5.3诱导公式第一课时教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.3诱导公式（第一课时）教学设计 课程基本信息 课题 诱导公式（第一课时） 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 人教A版必修第一册5.3 教学目标 1． 从三角函数的定义出发，借助单位圆关于原点的对称性，推导的正弦、余弦、正切，发展直观想象、逻辑推理素养. 2． 类比公式二的推导过程，探究的正弦、余弦、正切，得出公式三、公式四，获得基本思想，积累基本活动经验. 3． 会用公式一~公式四将任意角三角函数转化为锐角三角函数，发展数学运算的素养. 教学重难点 教学重点：推导公式二~公式四． 教学难点：建立单位圆的对称性与的正弦、余弦和正切之间的联系． 学情分析 一、学生已掌握三角函数的定义，熟悉同角三角函数的关系及诱导公式一。初步具备数形结合思想，能通过坐标系分析点的坐标关系；对“函数的对称性”有一定的认知。 二、学生认知难点 1. 抽象转化困难：难以将“角的终边对称关系”（如关于原点、x轴、y轴对称）转化为三角函数值的代数关系，容易混淆“角的旋转”与“函数值符号变化”的关系。 2. 逻辑推导薄弱：对“利用单位圆坐标对称性推导公式”的过程理解不深入，难以自主完成从“图形特征”到“代数表达式”的推导，依赖教师讲解，缺乏主动探究意识。 教学准备 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计 一、创设情境，引入课题 三角函数的基本性质的研究方法是：圆的几何性质代数化.由单位圆几何特征，已经得到了公式一和同角三角函数的关系，还能得到哪些性质呢？我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性也是函数的重要性质．由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性． 圆的特殊对称性有关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称、直线y=x对称等，这节课我们先来研究圆关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称时，能得到三角函数的哪些性质． 在教师的引导下回顾三角函数基本性质的研究方法，发现和提出本节课要研究的问题． 二、探究公式二~公式四 问题1．如图1，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点 ．作关于原点的对称点，以为终边的角与角有什么关系？ 预设学生回答：以为终边的角都与角终边 相同,所以． 因此，由公式一知，只需要探究角与的三角函数值之间的关系。下来利用ggb展示关系。 追问1：与的坐标有什么关系？如何用角表示与的坐标？ 预设学生回答：设，． 因为 是点关于原点的对称点，所以，． 根据三角函数的定义，得 ； ． 追问2：角与的三角函数值之间有什么关系？ 预设学生回答： 上面的结论称为诱导公式二． 追问3：公式二的探究过程是什么？ 师生共同总结. 第一步，根据圆的对称性，建立角之间的关系； 第二步，建立坐标之间的关系，用角表示点的坐标； 第三步，等量代换，得到公式. 问题2．类比公式二的探究过程和方法，作P1 关于x轴对称的点P3，那么可以得到什么结论？ 问题3．类比公式二的探究过程和方法，作P1 关于x轴对称的点P4，那么可以得到什么结论？ 预设学生活动：类比公式二的探究过程，自主探究终边关于x轴对称和终边关于y轴对称的情况，然后进行小组讨论，最后小组展示． 公式三 公式四 老师补充：公式三中以OP4 为终边的角可以看成是OP3绕着原点按逆时针方向旋转，就得到. 追问：通过上面的分析，关于y轴对称可以看成是关于x轴对称和关于原点对称的合成.能不能从代数变换角度，利用已知公式直接推出公式四？ 问题4．观察公式一~公式四的左右两边，有什么共同的结构特征？ 1．公式表示的是角kπ±α(k∈Z)与α的三角函数的关系； 2．公式左右两边三角函数名不变． 3. 公式右边的符号由圆的对称变化中点的坐标关系确定. 问题1引导学生从圆关于原点对称，推导出公式二，感受由形到数的转化过程，体会数形结合的思想方法．同时，探究过程中引导学生提炼探究方法，为后续的自主探究打下基础． 问题2、3根据公式二的探究经验，放手让学生独立推导出公式三、四，进一步让学生积累探究诱导公式的经验.同时，公式三的探究为公式六的研究路径打下了基础. 展示AI视频生成的角与的三角函数值关系的动态视频，让学生对这两者之间的关系有初步认识 三、例题讲解，巩固理解 例1 利用公式求下列三角函数值 (1) (2) (3) (4) 追问：求值的依据是什么？ 预设学生回答：利用诱导公式转化为为锐角三角函数 (1) ; 追问：如何转化到锐角？ 预设学生回答：． 原式=== (2) 追问：如何转化为到锐角？ 预设学生回答：． (3) 追问：如何转化为到锐角三角函数？ 预设学生回答：通过公式一、四或者通过公式三、一、二． 或者 (4) 追问：如何转化为到锐角三角函数？ 预设学生回答：通过公式一、四或公式三、一、二． 原式== === 或者原式 == === 追问：根据例1，归纳一下把任意角的三角函数值转化为锐角三角函数的步骤吗？ 预设学生回答：通过公式逐步转化． 例2 化简 追问：本题的化简依据是什么？ 预设学生回答：把不同角的三角函数运算转化为相同角的三角函数运算． 通过两道例题，让学生会恰当选择诱导公式，熟练运用同角三角函数关系达到化简、求值的目的． 四、课堂小结，形成结构 问题5．回顾本节课的学习内容，回答下列问题： （1） 公式一~公式四有怎样的结构特征？如何记忆它们呢？ （2）运用公式一~公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数的基本步骤是怎样的？ （3）公式二~公式四的研究方法是什么？ 通过回顾，进一步明确诱导公式的探究过程、结构和运用步骤，提升对公式的整体认识，提高解题技能． 作业 1.教科书第191页：练习第2,3题； 教科书第194页：习题5.3第2,3题． 2.自主探究终边关于直线y=x对称的两个角的三角函数值. 板书设计 1、 研究方法是：圆的几何性质代数化 2、 1.公式二 2. 公式三 3. 公式四 记忆方法：以单位圆为载体，数形结合记忆 3、 应用: 化简求值 教学反思 一、教学亮点 1. 借助GeoGebra动态单位圆模型，将“角的终边对称”“函数值符号变化”等抽象过程具象化，学生能直观观察到角终边的对称关系，以及对应三角函数值的数量关系，有效降低了“数形转化”的认知门槛，课堂上学生对公式推导的参与度明显提升。 2. 推导逻辑贴合学情基础：从学生已掌握的“单位圆三角函数定义”“点的对称坐标”出发，逐步引导学生自主探究“圆的对称性→角的对称性→坐标关系→三角函数函数值关系”，推导过程层层递进，符合高一学生“从具体到抽象”的认知规律，多数学生能跟随思路完成公式推导，而非机械记忆。 二、改进方向 增加GGB动态演示的互动性，让学生自主拖动角至不同象限，观察函数值符号变化，总结“终边位置—坐标符号—函数值符号”的逻辑链；设计“符号判断闯关”小游戏，通过即时反馈强化理解，替代单纯口诀记忆。 学科网（北京）股份有限公司 $