5.1 曲线运动（高效培优讲义）物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦曲线运动核心知识点，系统梳理曲线运动的定义与特点（速度方向沿轨迹切线、必为变速运动），物体做曲线运动的条件（合外力与速度不共线且指向轨迹凹侧），以及速率变化规律（合力与速度夹角为锐角增大、钝角减小、垂直不变），形成递进式学习支架。 该资料以题型为导向，通过典例分析（如“香蕉球”受力、无人机轨迹）和跟踪训练，融合科学思维（极限思维法推导速度方向、模型建构轨迹与力速关系）与科学探究。课中辅助教师突破重难点，课后借助能力培优练和高考真题，帮助学生强化物理观念，查漏补缺，提升问题解决能力。

1. 曲线运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 曲线运动定义与特点 1 题型2 物体做曲线运动的条件 3 题型3 曲线运动速率的变化 4 【能力培优练】 6 【链接高考】 10 【重难题型讲解】 题型1 定义与特点 1、曲线运动定义：轨迹是曲线的运动叫曲线运动。 2、曲线运动特点 （1）速度方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。对于曲线运动而言，每一时刻的速度都是沿着轨迹的切线方向。 极限思维法求速度的方向：如图所示，若质点在一段时间内从B点运动到A点，则质点的平均速度的方向由B点指向A点。当B点越来越靠近A点时，质点的平均速度方向将越来越接近A点的切线方向。当B点与A点的距离接近0时，质点在A点的速度方向沿过A点的切线方向。 （2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。 ★特别提醒 变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动，曲线运动一定是变速运动，因为速度方向一定变化，曲线运动不一定是非匀变速运动，如平拋运动是曲线运动，也是匀变速运动。 【探究归纳】曲线运动是物体轨迹为曲线的运动，核心特点是速度方向沿轨迹切线，速度时刻变化（必有加速度），合外力与速度不共线。 【典例1-1】如图所示，在研究“曲线运动的速度方向”时，为了分析质点沿曲线从B点运动到A点时在A点的速度方向，使用的物理学思想方法是（　　） A．控制变量法 B．极限思维法 C．等效替代法 D．转换法 【典例1-2】（多选）如图，某同学五一期间去滨江湿地公园玩，向河中抛出一石块，石块在空中运动的过程中（不计空气阻力），下列说法正确的是（　　） A．石块的速度方向时刻在发生变化 B．石块的加速度方向一定沿曲线每一点的切线方向 C．石块的速度方向始终在曲线每一点的切线方向上 D．石块的运动为非匀变速曲线运动 跟踪训练1 对做曲线运动的物体，下列分析正确的是（　　） A．物体在某点的速度方向，一定与该点的合外力方向成锐角 B．物体做曲线运动时，速度方向的变化快慢由合外力的大小决定 C．若物体所受合外力方向不变，只要与初速度方向不共线，物体就做曲线运动 D．曲线运动中，物体速度方向沿轨迹切线方向，合外力方向一定沿轨迹切线方向 跟踪训练2 （多选）下列关于曲线运动的说法正确的是（　　） A．曲线运动一定是变速运动 B．物体做曲线运动时加速度可能为0 C．物体做曲线运动时所受的合力一定不为0 D．当物体所受合力的方向与它的速度在同一直线上时，物体做曲线运动 题型2 1、从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 2、从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 4、对于给定的轨迹、速度（运动）方向或受力（加速度）情况，三者中的两个即可大致判断第三个物理量的情况。 5、对于曲线运动的轨迹类问题，从以下三个角度分析： （1）速度沿切线方向。 （2）受力（加速度）指向曲线的侧。 （3）轨迹在速度和力之间。 【探究归纳】物体做曲线运动的条件是：合外力（或加速度）与物体的瞬时速度方向不共线（存在夹角），且合外力始终指向轨迹的凹侧。 【典例2-1】下列情景中，物体既满足曲线运动条件，且速度方向符合规律的是（　　） A．物体初速度竖直向上，所受合外力竖直向下，物体做曲线运动 B．物体初速度水平向右，所受合外力水平向右，物体速度方向始终沿轨迹切线方向 C．物体初速度沿斜向上，所受合外力竖直向下，物体做曲线运动，速度方向沿轨迹切线方向 D．物体初速度为零，所受合外力沿水平方向，物体做曲线运动，速度方向不断变化 【典例2-2】（多选）如图所示，物体在光滑水平面上受三个水平恒力（不共线）作用处于平衡状态，如图所示，当把其中一个水平恒力撤去时，物体将（　　） A．物体一定做匀加速直线运动 B．物体可能做匀减速直线运动 C．物体有可能做曲线运动 D．物体一定做曲线运动 跟踪训练1 关于曲线运动的性质与条件，下列说法错误的是（　　） A．曲线运动一定是变速运动，因为速度方向时刻变化 B．物体做曲线运动的关键条件是合外力与速度方向不在同一直线上 C．做曲线运动的物体，速度方向的变化与合外力无关 D．即使物体所受合外力为恒力，只要与速度方向不共线，也能做曲线运动 跟踪训练2（多选）足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过“人墙”转弯进入球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，足球向前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球、两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，使得足球发生偏转。则（　　） A．甲图中足球受到空气压力向左 B．甲图中足球受到空气压力向右 C．空气流速大的一侧压力大 D．空气流速小的一侧压力大 题型3 曲线运动速率的变化 物体运动轨迹在速度和合力之间，其运动的速率与速度和合力的关系为： （1）合力方向与速度方向的夹角为锐角时：物体的速率增大。 （2）合力方向与速度方向的夹角为钝角时：物体的速率减小。 （3）合力方向与速度方向的夹角为垂直时：物体的速率不变。 【探究归纳】曲线运动中，速率变化由合外力沿速度切线方向的分力决定：分力与速度同向速率增大，反向则减小，无切向分力时速率不变。 【典例3-1】一质量为的物块在光滑水平面上以速度做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力作用，其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度与恒力夹角正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选）歼20战机正沿曲线向上爬升，其所受合力的方向可能正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练1 2025年8月，我国自主研发的一款新型察打一体无人机在试飞场完成高机动性能测试。在某次测试中无人机沿圆弧从M到N大仰角加速爬升，在此过程中，无人机所受合力的方向可能是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2（多选）如图所示，一质量为m的小球静止在A点，现给小球一水平向右的初速度，同时施加竖直向上、大小F=2mg的拉力，从A点运动到B点，在B点时撤去拉力继续运动到C点，运动轨迹如图中曲线ABC。曲线AB、BC恰好是以B为中心的中心对称图形，a、b是轨迹曲线上的两点，关于B点对称。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则下列对小球运动的描述正确的是（　　） A．小球运动到a、b两点时的速度相同 B．小球运动到a、b两点时加速度相同 C．小球在AB段与BC段运动的位移相同 D．小球在AB段与BC段运动的速度变化量相同 【能力培优练】 1．如图所示，在地面上的M点竖直上抛一个皮球，由于受到水平向右的恒定风力作用（不考虑空气阻力），皮球在竖直面内做曲线运动的轨迹如图中实线所示。皮球运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则在皮球从M点运动到N点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．皮球的运动轨迹是一段圆弧 B．皮球做匀变速曲线运动 C．皮球的速率不断增大 D．皮球的速率先增大后减小 2．一质点从点到点做曲线运动，当它通过点时，下列关于质点速度和加速度的关系图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3．一物体在水平面上做曲线运动，依次经过P、Q、R三点，已知物体在P点速度方向水平向右。下列判断正确的是（　　） A．物体在Q点的速度方向一定与PQ段轨迹的延长线方向一致 B．物体在R点的速度方向，一定沿QR段轨迹在R点的切线方向 C．若物体从P到Q速度大小不变，则其在Q点速度方向不变 D．若物体在Q点速度方向竖直向上，则其轨迹在Q点的切线方向水平向左 4．2024年9月25日，解放军向太平洋方向发射一枚洲际弹道导弹，该导弹的射程约12000公里，采用了钱学森弹道设计理念。如图所示为导弹从起飞到击中目标的轨迹示意图，导弹在点加速冲向目标，图中所示四个点中速度方向和所受合力方向的示意图，可能正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 5．关于平抛运动的性质，下列说法正确的是（　　） A．平抛运动是匀变速曲线运动 B．平抛运动是变加速曲线运动 C．平抛运动的速度方向始终与加速度方向垂直 D．平抛运动的加速度随时间逐渐增大 6．如图所示，足球被踢出后在空中依次经过a、b、c三点的运动轨迹示意图，b为最高点，a、c两点等高。则足球 （  ） A．在b点的速度为零 B．在b点的加速度方向竖直向下 C．在a、c两点的速度大小相等 D．在ab间的运动时间小于bc间的运动时间 7．“2025济南国际泉水节——‘泉染星穹’无人飞机秀”在大明湖上空拉开帷幕。5000架无人机绘制出一幅璀璨画卷，点亮泉城夜空。在无人机运动的过程中，以下说法中正确的是（    ） A．无人机的速度变化得越多，加速度一定越大 B．无人机的速度变化越快，加速度一定越大 C．无人机的加速度不断减小，则速度一定越来越小 D．无人机的加速度方向保持不变，则速度方向也一定保持不变 8．一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（多选）2024年巴黎奥运会上，全红婵获得女子单人跳水10 m跳台金牌，成为中国奥运史上最年轻的三金得主。如图所示，虚线描绘的是某跳水运动员的头部运动轨迹，最后该运动员沿竖直方向以速度v入水。在图中标注的1、2、3、4四个位置中，头部速度方向与v方向相反的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选）如图，足够大光滑水平桌面上有一小球，以某一初速度在桌面内匀速运动。某时刻小球经过位置时，受到一个方向位于桌面内的恒力作用，关于小球此后在桌面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球不会再次回到位置 B．小球的速度大小可能先变小后变大 C．在相同时间内小球的速度变化量相同 D．经过一段时间，小球的速度方向不可能与初速度的方向垂直 11．（多选）关于曲线运动，下列说法中正确的是（　　） A．做曲线运动的物体所受合力可以为零 B．合力不为零的运动一定是曲线运动 C．曲线运动的速度方向一定是改变的 D．曲线运动的加速度一定不为零 12．（多选）如图所示，甲、乙两运动物体在t1、t2、t3时刻的速度矢量分别为、、和、、，下列说法中正确的是（　　） A．甲做的一定不是直线运动 B．乙做的可能是直线运动 C．甲受到的合力不可能是恒力 D．乙受到的合力不可能是恒力 13．（多选）目前国内人形机器人产业迎来显著进展，不少企业积极布局并发布产品，人形机器人的时刻即将到来。如图为某新型机器人，在一次执行任务过程中，给它设定了如下动作程序：机器人在平面坐标系内，由点出发，沿直线运动到点，然后又由点沿直线运动到点，第一个过程机器人用时1s，第二个过程中机器人所用时间是。则（　　） A．机器人做的是曲线运动 B．第一个过程的平均速度大小为 C．整个过程中机器人的位移大小为 D．整个过程中机器人的平均速率 14．如图，一物体沿曲线由M向N运动，速率逐渐减小，则物体在P点的速度沿 （填“1”、“2”、“3”或“4”）方向；物体在P点的受力沿 （填“1”、“2”、“3”或“4”）方向。 15．如图为砂轮打磨下来随砂轮边缘运动的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样。 (1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？ (2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？ 【链接高考】 1．（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   2．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 3．（2023·浙江·高考真题）图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为135kg，则巡视器（　　）    A．受到月球的引力为1350N B．在AB段运动时一定有加速度 C．OA段与AB段的平均速度方向相同 D．从O到B的位移大小等于OAB轨迹长度 4．（2024·浙江·高考真题）如图为小猫蹬地跃起腾空追蝶的情景，则（　　） A．飞行的蝴蝶只受重力的作用 B．蝴蝶转弯时所受合力沿运动方向 C．小猫在空中受重力和弹力的作用 D．小猫蹬地时弹力大于所受重力 5．（2025·河北·模拟预测）（多选）雨滴受空气的作用，在地面附近会以恒定的速率下落，该速度被称为雨滴的终端速度。如图所示，下雨时，某人竖直撑着雨伞向左行走，假定水滴从伞的珠尾处下落瞬间相对雨伞的速度沿竖直方向，当人向左走时，他看到的从身侧珠尾滴落的水滴的轨迹可能是（　　） A． B． C． D． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. 曲线运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 曲线运动定义与特点 1 题型2 物体做曲线运动的条件 4 题型3 曲线运动速率的变化 6 【能力培优练】 9 【链接高考】 17 【重难题型讲解】 题型1 定义与特点 1、曲线运动定义：轨迹是曲线的运动叫曲线运动。 2、曲线运动特点 （1）速度方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。对于曲线运动而言，每一时刻的速度都是沿着轨迹的切线方向。 极限思维法求速度的方向：如图所示，若质点在一段时间内从B点运动到A点，则质点的平均速度的方向由B点指向A点。当B点越来越靠近A点时，质点的平均速度方向将越来越接近A点的切线方向。当B点与A点的距离接近0时，质点在A点的速度方向沿过A点的切线方向。 （2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。 ★特别提醒 变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动，曲线运动一定是变速运动，因为速度方向一定变化，曲线运动不一定是非匀变速运动，如平拋运动是曲线运动，也是匀变速运动。 【探究归纳】曲线运动是物体轨迹为曲线的运动，核心特点是速度方向沿轨迹切线，速度时刻变化（必有加速度），合外力与速度不共线。 【典例1-1】如图所示，在研究“曲线运动的速度方向”时，为了分析质点沿曲线从B点运动到A点时在A点的速度方向，使用的物理学思想方法是（　　） A．控制变量法 B．极限思维法 C．等效替代法 D．转换法 【答案】B 【详解】利用曲线上两点无限逼近作曲线的切线的方法对应的思想方法是极限思维法。 故选B。 【典例1-2】（多选）如图，某同学五一期间去滨江湿地公园玩，向河中抛出一石块，石块在空中运动的过程中（不计空气阻力），下列说法正确的是（　　） A．石块的速度方向时刻在发生变化 B．石块的加速度方向一定沿曲线每一点的切线方向 C．石块的速度方向始终在曲线每一点的切线方向上 D．石块的运动为非匀变速曲线运动 【答案】AC 【详解】AC．石块做曲线运动，速度的方向沿曲线每一点的切线方向，速度方向不断改变，故AC正确； BD．石块只受重力作用，加速度为重力加速度，其方向竖直向下，跟速度方向不在同一直线上，也不沿曲线的切线方向，石块做匀变速曲线运动，故BD错误。 故选AC。 跟踪训练1 对做曲线运动的物体，下列分析正确的是（　　） A．物体在某点的速度方向，一定与该点的合外力方向成锐角 B．物体做曲线运动时，速度方向的变化快慢由合外力的大小决定 C．若物体所受合外力方向不变，只要与初速度方向不共线，物体就做曲线运动 D．曲线运动中，物体速度方向沿轨迹切线方向，合外力方向一定沿轨迹切线方向 【答案】C 【详解】A．物体在某点的速度方向与合外力方向不一定成锐角。例如在平抛运动的最高点，速度方向水平，合外力（重力）方向竖直向下，两者夹角为90°，故A错误。 B．速度方向变化的快慢由向心加速度决定，而向心加速度与合外力的法向分量有关（），而非合外力的大小。若合外力存在切向分量，总合力的大小包含切向和法向部分，但方向变化仅由法向分量决定，故B错误。 C．若合外力方向不变且与初速度不共线，物体的加速度方向恒定，速度方向不断变化，轨迹必为曲线（如平抛运动）。即使速度方向逐渐趋近合外力方向，只要未完全共线，仍为曲线运动，故C正确。 D．曲线运动中，合外力必须存在法向分量以改变速度方向。若合外力沿切线方向，则无法产生法向加速度，物体将做直线运动，故D错误。 故选C。 跟踪训练2 （多选）下列关于曲线运动的说法正确的是（　　） A．曲线运动一定是变速运动 B．物体做曲线运动时加速度可能为0 C．物体做曲线运动时所受的合力一定不为0 D．当物体所受合力的方向与它的速度在同一直线上时，物体做曲线运动 【答案】AC 【详解】ABC．由于曲线运动中速度的方向是变化的，所以曲线运动一定是变速运动，物体做曲线运动时加速度一定不为0，根据牛顿第二定律，可知物体所受的合力一定不为0，故AC正确，B错误； D．当物体所受合力的方向与它的速度不在同一直线上时，物体做曲线运动，故D错误。 故选AC。 题型2 1、从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 2、从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 4、对于给定的轨迹、速度（运动）方向或受力（加速度）情况，三者中的两个即可大致判断第三个物理量的情况。 5、对于曲线运动的轨迹类问题，从以下三个角度分析： （1）速度沿切线方向。 （2）受力（加速度）指向曲线的侧。 （3）轨迹在速度和力之间。 【探究归纳】物体做曲线运动的条件是：合外力（或加速度）与物体的瞬时速度方向不共线（存在夹角），且合外力始终指向轨迹的凹侧。 【典例2-1】下列情景中，物体既满足曲线运动条件，且速度方向符合规律的是（　　） A．物体初速度竖直向上，所受合外力竖直向下，物体做曲线运动 B．物体初速度水平向右，所受合外力水平向右，物体速度方向始终沿轨迹切线方向 C．物体初速度沿斜向上，所受合外力竖直向下，物体做曲线运动，速度方向沿轨迹切线方向 D．物体初速度为零，所受合外力沿水平方向，物体做曲线运动，速度方向不断变化 【答案】C 【详解】A．初速度与合外力共线（竖直），物体做匀减速直线运动，不满足曲线运动条件，故A错误； B．初速度与合外力同方向（水平），物体做匀加速直线运动，轨迹为直线，速度方向虽沿切线但不符合曲线运动条件，故B错误； C．初速度斜向上，合外力竖直向下，二者不共线，物体做曲线运动，速度方向沿轨迹切线方向，符合条件，故C正确； D．初速度为零时，合外力水平方向使物体沿直线加速，不满足曲线运动条件，故D错误。 故选C。 【典例2-2】（多选）如图所示，物体在光滑水平面上受三个水平恒力（不共线）作用处于平衡状态，如图所示，当把其中一个水平恒力撤去时，物体将（　　） A．物体一定做匀加速直线运动 B．物体可能做匀减速直线运动 C．物体有可能做曲线运动 D．物体一定做曲线运动 【答案】BC 【详解】当把其中一个水平恒力撤去时，如果物体具有一定的初速度，且速度方向与剩下两个力的合力方向相同，则物体做匀加速直线运动；如果物体速度方向与剩下两个力的合力方向相反，则物体做匀减速直线运动；如果物体速度方向与剩下两个力的合力方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 故选BC。 跟踪训练1 关于曲线运动的性质与条件，下列说法错误的是（　　） A．曲线运动一定是变速运动，因为速度方向时刻变化 B．物体做曲线运动的关键条件是合外力与速度方向不在同一直线上 C．做曲线运动的物体，速度方向的变化与合外力无关 D．即使物体所受合外力为恒力，只要与速度方向不共线，也能做曲线运动 【答案】C 【详解】C．做曲线运动的物体，速度方向的变化由加速度（即合外力）的方向决定。合外力方向指向轨迹凹侧，速度方向的变化率（即法向加速度）与合外力相关，故C错误。 A．曲线运动速度方向时刻变化，速度矢量变化，因此是变速运动，故A正确； B．曲线运动的条件是合外力与速度方向不共线，故B正确； D．恒力作用下，若力与速度不共线（如平抛运动），物体做曲线运动，故D正确。 此题选择不正确的，故选C。 跟踪训练2（多选）足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过“人墙”转弯进入球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，足球向前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球、两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，使得足球发生偏转。则（　　） A．甲图中足球受到空气压力向左 B．甲图中足球受到空气压力向右 C．空气流速大的一侧压力大 D．空气流速小的一侧压力大 【答案】BD 【详解】AB.甲图中足球受到空气的压力，而绕过“人墙”转弯进入球门，根据曲线运动的特点，可知足球受到的空气压力指向运动轨迹的凹侧，根据甲图中足球的运动轨迹可判断，足球受到的空气压力向右。A错误，B正确； CD.踢出“香蕉球”是因为足球两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，压力较大的一侧会推动足球向压力较小的一侧偏转。从丙图可知，压力差指向空气流速快的一侧，即空气流速大的一侧压力小，空气流速小的一侧压力大。C错误，D正确。 故选BD。 题型3 曲线运动速率的变化 物体运动轨迹在速度和合力之间，其运动的速率与速度和合力的关系为： （1）合力方向与速度方向的夹角为锐角时：物体的速率增大。 （2）合力方向与速度方向的夹角为钝角时：物体的速率减小。 （3）合力方向与速度方向的夹角为垂直时：物体的速率不变。 【探究归纳】曲线运动中，速率变化由合外力沿速度切线方向的分力决定：分力与速度同向速率增大，反向则减小，无切向分力时速率不变。 【典例3-1】一质量为的物块在光滑水平面上以速度做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力作用，其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度与恒力夹角正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意知初速度与恒力的夹角大于，如图所示将速度沿力方向和垂直力方向分解，设速度与垂直力方向夹角为，则有 解得，则初速度与恒力夹角为。 故选A。 【典例3-2】（多选）歼20战机正沿曲线向上爬升，其所受合力的方向可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】做曲线运动的物体所受的合力方向指向轨迹的凹向；若飞机加速爬升，则合力与速度夹角为锐角；若飞机减速爬升，则合力与速度夹角为钝角。 故选AC。 跟踪训练1 2025年8月，我国自主研发的一款新型察打一体无人机在试飞场完成高机动性能测试。在某次测试中无人机沿圆弧从M到N大仰角加速爬升，在此过程中，无人机所受合力的方向可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】做曲线运动的物体受合外力方向指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，因加速爬升，则合外力方向与速度方向夹角为锐角。 故选B。 跟踪训练2（多选）如图所示，一质量为m的小球静止在A点，现给小球一水平向右的初速度，同时施加竖直向上、大小F=2mg的拉力，从A点运动到B点，在B点时撤去拉力继续运动到C点，运动轨迹如图中曲线ABC。曲线AB、BC恰好是以B为中心的中心对称图形，a、b是轨迹曲线上的两点，关于B点对称。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则下列对小球运动的描述正确的是（　　） A．小球运动到a、b两点时的速度相同 B．小球运动到a、b两点时加速度相同 C．小球在AB段与BC段运动的位移相同 D．小球在AB段与BC段运动的速度变化量相同 【答案】AC 【详解】ABC．小球的受力与运动情况是：在AB段受恒力作用，运动到B点时，力的方向调整为相反的方向；小球在BC段的运动视为AB段的逆过程，所以小球运动到a、b两点时的速度一定相等；加速度大小相等方向相反；小球在AB段运动的位移与BC段运动的位移相等，故AC正确，B错误； D．在AB段与BC段运动时力的方向相反，速度的变化量大小相等，方向相反，故D错误。 故选AC。 【能力培优练】 1．如图所示，在地面上的M点竖直上抛一个皮球，由于受到水平向右的恒定风力作用（不考虑空气阻力），皮球在竖直面内做曲线运动的轨迹如图中实线所示。皮球运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则在皮球从M点运动到N点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．皮球的运动轨迹是一段圆弧 B．皮球做匀变速曲线运动 C．皮球的速率不断增大 D．皮球的速率先增大后减小 【答案】B 【详解】AB．因为皮球受重力和水平风力作用，合力恒定，所以皮球做匀变速曲线运动，故A错误，B正确； CD．合力方向斜向右下方，则皮球在运动过程中，速度方向与合力的夹角先大于90°后小于90°，速率先减小后增大，故CD错误。 故选B。 2．一质点从点到点做曲线运动，当它通过点时，下列关于质点速度和加速度的关系图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】质点做曲线运动，速度方向处于轨迹的切线方向，加速度方向位于轨迹的凹侧。 故选A。 3．一物体在水平面上做曲线运动，依次经过P、Q、R三点，已知物体在P点速度方向水平向右。下列判断正确的是（　　） A．物体在Q点的速度方向一定与PQ段轨迹的延长线方向一致 B．物体在R点的速度方向，一定沿QR段轨迹在R点的切线方向 C．若物体从P到Q速度大小不变，则其在Q点速度方向不变 D．若物体在Q点速度方向竖直向上，则其轨迹在Q点的切线方向水平向左 【答案】B 【详解】A．物体在曲线运动中某点的速度方向沿该点轨迹的切线方向。Q点的速度方向应为QR段轨迹在Q点的切线方向，而非PQ段的延长线方向，故A错误。 B．曲线运动中，某点的速度方向沿该点轨迹的切线方向。R点的速度方向必沿QR段轨迹在R点的切线方向，故B正确。 C．速度大小不变时，方向仍可能变化（如匀速圆周运动）。因此物体在Q点的速度方向可能改变，故C错误。 D．若Q点速度方向竖直向上，则轨迹在Q点的切线方向应与速度方向一致，即竖直向上，而非水平向左，故D错误。 故选B。 4．2024年9月25日，解放军向太平洋方向发射一枚洲际弹道导弹，该导弹的射程约12000公里，采用了钱学森弹道设计理念。如图所示为导弹从起飞到击中目标的轨迹示意图，导弹在点加速冲向目标，图中所示四个点中速度方向和所受合力方向的示意图，可能正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】根据曲线运动的特点，可知速度v方向沿运动轨迹的切线方向，合力F方向指向运动轨迹的凹侧，轨迹在两者之间；其中在点加速冲向目标，则此时合力F方向与速度v方向的夹角小于；故图中所示四个点中速度方向和所受合力方向的示意图，可能正确的是点。 故选B。 5．关于平抛运动的性质，下列说法正确的是（　　） A．平抛运动是匀变速曲线运动 B．平抛运动是变加速曲线运动 C．平抛运动的速度方向始终与加速度方向垂直 D．平抛运动的加速度随时间逐渐增大 【答案】A 【详解】A．平抛运动的加速度为重力加速度g，大小和方向均恒定，因此是匀变速曲线运动，故A正确； B．平抛运动的加速度恒定，不属于变加速运动，故B错误； C．平抛运动的加速度方向竖直向下，速度方向沿轨迹的切线方向。仅在时速度方向与加速度方向垂直，时速度方向与加速度方向不垂直，故C错误； D．平抛运动的加速度始终为g，不随时间变化，故D错误。 故选A。 6．如图所示，足球被踢出后在空中依次经过a、b、c三点的运动轨迹示意图，b为最高点，a、c两点等高。则足球 （  ） A．在b点的速度为零 B．在b点的加速度方向竖直向下 C．在a、c两点的速度大小相等 D．在ab间的运动时间小于bc间的运动时间 【答案】D 【详解】A．在b点，足球竖直方向速度为零而水平方向速度向右，A错误； B．在b点，足球运动方向向右，空气阻力水平向左，还受竖直向下的重力，则合外力斜向下，故此刻足球的加速度斜向下，B错误； CD．足球被踢出后，受到重力和空气阻力，当从a运动到b过程中竖直方向上重力和空气阻力都向下，从b运动到c过程中空气阻力向上，故由a运动到b过程中的竖直方向上的加速度大于由b运动到c过程中的加速度，a、c两点等高，故从a运动到b的时间小于从b运动到c的，在a的速度大于c点的速度，故C错误，D正确。 故选D。 7．“2025济南国际泉水节——‘泉染星穹’无人飞机秀”在大明湖上空拉开帷幕。5000架无人机绘制出一幅璀璨画卷，点亮泉城夜空。在无人机运动的过程中，以下说法中正确的是（    ） A．无人机的速度变化得越多，加速度一定越大 B．无人机的速度变化越快，加速度一定越大 C．无人机的加速度不断减小，则速度一定越来越小 D．无人机的加速度方向保持不变，则速度方向也一定保持不变 【答案】B 【详解】A．加速度，速度变化量大，若时间长，加速度不一定大，故A错误； B．加速度反映速度变化的快慢，速度变化越快加速度越大，故B正确； C．如果加速度与速度方向相同，无论加速度增大、减小还是保持不变，速度都会增大，故C错误； D．加速度方向不变时，如果与初速度方向不在同一直线上，则会做曲线运动，故D错误。 故选B。 8．一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物块从车厢顶部落下后，在水平方向上，由于不计空气阻力，它不受任何水平力作用。根据牛顿第一定律（惯性定律），物块将保持脱离车厢瞬间的水平速度做匀速直线运动。在竖直方向上，物块只受重力作用，做自由落体运动。因此，物块相对地面的运动是平抛运动，其轨迹是一条抛物线。 以车厢为参考系，在物块下落的过程中，车厢在水平方向上向右做匀加速直线运动，而物块在水平方向上做匀速直线运动。因此，物块在水平方向上相对于车厢向左做初速度为零的匀加速直线运动（加速度大小等于车厢的加速度，方向向左）。在竖直方向上，物块相对于车厢做自由落体运动。 物块相对于车厢的运动，可以看作是水平方向向左的匀加速直线运动和竖直方向向下的匀加速直线运动（自由落体）的合运动。由于这两个分运动都是从静止开始的，根据运动的合成，其合运动的轨迹是一条过起点的直线，方向指向左下方。 故选B。 9．（多选）2024年巴黎奥运会上，全红婵获得女子单人跳水10 m跳台金牌，成为中国奥运史上最年轻的三金得主。如图所示，虚线描绘的是某跳水运动员的头部运动轨迹，最后该运动员沿竖直方向以速度v入水。在图中标注的1、2、3、4四个位置中，头部速度方向与v方向相反的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【详解】物体做曲线运动的速度方向为轨迹在该点的切线方向，所以1位置的速度方向水平向左，2位置的速度方向竖直向上，3位置的速度方向竖直向下，4位置的速度方向竖直向上，所以头部速度方向与v方向相反的是2位置和4位置。 故选BD。 10．（多选）如图，足够大光滑水平桌面上有一小球，以某一初速度在桌面内匀速运动。某时刻小球经过位置时，受到一个方向位于桌面内的恒力作用，关于小球此后在桌面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球不会再次回到位置 B．小球的速度大小可能先变小后变大 C．在相同时间内小球的速度变化量相同 D．经过一段时间，小球的速度方向不可能与初速度的方向垂直 【答案】BC 【详解】AB．若恒力方向与方向相反，则小球先沿方向做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动，小球会再次回到位置；小球的速度大小先变小后变大，故A错误，B正确； C．由于小球受到恒力作用，根据牛顿第二定律可知，小球的加速度保持不变，根据可知，在相同时间内小球的速度变化量相同，故C正确； D．若小球受到的恒力与方向的夹角大于，且不在同一直线上，则小球沿方向做匀减速直线运动，同时垂直方向做匀加速直线运动，当方向速度减为0时，此时小球的速度方向与初速度的方向垂直，故D错误。 故选BC。 11．（多选）关于曲线运动，下列说法中正确的是（　　） A．做曲线运动的物体所受合力可以为零 B．合力不为零的运动一定是曲线运动 C．曲线运动的速度方向一定是改变的 D．曲线运动的加速度一定不为零 【答案】CD 【详解】AD．做曲线运动的物体所受合力一定不为零，加速度一定不为零，故A错误，D正确； B．合力不为零的运动，如果合力与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动，故B错误； C．曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向，所以速度方向一定是改变的，故C正确。 故选CD。 12．（多选）如图所示，甲、乙两运动物体在t1、t2、t3时刻的速度矢量分别为、、和、、，下列说法中正确的是（　　） A．甲做的一定不是直线运动 B．乙做的可能是直线运动 C．甲受到的合力不可能是恒力 D．乙受到的合力不可能是恒力 【答案】AD 【详解】AB．甲、乙的速度方向在变化，所以甲、乙不可能做直线运动，故A正确，B错误； C．由图可知甲的速度变化量的方向不变，则加速度的方向不变，可知甲的加速度可能不变，根据牛顿第二定律，可知甲的合力可能是恒力。故C错误； D．由图知乙的速度变化量方向在改变，则加速度的方向改变，所以乙的合力不可能是恒力。故D正确。 故选AD。 13．（多选）目前国内人形机器人产业迎来显著进展，不少企业积极布局并发布产品，人形机器人的时刻即将到来。如图为某新型机器人，在一次执行任务过程中，给它设定了如下动作程序：机器人在平面坐标系内，由点出发，沿直线运动到点，然后又由点沿直线运动到点，第一个过程机器人用时1s，第二个过程中机器人所用时间是。则（　　） A．机器人做的是曲线运动 B．第一个过程的平均速度大小为 C．整个过程中机器人的位移大小为 D．整个过程中机器人的平均速率 【答案】BC 【详解】A．机器人所做的运动为两段直线构成的折线，做曲线运动的物体速度方向时刻发生变化，所以机械人做的不是曲线运动，故A错误； B．第一个过程的位移为 第一个过程的平均速度为 故B正确； C．整个过程从点到点，所以整个过程的位移为 故C正确； D．第一个过程的路程为 第二个过程的位移为 路程为 整个过程的总路程为 整个过程中机器人的平均速率为 故D错误。 故选BC。 14．如图，一物体沿曲线由M向N运动，速率逐渐减小，则物体在P点的速度沿 （填“1”、“2”、“3”或“4”）方向；物体在P点的受力沿 （填“1”、“2”、“3”或“4”）方向。 【答案】 1 4 【详解】[1]物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向。在P点，轨迹的切线方向是1方向，因此物体在P点的速度沿1方向。 [2]物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧；同时速率逐渐减小，可知合力方向与速度方向成钝角，故受力方向沿4方向。 15．如图为砂轮打磨下来随砂轮边缘运动的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样。 (1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？ (2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？ 【详解】（1）微粒未离开砂轮前，随着砂轮一起做匀速圆周运动，轨迹为圆，离开砂轮瞬间速度为圆周上该点的切线方向，也即沿离开砂轮时该点的切线方向。 （2）微粒在离开砂轮前做圆周运动，速度是不断变化的。 【链接高考】 1．（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧。 故选A。 2．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 【答案】A 【详解】A．笔尖由a点经b点回到a点过程，初位置和末位置相同，位移为零，故A正确； B．笔尖由a点经b点回到a点过程，轨迹长度不为零，则路程不为零，故B错误； C．两次过a点时轨迹的切线方向不同，则速度方向不同，故C错误； D．摩擦力方向与笔尖的速度方向相反，则两次过a点时摩擦力方向不同，故D错误。 故选A 。 3．（2023·浙江·高考真题）图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为135kg，则巡视器（　　）    A．受到月球的引力为1350N B．在AB段运动时一定有加速度 C．OA段与AB段的平均速度方向相同 D．从O到B的位移大小等于OAB轨迹长度 【答案】B 【详解】A．在月球上的g与地球不同，故质量为135kg的巡视器受到月球的引力不是1350N，故A错误； B．由于在AB段运动时做曲线运动，速度方向一定改变，一定有加速度，故B正确； C．平均速度的方向与位移方向相同，由图可知OA段与AB段位移方向不同，故平均速度方向不相同，故C错误； D．根据位移的定义可知从O到B的位移大小等于OB的连线长度，故D错误。 故选B。 4．（2024·浙江·高考真题）如图为小猫蹬地跃起腾空追蝶的情景，则（　　） A．飞行的蝴蝶只受重力的作用 B．蝴蝶转弯时所受合力沿运动方向 C．小猫在空中受重力和弹力的作用 D．小猫蹬地时弹力大于所受重力 【答案】D 【详解】A．飞行的蝴蝶除了受到重力的作用还受到空气的作用力，故A错误； B．蝴蝶转弯时做曲线运动，所受合力与速度方向不在一条直线上，故B错误； C．小猫在空中与其他物体间没有接触，不受弹力的作用，故C错误； D．小猫蹬地时有向上的加速过程，故弹力大于所受重力，故D正确。 故选D。 5．（2025·河北·模拟预测）（多选）雨滴受空气的作用，在地面附近会以恒定的速率下落，该速度被称为雨滴的终端速度。如图所示，下雨时，某人竖直撑着雨伞向左行走，假定水滴从伞的珠尾处下落瞬间相对雨伞的速度沿竖直方向，当人向左走时，他看到的从身侧珠尾滴落的水滴的轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A．根据题图，雨滴在落到雨伞上之前,斜向左下做直线运动，雨滴一定受到重力,则空气对雨滴的作用力一定有向左的分量，即存在向左的风。若水滴因风产生的向左的加速度与人的加速度相等,轨迹可能如A所示，故A正确； B．结合上述分析可知，若人做减速或匀速运动,轨迹可能如B所示，故B正确; C．同理可知，若人向左的加速度较大，轨迹可能如C所示，故C正确； D．水滴从珠尾滴落时相对伞的速度沿竖直方向,即轨迹最上端的切线一定沿竖直方向,故D错误。 故选ABC。 / 学科网（北京）股份有限公司 $