第五章 抛体运动（复习讲义）物理人教版必修第二册

该高中物理抛体运动复习讲义通过表格系统梳理知识体系，将曲线运动、运动的合成与分解、平抛及斜抛运动等核心知识点按“重点归纳-常见易错点”呈现，清晰呈现速度方向、合力条件等关键内容及内在逻辑，突出重难点分布。 讲义以“基础-进阶-拓展”分层目标设计练习，涵盖小船渡河、绳关联速度等典型题型，融入“化曲为直”“逆向思维”等科学思维方法，如斜抛运动逆向分析例题，助力不同层次学生提升物理观念与科学推理能力，为教师精准教学提供支持。

第五章 抛体运动（复习讲义） 一、基础目标： 1.知道曲线运动的速度方向，知道曲线运动是变速运动且知道物体做曲线运动的条件； 2.知道什么是合运动和分运动、合运动与分运动的关系，掌握运动的合成与分解的实质（即描述运动的物理量--位移、速度、加速度的合成与分解）； 3.掌握抛体运动的处理思想--“化曲为直”；掌握平抛运动的处理方法--“先分解再合成”； 4.认识斜抛运动，掌握分析斜抛运动的方法。 二、进阶目标： 1.掌握运动的合成与分解的三种典型题型：小船渡河问题、关联速度问题； 2.掌握与斜面相关、与曲面相关的平抛运动问题； 3.掌握用逆向思维分析斜抛运动。 三、拓展目标： 1.抛体运动中的追及与相遇问题； 2.平抛运动中的临界与极值问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 曲线运动 ①曲线运动的方向：曲线上该点的切线方向； ②曲线运动的条件：合力方向与速度方向不在一条直线上； ③曲线运动的合力与速度方向关系：合力一定指向曲线的内侧；且轨迹一定夹在速度与合力之间。 ①误认为曲线运动可能为匀速运动； ②误认为曲线运动的合力可以为0； ③误认为物体受恒力作用时不可能做曲线运动。（如平抛运动） 运动的合成与分解 ①合运动即为物体实际的运动，合运动与分运动具有等时性，独立性和等效性； ②运动的合成与分解法则：平行四边形定则 ③合运动性质的判断：根据合加速度与合初速度关系（两者方向在同一直线上即为直线运动）；合加速度是否恒定（恒定即为匀变速运动 ④绳关联速度问题：沿绳与垂直绳分解； ⑤杆关联速度问题：沿杆与垂直杆分解。 ①区分不清合运动即物体的实际运动； ②不能正确理解分运动的独立性； 平抛运动 ①平抛运动一定是匀变速曲线运动； ②运动时间取决于高度、水平射程取决于高度与初速度； ③先确定已知平抛运动的物理量（速度方向、位移方向），再将其分解，最后再合成。 ④斜面上的平抛运动技巧：“时速正比，位能平方”（即运动时间与初速度成正比，位移、动能与初速度平方成正比） ⑤利用平抛函数求解（已知初速度和竖直高度求水平位移） ①误认为平抛运动只能水平与竖直分解（斜面上的平抛运动求离斜面最远时可沿平行斜面与垂直斜面分解）； ②误认为平抛运动的速度变化量方向是变化的（速度变化量方向即加速度方向--始终竖直向下）； ③误认为平抛运动的速度方向可以为竖直方向。 斜抛运动 ①将初速度分解即水平方向做匀速直线、竖直方向竖直上抛； ②技巧：逆向思维即斜抛运动可看成两个平抛运动的组合； ③另类分解：初速度方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动。 ①误认为斜抛运动最高点速度为0，加速度也为0； ②误认为平抛运动的速度变化量方向是变化的（速度变化量方向即加速度方向--始终竖直向下） 题型一 曲线运动 【例1】物体做曲线运动时，下列说法中正确的是（　　） A．速度大小一定是变化的 B．速度方向一定是变化的 C．加速度大小一定是变化的 D．加速度方向一定是变化的 【变式1-1】2024年11月第15届中国国际航空航天博览会在广东珠海盛大开幕，在开幕式上歼击机进行了华丽的表演，如图所示，歼击机做曲线运动，则下列说法中正确的是（　　） A．歼击机速度可能不变 B．歼击机所受合力一定是变力 C．歼击机向上运动时处于超重状态 D．歼击机的加速度方向与合力方向始终在同一条直线上 【变式1-2】某次军事演习中，地面某处炮兵向空中目标发射炮弹（可视为质点），且击中目标。图中虚线为炮弹在空中的运动轨迹，其在上升阶段做减速运动，点为该阶段中的某点。则炮弹在点所受合力的示意图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二 运动的合成与分解 【例2】移动射击时，竖直安装并固定一圆形靶，靶的水平和竖直直径将靶面分成四个区域，如图所示，当水平向右平行于靶面运动的汽车经过靶时，车上的运动员枪口对准靶心并立即射击，子弹可能落在（　　） A．I区 B．II区 C．III区 D．IV区 【变式2-1】某架无人机以恒定的速度竖直上升，某时刻受到水平向右的恒定风力，则该无人机受到恒定风力后的运动轨迹可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示，在风洞实验室中，从点以水平速度向左抛出一质量为的小球（可视为质点），小球被抛出后受到大小为、方向水平向右的恒定风力，经过一段时间后小球运动到点正下方的点处，重力加速度为（小球在运动过程中除了受水平风力和重力外，不受其他作用力）。求： (1)此过程中小球离、两点所在直线的最远距离； (2)小球运动到点时的速度。 题型三 小船渡河问题 【例3】A、B、C三只小船先后从同一地点M点渡河，河中水流速度各处相同，小船A、B、C在静水中的速度分别为v1、v2、v3，方向如图所示，三次渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹均垂直于河岸而到达正对岸N点，下列说法正确的是（　　） A．三只小船在静水中的速度大小可能满足v1<v2<v3 B．三只小船渡河时的合速度相同 C．小船A渡河所用的时间最短 D．若水流速度大小等于小船B在静水中的速度大小v₂，小船C渡河所用的时间不变，且仍能到达正对岸N点 【变式3-1】如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点。两船头与河岸均成角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点。经过一段时间乙船恰好到达P点。如果两船的划船速度大小相同，且两船相遇不影响各自的航行。下列判断错误的是（　　） A．甲船一定不能到达对岸P点 B．两船渡河时间一定相等 C．两船一定相遇在NP连线上 D．渡河过程中两船不会相遇 【变式3-2】两河交汇形成更宽的河流，在交汇处，由于河床底部沉积状态不同从而形成不同流速的两个区域，如图所示，河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域I、Ⅱ。I区域水速大小，Ⅱ区域水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。小船从A点开始渡河，求： (1)小船以最短时间过河所用的时间； (2)小船以最短时间过河到达对岸的位置离B的距离； (3)小船要到达对岸的B点，且所用路程最短，该情况下小船过河的最短路程。 题型四 绳关联速度问题 【例4】如图为电影拍摄过程中吊威亚的情景。工作人员A沿水平直线向左运动，他通过绳子使表演者B沿竖直方向匀速上升，绳与轻滑轮间的摩擦不计，则（　　） A．绳对A的拉力增大 B．A对地面的压力变小 C．A在向左加速移动 D．A在向左减速移动 【变式4-1】人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。如图，两长度相等的绳子一端系在同一石墩上，两人分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v向两侧匀速运动的一段过程中，石墩向上运动的速度大小（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增后减 D．保持不变 【变式4-2】（多选）如图所示，倾斜天花板与水平天花板间的夹角为，在倾斜天花板上安装一个轻质定滑轮（大小不计），轻质细线跨过定滑轮，下端悬挂一质量为的物块，上端沿着水平天花板从点缓慢地移动到点，已知与倾斜天花板平行，与水平天花板夹角为，重力加速度为，不计滑轮与细线间的摩擦，物块未与滑轮相碰。下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力逐渐增大 B．细线对定滑轮的作用力逐渐增大 C．细线的上端在点时，细线对滑轮的作用力方向水平向左 D．细线的上端在点时，细线对滑轮的作用力大小等于 题型五 杆关联速度问题 【例5】汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，速率12m/s，，。当OA与AB垂直时，活塞的速度为（　　） A．7.2 m/s B．9 m/s C．12m/s D．15m/s 【变式5-1】如图所示，一固定斜面MN与水平面的夹角为α，斜面上有一质量为m的小球P，Q是一带竖直推板的直杆。现使竖直杆Q以速度v0水平向右做匀速直线运动，从而推动小球P沿斜面向上运动。小球P与直杆Q及斜面之间的摩擦均不计，直杆始终保持竖直状态，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　) A．小球P处于超重状态 B．小球P的速度大小为 C．斜面对小球P的弹力大小为mgcosα D．直杆Q对小球P的推力大小为mgtanα 【变式5-2】如图所示.半径均为r的两光滑圆柱体A、B叠放在墙角，若用力推动水平地面上的圆柱体A向右运动，圆柱体B会沿竖直墙面向上运动。当圆柱体A的中心轴与竖直墙面的距离为时.圆柱体A的速度大小为v，此时圆柱体B的速度大小为（    ） A．v B． C． D． 题型六 平抛运动规律的应用 【例6】高空抛物是一种不文明的行为，而且会带来很大的社会危害。若将高空飞出的物体视为做平抛运动，则下列说法正确的是（　　） A．楼层越高，物体下落的时间一定越长 B．楼层越高，物体落地的速度一定越大 C．楼层越高，物体抛出的水平距离一定越大 D．在相同的楼层以相同的速度抛出物体，越重的物体，落地速度越大 【变式6-1】如图1所示是一家刀削面馆，门前安放着一个刀削面机器人。当开动机器时，随着机械臂轻快地挥动，一根根面条飞出，落进前方一个大圆锅中，短短二三十秒，就有了三个人的量。假设机器人每次削的面条质量相同，从同一位置依次削出的两块面条，分别落在水面上的A、B两点，若面条可视为质点，其运动可视为平抛运动，轨迹如图2所示，忽略空气阻力影响，下列说法正确的是（　　） A．落在B点的面条初速度比落在A点的初速度大 B．落在B点的面条的速度与水平方向的夹角比落在A点的大 C．落在B点的面条在空中运动的时间大于落在A点的面条 D．落在B点的面条空中运动的加速度比落在A点的面条大 【变式6-2】吹箭筒的特点是无声无光，便于携带，射击精准，我国丛林部队特种兵也配备了这种装备。如图甲所示，某战士斜向上吹出一支箭，若该箭最终落至凹坑内。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该箭在空中运动的加速度是变化的 B．该箭在升到最高点时速度为零 C．该箭在相同时间内速度变化量相同 D．该箭做的是变加速曲线运动 题型七 与斜面相关的平抛运动 【例7】某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）如图所示，倾角为的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，已知AB∶BC∶CD=5∶3∶1，由此可判断（　　） A．A、B、C处三个小球从抛出至落到D点运动时间之比为3∶2∶1 B．A、B、C处三个小球落在斜面上时的速度与初速度的夹角之比为1∶1∶1 C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为10∶9∶6 D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 【变式7-2】（多选）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，g取10m/s2。则（　　） A．运动员在a处的速度大小为10m/s B．运动员从a处开始到在空中离坡面的最大距离时的飞行时间为1s C．运动员在空中离坡面的最大距离为 D．运动员运动到离坡面最远处时的速度大小为20m/s 题型八 与曲面相关的平抛运动 【例8】如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 【变式8-1】如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则（　　）    A．圆环的半径为R= B．小球从P点运动到Q点的时间 C．小球从P点到Q点的速度变化量 D．小球运动到Q点时的速度大小为vQ= 【变式8-2】如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（　　） A．a球一定先落在半圆轨道上 B．b球一定先落在斜面上 C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a球可能垂直落在半圆轨道上 题型九 斜抛运动 【例9】如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则 A．两次击中墙时的速度相等 B．沿1轨迹打出时的初速度大 C．沿1轨迹打出时速度方向与水平方向夹角小 D．从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动时间长 【变式9-1】甲图是篮球运动员正在进行投篮训练的示意图，某次投篮情景如图乙，A是篮球的投出点， B是篮球的投入点。已知篮球在A点的初速度为，与水平方向的夹角为，AB连线与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)篮球在飞行过程中距A点的最大高度h； (2)离AB连线最远时的速度大小v； (3)AB之间的距离s。 【变式9-2】如图所示，圆心为O的半圆形轨道ABC固定在水平地面上的C点，AB是水平直径，C是最低点，D是水平地面上的一点且在B点的正下方，圆弧轨道的E点有个小孔。让小球甲从地面上的M点、小球乙从地面上的N点斜向上抛出（甲、乙均视为质点），甲、乙均恰好经过A点，甲落到C点，乙通过E处的小孔（无碰撞）运动到D点，忽略空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙在A点的速度大小之比为 B．乙在E点速度的反向延长线经过O点 C．甲、乙在空中的运动时间均为 D．乙在N点的速度与水平方向的夹角为45° 题型十 抛体运动相遇问题 【例10】如图所示，A、B两小球置于同一竖直线上不同高度处，如果将A球以速度v1、B球以速度v2水平抛出（前一个球落地后才抛另一个球），落地前两球轨迹均经过P点。现在将A、B两球同时水平抛出，抛球高度和速度不变，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．v1>v2 B．两球在P点相遇 C．落地前两球在竖直方向上的距离越来越大 D．落地前两球在竖直方向上的距离保持不变 【变式10-1】（多选）如图所示，某次空中攻防的军事演习中，攻方战机在地面M点的正上方H=2000m高处以水平速度v1=1000m/s发射攻击弹轰炸地面目标P点。在M点右方水平距离x0=10000m地面上的N点防守方地面拦截系统在攻击弹发射2s后以速度v2竖直向上发射拦截弹，并成功拦截。若不计空气阻力，g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．攻方战机应在距离P点20000m处发射攻击弹 B．攻击弹被拦截时速度大小为1000m/s C．攻击弹在距地面1500m高度被拦截 D．地面拦截系统发射拦截弹的速度v2=227.5m/s 【变式10-2】（多选）如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端点水平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端点斜向上射出。经过一段时间后两黄豆在点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。若点在点正下方，点与点位于同一水平线上，不计空气阻力，可将黄豆看成质点，则下列说法正确的是（   ） A．两黄豆相遇时乙的速度与水平方向的夹角的正切值为甲的 B．甲黄豆在点的速度与乙黄豆在最高点的速度不相等 C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍 D．乙黄豆相对于点上升的最大高度为长度的 题型十一 平抛运动的临界与极值问题 【例11】如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道BC竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，AB、AC分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的D点，重力加速度为g，小球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若，小球运动到D点时速度与水平方向的夹角为，则有 B．若小球从A到D运动时间为，则 C．改变的大小，小球落到圆弧BC上的速度最小值为 D．改变的大小，小球落到圆弧BC上速度的最大值为 【变式11-1】如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出，恰好过中间网的上边沿落在点。已知，网高，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球的初速度大小为 B．网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为 C．若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内 D．若击球高度低于（仍大于），应减小击球速度，才能让球落在对方界内 【变式11-2】如图所示，质量的一只长方体形空铁箱在水平拉力F作用下沿水平面向右匀加速运动，铁箱与水平面间的动摩擦因数。有一质量的小木块靠在铁箱后壁上，恰好能与铁箱保持相对静止而不下滑。木块距箱底的高度，与铁箱内壁间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取。求： （1）铁箱对木块的弹力大小； （2）水平拉力F的大小； （3）当铁箱的速度为时撞到障碍物，此时立即撤去力F且铁箱以原速率反弹。若木块恰好落到铁箱的右下角，则铁箱的长度是多少。      题型十二 实验：探究平抛运动的特点 【例12】如图为利用平抛运动规律测量电动抽水器流量（每秒排出的液体体积）的实验装置。实验过程如下： （1）将水桶和薄底水杯放在同一水平桌面上。测量抽水器出水管内径（直径）d，调节管口方向，使其 （选填“水平”“竖直”）。启动抽水器后水均匀从管口水平射出。 （2）水柱离开管口落入水杯，测量管口距落点间的水平距离x，管口距桌面高度h。 （3）当地重力加速度为g，已知流量的表达式为（其中S为水流的横截面积，v为水流的速度大小），则该抽水器的流量Q= 。（用符号x、h、g、d表示） （4）调整抽水器功率，并靠近水桶平移水杯，使水柱重新落入水杯，则水从管口到落点的时间 。重新装满同一杯水所需的时间 。（均选填“变长”、“不变”或“变短”） （5）为了验证流量测量结果的正确性，需设计另一种实验方案；请简要描述要测的物理量，并用相应物理量字母表示该抽水器流量Q的表达式： 。 【变式12-1】某学习小组利用手机和刻度尺研究小球做平抛运动的规律。他们用手机拍摄功能记录小球抛出后位置的变化，每隔时间T拍摄一张照片。 （1）小球在抛出瞬间拍摄一张照片，标记小球位置为A（抛出点），然后依次连续拍下两张小球照片并标记位置B和C； （2）经测量，AB、BC两线段的长度分别为、； （3）为了尽可能减小空气阻力的影响，小球应选择： （填选项字母） A．实心金属球    B．空心塑料球    C．实心塑料球 （4）若忽略空气阻力， ①已知当地重力加速度为g，BC之间竖直高度为 （用g、T表示）； ② （选填“=”或“>”或“<”）； ③如图，若AB和BC的夹角为，则小球从A到C的平均速度大小 （用、T、、表示）； ④在③问的基础上，已知小球到B点的速度大小为，则 （选填“等于”或“不等于”） 【变式12-2】如图所示是一种研究平抛运动的实验装置。小球抛出点在水平桌面的边缘处，忽略空气阻力，当地重力加速度为。 （1）把泡沫板在距离桌面竖直高度为处水平固定（为泡沫板上表面到桌子上表面的竖直高度），然后让小球从斜面上某点由静止滚下，小球做平抛运动落在水平的泡沫板上，在泡沫板上留下一个点痕迹，测出平抛运动的水平位移为。 （2）把水平泡沫板与桌面上表面竖直距离调整为，重复步骤（1），从同一位置静止释放小球，测出小球平抛运动的水平位移为。 （3）在测量误差允许范围内 ，则表明"把平抛运动分解为竖直方向的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动"是正确的。 （4）多次重复步骤（1），得到多组和的数据，根据这些数据，在坐标上画出平抛运动的抛物线，为小球平抛轨迹上的不同位置，为坐标原点，从图线上看，段或段的时间 s，平抛运动的初速度 m/s。 基础巩固通关测 1．关于运动和力，下列说法正确的是（　　） A．物体受到的力不为恒力，物体一定做曲线运动 B．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变 C．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变 D．当物体受到与初速度方向不在同一条直线的合力作用时，物体一定做曲线运动 2．如图所示，飞镖在空中做曲线运动，其速度为，所受合力为，下列图示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，，，则初速度的大小和恒力F的大小分别为（　　） A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N 4．如图所示，一足够长且不可伸长的轻绳的一端系一物体甲，另一端系一物体乙，甲套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为L。现将甲从与定滑轮等高的O处由静止释放，当甲沿直杆下滑到如图中P处时乙向上运动的速度大小为v，OP的距离也为L，空气阻力不计，定滑轮大小及质量可忽略，则此时甲的速度大小为（    ） A． B． C． D． 5．有一架正在飞行的无人机，其在水平方向（以水平向右为x轴正方向）和竖直方向（以竖直向上为y轴正方向）的速度—时间图像分别如图甲、乙所示。则在0~t2时间内，该无人机的运动轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 6．一小船（可视为质点）渡河，河宽90m，河水的流速与船离河岸的距离d变化的关系如图所示，船在静水中的速度，若要使船以最短的时间渡河，则（　　） A．船在行驶过程中，合速度方向与河岸垂直 B．船运动的轨迹是直线 C．船渡河的最短时间是18s D．船在河水中的最大速度是5m/s 7．如图，军事演习中战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后在两处释放炸弹，炸弹分别击中山坳两侧坡体的点（图中位置不代表的实际位置）。若释放两颗炸弹的时间间隔小于炸弹击中点的时间间隔，不计空气阻力。下列判断正确的是（    ） A．点离地高度等于点离地高度 B．点离地高度大于点离地高度 C．间的距离等于间的水平距离 D．间的距离大于间的水平距离 8．如图所示，一定长度的斜面与水平面相连接，在斜面的顶端以初速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．若小球只落在水平面上，则越大，小球在空中飞行时间越长 B．若小球只落在斜面上，则越小，小球在空中飞行时间越短 C．若小球只落在斜面上，则越小，小球落在斜面上时速度与斜面的夹角越小 D．若小球只落在水平面上，则越大，小球落在水平面上时速度与水平面的夹角越大 9．甲图是从古代延续至今的投壶运动，乙图是一位投掷者在同一高度的A、B两个不同位置沿水平方向各射出一支完全相同的箭，箭都插入壶中。忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，则两支箭（　　） A．在空中运动时间相同 B．射出时的初速度相同 C．插入壶中瞬间速度大小相同 D．在空中运动的加速度不同 10．各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移—时间图像和y方向的速度—时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=2s时货物的速度大小为4m/s B．货物的运动轨迹是一条直线 C．货物所受的合力大小为160N D．0~2s这段时间内，货物的合位移大小为m 11．如图所示，一串相同的汽车以等速沿宽度为的直公路行驶，每车宽为，头尾间距为，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为（　　） A． B． C． D． 12．甩抛尕，俗称投石索。甩抛尕原是为打仗需要和放牧需要而产生的，这一古老的冷兵器，在新石器时代晚期便已出现，现在成为体育活动项目。投石索的制作相对简单，通常由绳索和手柄组成。绳索的一端套在手上，绳子中间有个绳兜，用来包住石头，另一端也用手捏住。使用时，通过快速旋转绳索，然后突然将捏住的绳子一端释放，就可以将石头投掷出去。投石索的射击距离最远可以达到200米，这在野外生存中无疑是一项非常实用的技能，无论是狩猎还是自卫，投石索都能发挥巨大的作用。其结构和使用示意图如下：如果在一次甩抛尕比赛中，运动员用的绳子长（绳子对折后石头到绳子端的长度），运动员握住绳子端，让石头在距水平地面高的水平面内做匀速圆周运动，转动的角速度，某时刻运动员松开绳子一端，石头沿圆周的切线方向飞出，不计空气阻力，，求：石头落地时飞行的水平距离。 13．2024年11月12日开幕的珠海航展上，乙型空天战机“白帝”的展出引发了众多航天爱好者的热切关注，在某次实践活动中，某小组同学利用AI自动驾驶航模模拟了一场战斗场景。“白帝”空天战机正在的“高空”以的速度在水平方向做匀速直线运动，发现下方水平距离为处有一“飞舰”正在水平地面上以的速度同向匀速前行，战机立即释放一颗“空空导弹”进行攻击。已知时导弹相对战机无初速度释放，释放后立即启动自带推进器提供水平方向的加速度，推进器在时停止工作，导弹只在重力作用下继续运动。若导弹的有效击中范围为落地点周围以内，战机、导弹和“飞舰”均看成质点，不计空气阻力，，试求： (1)导弹落地前瞬间的速度大小和方向； (2)判断“飞舰”是否被有效击中，并说明理由； (3)若“飞舰”在时侦测到导弹攻击，立即从“飞舰”上发射一颗初速度大小为（相对于地面）的导弹进行拦截，假设拦截导弹发射后只在重力作用下运动，且与对方导弹发生撞击视为拦截成功，则拦截导弹的初速度与水平方向的夹角应为多少？ 14．如图所示，窗子上、下沿间的高度差，墙的厚度，某人在离墙壁、距窗子上沿处的P点，将可视为质点的小物体以速度v水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，取。求v的取值范围。 能力提升进阶练 1．（2025·河南·模拟预测）某跑酷运动员从水平平台跳到右边的曲面，运动过程可以简化如下：运动员离开平台的初速度水平，速度大小为v0=2m/s，平台离地面高度h=4m，平台边沿正下方水平地面O点为坐标原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴建立坐标系，右侧曲面在竖直平面内截面曲线满足方程y=x2，如图所示。已知重力加速度为g=10m/s2，不计空气阻力，运动员可看作质点，则落到曲面的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，在斜面底端斜向上抛出一个小球，小球落到斜面上时速度刚好沿水平方向，不计小球大小，不计空气阻力，小球从抛出到落到斜面上运动过程中的水平位移x、竖直位移y、水平速度、竖直速度分别随时间t变化规律正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·一模）如图所示为某生态区的水景喷泉和灯光秀，水流从喷嘴斜向上喷出。现制作一个大小为实际尺寸的的模型展示效果，忽略空气阻力，则水流实际的初速度为模型中水流喷出速度的多少倍（　　） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 4．（2025·甘肃·模拟预测）行进间接传球是篮球训练的重要项目，如图所示，两运动员同时起跑并保持相同的速度匀速前行，运动中甲正对着乙把篮球传给对方，乙接球后再以同样的方式传给甲，甲、乙接传球的高度相等，且甲、乙把篮球传出时篮球速度与甲乙连线夹角相等，篮球可看成质点，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．篮球在空中做平抛运动 B．篮球在空中做匀速运动 C．运动员速度越大，篮球从甲传到乙的时间越短 D．运动员速度越大，篮球从甲传到乙时位移越大 5．（2025·山东·模拟预测）如图，一条小鱼从平静的水面跃出，初速度的方向与水面的夹角为，小鱼相对于水面跃起的最大高度为，小鱼看作质点且只受重力作用，重力加速度，，，则小鱼跃出的初速度的大小为（　　） A．5m/s B．6m/s C．10m/s D．12m/s 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（P、Q分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）骑行是一种健康自然的运动方式。如图所示，一位骑行爱好者骑着车轮半径为的自行车，在平直路面上以的速度匀速行驶。忽略空气阻力，重力加速度大小，自行车未安装挡泥板，当自行车经过有水路面时，轮胎上的水飞溅后离水平地面的最大高度约为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示竖直放置的圆环半径为R，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，不计空气阻力，从下列哪个位置沿x轴正方向水平抛出小球（可以看成质点）有可能垂直打到圆环上（　　） A． B． C． D． 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）我国的抛石机最早出现于战国时期，通过人在远离抛石机的地方牵拉连在横杆上的梢抛出石块。如图所示，某次抛石过程简化如下，从Q点抛出一石块，一段时间后，石块落在城楼上的P点，此时石块速度v和P、Q点的连线与水平方向夹角均为30°，已知v=15m/s，重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．石块在空中运动的总时间为4s B．石块运动到的最高点与Q点的高度差为45m C．石块到P、Q连线的距离最远时，速度大小为15m/s D．石块到P、Q连线的最远距离为 10．（2025·湖北武汉·一模）北宋军事著作《武经总要》中记载：“单梢砲，……，四十人拽，一人定放，放五十步外，石重二斤。”（单梢砲……需要四十人一齐拉拽，由一人专门负责瞄准和发射，可以将重达二斤的石弹，抛射到五十步外。）已知“一步”约为，重力加速度大小，不计空气阻力，假设石弹抛射的初速度方向与水平面夹角为，抛射的起点和落点在同一水平面上，则石弹抛射的初速度约为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·山东济南·一模）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（　　） A．他们飞行时间之比为 B．他们飞行的水平位移之比为 C．他们在空中飞行时离雪坡面的最大距离之比为1：3 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 12．（2025·湖南邵阳·三模）利用传感器和计算机可以方便地描出做平抛运动的物体的轨迹。某实验小组利用其来探究平抛运动的特点，设计原理图如图甲所示，物体A从O点水平抛出做平抛运动，它能够在竖直平面内向各个方向同时发射超声波脉冲和红外线脉冲。在它运动的平面内安放着超声-红外接收装置B。B盒装有、两个超声-红外接收器（处于O点正下方），并与计算机相连。、各自测出收到超声脉冲和红外脉冲的时间差，并由此算出它们各自与物体A的距离，进而确定物体A的位置，通过计算机可以即时给出A的坐标。试回答下列问题： (1)为了使计算机描出的物体做平抛运动轨迹更加准确，物体A应挑选（　　） A．体积大的木球 B．体积小的钢球 C．体积小的木球 (2)如图甲所示，某实验小组让物体A在图示位置同时发射超声波脉冲和红外线脉冲，以抛出点O为坐标原点建立坐标系，若还测出了O点到、的距离，重力加速度未知，则由题中条件可以求出（　　） A．物体A的初速度 B．物体A的位置坐标 C．物体A的运动时间 D．物体A此时的速度方向 (3)以物体A的初速度方向为轴方向，竖直向下的方向为轴方向，在某次实验中计算机描出的平抛运动的轨迹如图乙所示，数据的采集频率为25Hz。由图乙轨迹图线分析可知，物体A平抛的初速度大小为 （结果保留2位有效数字）；该实验测得当地的重力加速度偏小，可能的原因是 。 13．（2025·河南·模拟预测）为研究小球斜上抛运动的规律，某兴趣小组用手机拍摄了一段小球斜上抛运动视频，图甲为利用Tracker视频分析软件按帧获取的小球位置。取运动过程的某点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立坐标系。经软件分析得到实际位置坐标、图像及对应拟合曲线方程，如图乙所示。 (1)由图乙可得，小球的加速度大小为 ，小球在原点处速度与水平方向夹角的正切值为 ； (2)帧率表示视频在1s内记录的静止画面数量，单位为赫兹。Tracker视频分析软件是按视频的帧率来获取小球的位置，图乙中描绘的点为软件捕获的每帧小球实际位置坐标随时间的变化关系，由此可以判断该视频的帧率最接近______。 A．20Hz B．30Hz C．60Hz D．120Hz 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 抛体运动（复习讲义） 一、基础目标： 1.知道曲线运动的速度方向，知道曲线运动是变速运动且知道物体做曲线运动的条件； 2.知道什么是合运动和分运动、合运动与分运动的关系，掌握运动的合成与分解的实质（即描述运动的物理量--位移、速度、加速度的合成与分解）； 3.掌握抛体运动的处理思想--“化曲为直”；掌握平抛运动的处理方法--“先分解再合成”； 4.认识斜抛运动，掌握分析斜抛运动的方法。 二、进阶目标： 1.掌握运动的合成与分解的三种典型题型：小船渡河问题、关联速度问题； 2.掌握与斜面相关、与曲面相关的平抛运动问题； 3.掌握用逆向思维分析斜抛运动。 三、拓展目标： 1.抛体运动中的追及与相遇问题； 2.平抛运动中的临界与极值问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 曲线运动 ①曲线运动的方向：曲线上该点的切线方向； ②曲线运动的条件：合力方向与速度方向不在一条直线上； ③曲线运动的合力与速度方向关系：合力一定指向曲线的内侧；且轨迹一定夹在速度与合力之间。 ①误认为曲线运动可能为匀速运动； ②误认为曲线运动的合力可以为0； ③误认为物体受恒力作用时不可能做曲线运动。（如平抛运动） 运动的合成与分解 ①合运动即为物体实际的运动，合运动与分运动具有等时性，独立性和等效性； ②运动的合成与分解法则：平行四边形定则 ③合运动性质的判断：根据合加速度与合初速度关系（两者方向在同一直线上即为直线运动）；合加速度是否恒定（恒定即为匀变速运动 ④绳关联速度问题：沿绳与垂直绳分解； ⑤杆关联速度问题：沿杆与垂直杆分解。 ①区分不清合运动即物体的实际运动； ②不能正确理解分运动的独立性； 平抛运动 ①平抛运动一定是匀变速曲线运动； ②运动时间取决于高度、水平射程取决于高度与初速度； ③先确定已知平抛运动的物理量（速度方向、位移方向），再将其分解，最后再合成。 ④斜面上的平抛运动技巧：“时速正比，位能平方”（即运动时间与初速度成正比，位移、动能与初速度平方成正比） ⑤利用平抛函数求解（已知初速度和竖直高度求水平位移） ①误认为平抛运动只能水平与竖直分解（斜面上的平抛运动求离斜面最远时可沿平行斜面与垂直斜面分解）； ②误认为平抛运动的速度变化量方向是变化的（速度变化量方向即加速度方向--始终竖直向下）； ③误认为平抛运动的速度方向可以为竖直方向。 斜抛运动 ①将初速度分解即水平方向做匀速直线、竖直方向竖直上抛； ②技巧：逆向思维即斜抛运动可看成两个平抛运动的组合； ③另类分解：初速度方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动。 ①误认为斜抛运动最高点速度为0，加速度也为0； ②误认为平抛运动的速度变化量方向是变化的（速度变化量方向即加速度方向--始终竖直向下） 题型一 曲线运动 【例1】物体做曲线运动时，下列说法中正确的是（　　） A．速度大小一定是变化的 B．速度方向一定是变化的 C．加速度大小一定是变化的 D．加速度方向一定是变化的 【答案】B 【详解】A．物体做曲线运动时，速度大小不一定变化，例如匀速圆周运动速度大小不变，速度方向发生变化，故A错误； B．物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹切线方向，即方向必然变化，故B正确； C．物体做曲线运动时，加速度大小可以不变，如平抛运动中加速度恒为重力加速度，大小不变，故C错误； D．物体做曲线运动时，加速度方向可以不变，如平抛运动中加速度方向始终竖直向下，故D错误。 故选B。 【变式1-1】2024年11月第15届中国国际航空航天博览会在广东珠海盛大开幕，在开幕式上歼击机进行了华丽的表演，如图所示，歼击机做曲线运动，则下列说法中正确的是（　　） A．歼击机速度可能不变 B．歼击机所受合力一定是变力 C．歼击机向上运动时处于超重状态 D．歼击机的加速度方向与合力方向始终在同一条直线上 【答案】D 【详解】A．歼击机做曲线运动，速度方向一定发生变化，即速度一定改变，故A错误； B．做曲线运动的物体所受合力不为零，合力可以是恒力，也可以是变力，故B错误； C．歼击机向上运动时加速度方向未知，不能判断歼击机处于超重还是失重，故C错误； D．由牛顿第二定律可知，加速度方向与合力方向相同，故D正确。 故选D。 【变式1-2】某次军事演习中，地面某处炮兵向空中目标发射炮弹（可视为质点），且击中目标。图中虚线为炮弹在空中的运动轨迹，其在上升阶段做减速运动，点为该阶段中的某点。则炮弹在点所受合力的示意图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】做曲线运动的物体，合力指向轨迹凹侧 ，速度方向为轨迹的切线方向，由于炮弹上升阶段做减速运动，可知速度方向与合力方向夹角为钝角，可知B选项符合题意。 故选B。 题型二 运动的合成与分解 【例2】移动射击时，竖直安装并固定一圆形靶，靶的水平和竖直直径将靶面分成四个区域，如图所示，当水平向右平行于靶面运动的汽车经过靶时，车上的运动员枪口对准靶心并立即射击，子弹可能落在（　　） A．I区 B．II区 C．III区 D．IV区 【答案】D 【详解】汽车向右平行于靶面运动，车上的运动员枪口对准靶心并立即射击，子弹射出后由于惯性继续向右运动，又由于受到重力作用，向下运动，所以子弹会射向靶面的右下方，即Ⅳ区。 故选D。 【变式2-1】某架无人机以恒定的速度竖直上升，某时刻受到水平向右的恒定风力，则该无人机受到恒定风力后的运动轨迹可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】无人机竖直方向做匀速运动，水平方向在风力作用下做匀加速运动，则合运动为曲线运动，因合力方向沿水平向右，可知轨迹凹向向右。 故选B。 【变式2-2】如图所示，在风洞实验室中，从点以水平速度向左抛出一质量为的小球（可视为质点），小球被抛出后受到大小为、方向水平向右的恒定风力，经过一段时间后小球运动到点正下方的点处，重力加速度为（小球在运动过程中除了受水平风力和重力外，不受其他作用力）。求： (1)此过程中小球离、两点所在直线的最远距离； (2)小球运动到点时的速度。 【答案】(1) (2)，方向斜向右下方，与竖直方向的夹角 【详解】（1）将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有 解得 由 解得 （2）小球运动到B点时水平分速度 水平方向速度减小为零所需时间 由对称性可知，小球从A点运动到B点的总时间 竖直分速度 则B点的合速度为 方向斜向右下方，与竖直方向的夹角 题型三 小船渡河问题 【例3】A、B、C三只小船先后从同一地点M点渡河，河中水流速度各处相同，小船A、B、C在静水中的速度分别为v1、v2、v3，方向如图所示，三次渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹均垂直于河岸而到达正对岸N点，下列说法正确的是（　　） A．三只小船在静水中的速度大小可能满足v1<v2<v3 B．三只小船渡河时的合速度相同 C．小船A渡河所用的时间最短 D．若水流速度大小等于小船B在静水中的速度大小v₂，小船C渡河所用的时间不变，且仍能到达正对岸N点 【答案】C 【详解】AB．设船头方向与河岸方向间的夹角为θ，船垂直渡河，则v船cosθ=v水，v合=v水tanθ 由图示可知θ1＞θ2＞θ3，可得v1＞v2＞v3，v1合＞v2合＞v3合，故AB错误； C．渡河时间，小船在静水中的速度为v1时小船的合速度最大，渡河时间最短，故C正确； D．小船C渡河的时间，与水流速度无关，则若水流速度大小等于小船B在静水中的速度大小v2，小船C渡河所用的时间不变，但是由于水流速度大于小船C的沿河岸的分速度，可知合速度不能垂直河岸方向，即小船C不能到达正对岸N点，D错误。 故选C。 【变式3-1】如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点。两船头与河岸均成角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点。经过一段时间乙船恰好到达P点。如果两船的划船速度大小相同，且两船相遇不影响各自的航行。下列判断错误的是（　　） A．甲船一定不能到达对岸P点 B．两船渡河时间一定相等 C．两船一定相遇在NP连线上 D．渡河过程中两船不会相遇 【答案】D 【详解】A．由乙船能到达正对岸的P点，可知水流方向自左向右，则甲船的合速度方向偏向P 点的下游，甲船一定不能到达对岸P点，故A正确，不满足题意要求； B．由于两船垂直河岸的分速度相等，所以两船渡河时间一定相等，故B正确，不满足题意要求； CD．两船垂直河岸方向的分速度相等，则当甲船运动到NP连线的某点时，乙船也恰好沿NP到达该点，所以两船一定相遇在NP连线上，故C正确，不满足题意要求；D错误，满足题意要求。 故选D。 【变式3-2】两河交汇形成更宽的河流，在交汇处，由于河床底部沉积状态不同从而形成不同流速的两个区域，如图所示，河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域I、Ⅱ。I区域水速大小，Ⅱ区域水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。小船从A点开始渡河，求： (1)小船以最短时间过河所用的时间； (2)小船以最短时间过河到达对岸的位置离B的距离； (3)小船要到达对岸的B点，且所用路程最短，该情况下小船过河的最短路程。 【答案】(1)100s (2)300m (3)400m 【详解】（1）船头正对对岸过河时用时最短，过I区域有                                 过Ⅱ区域有                                    总时间 （2）则小船最后在B点下游的位置离B的距离为 （3）为了能到B点，小船在I区域应向上游方向航行到I、Ⅱ分界线位置在图中C点，在Ⅱ区域时，由于，当船头方向与合速度垂直时位移有最小值，设对应船速度方向与上游夹角为，合速度与岸夹角为，轨迹从C到B，在I水域，，船合速度可以指向任一方向，若轨迹从A指向C时，过河路程最小，且刚好到对岸B位置，设与岸夹角为，CB连线与中线夹角为 由几何关系有                    在I水域，合速度指向C，C在AB连线对称轴上，过河路程为                    题型四 绳关联速度问题 【例4】如图为电影拍摄过程中吊威亚的情景。工作人员A沿水平直线向左运动，他通过绳子使表演者B沿竖直方向匀速上升，绳与轻滑轮间的摩擦不计，则（　　） A．绳对A的拉力增大 B．A对地面的压力变小 C．A在向左加速移动 D．A在向左减速移动 【答案】D 【详解】A．当B匀速上升时，B的受力平衡，绳上拉力等于B的重力，所以绳对A的拉力大小也是B的重力，保持不变，故A错误； B．绳对A的拉力随着与水平面的夹角变小，竖直方向的分力减小， 所以支持力在增大，A对地面的压力也在增大，故B错误； CD．根据绳的关联速度公式，有 即，由于B匀速运动且角度逐渐减小，减小，A在向左做减速运动，故C错误，D正确。 故选D。 【变式4-1】人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。如图，两长度相等的绳子一端系在同一石墩上，两人分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v向两侧匀速运动的一段过程中，石墩向上运动的速度大小（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增后减 D．保持不变 【答案】A 【详解】设石墩向上运动的速度，绳子与水平方向的夹角为，手和石墩沿绳子方向的分速度相等，则有 可得 保持手在同一水平面以相同速率v向两侧匀速运动的一段过程中，由于逐渐减小，逐渐减小，则石墩向上运动的速度一直增大。 故选A。 【变式4-2】（多选）如图所示，倾斜天花板与水平天花板间的夹角为，在倾斜天花板上安装一个轻质定滑轮（大小不计），轻质细线跨过定滑轮，下端悬挂一质量为的物块，上端沿着水平天花板从点缓慢地移动到点，已知与倾斜天花板平行，与水平天花板夹角为，重力加速度为，不计滑轮与细线间的摩擦，物块未与滑轮相碰。下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力逐渐增大 B．细线对定滑轮的作用力逐渐增大 C．细线的上端在点时，细线对滑轮的作用力方向水平向左 D．细线的上端在点时，细线对滑轮的作用力大小等于 【答案】BD 【详解】A．上端沿着水平天花板从点缓慢地移动到点，物块处于平衡状态，则细线的拉力等于物块重力不变，故A错误； B．细线拉力不变，且两段细线的夹角变小，根据力的合成可知，细线对定滑轮的作用力逐渐增大，故B正确； C．细线的上端在点时，根据力的平行四边形定则可知，细线对滑轮的作用力方向斜向左下方，与水平方向夹角为15°，故C错误； D．细线的上端在点时，两段细线的夹角为120°，根据平行四边形定则可知，细线对滑轮的作用力，故D正确； 故选BD。 题型五 杆关联速度问题 【例5】汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，速率12m/s，，。当OA与AB垂直时，活塞的速度为（　　） A．7.2 m/s B．9 m/s C．12m/s D．15m/s 【答案】D 【详解】因OA与AB垂直，可知vA=12m/s将活塞B的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示，由几何关系有可得vBcosθ=vA 由几何关系得cosθ=0.8 可得vB=15m/s 故选D。 【变式5-1】如图所示，一固定斜面MN与水平面的夹角为α，斜面上有一质量为m的小球P，Q是一带竖直推板的直杆。现使竖直杆Q以速度v0水平向右做匀速直线运动，从而推动小球P沿斜面向上运动。小球P与直杆Q及斜面之间的摩擦均不计，直杆始终保持竖直状态，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　) A．小球P处于超重状态 B．小球P的速度大小为 C．斜面对小球P的弹力大小为mgcosα D．直杆Q对小球P的推力大小为mgtanα 【答案】D 【详解】AB．小球的实际速度沿斜面向上，将这一速度沿水平方向和竖直方向分解，小球的速度大小为 故小球P沿斜面向上匀速运动，没有处于超重状态，AB错误； CD．对P受力分析可知，P受到重力mg、杆向右的推力F以及斜面的支持力N。 根据平衡条件可得， 解得，，C错误，D正确。 故选D。 【变式5-2】如图所示.半径均为r的两光滑圆柱体A、B叠放在墙角，若用力推动水平地面上的圆柱体A向右运动，圆柱体B会沿竖直墙面向上运动。当圆柱体A的中心轴与竖直墙面的距离为时.圆柱体A的速度大小为v，此时圆柱体B的速度大小为（    ） A．v B． C． D． 【答案】D 【详解】接触面两侧物体的速度在垂直于接触面的速度投影量相等，如图 根据几何关系有 解得 故选D。 题型六 平抛运动规律的应用 【例6】高空抛物是一种不文明的行为，而且会带来很大的社会危害。若将高空飞出的物体视为做平抛运动，则下列说法正确的是（　　） A．楼层越高，物体下落的时间一定越长 B．楼层越高，物体落地的速度一定越大 C．楼层越高，物体抛出的水平距离一定越大 D．在相同的楼层以相同的速度抛出物体，越重的物体，落地速度越大 【答案】A 【详解】A．平抛运动中，竖直方向 楼层越高，下落时间t越长，A正确； B．落地速度 还与初速度有关，B错误； C．水平距离 还与初速度有关，C错误； D．落地速度与质量无关，D错误。 故选A。 【变式6-1】如图1所示是一家刀削面馆，门前安放着一个刀削面机器人。当开动机器时，随着机械臂轻快地挥动，一根根面条飞出，落进前方一个大圆锅中，短短二三十秒，就有了三个人的量。假设机器人每次削的面条质量相同，从同一位置依次削出的两块面条，分别落在水面上的A、B两点，若面条可视为质点，其运动可视为平抛运动，轨迹如图2所示，忽略空气阻力影响，下列说法正确的是（　　） A．落在B点的面条初速度比落在A点的初速度大 B．落在B点的面条的速度与水平方向的夹角比落在A点的大 C．落在B点的面条在空中运动的时间大于落在A点的面条 D．落在B点的面条空中运动的加速度比落在A点的面条大 【答案】A 【详解】CD．面条在空中做平抛运动，面条的加速度均为重力加速度；两落点的面条下落高度相同，根据，可知两落点的面条在空中运动的时间相等，故CD错误； A．水平方向根据 由于两落点的面条在空中运动的时间相等，落在B点的面条的水平位移较大，所以落在B点的面条初速度比落在A点的初速度大，故A正确； B．面条落点的速度与水平方向夹角的正切值为 由于落在B点的面条初速度较大，则落在B点的面条的速度与水平方向的夹角比落在A点的小，故B错误。 故选A。 【变式6-2】吹箭筒的特点是无声无光，便于携带，射击精准，我国丛林部队特种兵也配备了这种装备。如图甲所示，某战士斜向上吹出一支箭，若该箭最终落至凹坑内。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该箭在空中运动的加速度是变化的 B．该箭在升到最高点时速度为零 C．该箭在相同时间内速度变化量相同 D．该箭做的是变加速曲线运动 【答案】C 【详解】A．忽略空气阻力，该箭在空中只受重力，由牛顿第二定律可得加速度为重力加速度，加速度不变，A项错误； B．该箭升到最高点时竖直方向速度为零，但水平方向速度不为零，故在最高点时速度不为零，B项错误； C．该箭的加速度恒定，在相同时间内速度变化量相同，C项正确； D．加速度不变的曲线运动是匀变速运动，该箭做的是匀变速曲线运动，D项错误。 故选C。 题型七 与斜面相关的平抛运动 【例7】某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示 水滴从P到B做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度 竖直方向做自由落体运动，速度 因水柱垂直撞击倾角为的斜面，故撞击时速度方向与斜面垂直，即沿斜面方向的速度分量为零。将水平速度和竖直速度分解到沿斜面方向，水平速度沿斜面方向的分量为；竖直速度沿斜面方向的分量为，负号表示与斜面正方向相反。沿斜面方向合速度为零，有 代入得 化简解得 故选A。 【变式7-1】（多选）如图所示，倾角为的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，已知AB∶BC∶CD=5∶3∶1，由此可判断（　　） A．A、B、C处三个小球从抛出至落到D点运动时间之比为3∶2∶1 B．A、B、C处三个小球落在斜面上时的速度与初速度的夹角之比为1∶1∶1 C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为10∶9∶6 D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 【答案】AB 【详解】A．由几何关系可得三个小球下落的高度之比为9：4：1，由 可知 则A、B、C处三个小球从抛出至落到D点运动时间之比为3∶2∶1，故A正确； B．因为三个小球位移的方向相同，速度偏向角正切值一定是位移偏向角正切值的2倍，所以速度与初速度之间的夹角一定相等，比值为1：1：1，故B正确； C．因三个小球下落的水平位移之比为9：4：1，时间之比为3：2：1，水平方向有x=vt可得初速度大小之比为3：2：1，故C错误； D．最后三个小球落到同一点，故三个小球的运动轨迹不可能在空中相交，故D错误。 故选AB。 【变式7-2】（多选）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，g取10m/s2。则（　　） A．运动员在a处的速度大小为10m/s B．运动员从a处开始到在空中离坡面的最大距离时的飞行时间为1s C．运动员在空中离坡面的最大距离为 D．运动员运动到离坡面最远处时的速度大小为20m/s 【答案】BCD 【详解】A．设竖直方向的位移为y，水平方向的位移为x。已知ab间的距离为，斜坡与水平方向的夹角为，则竖直方向位移为 运动员竖直方向做自由落体运动，根据自由落体运动位移公式 可得运动员的运动时间为 水平方向位移为 又因为运动员水平方向做匀速直线运动，由 可得运动员在a处的速度大小为，故A错误； BD．当运动员从a处开始到在空中离坡面的距离最大时，此时运动员的速度方向恰好和坡面平行，此时速度方向偏转了。设此时运动员的实际速度为，竖直方向的分速度为，则根据几何关系有 解得运动员运动到离坡面最远处时的速度大小为 同理有 解得运动员从a处开始到在空中离坡面的最大距离时的飞行时间为，故BD正确； C．将运动员的运动沿垂直斜面方向和平行斜面方向进行分解，则可知在垂直斜面向上运动员做匀减速直线运动，离斜面最远的距离也是垂直斜面向上速度减为零的地方。将初速度分解到垂直斜面的方向，可得 以垂直斜面斜向上为正方向，将重力加速度分解到垂直斜面的方向，可得 设运动员离坡面的最大距离为h，在垂直斜面方向上根据匀变速直线运动的速度位移公式有 代入数据解得，故C正确。 故选BCD。 题型八 与曲面相关的平抛运动 【例8】如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 【答案】B 【详解】A．竖直方向上，根据 可得 可知小球竖直位移越大，运动时间越长，故三个小球平抛运动时间的大小关系为 故A错误； B．三个小球下落相同高度的情况下，C小球抛得最远，A小球拋得最近，由x=vt知平抛初速度满足 故B正确； C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故落在C点的小球，在C点的瞬时速度不可能与C点的切线垂直，故C错误； D．落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为，根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角的关系 速度与水平方向夹角大于60°，故D错误。 故选B。 【变式8-1】如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则（　　）    A．圆环的半径为R= B．小球从P点运动到Q点的时间 C．小球从P点到Q点的速度变化量 D．小球运动到Q点时的速度大小为vQ= 【答案】A 【详解】D．以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，小球运动到Q点时的速度大小为 故D错误； B．小球在Q点的竖直方向的速度为 小球从P点运动到Q点的时间 故B错误； A．小球水平方向做匀速直线运动，有 圆环的半径为 故A正确； C．小球从P点到Q点的速度变化量 故C错误。 故选A。 【变式8-2】如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（　　） A．a球一定先落在半圆轨道上 B．b球一定先落在斜面上 C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a球可能垂直落在半圆轨道上 【答案】C 【详解】ABC．将半圆轨道和斜面轨道重叠在一起 可知若小球初速度合适，两小球可同时落在距离出发点高度相同的交点A处，改变初速度，可以先落在半圆轨道，也可以先落在斜面上，故AB错误，C正确； D．若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误。 故选C。 题型九 斜抛运动 【例9】如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则 A．两次击中墙时的速度相等 B．沿1轨迹打出时的初速度大 C．沿1轨迹打出时速度方向与水平方向夹角小 D．从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动时间长 【答案】BC 【详解】AB．由于两次都垂直撞在竖直墙上的同一点，说明两次撞到墙上时竖直方向的速度均为零，可以逆向将原运动看成从同一地点以不同速度将球两次水平抛出，则抛出时的初速度即是两次击中墙时球的速度，由于两球击出时的高度相同，因此球两次在空中运动的时间相等，由于水平方向的位移，根据可知，沿1轨迹打出时的初速度大，两次击中墙时的速度不相等，故A错误，B正确； C．设球打出时速度方向与水平方向夹角为，则有 两次竖直方向的速度 水平方向的速度 故有 即沿1轨迹打出时速度方向与水平方向夹角小，故C正确； D．根据上述分析可知，从打出到撞墙，两球在空中运动时间相等，故D错误。 故选BC。 【变式9-1】甲图是篮球运动员正在进行投篮训练的示意图，某次投篮情景如图乙，A是篮球的投出点， B是篮球的投入点。已知篮球在A点的初速度为，与水平方向的夹角为，AB连线与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)篮球在飞行过程中距A点的最大高度h； (2)离AB连线最远时的速度大小v； (3)AB之间的距离s。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）篮球在飞行过程中距 A点的最大高度为 （2）离AB连线最远时，篮球速度与AB平行，由于篮球在水平方向上做匀速直线运动，则 得 （3）水平方向 竖直方向 又 得 AB间距离为 得 【变式9-2】如图所示，圆心为O的半圆形轨道ABC固定在水平地面上的C点，AB是水平直径，C是最低点，D是水平地面上的一点且在B点的正下方，圆弧轨道的E点有个小孔。让小球甲从地面上的M点、小球乙从地面上的N点斜向上抛出（甲、乙均视为质点），甲、乙均恰好经过A点，甲落到C点，乙通过E处的小孔（无碰撞）运动到D点，忽略空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙在A点的速度大小之比为 B．乙在E点速度的反向延长线经过O点 C．甲、乙在空中的运动时间均为 D．乙在N点的速度与水平方向的夹角为45° 【答案】D 【详解】A．斜抛运动具有对称性，把斜抛运动看成两个对称的平抛运动，由图像看出，甲、乙从A点到落地，平抛运动的高度相等，运动时间t相等，由平抛规律可知，整理得 水平位移之比为，由水平方向位移 故甲、乙运动时间相同，故在A点的速度大小之比为，故A错误； B．乙球从A到E点做平抛运动，根据平抛运动规律速度的反向延长线过水平位移中点，而O点是AB的中点，故乙在E点速度的反向延长线不可能经过O点，故B错误； C．根据运动的对称性可知，斜抛运动时间是平抛运动时间的2倍，则两个斜抛运动时间均为，故C错误； D．乙在N点的速度与水平方向的夹角设为，根据对称性，乙在D点的速度与水平方向的夹角也为，根据平抛运动规律，故乙在D点的速度反向延长线经过O点，则 解得，故D正确。 故选D。 题型十 抛体运动相遇问题 【例10】如图所示，A、B两小球置于同一竖直线上不同高度处，如果将A球以速度v1、B球以速度v2水平抛出（前一个球落地后才抛另一个球），落地前两球轨迹均经过P点。现在将A、B两球同时水平抛出，抛球高度和速度不变，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．v1>v2 B．两球在P点相遇 C．落地前两球在竖直方向上的距离越来越大 D．落地前两球在竖直方向上的距离保持不变 【答案】D 【详解】A．根据平抛运动， 解得 两球到点的水平距离相等，小的初速度大，，A错误； B．根据 解得 两个小球到点的高度不同，到达点的时间不同，两球不能相遇，B错误； CD．根据 可知两球在相同时间内下落相同的距离，所以落地前两球在竖直方向上的距离保持不变，故C错误，D正确。 故选D。 【变式10-1】（多选）如图所示，某次空中攻防的军事演习中，攻方战机在地面M点的正上方H=2000m高处以水平速度v1=1000m/s发射攻击弹轰炸地面目标P点。在M点右方水平距离x0=10000m地面上的N点防守方地面拦截系统在攻击弹发射2s后以速度v2竖直向上发射拦截弹，并成功拦截。若不计空气阻力，g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．攻方战机应在距离P点20000m处发射攻击弹 B．攻击弹被拦截时速度大小为1000m/s C．攻击弹在距地面1500m高度被拦截 D．地面拦截系统发射拦截弹的速度v2=227.5m/s 【答案】CD 【详解】A．攻击弹做平抛运动，竖直方向有 解得攻击弹落地时间 攻击弹距地面目标P点水平位移 攻击弹距地面目标P点距离，故A错误； B．攻击弹被拦截时 解得攻击弹被拦截时运动时间 速度大小，故B错误； C．攻击弹被拦截时下落 距地面高度，故C正确； D．拦截弹上升时间 拦截弹竖直上抛，根据 解得，故D正确。 故先CD。 【变式10-2】（多选）如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端点水平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端点斜向上射出。经过一段时间后两黄豆在点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。若点在点正下方，点与点位于同一水平线上，不计空气阻力，可将黄豆看成质点，则下列说法正确的是（   ） A．两黄豆相遇时乙的速度与水平方向的夹角的正切值为甲的 B．甲黄豆在点的速度与乙黄豆在最高点的速度不相等 C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍 D．乙黄豆相对于点上升的最大高度为长度的 【答案】AD 【详解】AD．设PM = y，MN = x，设运动时间为t ，对甲有 根据平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点，则有 对乙有，根据斜抛的对称性可知竖直距离为 根据平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点，则有 联立可得 可知两黄豆相遇时乙的速度与水平方向的夹角的正切值为甲的，乙黄豆相对于点上升的最大高度为长度的；故AD正确； B．甲乙二者水平方向上做匀速直线运动，位移和时间均相同，则水平速度相等，因此甲黄豆在P点的速度与乙黄豆在最高点的速度相等，故B错误； C．甲乙黄豆相遇时 即 可得 甲黄豆的合速度为 乙黄豆的合速度为 可知两黄豆相遇时甲的速度大小不为乙的两倍，故C错误。 故选AD。 题型十一 平抛运动的临界与极值问题 【例11】如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道BC竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，AB、AC分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的D点，重力加速度为g，小球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若，小球运动到D点时速度与水平方向的夹角为，则有 B．若小球从A到D运动时间为，则 C．改变的大小，小球落到圆弧BC上的速度最小值为 D．改变的大小，小球落到圆弧BC上速度的最大值为 【答案】C 【详解】A．设，则平抛运动位移的偏转角为 当速度的偏转角为时，根据平抛运动的推论，可得 则 故A错误； B．小球从A到D，由平抛运动的规律可得， 由几何关系可得 综合解得 故B错误； CD．若让小球从A点以不同初速度水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点P点时的速度为 结合，， 可得 由数学知识可得 则的最小值为，故D错误，C正确。 故选C。 【变式11-1】如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出，恰好过中间网的上边沿落在点。已知，网高，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球的初速度大小为 B．网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为 C．若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内 D．若击球高度低于（仍大于），应减小击球速度，才能让球落在对方界内 【答案】B 【详解】AB．网球做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 联立解得 则网球在中间网左、右两侧的水平距离之比 故A错误，B正确； C．若网球的初速度变为原来的两倍，则网球落地时的水平位移 网球出界，故C错误； D．若击球高度低于，则网球运动到与网等高位置的时间变短，若再减小击球速度，网球会落在网前，故D错误。 故选B。 【变式11-2】如图所示，质量的一只长方体形空铁箱在水平拉力F作用下沿水平面向右匀加速运动，铁箱与水平面间的动摩擦因数。有一质量的小木块靠在铁箱后壁上，恰好能与铁箱保持相对静止而不下滑。木块距箱底的高度，与铁箱内壁间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取。求： （1）铁箱对木块的弹力大小； （2）水平拉力F的大小； （3）当铁箱的速度为时撞到障碍物，此时立即撤去力F且铁箱以原速率反弹。若木块恰好落到铁箱的右下角，则铁箱的长度是多少。      【答案】（1）；（2）138N；（3） 【详解】（1）对木块在竖直方向有 又有 解得 由牛顿第三定律得木块对铁箱的压力大小 （2）对木块，在水平方向由牛顿第二定律有 解得 对铁箱和木块整体有 解得 （3）当铁箱的速度为时撞到障碍物后，铁块向右做平抛运动，运动时间为 解得 水平方向的位移为 解得 铁箱向左做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得 则加速度大小为 经过的速度为 解得 此过程的位移为 解得 所以铁箱的长度为 题型十二 实验：探究平抛运动的特点 【例12】如图为利用平抛运动规律测量电动抽水器流量（每秒排出的液体体积）的实验装置。实验过程如下： （1）将水桶和薄底水杯放在同一水平桌面上。测量抽水器出水管内径（直径）d，调节管口方向，使其 （选填“水平”“竖直”）。启动抽水器后水均匀从管口水平射出。 （2）水柱离开管口落入水杯，测量管口距落点间的水平距离x，管口距桌面高度h。 （3）当地重力加速度为g，已知流量的表达式为（其中S为水流的横截面积，v为水流的速度大小），则该抽水器的流量Q= 。（用符号x、h、g、d表示） （4）调整抽水器功率，并靠近水桶平移水杯，使水柱重新落入水杯，则水从管口到落点的时间 。重新装满同一杯水所需的时间 。（均选填“变长”、“不变”或“变短”） （5）为了验证流量测量结果的正确性，需设计另一种实验方案；请简要描述要测的物理量，并用相应物理量字母表示该抽水器流量Q的表达式： 。 【答案】 水平 不变 变长 【详解】（1）[1]为保证水做平抛运动，抽水机抽出的水的初速度要沿水平方向，故应调节管口，使其水平； （3）[2]水做平抛运动，则在水平方向 在竖直方向 该抽水器的流量为 （4）[3] 由平抛运动规律有，竖直方向 解得 水下落的高度不变，则水从管口到落点的时间不变； [4]水在空中的水平位移减小，因此出水速度减小，即调小抽水器功率则流量减小，则重新装满同一杯水所需的时间变长； [5]实验方案： 1、取一个量筒，用抽水机抽水时间为t； 2、读出量筒中水的体积为V； 计算可得，抽水机的流量为 【变式12-1】某学习小组利用手机和刻度尺研究小球做平抛运动的规律。他们用手机拍摄功能记录小球抛出后位置的变化，每隔时间T拍摄一张照片。 （1）小球在抛出瞬间拍摄一张照片，标记小球位置为A（抛出点），然后依次连续拍下两张小球照片并标记位置B和C； （2）经测量，AB、BC两线段的长度分别为、； （3）为了尽可能减小空气阻力的影响，小球应选择： （填选项字母） A．实心金属球    B．空心塑料球    C．实心塑料球 （4）若忽略空气阻力， ①已知当地重力加速度为g，BC之间竖直高度为 （用g、T表示）； ② （选填“=”或“>”或“<”）； ③如图，若AB和BC的夹角为，则小球从A到C的平均速度大小 （用、T、、表示）； ④在③问的基础上，已知小球到B点的速度大小为，则 （选填“等于”或“不等于”） 【答案】 A > 等于 【详解】（3）[1]为了尽可能减小空气阻力的影响，小球应选择密度大，体积小的小球，故A正确。 故选A。 （4）[2]由自由落体运动规律 所以BC之间竖直高度为 [3]设AB与水平方向的夹角为θ1，BC与水平方向的夹角为θ2，易得，则 所以 [4]由余弦定理得 则小球从A到C的平均速度大小 [5]在B点，竖直方向上 水平方向上 所以 而 所以 【变式12-2】如图所示是一种研究平抛运动的实验装置。小球抛出点在水平桌面的边缘处，忽略空气阻力，当地重力加速度为。 （1）把泡沫板在距离桌面竖直高度为处水平固定（为泡沫板上表面到桌子上表面的竖直高度），然后让小球从斜面上某点由静止滚下，小球做平抛运动落在水平的泡沫板上，在泡沫板上留下一个点痕迹，测出平抛运动的水平位移为。 （2）把水平泡沫板与桌面上表面竖直距离调整为，重复步骤（1），从同一位置静止释放小球，测出小球平抛运动的水平位移为。 （3）在测量误差允许范围内 ，则表明"把平抛运动分解为竖直方向的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动"是正确的。 （4）多次重复步骤（1），得到多组和的数据，根据这些数据，在坐标上画出平抛运动的抛物线，为小球平抛轨迹上的不同位置，为坐标原点，从图线上看，段或段的时间 s，平抛运动的初速度 m/s。 【答案】 0.1 2.2 【解析】【小题1】由平抛运动规律可知， 第二次实验，有， 在误差允许的范围内，则能表明“把平抛运动分解为竖直方向的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动”是正确的。 【小题2】[1]在竖直方向上做自由落体，满足 即 解得。 [2]水平方向上有 故。 基础巩固通关测 1．关于运动和力，下列说法正确的是（　　） A．物体受到的力不为恒力，物体一定做曲线运动 B．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变 C．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变 D．当物体受到与初速度方向不在同一条直线的合力作用时，物体一定做曲线运动 【答案】D 【详解】A．物体受到的力不为恒力，但若该力方向始终与速度方向共线，物体仍做直线运动，A错误； B．若变化的合力方向始终与速度方向垂直（如匀速圆周运动），速度大小不变，B错误； C．当合力不垂直于速度方向时，沿速度方向的分力会使速度大小改变，因此速度大小不可能一直不变，C错误； D．当合力方向与初速度方向不共线时，物体速度方向会不断变化，物体一定做曲线运动，D正确； 故选D。 2．如图所示，飞镖在空中做曲线运动，其速度为，所受合力为，下列图示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】飞镖的速度应沿轨迹的切线方向，所受合外力应指向运动轨迹的凹侧。 故选D。 3．如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，，，则初速度的大小和恒力F的大小分别为（　　） A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N 【答案】D 【详解】小球做类平抛运动，运动的加速度为 小球沿初速度方向的位移为 沿恒力方向的位移为 根据几何关系有， 其中，联立解得， 故选D。 4．如图所示，一足够长且不可伸长的轻绳的一端系一物体甲，另一端系一物体乙，甲套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为L。现将甲从与定滑轮等高的O处由静止释放，当甲沿直杆下滑到如图中P处时乙向上运动的速度大小为v，OP的距离也为L，空气阻力不计，定滑轮大小及质量可忽略，则此时甲的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示 甲、乙两物体沿绳方向速度分量大小相等，可得 根据几何关系可得 解得 故选C。 5．有一架正在飞行的无人机，其在水平方向（以水平向右为x轴正方向）和竖直方向（以竖直向上为y轴正方向）的速度—时间图像分别如图甲、乙所示。则在0~t2时间内，该无人机的运动轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，在时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在时间内合外力为零，做匀速运动，是一条倾斜直线；在时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。 故选A。 6．一小船（可视为质点）渡河，河宽90m，河水的流速与船离河岸的距离d变化的关系如图所示，船在静水中的速度，若要使船以最短的时间渡河，则（　　） A．船在行驶过程中，合速度方向与河岸垂直 B．船运动的轨迹是直线 C．船渡河的最短时间是18s D．船在河水中的最大速度是5m/s 【答案】D 【详解】A．若要使船以最短的时间渡河，则船头始终与河岸垂直，合速度方向与河岸不垂直，故A错误； B．由于水流速度变化，船头始终与河岸垂直，所以合速度方向变化，运动的轨迹不可能是直线，故B错误； C．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即，故C错误； D．由题图可知船在河水中的最大速度为，故D正确。 故选D。 7．如图，军事演习中战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后在两处释放炸弹，炸弹分别击中山坳两侧坡体的点（图中位置不代表的实际位置）。若释放两颗炸弹的时间间隔小于炸弹击中点的时间间隔，不计空气阻力。下列判断正确的是（    ） A．点离地高度等于点离地高度 B．点离地高度大于点离地高度 C．间的距离等于间的水平距离 D．间的距离大于间的水平距离 【答案】B 【详解】AB．若点离地高度等于点离地高度，则若释放两颗炸弹的时间间隔等于炸弹击中点的时间间隔；由于，所以击中Q点的炸弹在空中运动时间长，由下落高度，可知点离地高度大于点离地高度，故A错误，B正确； CD．水平方向，由于，所以间的距离小于间的水平距离，故CD错误。 故选B。 8．如图所示，一定长度的斜面与水平面相连接，在斜面的顶端以初速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．若小球只落在水平面上，则越大，小球在空中飞行时间越长 B．若小球只落在斜面上，则越小，小球在空中飞行时间越短 C．若小球只落在斜面上，则越小，小球落在斜面上时速度与斜面的夹角越小 D．若小球只落在水平面上，则越大，小球落在水平面上时速度与水平面的夹角越大 【答案】B 【详解】AD．若小球只落在水平面上，则下落高度一定，根据，可知小球在空中飞行时间一定；小球落在水平面上时速度与水平面的夹角满足，可知越大，越小，故AD错误； BC．若小球只落在斜面上，设斜面倾角为，则有 可得，小球落在斜面上时速度与水平方向的夹角满足 可知越小，小球在空中飞行时间越短，但小球落在斜面上时速度与斜面的夹角不变，故B正确，C错误。 故选B。 9．甲图是从古代延续至今的投壶运动，乙图是一位投掷者在同一高度的A、B两个不同位置沿水平方向各射出一支完全相同的箭，箭都插入壶中。忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，则两支箭（　　） A．在空中运动时间相同 B．射出时的初速度相同 C．插入壶中瞬间速度大小相同 D．在空中运动的加速度不同 【答案】A 【详解】AB．根据平抛运动规律， 可知，因平抛运动h相同，则时间t相同，B处抛出的箭水平位移较大，则B处抛出的箭初速度较大，故A正确，B错误； C．插入壶中瞬间速度大小为 B处抛出的箭初速度较大，插入壶中的速度较大，故C错误； D．箭在空中运动过程中只受重力，加速度为重力加速度，二者相同，故D错误。 故选A。 10．各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移—时间图像和y方向的速度—时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=2s时货物的速度大小为4m/s B．货物的运动轨迹是一条直线 C．货物所受的合力大小为160N D．0~2s这段时间内，货物的合位移大小为m 【答案】D 【详解】A．货物在x方向做匀速运动，速度为 y方向做匀加速运动，加速度为 t=2s时vy=3m/s，则货物的速度大小为，A错误； B．水平方向匀速运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动，则合运动为曲线运动，即货物的运动轨迹是一条曲线，B错误； C．货物所受的合力大小为F=ma=may=150N，C错误； D．0~2s这段时间内，y方向的位移为 货物的合位移大小为，D正确。 故选D。 11．如图所示，一串相同的汽车以等速沿宽度为的直公路行驶，每车宽为，头尾间距为，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以车为参考系，则人以车速向左运动，临界情况对应人按图所示虚线方向走过，如图 为人安全穿过马路的最小速度，则 故所需时间为 故选B。 12．甩抛尕，俗称投石索。甩抛尕原是为打仗需要和放牧需要而产生的，这一古老的冷兵器，在新石器时代晚期便已出现，现在成为体育活动项目。投石索的制作相对简单，通常由绳索和手柄组成。绳索的一端套在手上，绳子中间有个绳兜，用来包住石头，另一端也用手捏住。使用时，通过快速旋转绳索，然后突然将捏住的绳子一端释放，就可以将石头投掷出去。投石索的射击距离最远可以达到200米，这在野外生存中无疑是一项非常实用的技能，无论是狩猎还是自卫，投石索都能发挥巨大的作用。其结构和使用示意图如下：如果在一次甩抛尕比赛中，运动员用的绳子长（绳子对折后石头到绳子端的长度），运动员握住绳子端，让石头在距水平地面高的水平面内做匀速圆周运动，转动的角速度，某时刻运动员松开绳子一端，石头沿圆周的切线方向飞出，不计空气阻力，，求：石头落地时飞行的水平距离。 【答案】60m 【详解】石头飞出后在空中做平抛运动，其抛出的初速度大小为                            石头飞出后竖直方向上                   解得石头在空中运动的时间                            则石头落地时飞行的水平距离 13．2024年11月12日开幕的珠海航展上，乙型空天战机“白帝”的展出引发了众多航天爱好者的热切关注，在某次实践活动中，某小组同学利用AI自动驾驶航模模拟了一场战斗场景。“白帝”空天战机正在的“高空”以的速度在水平方向做匀速直线运动，发现下方水平距离为处有一“飞舰”正在水平地面上以的速度同向匀速前行，战机立即释放一颗“空空导弹”进行攻击。已知时导弹相对战机无初速度释放，释放后立即启动自带推进器提供水平方向的加速度，推进器在时停止工作，导弹只在重力作用下继续运动。若导弹的有效击中范围为落地点周围以内，战机、导弹和“飞舰”均看成质点，不计空气阻力，，试求： (1)导弹落地前瞬间的速度大小和方向； (2)判断“飞舰”是否被有效击中，并说明理由； (3)若“飞舰”在时侦测到导弹攻击，立即从“飞舰”上发射一颗初速度大小为（相对于地面）的导弹进行拦截，假设拦截导弹发射后只在重力作用下运动，且与对方导弹发生撞击视为拦截成功，则拦截导弹的初速度与水平方向的夹角应为多少？ 【答案】(1)，与水平方向夹角满足 (2)被有效击中，导弹落地点与“飞舰”的水平距离为 (3) 【详解】（1）导弹释放后的速度大小为，做曲线运动，在水平方向先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动，竖直方向做自由落体；根据运动学规律在竖直方向 解得 落地前瞬间，竖直方向有 水平方向有 故落地前瞬间的速度大小为 与水平方向夹角满足 （2）根据（1）中分析可知，导弹在整个过程中的水平位移为 飞舰在这段时间内做匀速运动， 此时导弹落地点距离“飞舰”为 在导弹的有效击中范围以内，故“飞舰”被有效击中。 （3）设拦截导弹的发射初速度与水平方向夹角为，并在发射后拦截成功，在时，导弹与“飞舰”在水平方向间距为 竖直方向间距为 若要拦截成功，水平方向需要满足 竖直方向需要满足 联立上式可解得 14．如图所示，窗子上、下沿间的高度差，墙的厚度，某人在离墙壁、距窗子上沿处的P点，将可视为质点的小物体以速度v水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，取。求v的取值范围。 【答案】 【详解】小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大 ， 代入解得； 小物体恰好擦着窗子下沿左侧穿过时速度v最小 ， 解得 故v的取值范围是 能力提升进阶练 1．（2025·河南·模拟预测）某跑酷运动员从水平平台跳到右边的曲面，运动过程可以简化如下：运动员离开平台的初速度水平，速度大小为v0=2m/s，平台离地面高度h=4m，平台边沿正下方水平地面O点为坐标原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴建立坐标系，右侧曲面在竖直平面内截面曲线满足方程y=x2，如图所示。已知重力加速度为g=10m/s2，不计空气阻力，运动员可看作质点，则落到曲面的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设落点位置坐标为（，），根据平抛运动规律有， 又 联立解得， 故选A。 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，在斜面底端斜向上抛出一个小球，小球落到斜面上时速度刚好沿水平方向，不计小球大小，不计空气阻力，小球从抛出到落到斜面上运动过程中的水平位移x、竖直位移y、水平速度、竖直速度分别随时间t变化规律正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．小球水平方向做匀速直线运动，水平速度不变，水平位移为，故AB错误； C．竖直方向做匀变速直线运动，可得 图像为开口向下的抛物线，故C正确； D．竖直方向做匀减速直线运动至末速度为零，故D错误。 故选C。 3．（2025·吉林·一模）如图所示为某生态区的水景喷泉和灯光秀，水流从喷嘴斜向上喷出。现制作一个大小为实际尺寸的的模型展示效果，忽略空气阻力，则水流实际的初速度为模型中水流喷出速度的多少倍（　　） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【答案】B 【详解】设水流喷出的方向与水平方向的夹角为，水流实际的初速度大小为，水流上升的高度为，模型中水流喷出的速度大小为，则有， 两式相比得 故选B。 4．（2025·甘肃·模拟预测）行进间接传球是篮球训练的重要项目，如图所示，两运动员同时起跑并保持相同的速度匀速前行，运动中甲正对着乙把篮球传给对方，乙接球后再以同样的方式传给甲，甲、乙接传球的高度相等，且甲、乙把篮球传出时篮球速度与甲乙连线夹角相等，篮球可看成质点，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．篮球在空中做平抛运动 B．篮球在空中做匀速运动 C．运动员速度越大，篮球从甲传到乙的时间越短 D．运动员速度越大，篮球从甲传到乙时位移越大 【答案】D 【详解】AB．篮球离开手时的瞬间速度方向斜向上，篮球在空中做斜抛运动，故AB错误； C．篮球离手瞬间相对运动员的速度方向与两者连线呈一定角度向上，由题意可知篮球在空中运动时，篮球速度沿两者连线方向不变，故篮球从甲传到乙的时间与从乙传到甲的时间相等，与运动员速度无关，故C错误； D．甲乙之间位移恒定，运动员速度越大，篮球在运动员前行方向位移越大，故篮球从甲传到乙时位移也越大，故D正确。 故选D。 5．（2025·山东·模拟预测）如图，一条小鱼从平静的水面跃出，初速度的方向与水面的夹角为，小鱼相对于水面跃起的最大高度为，小鱼看作质点且只受重力作用，重力加速度，，，则小鱼跃出的初速度的大小为（　　） A．5m/s B．6m/s C．10m/s D．12m/s 【答案】C 【详解】竖直方向有 可得小鱼跃出的初速度的竖直分量为 则小鱼跃出的初速度的大小为 故选C。 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（P、Q分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设水龙头最低点离地面的高度为h，水龙头的半径为R，水滴距离地面的高度为，初速度为，则竖直方向，有 水平方向，有 解得，其中 由于y均匀增加时，x不是均匀增加，且x增加得越来越慢，所以俯视的形状为D图。 故选D。 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）骑行是一种健康自然的运动方式。如图所示，一位骑行爱好者骑着车轮半径为的自行车，在平直路面上以的速度匀速行驶。忽略空气阻力，重力加速度大小，自行车未安装挡泥板，当自行车经过有水路面时，轮胎上的水飞溅后离水平地面的最大高度约为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示 水滴离开车轮的速度的竖直分量为，则水滴上升的最大高度 当时高度最大，最大值为。 故B正确。 8．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示竖直放置的圆环半径为R，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，不计空气阻力，从下列哪个位置沿x轴正方向水平抛出小球（可以看成质点）有可能垂直打到圆环上（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若想平抛后垂直打到圆环上，则速度的反向延长线会经过圆心。根据平抛运动的推论，速度的反向延长线会过水平位移的中点。 若在x轴上的某点抛出，抛出点只能在x轴的负半轴；若抛出点在y轴上，则只能在y的负半轴；满足条件的只有A选项。 故选A。 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）我国的抛石机最早出现于战国时期，通过人在远离抛石机的地方牵拉连在横杆上的梢抛出石块。如图所示，某次抛石过程简化如下，从Q点抛出一石块，一段时间后，石块落在城楼上的P点，此时石块速度v和P、Q点的连线与水平方向夹角均为30°，已知v=15m/s，重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．石块在空中运动的总时间为4s B．石块运动到的最高点与Q点的高度差为45m C．石块到P、Q连线的距离最远时，速度大小为15m/s D．石块到P、Q连线的最远距离为 【答案】C 【详解】A．将石块的运动分解为沿连线分运动和垂直连线分运动；垂直连线上，根据对称性可知，石块在点垂直连线的分速度为 则石块在空中运动的总时间为，故A错误； B．石块在点沿连线的分速度为 则石块在点的竖直分速度为 则石块运动到的最高点与Q点的高度差为，故B错误； C．石块到P、Q连线的距离最远时，垂直连线的分速度为0，所用时间为 此时石块的速度大小为，故C正确； D．石块到P、Q连线的最远距离为，故D错误。 故选C。 10．（2025·湖北武汉·一模）北宋军事著作《武经总要》中记载：“单梢砲，……，四十人拽，一人定放，放五十步外，石重二斤。”（单梢砲……需要四十人一齐拉拽，由一人专门负责瞄准和发射，可以将重达二斤的石弹，抛射到五十步外。）已知“一步”约为，重力加速度大小，不计空气阻力，假设石弹抛射的初速度方向与水平面夹角为，抛射的起点和落点在同一水平面上，则石弹抛射的初速度约为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛射到五十步外，已知“一步”约为，则水平方向上运动的距离为 假设初速度为v，运动时间为t，则竖直方向上的速度为 则 水平方向上的速度为 则 解得 其中B选项数据接近，故B正确。 故选B。 11．（2025·山东济南·一模）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（　　） A．他们飞行时间之比为 B．他们飞行的水平位移之比为 C．他们在空中飞行时离雪坡面的最大距离之比为1：3 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 【答案】B 【详解】A．根据平抛运动规律有 可知t与成正比，故他们飞行时间之比为，故A错误； B．他们飞行的水平位移之比为，故B正确； C．将运动沿斜面方向与垂直斜面方向分解，则跳雪爱好者在空中飞行时离雪坡面的最大距离 可知与成正比，故他们在空中飞行时离雪坡面的最大距离，故C错误； D．设落到雪坡上的瞬时速度方向与水平方向的夹角为α，根据平抛运动规律有 可知α与初速度无关，所以他们落到雪坡上的瞬时速度方向相同，故D错误。 故选B。 12．（2025·湖南邵阳·三模）利用传感器和计算机可以方便地描出做平抛运动的物体的轨迹。某实验小组利用其来探究平抛运动的特点，设计原理图如图甲所示，物体A从O点水平抛出做平抛运动，它能够在竖直平面内向各个方向同时发射超声波脉冲和红外线脉冲。在它运动的平面内安放着超声-红外接收装置B。B盒装有、两个超声-红外接收器（处于O点正下方），并与计算机相连。、各自测出收到超声脉冲和红外脉冲的时间差，并由此算出它们各自与物体A的距离，进而确定物体A的位置，通过计算机可以即时给出A的坐标。试回答下列问题： (1)为了使计算机描出的物体做平抛运动轨迹更加准确，物体A应挑选（　　） A．体积大的木球 B．体积小的钢球 C．体积小的木球 (2)如图甲所示，某实验小组让物体A在图示位置同时发射超声波脉冲和红外线脉冲，以抛出点O为坐标原点建立坐标系，若还测出了O点到、的距离，重力加速度未知，则由题中条件可以求出（　　） A．物体A的初速度 B．物体A的位置坐标 C．物体A的运动时间 D．物体A此时的速度方向 (3)以物体A的初速度方向为轴方向，竖直向下的方向为轴方向，在某次实验中计算机描出的平抛运动的轨迹如图乙所示，数据的采集频率为25Hz。由图乙轨迹图线分析可知，物体A平抛的初速度大小为 （结果保留2位有效数字）；该实验测得当地的重力加速度偏小，可能的原因是 。 【答案】(1)B (2)BD (3) 1.5/1.6/1.7 受空气阻力 【详解】（1）为减小空气阻力对平抛运动的影响，物体应选择体积小、密度大的材质。钢球密度大、体积小，空气阻力相对重力可忽略，故选B。 （2）B．设A点坐标为（x，y），由几何关系可得， 由题意可知，、、、均已知，联立可解得x、y，即可确定物体A的位置坐标，B正确； AC．由平抛位移公式可得， 由于重力加速度g未知，故无法求得运动时间t及初速度v0，AC错误； D．由速度偏角公式可得 由位移偏角公式可得 对比可得 故可确定物体A此时的速度方向，D正确。 故选BD。 （3）[1]数据的采集频率为25Hz，时间间隔为 水平方向为匀速直线运动，图中相邻两个时间间隔内的水平位移为，则初速度 [2]该实验测得当地的重力加速度偏小，原因可能是物体受空气阻力，竖直方向加速度小于。 13．（2025·河南·模拟预测）为研究小球斜上抛运动的规律，某兴趣小组用手机拍摄了一段小球斜上抛运动视频，图甲为利用Tracker视频分析软件按帧获取的小球位置。取运动过程的某点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立坐标系。经软件分析得到实际位置坐标、图像及对应拟合曲线方程，如图乙所示。 (1)由图乙可得，小球的加速度大小为 ，小球在原点处速度与水平方向夹角的正切值为 ； (2)帧率表示视频在1s内记录的静止画面数量，单位为赫兹。Tracker视频分析软件是按视频的帧率来获取小球的位置，图乙中描绘的点为软件捕获的每帧小球实际位置坐标随时间的变化关系，由此可以判断该视频的帧率最接近______。 A．20Hz B．30Hz C．60Hz D．120Hz 【答案】(1) 9.8 2.6 (2)B 【详解】（1）设小球的初速度为，与水平方向的夹角为 小球竖直方向做竖直上抛运动 水平方向做匀速直线运动 水平方向的拟合方程 因此 联立解得 结合拟合方程 则有， 解得重力加速度 小球在原点处速度与水平方向夹角的正切值为 （2）由图乙可知，记录的相邻点迹之间的间隔数为18； 所用的时间 频率为 故选B。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $