专题02 二次函数（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数 9大高频考点概览 考点01 函数基础知识 考点02 二次函数的图象和性质 考点03 y=ax2+bx+c的图象性质 考点04 二次函数的图象与系数的关系 考点05 待定系数法求函数解析式 考点06 二次函数图象的平移 考点07 二次函数与方程、不等式 考点08 二次函数实际问题 考点09 二次函数综合 地 城 考点01 函数基础知识 一、填空题 1．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线（）上部分点的横坐标x．纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 5 … 则该抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的特征，根据二次函数图象上对称点求得对称轴是解题的关键． 根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为，即可求解． 【详解】解：由表格可得，点和点是抛物线上关于对称轴对称的两个点， ∴对称轴为， 故答案为：． 二、解答题 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】(1)11 (2)21，27 (3) 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （2）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （3）根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【详解】（1）解：由图可知当第11天之后，， （2）由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为， 3．(24-25九上·北京海淀区·期末)某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值．    (1)求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)，图象见解析； (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信息等知识． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再画出二次函数的图象即可； （2）当时，，解得或，由图2可得，当时，，当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可设，， 当音量为时，听觉舒适度为6； ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 图象如下：    （2）当时，， 解得或， 由图2可得，当时，，当时，， ∴小明所坐位置到音箱的距离的取值范围， 故答案为： 地 城 考点02 二次函数的图象性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京西城区·期末)抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 2．(24-25九上·北京西城区·期末)二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的顶点坐标为， 故选：C． 3．(24-25九上·北京西城区·期末)点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断，的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：A． 4．(24-25九上·北京大兴区·期末)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：抛物线， 抛物线顶点为， 故选：C． 二、填空题 5．(24-25九上·北京海淀区·期末)二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为 ． 【答案】1（答案不唯一，可取大于0的任何数） 【分析】抛物线的对称轴是，根据和抛物线的对称性，点关于对称轴的对称点为，且，根据抛物线过x轴上的两点及点可知抛物线开口向下，结合二次函数的图像可以判断n符号，即可解答此题． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 关于直线的对称点为， ， ， 抛物线开口向下， 在抛物线上， 当时， 可取大于0的任意一个数， 故答案为： 1（答案不唯一，可取大于0的任何数）． 如图所示， 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性，根据抛物线轴对称的性质是解本题的关键． 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数解析式为，将，代入即可求出函数解析式，于是得解． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，羽毛球飞行的水平距离为时，达到最高，高度为，故抛物线的顶点的坐标为， 由题意可得：,, 设抛物线的函数解析式为， 代入点,，得： ， 解得：， 故抛物线的函数解析式为， 故答案为：． 7．(24-25九上·北京西城区·期末)二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标是解题的关键．根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数顶点式为，顶点坐标为， 所以顶点为； 故答案为：． 三、解答题 8．(24-25九上·北京东城区·期末)已知二次函数. (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，的取值范围是 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后利用的性质即可得解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴二次函数的图象的顶点坐标为； （2）解：且对称轴在的范围内， 当时函数值有最大值，最大值为， 当时函数值有最小值，最小值为， ∴函数值的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9．(24-25九上·北京丰台区·期末)二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为， (2)的取值范围为1 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质． （1）根据二次函数的对称性即可求得点坐标，再把点坐标代入解析式可求出的值； （2）根据二次函数的性质结合函数图象可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，点坐标为， 点的坐标为， 把点坐标代入得，， 解得； （2）∵，二次函数的图象与轴交点为和， 当时，的取值范围为． 地 城 考点03 y=ax2+bx+c的图象性质 一、填空题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B为y轴上一点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，若点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质． 过B作轴，于N，于M，进而证明，求的C点的值，把C点的坐标代入解析式，即可求得C点坐标． 【详解】解：如图，过B作轴，于N，于M， 当时，， 解得：或， ∴， 由旋转的性质可得，，， ， ， ，，， ， 设，， ， 将代入 得， 解得，或， 点坐标为或 故答案为：或 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)已知二次函数，点，都在该函数的图象上，且．写出一个符合上述条件的二次函数解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象与性质，掌握待定系数法是关键．根据解析式判断出对称轴和开口方向，随后判断当，时，对称轴h的取值范围，即可得出解析式． 【详解】解， 对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数抛物线开口向上， A点的横坐标为，B点的横坐标为2，， 第一种情况： 当对称轴直线时，A点B点均在对称轴左侧，y随x的增大而减小， 则， 第二种情况： A、B两点分别在对称轴两侧，且， 即时，则， 写出一个符合上述条件的二次函数解析式为： 故答案为：（答案不唯一）． 3．(24-25九上·北京西城区·期末)已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握时，函数开口向上，有最小值；时，函数开口向下，有最大值． 【详解】∵二次函数有最大值， ∴二次函数的二次项系数小于0，可设二次函数的解析式为， 又∵它的图象经过点， ， ， 二次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一） 二、解答题 4．(24-25九上·北京大兴区·期末)已知二次函数 (1)该二次函数图象的顶点坐标为______，与 x轴交点坐标为______，与 y轴交点坐标为______； (2)画出该二次函数的图象． 【答案】(1) ； ； (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，熟悉函数和方程的关系是解题的关键． （1）先把该二次函数的解析式化为顶点式，再求出函数图象的顶点坐标、对称轴；再令求出y的值，令求出x的值，即可得出抛物线与坐标轴的交点； （2）根据（1）中抛物线与y轴的交点及对称轴，由函数图象可得出结论． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为， 对称轴为：直线， 当时，， 解得：或， 它与x轴的交点坐标为和； 当时，， 它与y轴的交点坐标为； （2）解：函数图象，如图所示： 5．(24-25九上·北京西城区·期末)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 图象如图 ； （3）解：由图象可得，当时，． 6．(24-25九上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线 上有两个点 和 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于 ，都有 ，求的取值范围； (3)若对于 ，都有 ，求证：． 【答案】(1)直线； (2)或； (3)证明见解析 【分析】（）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （）由抛物线对称轴为直线，，则点在对称轴右侧，故其关于对称轴对称点横坐标满足，然后根据二次函数的增减性即可求解； （）由，对称轴为直线，则关于对称轴对称点横坐标满足，又在对称轴左侧随的增大而减小，从而判断，故时，，然后代入即可求证； 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴点在对称轴右侧， ∴其关于对称轴对称点横坐标满足， 由可知，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， ∵当都有， ∴或， 解得：或； （3）证明：∵，对称轴为直线， ∴关于对称轴对称点横坐标满足， ∵在对称轴左侧随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴时，， ∴，即． 地 城 考点04 二次函数的图象与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·上海华育中学·月考)二次函数的图象如图所示，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得： A、函数开口向上，则，选项不符合题意； B、对称轴在y轴右侧，则，选项符合题意； C、图象与y轴交点在y轴正半轴，则，选项不符合题意； D、图象与x轴有两个交点，则，选项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，二次函数的图象与x轴交于，，其中，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③当时，y随x增大而减小； ④当时，； ⑤关于x的一元二次方程的一个根是1，另一个根是 其中正确结论的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与x轴的交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系． ①由开口向上得到，由对称轴在y轴左侧得到，进而得到的正负情况； ②由函数图象与x轴的交点得出； ③由对称轴为直线，再根据得出，结合函数图形得出当时，y随x增大而减小； ④根据函数图象得出结论； ⑤由求根公式求出方程的根． 【详解】解：由图象知，，， ， ，故①错误； 二次函数的图象与x轴交于， ， ，故②正确； 由图象可知，当时，y随x增大而减小， 二次函数的图象与x轴交于，，其中， ， 当时，y随x增大而减小，故③正确； 由图象可知，当时，，故④正确； ， ， ， ，，故⑤正确． 故选：． 3．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．是关于x的一元二次方程的一个根 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向和顶点坐标判断A，根据对称轴和图像经过求得B，由，可得当时，，判断C，根据关于对称轴的对称点为：，判断D． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为，过点， ∴，，故A错误； ∴对称轴为， ∴； ∵经过点，， ∴ ∴，故B错误， ∵， ∴ 当时，，故C错误 ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵点在此抛物线上， ∴在此抛物线上，即， ∴即是关于x的一元二次方程的一个根，故D正确， 故选：D． 4．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】A．抛物线开口向下， ，故本选项错误； B．抛物线的对称轴在轴左侧， ， ，故本选项错误； C．抛物线与y轴的交点在正半轴上， ，故本选项错误； D．抛物线与x轴的两个交点， ，故本选项正确． 故选：D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京西城区·期末)写出一个开口向下，且与y轴的正半轴相交的抛物线的解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由“开口向下，且与y轴的正半轴相交”可得二次项系数小于0，常数项大于0，据此解答即可． 【详解】解：开口向下，且与y轴的正半轴相交的抛物线的解析式满足条件： 二次项系数小于0，常数项大于0， 如：， 故答案为：（答案不唯一）． 6．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：；；；当抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度就可能经过点其中正确的结论为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， 对称轴位于轴的右侧 抛物线与轴交于正半轴， 故错误； ②对称轴为直线，得， 故错误； ③抛物线与x轴交于点， ，即， 故③错误； ④抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线， ， 设二次函数关系式为， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为， 当时，， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点 故④正确； 综上所述，正确的结论为： 故答案为：． 7．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，对称轴，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． ①根据题中二次函数的图像判断开口方向，，以及抛物线与轴的交点，可判断的符号，进而可判断； ②由二次函数的图象知：当时，，；当时，，两式相加，化简可得 ③一元二次方程的判别式，结合的关系与符号，进而可判断； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理），则， ，结合的关系与符号，进而可判断． 【详解】通过读图： ①因为，所以抛物线开口向上， 对称轴，由于，即对称轴， 可得， 抛物线与轴交于负半轴，所以， 综上，，结论①错误； ②： 二次函数的图象与轴交于由图可知， 又， ， 由二次函数的图象可知： 当时，  ， 当时，， 两式相加，化简可得，结论②正确； ③一元二次方程的判别式， 因为，所以， 由，可得，所以，方程有两个不相等的实根， 结论③错误； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理）， 则， ， ， ， ， ， ， （在对称轴右侧）， ， 又， ， 即，结论④正确． 综上，正确结论的序号是：②④． 地 城 考点05 待定系数法求函数解析式 一、解答题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线的最低点是，且经过点，，求抛物线解析式和n的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意得出抛物线的顶点坐标为，据此设抛物线的解析式为顶点式，再将点M坐标代入求出解析式，最后将点N坐标代入所求解析式即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线的最低点是， 所以抛物线顶点坐标是 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 所以抛物线的解析式为 将点代入，得，． 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G，直接写出抛物线G的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟知以上知识是解题的关键． （1）把点，代入，求出、的值即可得出结论； （2）把（1）中抛物线的解析式化为顶点式的形式，再根据“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得， 此抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线的解析式为：， 即． 3．(24-25九上·北京朝阳区·期末)二次函数的部分图象和对称轴如图所示. (1)求该二次函数的表达式； (2)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与不等式、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值． （1）直接利用待定系数法求得二次函数解析式为； （2）根据题意可知与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可得，的图象过点，，对称轴是直线， ， 解得：， 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为，则， 该抛物线的顶点坐标是， 有两个不相等的正实数根， 与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0， ． 4．(24-25九上·北京西城区·期末)通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： （） （） (1)求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系； (2)这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． ①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由表格可知二次函数的顶点坐标为，进而可得，再利用待定系数法解答即可； （）①由题意可得，利用二次函数的性质可得的最大值为，据此即可判断求解；②当时，，可得当时，有最大值为，刚好中毒，即得，当时，可得，，由二次函数的性质可得当时，随的增大而减小，得到，综上即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴， 把代入得，， 解得， ∴患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系为； （2）解：①患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时， ∴血药总浓度， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴存在中毒风险； ②由①知，当时，存在中毒风险， 当时，， 此时，当时，有最大值为，刚好中毒， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 综上，的取值范围为． 5．(24-25九上·北京大兴区·期末)已知一个二次函数的图象过点，它的顶点坐标是，求这个二次函数的关系式． 【答案】 【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可． 【详解】解：设抛物线的顶点式为， 将点代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 6．(24-25九上·北京东城区·期末)如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． (1)求该抛物线的解析式； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解解析式即可； （2）先将代入（1）中解析式求得y值，结合与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，， 当时，， ∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米， ∴通过隧道的车辆的限制高度为米 地 城 考点06 二次函数图象的平移 一、单选题 1．(24-25九上·北京朝阳区·期末)将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为． 故选：D． 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，求出新图象的顶点坐标，然后顶点式写出新抛物线解析式即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，-3）， ∴将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标为（-2，0）， ∴平移后得到的抛物线的解析式是． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移左加右减，上加下减是解题的关键． 根据上加下减求解作答即可． 【详解】将抛物线向下平移1个单位， 得到的抛物线的表达式为． 故选：A． 4．(24-25九上·北京西城区·期末)将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（   ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到抛物线． 故选：D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京海淀区·期末)将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键；根据“左加右减，上加下减”的平移规律表示出平移后的解析式，把代入得出值即可． 【详解】解：∵将二次函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵得到的二次函数图象经过点， ∴， 解得：． 故答案为： 三、解答题 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． (1)求a的值． (2)向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可； （2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【详解】（1）解：由二次函数（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是和， ∵对称轴为直线， ∴， 解得； （2）解：由（1）知，，则该抛物线解析式是：，即， ∴抛物线向上平移3个单位后经过原点， ∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键． 地 城 考点07 二次函数与方程、不等式 一、单选题 1．(24-25九上·北京丰台区·期末)对于抛物线 ，下列判断正确的是（    ）． A．顶点坐标为 B．有最小值 C．与x轴无交点 D．开口向下 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质可判断A，B，D，根据二次函数与一元二次方程的关系可判断C． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，故A不正确； ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，故B不正确，D正确； ∵对于方程，， ∴抛物线与x轴有2个交点，故C不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 二、填空题 2．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标即为所对应的一元二次方程的解．据此进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴当或时，， 即一元二次方程的解为，， 故答案为：， 三、解答题 3．(24-25九上·北京三帆中学·期末)已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴及抛物线与轴的交点坐标； (2)用五点法画出此函数的图象； (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，抛物线与轴的交点坐标为， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的解析式，对称轴为，令，解方程，即可得到抛物线与轴的交点坐标； （2）先列表，然后描点、连线即可； （3）根据函数图像求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的解析式为， 对称轴为， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 函数图象如下图所示： （3）解：，点， 由函数图象可知，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，图像法求自变量的取值范围，熟练掌握知识点，数形结合是解题的关键． 4．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且与点不重合．过点作轴的垂线交直线于点．若点位于点的上方，则点的横坐标的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，利用二函数的图象解不等式组等知识，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键． （1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题． （2）设点C的坐标为，得到直线解析式为，当时，，即点P的坐标为，由点位于点的上方得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点． ∴， 解得 抛物线的表达式为；． （2）设点C的坐标为，设直线解析式为， ∴ 解得 ∴直线解析式为， 当时，，即点P的坐标为 ∵点位于点的上方， ∴， ∴或， 解得，即． 故答案为： 地 城 考点08 二次函数实际问题 一、单选题 1．(24-25九上·北京三帆中学·期中)姗姗和帆帆制作一些手工艺品参加爱心义卖活动，统计了9月份前7天的销售单价x与销售量y之间的关系，如下表格所示： 天数 1 2 3 4 5 6 7 销售单价x（元） 销售量y（个） 随着手艺的熟练，成本的变化如图1所示：从第1天的元开始，到第7天的时候成本变成了9元，之后的成本就可以一直保持在9元，第8天开始销售量与销售单价之间满足一次函数关系．前7天的销售量y与销售单价x之间满足函数关系；前7天的每天利润与销售单价x之间也满足函数关系；成本稳定成9元之后的每天利润与销售单价x之间满足函数关系分别为（    ）． A．一次函数关系；二次函数关系；二次函数关系； B．二次函数关系；一次函数关系；一次函数关系； C．一次函数关系；一次函数关系；二次函数关系； D．一次函数关系；二次函数关系；一次函数关系 【答案】C 【分析】由表可知每降低一元增加10个，即可得到前7天是一次函数，根据利润等于单价乘以数量即可得到利润与销售单价x之间，7天后成本不变根据 润等于单价乘以数量即可得到答案． 【详解】解：由表可知每降低一元增加10个， ∴，为一次函数； 由利润公式可得， 是一次函数； 由利润公式可得， 是二次函数； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数实际应用题中销售利润问题，解题的关键是根据题意得出等量关系式． 二、解答题 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化满足；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． （1）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ （2）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 【答案】（1），当销售价格50元/个时，最大利润为50万元；（2），40． 【来源】山东省烟台招远市（五四制）2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 【分析】（1）总净利润=单件利润×销售量-40，首先求出单件利润（x-20），然后乘以销售量y，将解析式化为顶点式即可求解； （2）令（1）中解析式的值为40，然后作出函数图像示意图，根据示意图即可求解x的取值范围，然后结合销售量和销售价的关系即可判断x的值． 【详解】（1）根据题意得： ＝ ＝ 将其化为顶点式： ＝ ＝ ＝ ∴销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元． （2）当公司要求净得利润为40万元时，即 解得：x1＝40，x2＝60 如图，通过观察函数y＝的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60 而y与x的函数关系式为：，y随x的增大而减少， 因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，在本类题型中，将二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 3．(24-25九上·北京西城区·期末)某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度OC=1.6米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.4米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移个单位长度而得到； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请直接写出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【答案】(1),小球最大射程为米 (2)4 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移得到的，即可得出结论； （3）根据，令解方程求出的值，再根据最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移得到的，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为． 抛物线经过点， ， 解得， 最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为； 当时，则， ，（舍去）， 小球最大射程为米； （2）解：抛物线的函数解析式为， 对称轴为直线， 点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， 故答案为：4； （3）解：， 令，则． 解得，（舍， 要使接球盒能接住小球． 由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的， ， 即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为． 4．(24-25九上·北京丰台区·期末)某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： (1)如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，求该抛物线的解析式； (2)若需要开一个截面为矩形的门（如图所示），已知门的高度为米，那么门的宽度最大是多少米（不考虑材料厚度）?（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，把实际问题抽象为数学问题，并正确求出函数解析式是关键． （1）根据题意设出二次函数的解析式，把图象上点的坐标代入即可求出二次函数的解析式； （2）令，求出x的值，即可确定门的最大宽度． 【详解】（1）解：由图可设抛物线的解析式为：， 由图知抛物线与x轴正半轴的交点为，则：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 所以门的宽度最大为（米）． 5．(24-25九上·北京大兴区·期末)篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度单位：与水平距离单位：之间的关系，测得一些数据如表：      0      1      2      3      4 …                                                   … 为观察h与s之间的关系，建立平面直角坐标系，以s为横坐标，h为纵坐标，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)发球机出口点A的离地高度为______ m； (2)小亮在训练时发现，当球离地高度h的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口A的水平距离为米，此时小亮站在罚球线处，______填“能”或“不能”舒适地接到球，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，本题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． 根据表中的数据即可得的答案； 根据表中的数据求出二次函数解析式，把代入求解，比较即可得的答案． 【详解】（1）解：根据表中的数据知，时，， ， 故答案为：； （2）解：小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球，理由如下： 设抛物线的解析式为， 把时，；时， 代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，米， 当球离地高度h的取值范围是时，接球较为舒适，不能舒适地接到球， 故答案为：不能． 地 城 考点09 二次函数综合 一、解答题 1．(24-25九上·北京朝阳区·期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为 (1)求a的值和抛物线的对称轴用含b的式子表示； (2)若点，，在该抛物线上，且，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 将代入，可得，则抛物线的解析式为，即可得抛物线的对称轴为直线 由题意得，点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，求出b的取值范围即可． 【详解】（1）将代入， 得 ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线 （2）点，，在该抛物线上，且， 点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， 即， 解得 的取值范围为 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)当时，求该抛物线的对称轴； (2)当时，，为该抛物线上的两点，若，，总有，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)，或 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定m的范围是本题的难点． （1）根据抛物线对称轴公式：，即可得到答案； （2）分三种情况讨论，得到关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：抛物线 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，抛物线， 则该抛物线的对称轴为直线， ①当时，则， 则， 解得， ②当时，则， 则， 解得m的值不存在； ③当时，且满足，则， 解得． 综上，m的取值范围为：，或． 3．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． (1)当，时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）由求出，，再根据得到，代入计算即可； （2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论． 【详解】（1）解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； （2）解：∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 综上所述，的取值范围为或． 4．(24-25九上·北京东城区·期末)在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，结合已知求解即可； （2）先根据已知求得，进而求得，然后根据抛物线的开口向上，得到离对称轴越远，函数值越大求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，解得， 由得抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵，， ∴，则或， ∴， ∵， ∴， ∵，，又抛物线的开口向上， ∴． 5．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征等，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系， （1）把函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）求出点关于对称轴对称点为，然后分，，，讨论，根据抛物线开口向上及求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解∶∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称点为， 当时，则， ∵， ∴ ∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大， ∴， 这与相矛盾，故不符合题意，舍去； 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大， ∴ ， 与相矛盾，故不符合题意，舍去； 当时，则， ∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大， ∴， ∴， 当时， ∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大， ∴ ∴， ∴， 综上， 6．(24-25九上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)若，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解． （2）利用二次函数的图象和性质判断即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 ∵， ∴点，关于直线对称. ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ①当时，随着的增大而减小， ∵当时，都有， ∴， ∴， ∴； ②当时，随着的增大而增大， ∴点关于直线的对称点的坐标是. ∵当时，都有， ∴， ∴. 综上，的取值范围是或. 7．(24-25九上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线 上有两个点 和 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于 ，都有 ，求的取值范围； (3)若对于 ，都有 ，求证：． 【答案】(1)直线； (2)或； (3)证明见解析 【分析】（）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （）由抛物线对称轴为直线，，则点在对称轴右侧，故其关于对称轴对称点横坐标满足，然后根据二次函数的增减性即可求解； （）由，对称轴为直线，则关于对称轴对称点横坐标满足，又在对称轴左侧随的增大而减小，从而判断，故时，，然后代入即可求证； 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴点在对称轴右侧， ∴其关于对称轴对称点横坐标满足， 由可知，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， ∵当都有， ∴或， 解得：或； （3）证明：∵，对称轴为直线， ∴关于对称轴对称点横坐标满足， ∵在对称轴左侧随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴时，， ∴，即． 试卷第1页，共3页 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 9大高频考点概览 考点01 函数基础知识 考点02 二次函数的图象和性质 考点03 y=ax2+bx+c的图象性质 考点04 二次函数的图象与系数的关系 考点05 待定系数法求函数解析式 考点06 二次函数图象的平移 考点07 二次函数与方程、不等式 考点08 二次函数实际问题 考点09 二次函数综合 地 城 考点01 函数基础知识 一、填空题 1．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线（）上部分点的横坐标x．纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 5 … 则该抛物线的对称轴是 ． 二、解答题 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 3．(24-25九上·北京海淀区·期末)某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值．    (1)求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 地 城 考点02 二次函数的图象性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京西城区·期末)抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京西城区·期末)二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京西城区·期末)点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 4．(24-25九上·北京大兴区·期末)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京海淀区·期末)二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为 ． 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 7．(24-25九上·北京西城区·期末)二次函数的图象的顶点坐标是 ． 三、解答题 8．(24-25九上·北京东城区·期末)已知二次函数. (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，的取值范围是 . 9．(24-25九上·北京丰台区·期末)二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 地 城 考点03 y=ax2+bx+c的图象性质 一、填空题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B为y轴上一点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，若点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标为 ． 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)已知二次函数，点，都在该函数的图象上，且．写出一个符合上述条件的二次函数解析式为 ． 3．(24-25九上·北京西城区·期末)已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ． 二、解答题 4．(24-25九上·北京大兴区·期末)已知二次函数 (1)该二次函数图象的顶点坐标为______，与 x轴交点坐标为______，与 y轴交点坐标为______； (2)画出该二次函数的图象． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 6．(24-25九上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线 上有两个点 和 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于 ，都有 ，求的取值范围； (3)若对于 ，都有 ，求证：． 地 城 考点04 二次函数的图象与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·上海华育中学·月考)二次函数的图象如图所示，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，二次函数的图象与x轴交于，，其中，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③当时，y随x增大而减小； ④当时，； ⑤关于x的一元二次方程的一个根是1，另一个根是 其中正确结论的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．是关于x的一元二次方程的一个根 4．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京西城区·期末)写出一个开口向下，且与y轴的正半轴相交的抛物线的解析式： ． 6．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：；；；当抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度就可能经过点其中正确的结论为 ． 7．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 地 城 考点05 待定系数法求函数解析式 一、解答题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线的最低点是，且经过点，，求抛物线解析式和n的值． 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G，直接写出抛物线G的解析式． 3．(24-25九上·北京朝阳区·期末)二次函数的部分图象和对称轴如图所示. (1)求该二次函数的表达式； (2)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围. 4．(24-25九上·北京西城区·期末)通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： （） （） (1)求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系； (2)这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． ①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围． 5．(24-25九上·北京大兴区·期末)已知一个二次函数的图象过点，它的顶点坐标是，求这个二次函数的关系式． 6．(24-25九上·北京东城区·期末)如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． (1)求该抛物线的解析式； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 地 城 考点06 二次函数图象的平移 一、单选题 1．(24-25九上·北京朝阳区·期末)将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京西城区·期末)将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（   ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 二、填空题 5．(24-25九上·北京海淀区·期末)将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为 ． 三、解答题 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． (1)求a的值． (2)向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 地 城 考点07 二次函数与方程、不等式 一、单选题 1．(24-25九上·北京丰台区·期末)对于抛物线 ，下列判断正确的是（    ）． A．顶点坐标为 B．有最小值 C．与x轴无交点 D．开口向下 二、填空题 2．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为 ． 三、解答题 3．(24-25九上·北京三帆中学·期末)已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴及抛物线与轴的交点坐标； (2)用五点法画出此函数的图象； (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． … 0 1 2 3 … … 0 0 … 4．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且与点不重合．过点作轴的垂线交直线于点．若点位于点的上方，则点的横坐标的取值范围是______． 地 城 考点08 二次函数实际问题 一、单选题 1．(24-25九上·北京三帆中学·期中)姗姗和帆帆制作一些手工艺品参加爱心义卖活动，统计了9月份前7天的销售单价x与销售量y之间的关系，如下表格所示： 天数 1 2 3 4 5 6 7 销售单价x（元） 销售量y（个） 随着手艺的熟练，成本的变化如图1所示：从第1天的元开始，到第7天的时候成本变成了9元，之后的成本就可以一直保持在9元，第8天开始销售量与销售单价之间满足一次函数关系．前7天的销售量y与销售单价x之间满足函数关系；前7天的每天利润与销售单价x之间也满足函数关系；成本稳定成9元之后的每天利润与销售单价x之间满足函数关系分别为（    ）． A．一次函数关系；二次函数关系；二次函数关系； B．二次函数关系；一次函数关系；一次函数关系； C．一次函数关系；一次函数关系；二次函数关系； D．一次函数关系；二次函数关系；一次函数关系 二、解答题 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化满足；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． （1）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ （2）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 3．(24-25九上·北京西城区·期末)某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度OC=1.6米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.4米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移个单位长度而得到； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请直接写出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 4．(24-25九上·北京丰台区·期末)某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： (1)如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，求该抛物线的解析式； (2)若需要开一个截面为矩形的门（如图所示），已知门的高度为米，那么门的宽度最大是多少米（不考虑材料厚度）?（结果保留根号） 5．(24-25九上·北京大兴区·期末)篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度单位：与水平距离单位：之间的关系，测得一些数据如表：      0      1      2      3      4 …                                                   … 为观察h与s之间的关系，建立平面直角坐标系，以s为横坐标，h为纵坐标，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)发球机出口点A的离地高度为______ m； (2)小亮在训练时发现，当球离地高度h的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口A的水平距离为米，此时小亮站在罚球线处，______填“能”或“不能”舒适地接到球，并说明理由． 地 城 考点09 二次函数综合 一、解答题 1．(24-25九上·北京朝阳区·期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为 (1)求a的值和抛物线的对称轴用含b的式子表示； (2)若点，，在该抛物线上，且，求b的取值范围. 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)当时，求该抛物线的对称轴； (2)当时，，为该抛物线上的两点，若，，总有，求m的取值范围． 3．(24-25九上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． (1)当，时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 4．(24-25九上·北京东城区·期末)在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 5．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)对于，，都有，求m的取值范围． 6．(24-25九上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)若，当时，都有，求的取值范围． 7．(24-25九上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线 上有两个点 和 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于 ，都有 ，求的取值范围； (3)若对于 ，都有 ，求证：． 试卷第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $