精品解析：陕西省安康市2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期高二期中联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线之间的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 要使圆心距为8的一大一小两个圆相内切，只需要令（ ） A. 大圆的半径为8 B. 大圆与小圆的半径之差为8 C. 小圆的半径为8 D. 大圆与小圆的半径之和为8 5. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记，直线，，则（ ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时， C. 当时， D. 当时， 10. 在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 11. 棱长为3的正方体中，为中点，与交于点，现以为坐标原点，为轴正方向，垂直于平面且沿方向为轴正方向建立右手空间直角坐标系，记轴与正方体表面交于，两点，则（ ） A. 轴所在的直线垂直平面 B. 点的坐标为 C. D. ，，，，，均在直径为的同一个球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 滑翔伞运动员在空中某段位移对应的空间向量为，则这段位移的长度为________. 13. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 14. 已知圆：与圆：交于，两点，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上. （1）求； （2）过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 16. 已知圆，圆. （1）若与相交，求的取值范围； （2）若与存在公共弦，且圆心到公共弦所在直线的距离为，求的值. 17. 如图所示，在四面体，平面，D是的中点，是的中点，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）若，且，求锐二面角的余弦值. 18. 如图，在三棱台中，平面，. （1）求的值； （2）若，二面角的大小为，求. 19. 设为曲线不过原点的部分曲线. （1）求与轴，轴的交点坐标； （2）求围成的图形面积； （3）若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二期中联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为. 故选：D 2. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程的一般式转化为斜截式，即可求解. 【详解】由，得到，所以直线的斜率为， 故选：C. 3. 若直线与直线之间的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】由题意知， 又， 解得， 故选：B. 4. 要使圆心距为8的一大一小两个圆相内切，只需要令（ ） A. 大圆的半径为8 B. 大圆与小圆的半径之差为8 C. 小圆的半径为8 D. 大圆与小圆的半径之和为8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】设圆圆的半径分别为和，且，则， 如图所示，若两圆相内切，则满足，即大圆与小圆的半径之差为. 故选：B. 5. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算，得，即可求解. 【详解】因为，，则， 又，则，所以， 解得， 故选：B. 6. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点P到平面的距离为； 故选：C 7. 已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则， 因此，即，解得， 故选：C 8. 在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量法证明三棱锥的高，再求解向量的夹角，从而可求三棱锥的体积． 【详解】由，，， 得，，所以，． 又，，平面， 所以平面． 因为，所以， 所以． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记，直线，，则（ ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用点到直线的距离公式，即可求解；对B，将代入直线，即可求解；对于C和D，利用直线一般式方程垂直和平行的条件，建立方程，即可求解. 【详解】对于A，当时，，所以点到的距离为，所以A正确， 对于B，因为在上，所以，解得，所以，故正确， 对于C，因为，则，解得，所以C错误， 对于D，因为，由，解得，此时，，满足， 所以当时，，故D正确， 故选：ABD. 10. 在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB利用基底和数量积的运算律化简；C利用公式；D利用向量的加法和减法运算化简. 【详解】由题意得，， A选项，，A正确； B选项，， 故 ，B正确； C选项，由B选项得， 故在上的投影向量为，C正确； D选项， ，D错误. 故选：ABC 11. 棱长为3的正方体中，为中点，与交于点，现以为坐标原点，为轴正方向，垂直于平面且沿方向为轴正方向建立右手空间直角坐标系，记轴与正方体表面交于，两点，则（ ） A. 轴所在的直线垂直平面 B. 点的坐标为 C. D. ，，，，，均在直径为的同一个球面上 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，利用正方体的性质及线面垂直的判断定定理，得到平面，平面，从而可建立题设要求的空间直角坐标系，对A，由建系过程，即可判断正误，对B，先求出在面上投影点的坐标，即可求解；对C，利用几何关系，可得，即可求解；对D，建立新的空间直角坐标系，求出，，，，，，利用，即可求解. 【详解】如图1，连接，易知，由正方体的性质知平面， 又平面，所以，又平面， 所以平面，过作，则平面， 易知与，有交点，且交点即为轴与正方体表面的交点，不妨设交于，交于， 因为平面，所以， 由正方体的性质知，且，又是中点，则， 由，知， 又平面，所以，连接，易知, 又由正方体的性质知平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，又，，平面， 所以平面，又平面，则， 则题设要求中的空间直角坐标系如图1所示， 对于A，因为平面，所以轴所在的直线垂直平面，故A正确， 对于B，设，因为，所以平面，且， 如图2，在矩形中，连接，因为为的中点，所以，且， 则，，又，， 所以，，则点的坐标为，所以B正确， 对于C，因为，又，所以，故C错误， 对于D，如图3，建立新的空间直角坐标系， 因为，，，，，， 假设，，，，，均在球上，则球心在面的投影为， 设，球的半径为，由，得到， 整理得到，解得，所以，， 又，且易知， 所以，，，，，均在直径为的同一个球面上，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 滑翔伞运动员在空中某段位移对应的空间向量为，则这段位移的长度为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据位移的长度等于可求得结果. 【详解】由题意可知，位移的长度为， 故答案为：. 13. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 14. 已知圆：与圆：交于，两点，若，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】将两圆的方程作差可得两圆的相交弦的直线方程，设圆心到直线的距离为，利用垂径定理得，又两圆半径相等得，即可得解. 【详解】已知圆：的圆心为，半径为1， 与圆：的圆心为，半径为1， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为， 即，即， 设圆心到直线的距离为，因为，所以，解得， 又两圆半径相等，所以公共弦所在的直线为的垂直平分线，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上. （1）求； （2）过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由圆的标准方程得圆心坐标，再结合条件，即可求解； （2）（i）先求出，进而可得直线的斜率，再利用点斜式得直线方程，再化成一般式，即可求解；（ii）利用圆的性质即可求解. 【小问1详解】 因为圆的圆心为，半径为， 由题有，解得，所以的值为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，所以，又在直线上， 所以，得到，则直线的斜率为，所以的方程为， 其一般式方程为. （ii）由（1）知圆，圆心为，半径为， 所以的最大值为， 即的最大值为. 16. 已知圆，圆. （1）若与相交，求的取值范围； （2）若与存在公共弦，且圆心到公共弦所在直线的距离为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系，即可求解； （2）先求出两圆的公共弦，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为与相交，则，又， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由和，作差得到， 所以两圆公共弦方程为， 由题有，整理得到，解得，又， 所以. 17. 如图所示，在四面体，平面，D是的中点，是的中点，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）若，且，求锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取的中点M，连接. 因为是AD的中点，M是的中点，所以. 又D是SC的中点，所以，所以，由线段成比例的性质可得，. 因，平面，平面，所以平面. 同理，平面，平面，所以平面. 又因，平面，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）构造平面，再证明平面平面，进而可得平面； （2）根据题意可建立空间直角坐标系，再用向量计算锐二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面，平面，所以，， 且，所以为坐标原点，分别以的方向为轴，建立空间直角坐标系.如图： 设，则，所以，， 因D是的中点，是的中点，所以，. 设平面的法向量为，. 所以，得，令，则，得. 因平面与坐标平面重合，所以取平面的一个法向量为. 所以锐二面角的余弦值为. 故答案为：. 18. 如图，在三棱台中，平面，. （1）求的值； （2）若，二面角的大小为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据条件及面面垂直的性质，可得平面，进而可得，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，设，进而根据条件可设，分别求出平面和平面，根据条件可得，在中，过作于，设，从而可得，再利用平方关系，即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接，因为，则， 因为平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 则，又由棱台的性质知，所以四边形为平行四边形， 则，所以. 【小问2详解】 如图，过作，且平面，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以， 过作于，同理可证得平面，所以， 又，所以四边形为平行四边形，则，， 由棱台的性质及（1）知，所以为中点，又，则， 又，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则由，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，则，所以， 由题知，整理得到，得到 在中，过作于，设， 则，得到，又， 所以，整理得到， 解得或（舍），所以. 19. 设为曲线不过原点的部分曲线. （1）求与轴，轴的交点坐标； （2）求围成的图形面积； （3）若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）与轴的交点为，与轴的交点为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线方程，令和，得到相应的方程求解即可； （2）分当，，和四种情况，得出曲线围成的图形，从而将问题转化成个半圆的面积及个直角三角形的面积和，即可求解； （3）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可求解. 【小问1详解】 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标； 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标， 所以与轴的交点为，与轴的交点为； 【小问2详解】 当时，由得到， 即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 所以曲线围成的图象如图所示，由（1）知， 又直线的方程为，易知直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 所以曲线围成的图形面积为个半圆的面积及个直角三角形的面积和， 即 ； 【小问3详解】 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得或（舍）， 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得（舍）或， 又曲线不过原点，由图知，要使直线与有且仅有两个公共点，则， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $