐标为∶， 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故， 故答案为∶ ，0； （2）解∶设抛物线的表达式为∶ ， 将代入上式得∶ ， 则． 故抛物线的表达式为∶ ； （3）解∶抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，同理可得∶ ； 当时，， 当即时， 则当时，， 解得∶ (舍去)； 当时， 同理可得∶ 解得∶ (舍去)； 当时， 当即， 则． 解得∶； 当时， 同理可得∶ (不合题意的值已舎去)， 综上，或． 故答案为∶或． 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式； (2)直接写出时，的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的最值、 （1）利用待定系数法求出二次函数的表达式即可； （2）把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入二次函数得 解得 所以二次函数的表达式为 （2）， ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， 当时，∵ ∴当时，取得最大值，最大值为 7．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线经过两点，． (1)求b，c值； (2)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值，直接写出满足题意的n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数交点问题； （1）利用待定系数法即可求得； （2）依据题意，求得函数以及函数的图象过界点时的的值，可以判断得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，． ∴ ∴ （2）抛物线上，当时，，当时，； 函数的图象上，当，时，； 函数的图象上，当，时， ∵时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值． ∴． 8．(24-25九上·北京门头沟区·期末)小明遇到这样一个问题：如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度米，最高处到地面的垂直距离米，两侧的墙高米．今有宽为米的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点到隧道顶面对应的点的距离应不小于米，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 小明为了解决这个问题，以的中点为原点，米长为一个单位长度，建立平面直角坐标系，并设隧道顶的抛物线表达式为． 请帮助小明解决以下问题： (1)写出点、、的坐标； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 【答案】(1)，， (2) (3)米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，合理分析图象信息是解题的关键． （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． 【详解】（1）解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； （2）解：设抛物线的解析式为：，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵卡车宽为米， ∴米时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 9．(24-25九上·北京昌平区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于抛物线上的两个点，都有．求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握待定系数，二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． （1）把代入，得，得即得对称轴为直线； （2）代数法：根据拋物线过点， ．根据， ．得．当时，有或解得：．当时，有或解得：．几何法：抛物线的对称轴为，当时， ，则点在点左边，当两点都在对称轴左侧时，，舍；当两点都在对称轴右侧时，由，有解得：，当两点在对称轴两侧时，点的对称点为，由，有解得：．得当时，．当时，，点在抛物线对称轴的左侧，点在对称轴左侧时，有解得：．点在对称轴右侧时，点的对称点为，由，有，无解，得当时，． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； （2）代数法： 拋物线过点， 由（1）知，，拋物线的对称轴为， ． ， ． ． ． ． ． ． 当时，有或 解得：． 当时，有或 解得：． 综上所述，的取值范围是：或． 几何法： 抛物线的对称轴为， 当时，有时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ，即， 则点在点左边， ①当两点都在对称轴左侧时， ，舍； ②当两点都在对称轴右侧时， 由，有， 解得：；　 ③当两点在对称轴两侧时， 点关于抛物线对称轴的对称点为， 由，有 解得：． 当时，． 当时，， 点在抛物线对称轴的左侧 ①点在对称轴左侧时， 有 解得：． ②点在对称轴右侧时， 点关于抛物线对称轴的对称点为， 由， 有， 此不等式组无解， 当时，． 综上所述，的取值范围是：或． 10．(24-25九上·北京顺义区·期末)篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②；③能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； （2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 地 城 考点03 二次函数的平移 一、单选题 1．(24-25九上·北京顺义区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线平移，可以得到抛物线，下列平移的叙述正确的是（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】C 【分析】将转化为顶点式，再根据抛物线的平移规则，进行判断即可． 【详解】解：，它的图象是由的图象向左平移一个单位得到的； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，是解题的关键． 2．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 3．(24-25九上·北京门头沟区·期末)抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是， 故选：C． 二、填空题 4．(24-25九上·北京昌平区·期末)把二次函数图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的平移．熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：二次函数图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式为：． 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线． (1)求拋物线的顶点坐标、对称轴； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，任写出一种平移方法． 【答案】(1)顶点坐标为、对称轴是直线 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． （1）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移解答即可． 【详解】（1）解：， ∴拋物线的顶点坐标为、对称轴是直线； （2）解：， ∴由抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位可得抛物线或抛物线先向下平移5个单位，再向右平移2个单位可得抛物线． 6．(24-25九上·北京昌平区·期末)炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足二次函数表达式：，具体数据如下表： 0 1 3 5 … 2 27 47 27 … (1)结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为______米； (2)若炮弹高度为42米时，求炮弹的飞行时间． 【答案】(1)47 (2)炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2或4秒 【分析】本题考查了二次函数的应，根据已知数据求出抛物线对称轴是解题关键． (1)根据抛物线过点，可得抛物线的对称轴，那么可得抛物线的顶点坐标，结合表中所给的数据可得炮弹飞行的最大高度； (2)用顶点式表示出抛物线的解析式，取可得炮弹此时的飞行时间． 【详解】（1）根据抛物线过点，可得抛物线的对称轴为直线， 那么结合表中所给的数据可得抛物线的顶点坐标为， 则炮弹飞行的最大高度为47米． 故答案为：47； （2）拋物线的顶点， 设抛物线表达式为：． 抛物线过点， ． ． ． 当时，， 或4． 答：炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2或4秒． 地 城 考点04 二次函数与a、b、c的关系 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确． ∵当时，， ∴，故②错误． ∵抛物线与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ， ， ∴， ∴，故③正确； 设，，如图：    由图得，时，，故④正确． 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键． 2．(24-25九上·北京顺义区·期末)二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵二次函数图象与y轴的正半轴相交， ∴， 故B选项错误，不符合题意； 根据二次函数图象与x轴的交点为， ∴，， 两式相减，得， ∴， 故C选项正确，符合题意； 当时，， 即， 故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 3．(24-25九上·北京顺义区·期末)抛物线 (其中 ) 一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据二次函数的各项系数进行判断对称轴以及与点的坐标，画出草图，进而即可求得答案 【详解】解： 抛物线 的对称轴为则对称轴在轴的右侧，且开口向上， 令，即抛物线与点的坐标大于0，如图， 故该函数的图象不经过第三象限 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，，且，给出下面四个结论：①；②；③；④不等式的解集为． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键． 根据函数图象可得出的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为可判断③；数形结合即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴， ， ∴，故①正确． ∵当时，， ∴，故②错误． ∵抛物线与轴交于两点，其中， ， ， 当时，， 当时，， ， ， ， ∴，故③正确； 设，如图： 当时，， 故两个函数交点为，    由图得，时，即时，，故④正确． 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 二、填空题 5．(24-25九上·北京门头沟区·期末)函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有个实数根．其中正确的结论有 （填序号）．    【答案】①④/④① 【分析】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断． 【详解】解：画出函数图象如图：    ①如图所示，函数图象关于y轴对称，故①符合题意； ②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意； ③如图所示，当时，y随x的增大而减小，故③不符合题意； ④如图所示，当时，关于x的方程有4个实数根，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 6．(24-25九上·北京通州区·期末)已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 7．(24-25九上·北京燕山区·期末)二次函数y＝ax²＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m … y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 … 则这个二次函数的对称轴为直线x＝ ，m＝ （m＞0）． 【答案】 4 【分析】根据题意把点（0，6）代入求出c，再把点（-1，4）和（1，6）代入求出a、b，进而分析计算即可求出答案． 【详解】解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6）， ∴c=6， ∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6）， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6； ∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6）和（1，6）， ∴抛物线的对称轴方程为直线x=， 当x=m时，y=-6,代入y=-x2+x+6，则有-6=-m2+m+6， 解得：m=-3或m=4， ∵m＞0， ∴m=4， 故答案为：，4． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握并用待定系数法求函数的解析式的应用，能求出二次函数的解析式是解答此题的关键． 地 城 考点05 二次函数与一元二次方程、不等式 一、单选题 1．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、根的判别式，由图象可知，抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：由图可得：抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 二、填空题 2．(24-25九上·北京平谷区·期末)若抛物线的顶点在x轴上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，令，得，根据抛物线的顶点在x轴上知方程有两个相等的实数根，根据列式求解即可． 【详解】解：令，得， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴方程有两个相等的实数根， ∴ 解得，， 故答案为：． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．除点A外，请再写出此函数图象经过的一个点坐标 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数解析式特点，可可求出其与y轴的交点坐标，即可求解． 【详解】解：对于二次函数， 当时，则， ∴此函数图象与y轴的交点是， 即此函数图象经过的一个点坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 4．(24-25九上·北京燕山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定表示的意思是一次函数在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可． 【详解】解：抛物线和直线交于点O和点A，且点的横坐标是3， ∴由函数图象可得的解集为， 故答案为：． 地 城 考点06 二次函数综合 一、解答题 1．(24-25九上·北京房山区·期末)在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【来源】北京市房山区2024—2025学年上学期学业水平调研（二）九年级数学试题 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）依据题意，将，，代入解析式得，从而，进而可以得解； （2）依据题意， 对于，，都有，可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离；分两种情况，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：，是抛物线（）上任意两点， 对于，，都有， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离； ， ， ， ， ①当时， ， ， ，， ， ； ②当时， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，或． 2．(24-25九上·北京平谷区·期末)在平面直角坐标系中，已知二次函数．    (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为，若点，是函数图象上的两点，若对于任意的，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线与轴的两个交点和 (2) 或 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解一元二次方程，抛物线的图象和性质，解不等式等；熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，令，列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）先将抛物线整理为顶点坐标式，求出顶点坐标和对称轴，令，列出一元二次方程，解方程求出抛物线与轴的交点坐标， 结合抛物线的性质和题意，画图，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 令，得， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点和； （2）解：由， 得出抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为， 令，得， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点和； 由题意，图象G如图所示，分以下两种情况： 当时，如图：    此时，满足，则 ，                                       解得，， 当时，如图：    此时，满足，则，且抛物线的对称轴， 即， ∴ 或． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． (1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ； (2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】（1）解：二次函数和都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ， 整理得：， ． ②∵与轴有两个不同的交点， 由①得：函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为， 当时， 解得：， 抛物线与x轴交两个点， ∵顶点坐标为：， 故当时，的顶点在轴上方，则与轴没有交点， 当时，抛物线与轴有两个交点，， 当时，∵的顶点也在上， ∴． 综上所述，或． 4．(24-25九上·北京顺义区·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）． (1)抛物线的对称轴为x＝　 ；抛物线与y轴的交点坐标为　 ； (2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； (3)若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围． 【答案】(1)1，（0，4） (2)顶点坐标为（1，0），y＝4x2－8x＋4 (3) 【分析】（1）根据二次函数对称轴公式，以及与y轴的交点坐标公式； （2）根据二次函数与x轴交点公式，以及待定系数法求解析式； （3）先求对称点坐标根据函数的增减性解决本题． 【详解】（1）解：， 当x＝0时，y＝ax2－2ax＋4＝4， 所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4）， 故答案为：1，（0，4）． （2）解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上， ∴抛物线的顶点坐标为（1，0）， 把（1，0）代入y＝ax2－2ax＋4得：0＝a×12－2a×1＋4， 解得：a＝4， ∴抛物线的解析式为y＝4x2－8x＋4． （3）解：A（m－1，y1）关于对称轴x＝1的对称点为A′（3－m，y1）， B（m，y2）关于对称轴x＝1的对称点为B′（2－m，y2）， 若要y1＞y3＞y2，则3－m＞m＋2＞2－m，解得：． 【点睛】本题考查二次函数图像求对称轴公式，以及与x轴，y轴的交点公式，以及函数的增减性，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 5．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴； （1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，可得，再分与分析求解即可. 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：． （2）解：点，在抛物线上． 设点关于对称轴的对称点为， 则． ∴．   ∴． ①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴，不符合题意． （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴． ②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴． ∴； （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴．不符合题意舍去； 综上所述，a的取值范围是或． 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)已知抛物线，若点，在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴（用含的字母表示）； (2)若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的解析式，得到对称轴为； （2）根据题意，得到，变形为，结合m的范围，得到． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为：直线, 即； （2）解：，， ， ， ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 7．(24-25九上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ① 求该抛物线的对称轴； ② 点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)的取值范围为或． 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为； ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ； ∴当时，； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或． 8．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线． (1)当时． ①直接写出b与a满足的等量关系 ； ②若，则 ． (2)已知，，点在抛物线上．当时，总有，求t的取值范围． 【答案】(1)①；②4 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的对称性即可求解； （2）由题意可知在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，据此即可得到关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①∵， ． 故答案为：； ②∵是抛物线上两点，， ∴关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 故答案为：4； （2）解：由题意可知，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧， ∵点在抛物线上，， ∴点关于对称轴的对称点为， ， 当点在对称轴的左侧时， ∵当时，总有， ∴，解得； 当点在对称轴的右侧时， ∵当时，总有， ∴，解得：； ∴的取值范围是或． 9．(24-25九上·北京通州区·期末)已知二次函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴； (2)请你判断点是否在此二次函数的图象上； (3)如果点，均在该抛物线上，那么______．（填：“”“”或“”） 【答案】(1)开口方向向下，对称轴为直线： (2)点在此二次函数的图象上 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，求解即可； （2）将代入函数解析式，求出值，进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】（1）解：， 函数图象开口方向向下，对称轴为直线：； （2）解：， 当时，， 点在此二次函数的图象上； （3）解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 10．(24-25九上·北京通州区·期末)在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键． （1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得； （2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴是直线． （2）解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的图象和性质 考点02 待定系数法求二次函数解析式 考点03 二次函数的平移 考点04 二次函数与a、b、c的关系 考点05二次函数与一元二次方程、不等式 考点06 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数的图象和性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期末)如果二次函数的图象经过点，那么该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京通州区·期末)关于函数，，，的图象的共同点，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．都有最低点 C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴 3．(24-25九上·北京石景山区·期末)抛物线的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京石景山区·期末)二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．(24-25九上·北京昌平区·期末)把二次函数化为的形式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·北京石景山区·期末)若抛物线（是常数）的顶点在轴上，则的值是 ． 7．(24-25九上·北京通州区·期末)若将二次函数化为的形式，则所得表达式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25九上·北京燕山·期末)抛物线的顶点坐标是 ，开口方向是 ． 9．(24-25九上·北京石景山区·期末)写出一个函数表达式，满足：当时，随的增大而增大，则此函数表达式可以为 （写出一个即可）． 10．(24-25九上·北京通州区·期末)抛物线的顶点坐标为 ． 11．(24-25九上·北京顺义区·期末)在平面直角坐标系中，若无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ． 12．(24-25九上·北京门头沟区·期末)写出一个与抛物线开口方向相同的抛物线的表达式： ． 13．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线，当时，y随x的增大而增大，任写出一个符合题意的m值 ． 三、解答题 14．(24-25九上·北京石景山区·期末)已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标； (2)求二次函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． 地 城 考点02 待定系数法求二次函数解析式 一、单选题 1．(24-25九上·北京西城区·期末)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（    ） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 二、解答题 2．(24-25九上·北京平谷区·期末)已知二次函数几组与的对应值如下表： (1)直接写出的值，____； (2)求此二次函数的表达式． 3．(24-25九上·北京门头沟区·期末)已知二次函数几组与的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 4．(24-25九上·北京石景山区·期末)已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标； (2)求二次函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． 5．(24-25九上·北京房山区·期末)已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)求二次函数的表达式； (3)当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式； (2)直接写出时，的最大值． 7．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线经过两点，． (1)求b，c值； (2)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值，直接写出满足题意的n的取值范围． 8．(24-25九上·北京门头沟区·期末)小明遇到这样一个问题：如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度米，最高处到地面的垂直距离米，两侧的墙高米．今有宽为米的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点到隧道顶面对应的点的距离应不小于米，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 小明为了解决这个问题，以的中点为原点，米长为一个单位长度，建立平面直角坐标系，并设隧道顶的抛物线表达式为． 请帮助小明解决以下问题： (1)写出点、、的坐标； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 9．(24-25九上·北京昌平区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于抛物线上的两个点，都有．求的取值范围． 10．(24-25九上·北京顺义区·期末)篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 地 城 考点03 二次函数的平移 一、单选题 1．(24-25九上·北京顺义区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线平移，可以得到抛物线，下列平移的叙述正确的是（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 2．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京门头沟区·期末)抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·北京昌平区·期末)把二次函数图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式为 ． 三、解答题 5．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线． (1)求拋物线的顶点坐标、对称轴； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，任写出一种平移方法． 6．(24-25九上·北京昌平区·期末)炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足二次函数表达式：，具体数据如下表： 0 1 3 5 … 2 27 47 27 … (1)结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为______米； (2)若炮弹高度为42米时，求炮弹的飞行时间． 地 城 考点04 二次函数与a、b、c的关系 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25九上·北京顺义区·期末)二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京顺义区·期末)抛物线 (其中 ) 一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．(24-25九上·北京房山区·调研)如图，抛物线与x轴交于点，，且，给出下面四个结论：①；②；③；④不等式的解集为． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．(24-25九上·北京门头沟区·期末)函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有个实数根．其中正确的结论有 （填序号）．    6．(24-25九上·北京通州区·期末)已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是 ． 7．(24-25九上·北京燕山区·期末)二次函数y＝ax²＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m … y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 … 则这个二次函数的对称轴为直线x＝ ，m＝ （m＞0）． 地 城 考点05 二次函数与一元二次方程、不等式 一、单选题 1．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有两个不相等的实数根 二、填空题 2．(24-25九上·北京平谷区·期末)若抛物线的顶点在x轴上，则k的值为 ． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．除点A外，请再写出此函数图象经过的一个点坐标 ． 4．(24-25九上·北京燕山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为 ． 地 城 考点06 二次函数综合 一、解答题 1．(24-25九上·北京房山区·期末)在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 2．(24-25九上·北京平谷区·期末)在平面直角坐标系中，已知二次函数．    (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为，若点，是函数图象上的两点，若对于任意的，，都有，求的取值范围． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． (1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ； (2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 4．(24-25九上·北京燕山区·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）． (1)抛物线的对称轴为x＝　 ；抛物线与y轴的交点坐标为　 ； (2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； (3)若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围． 5．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)已知抛物线，若点，在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴（用含的字母表示）； (2)若对于时，都有，求的取值范围． 7．(24-25九上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ① 求该抛物线的对称轴； ② 点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 8．(24-25九上·北京密云区·期末)已知抛物线，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线． (1)当时． ①直接写出b与a满足的等量关系 ； ②若，则 ． (2)已知，，点在抛物线上．当时，总有，求t的取值范围． 9．(24-25九上·北京通州区·期末)已知二次函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴； (2)请你判断点是否在此二次函数的图象上； (3)如果点，均在该抛物线上，那么______．（填：“”“”或“”） 10．(24-25九上·北京通州区·期末)在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $