第二章 有理数及其运算 单元回顾与思考 课件-2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第二章 有理数及其运算 单元回顾与思考 2024版北师大数学七年级数学上册 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 教学设计的基本环节： 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 1.清晰掌握有理数的概念（包括正负数、相反数、绝对值、数轴）及分类,明确相关概念间的区别与联系.​ 2.熟练记忆有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则,准确理解运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）的适用场景.​ 能快速、准确进行有理数的混合运算,熟练处理符号问题与运算顺序,提升运算正确率与速度.​ 能运用有理数运算解决实际问题（如温度变化、路程计算、利润核算等）,学会将实际问题转化为数学模型. 培养数形结合思维（如利用数轴分析有理数关系）与逻辑推理能力,提升数学抽象素养；​ 养成严谨的运算习惯与规范的书写格式,增强面对复杂问题的耐心与解决问题的信心,发展数学核心素养. 知识网格 请你构思一个生活中的场景,使其中尽可能多地包含负数、数轴、绝对值、有理数的运算等内容. 举例说明你是怎样获得有理数加法或减法的运算法则的. 举例说明有理数的运算与小学学过的有关数的运算有什么联系. 生活中你遇到过用科学记数法表示的“大数”吗？请查找资料,制作一份与“大数”有关的知识小报,并在班级内分享. 梳理本章内容,用适当的方式呈现全章知识结构,并与同伴进行交流。 知识网格 5 典例精选 知识点1：有理数的概念与表示 1.下表记录了某星期股市的涨跌情况,请完成下表. 星期 涨跌情况（相较前一交易日） 用正负数表示 一 上涨100点 +100 二 下跌50点 三 上涨60点 四 下跌30点 五 上涨2点 -50 60 -30 +2 6 典例精选 知识点1：有理数的概念与表示 2.用数轴上的点表示下列各数,并求它们的相反数和绝对值： -0.5，-3.5，7，-4.5，-4 原数 相反数 绝对值 -0.5 0.5 0.5 -3.5 3.5 3.5 7 -7 7 -4.5 4.5 4.5 -4 4 4 典例精选 知识点1：有理数的概念与表示 下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请将下列各数填在适当的圈中 −5​,0,2,−7,1.25,−​,−3,−​ 负数集合 整数集合 0,2,−7,-3 −5,-7, −​,−3,− 典例精选 知识点2：有理数的大小比较 4.比较下列各组数的大小 (1)-0.009 (2) (3) (4) (1)正数大于负数, ＞-0.009 (2)两个负数比较，绝对值大的反而小, (3)通分比较：=​，=​, (4)先化为小数：−2​≈−2.333， 两个负数比较，绝对值大的反而小： 典例精选 知识点3：有理数的四则运算（含混合运算） 5.计算下列各式 (1) (−40)−28−(−19)+(−24) 解:原式=−40−28+19−24 =−73 (2) 7.5+(−4.4)+(−2.5)+4.4 解:原式=(7.5−2.5)+(−4.4+4.4) =5+0 =5 (3) ​−(−​)+(−​) 解:原式=+​−​ =​ =​ = 典例精选 知识点3：有理数的四则运算（含混合运算） (4) 11+(−22)−3×(−11) 解:原式=11−22+33 =(11+33)−22 =44−22 =22 (5) (−0.1)÷​×(−100) 解:原式=−0.1×2×(−100) =0.1×2×100 =20​ (6) − 解:原式=−8−9 =−17 (7) (−60)×(​+​) 解:原式=−60×​−60×​ =−45−50 =−95​ 典例精选 知识点3：有理数的四则运算（含混合运算） 6.计算1−2+3−4+5−6+⋯+99−100 解：原式=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(99-100) =(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1) =(-1)×50 =-50 分组求和法，适用于有规律的加减混合数列 典例精选 知识点4:数轴与距离（绝对值的几何意义） 7.点A、B、C、D所表示的数如图所示,回答下列问题 (1) C,D两点间的距离是多少？ (2) A,B两点间的距离是多少？ (3) A,D两点间的距离是多少？ (1)C、D两点间的距离:3.5−3=0.5 (2)A、B两点间的距离: (-1.25)-(-6)=4.75 (3)A、D两点间的距离：3.5-(-6)=9.5 数轴上点A表示的数是，点B表示的数是b，AB两点的距离可以表示为： 典例精选 知识点5：科学记数法 8.请用科学记数法表示下表中的数据 天体名称 围绕太阳公转的轨道长半径/km 科学记数法表示 水星 58 000 000 金星 110 000 000 地球 150 000 000 火星 230 000 000 木星 780 000 000 土星 1 400 000 000 天王星 2 900 000 000 海王星 4 500 000 000 5.8× 1.1× 1.5× 2.3× 7.8× 1.4× 2.9× 4.5× 典例精选 知识点6：概念辨析与实际应用 9.用计算器求下列各式的值 99999×11= 99999×12= 99999×13= 99999×14= （1）你发现了什么？ （2）不用计算器，试直接写出99999×19的结果 1099989 1199988 1299987 1399986 (1)99999×n（n为 11~19 的整数）的结果是一个7位数： 前两位为“n−1”（如n=11时，前两位是10）； 中间三位固定为“999”； 最后两位为 “100−n”（如n=11时，最后两位是89） 简化表述：结果的形式为 (n−1)999(100−n) (2)根据规律，n=19时： 前两位：19−1=18，最后两位：100−19=81， 因此结果为1899981​ 巩固拓展 知识点6：概念辨析与实际应用 10.某航空公司规定每名旅客随身携带的行李不能超过5kg.李叔叔一家4人携带的行李情况如下（正数表示行李超过限额,负数表示行李低于限额）：+1.5kg，−0.8kg，+1kg，−2.5kg （1）李叔叔一家携带的行李总质量是多少？ （2）如果李叔叔一家想再多随身携带1kg行李,那么总质量是否超过 4人携带行李限额之和？ （1）计算行李总质量 首先计算4人的限额总质量：4×5=20kg 再计算超出/低于限额的总重量：1.5−0.8+1−2.5=−0.8kg 总质量=限额总质量+超出/低于的重量：20+(−0.8)=19.2​kg （2）判断增加1kg后是否超过限额之和 增加1kg后的总质量：19.2+1=20.2kg 4人限额之和为20kg 因为20.2>20，所以总质量超过了限额之和 巩固拓展 知识点6：概念辨析与实际应用 11.观察下面三行数： ，9，，81, ；① 1，，9，, ；② ，10，，82, .③ （1）第①行中的数可以看成按什么规律排列？ 解：第①行数是，，，， . 巩固拓展 （2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？ 解：第②行数是第①行相应的数除以 ； 第③行数是第①行相应的数加1. （3）设，，分别为第①②③行的第2 024个数，求 的值. 解：由题意，得,, ， . 思想方法 数形结合思想：借助数轴直观表示有理数,将数与点对应,简化相反数、绝对值的理解,以及有理数大小比较,让抽象数概念具象化.​ 分类讨论思想：针对有理数运算（如绝对值化简、乘方符号判断）,按符号（正、负、零）或运算场景分类分析,避免漏解,确保运算严谨性.​ 转化思想：把有理数减法转化为加法（减负数等于加其相反数）、除法转化为乘法（除以数等于乘其倒数）,将新运算转化为已掌握的运算，降低学习难度。​ 类比思想：类比整数运算规则推导有理数运算规律,如类比整数加法交换律、结合律,延伸至有理数领域,帮助快速掌握新运算逻辑. 建模思想：用有理数表示实际问题中的量（如温度正负、海拔高低），通过建立数学模型,将实际问题转化为有理数运算,解决实际应用问题. 当堂检测 1.下列说法： 是最小的整数；②有理数 不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理 数；④非负数就是正数； 是无限不循环小数，所以不是有理数.其 中，错误说法的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 D 当堂检测 2.在数轴上表示下列各数，并用“ ”连接. 3，，，0， ， . 解：将各数表示在数轴上如图所示. 从小到大排列为： . 当堂检测 3.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 当堂检测 （3） . 解：原式 . 有理数混合运算的法则是什么？ 4.北斗系统是由卫星、卫星和 卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统， 其中， 卫星的轨道高度约为21 500 000米.将21 500 000用科学记数法表示 应为( ) B A. B. C. D. 当堂检测 反思总结 有理数核心概念（如相反数、绝对值）中，你最易混淆的是哪两个？ 2.有理数混合运算的关键步骤是什么？你曾犯过哪种典型错误？ 3.结合实例，说说有理数运算与小学算术运算的核心区别. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本：P71 第7题 (7)(16)(17)(18) 二、素养类作业 课本：P74 第20题 三、挑战类作业 课本：P75 第31题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $