第五章 圆的单元练习2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

第五章圆的单元练习 一、单选题 1．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在的优弧上，，则的度数为(    )    A． B． C． D． 4．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 5．如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，分别以、、为直径向的同侧作半圆，则阴影部分的面积等于（　　） A． B． C．24 D．25 9．如图，、切于A、B，及其延长线分别交于C、D，为⊙O的直径，连接、，下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④ 10．如图，的半径为，双曲线和与圆相交，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 11．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的有（    ）个 ①  ②  ③  ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．    14．如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 15．如图，一根排水管的截面是一个半径为的圆，管内水面宽，，则水的最大深度为 ． 16．如图，、分别与相切于A、B，C为上一点，，则的度数为 ． 17．如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 18．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为 ． 三、解答题 19．小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 20．如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 21．如图，的弦，点D为中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 22．如图，是的直径，C是上的一点，且于点O，点D是的中点，连接交于M，连接． (1)的度数为 度． (2)求证：； (3)过点C作于点E，若，求的长． 23．如图，，交于点C、D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 24．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接 (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2．B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即可得到答案． 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴只有B选项正确，其他均不正确． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：， ， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查垂径定理的运用以及翻折变换的性质，解题的关键在于作出辅助线利用数形结合解答． 连接，过点O作于点E，交于点D，由折叠的性质得：，在中，利用勾股定理可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，交于点D， 由折叠的性质得：， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：B 7．B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：底面圆的周长为， 底面圆的周长即为圆锥展开图扇形的弧长， ∴扇形的面积即为圆锥的侧面积为， 故选：B． 8．C 【分析】此题主要考查了勾股定理、扇形面积的计算，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 阴影部分面积可以看成是以为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质： ①在圆中相等圆心角所对应弧相等，，连接，，则． ②，，则，正确． ③根据角的互余关系证明即可； ④条件不足，无法确定． 【详解】解：连接，如图， 由切线性质知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，①正确； 由切线性质知，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，③正确； ④若，则，即是等边三角形， 根据已知条件无法得到这一结论，故④错误． 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质，由题意可知，双曲线和与圆构成的图形是轴对称图形，即得，据此即可求解，掌握反比例函数的图形和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，双曲线和与圆构成的图形是轴对称图形， ∴， 故选：． 11．A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，可得．再根据点C是AB的中点求出点C的坐标． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴圆心C的坐标为，即圆心C的坐标为 故选：A． 12．C 【分析】假设，则，再根据点是的中点得，则，即点将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点将半圆三等分，由此可对①进行判断；连接，根据圆周角定理结合三角形内角和定理可对②进行判断；延长交于，连接，由得，则，再根据垂径定理得，据此可对③进行判断；根据垂径定理得，则，即，推出，在中由，设，则，则，则，进而得，证明得，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：假设， 则， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴点将半圆三等分， 根据已知条件无法证明点将半圆三等分， ∴假设是错误的，故①不正确； 连接， ∵为直径，， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ， ∴，故②正确； 延长交于，连接，如图2所示： ， ， ， ∵为直径，， ， ∴，故③正确； ∵为直径，， ， 又 ∵， ， ， 即， ， 在中，， ∴可设， 由勾股定理得：， ， ， 在 中，由勾股定理得：， ， ， 是直径， ， ， ， ∴，故④正确．故②③④正确，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理，熟练相关知识点，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 13． 【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理，设圆锥底面圆的半径是，根据扇形的弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长是， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥底面圆的半径是， ∴，解得： ∴圆锥的高是 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15．20 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理求边长是解答此题的关键． 由题意知，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出 的长，由即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 由题意知， ． 在中，，， ． ． 故答案为：20． 16．/72度 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质、圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键．在优弧上任取一点D，连接、，、，先根据圆内接四边形的性质求得，然后根据圆周角定理求出，再根据圆的切线的性质得到，最后根据四边形内角和的性质求解即可． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接、，、， ，， ， ， 、分别与相切， ， ． 故答案为：． 17．//2.5 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，利用圆周角定理得出为圆的直径，再根据勾股定理求出的长度，进而得到圆的半径． 【详解】解：连接， ∵， ∴是圆的直径． ∵，， ∴，， 根据勾股定理，在中， ． ∴圆的半径为． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是作辅助线构造相等的圆周角．连接并延长，交于，连接，根据切线的性质可知，根据垂径定理可知，根据圆周角定理可证． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于，连接， 是的切线， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 19．(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长， ∴侧面积为 ∴底面积为， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 20．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质． （1）由圆周角定理得到，，进而得到，根据等边对等角得到，即可证明平分； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到，最后根据计算即可； （3）由，得到阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ． 又∵， ， 平分； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ， ； （3）解：如图，连接． 由（2）知． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理． （1）根据垂径定理得到，根据得到，即可证明是的切线； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得到，设的半径长为x，连接，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D为中点，是半径， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径长为x，则， ∴， 连接，在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 22．(1)22.5 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆的相关概念性质的应用，等腰直角三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键． （1）由圆周角定理及弧中点性质可得答案； （2）根据等腰三角形的判定，判断，即可证明； （3）利用（1）、（2）的结论，再证明出是等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：22.5． （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． 23．(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为r，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点F， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， 设的半径为r，则， 由得：， ∵是的半径，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：，解得：， ∴的半径为6． 24．(1)见解析； (2)； (3)； 【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）过点作于点，于点，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴ 即， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：如图；过点作于点，于点， 则， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∵点是半圆的中点，   ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∴矩形是正方形， 设， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：. 【点睛】本题考查垂直平分线的判定及性质，圆周角定理，内接四边形的性质，勾股定理，正方形的判定及性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $