专题05 二元一次方程组（9大题型）（期末真题汇编，四川成都专用）八年级数学上学期

专题05 二元一次方程组 09大高频考点概览 考点01 判断是否为二元一次方程组的解 考点06二元一次方程组实际应用之方案选择问题 考点02已知二元一次方程组的解求参数 考点07二元一次方程组实际应用之销售利润问题 考点03列二元一次方程组 考点08二元一次方程组实际应用之分配问题 考点04解二元一次方程组（计算题）（必考题） 考点09二元一次方程组实际应用与一次函数综合 考点05一次函数与二元一次方程交点 （注：二元一次方程组的实际应用是成都期末考试重点考查题型） 地 城 考点01 判断是否为二元一次方程组的解 1．(23-24八上·四川成都高新技术产业开发区·期末)下面4组数值中，是二元一次方程的解是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把每一个选项中，的值分别代入方程的左右两边进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：解：A、左边，右边， 左边右边， 不是二元一次方程的解， B、左边，右边， 左边右边， 不是二元一次方程的解， 故B不符合题意； C、左边，右边， 左边右边， 故C不符合题意； D、左边，右边， 左边右边， 是二元一次方程的解， 故D符合题意； 故选：D． 2．(23-24八上·四川成都郫都区·期末)二元一次方程的一个解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．正确利用二元一次方程的解的意义是解题的关键．将四个选项分别代入原方程，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 【详解】解：∵将代入原方程，左边右边， ∴A选项符合题意； ∵将代入原方程，左边右边， ∴B选项不符合题意； 将代入原方程，左边右边， ∴C选项不符合题意； ∵将代入原方程，左边右边， ∴D选项不符合题意． 故选：A． 3．(24-25八上·四川成都高新区·期末)二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用代入消元法解方程组即可得出答案． 【详解】解：， 由②得y＝8﹣2x③， 把③代入①得7x﹣3（8﹣2x）＝2， 解得x＝2， 把x＝2代入③得y＝4， ∴方程组的解为， 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 4．(24-25八上·四川成都温江区·期末)已知直线与直线交点的坐标为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点坐标与方程组解的关系，熟练掌握两者关系是解决本题的关键． 根据两直线交点坐标与方程组解的关系来求解即可． 【详解】解：已知直线，移项可得； 直线，移项可得，可整理为， ∴直线与直线的交点坐标就是方程组的解， 即． 故选：B． 5．(24-25八上·四川成都成华区·期末)下列各组数中，不是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把各项中的代入方程检验即可． 【详解】解：A、将代入方程得：左边右边，选项正确，不符合题意； B、将代入方程得：左边右边，选项正确，不符合题意； C、将代入方程得：左边右边，选项正确，不符合题意； D、将代入方程得：左边右边，选项错误，符合题意； 故选：D． 6．(24-25八上·四川成都双流区·期末)下面是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，把各选项代入方程中进行判断即可． 【详解】解：A、，故是二元一次方程的解，符合题意； B、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； C、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； D、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； 故选：A． 7．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)如果二元一次方程组的解是一个直角三角形的两条直角边，则这个直角三角形斜边上的高为 ． 【答案】． 【分析】先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解： ， ①×2+②×3，得 13x=52， ∴x=4， 把x=4代入①，得 8+3y=17， ∴y=3， ∴， ∵3，4是一个直角三角形的两条直角边， ∴斜边＝＝5， ∴这个直角三角形斜边上的高＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，勾股定理的运用以及面积法求线段的长，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键． 8．(24-25八上·四川成都东部新区·)已知直线与交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．把P点的坐标代入函数的解析式得到点，根据P点的坐标得出答案即可． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴， ∴点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 9．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)一次函数与图象的交点为A，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程组交点关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：一次函数与图象的交点为， ， ， ， 方程组的解为， 故答案为：． 10．(24-25八上·四川成都双流区·期末)在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．把代入求出的值可得出点的坐标，即可得出答案．． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，得：， ∴， ∴方程组的解为． 故答案为：． 11．(23-24八上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)已知实数x，y满足，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． 利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答； 【详解】解∶ 足， ①②得：， 故答案为：7． 12．(24-25八上·四川成都成华区·期末)若满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征解答即可． 【详解】解：因为 所以 故答案为：. 地 城 考点02 已知二元一次方程组的解求参数 1．(24-25八·四川成都简阳·期末)若方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解方程组的解是解答本题的关键． 先解方程组，求得、的值，再将、的值代入，即可求得的值． 【详解】解：方程组的解满足， ， 得：， 把代入得：， 方程组的解为， 把代入得：， 解得：， 故答案为：． 2．(24-25八上·四川成都金牛区·期末)若关于，的方程组的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字母的值是解题的关键． 将方程组的解代入求出，的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，方程组的解为， 所以， 解得：； 故； 故答案为： 3．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·期末)已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解，求参数的值，把代入方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， ∴； 故选D． 4．(23-24八上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)函数与的图象交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 先把代入求出a的值，然后直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】解：∵函数与的图象交点坐标为， 把代入，得， 即图象交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：B． 5．(24-25八·四川成都简阳·期末)若方程组的解满足，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查解二元一次方程组、解一元一次方程，先将两个方程相加得到，再根据已知得到，进而解方程可得答案． 【详解】解：对于方程组， 由得，则， ∵方程组的解满足， ∴，解得， 故答案为：3． 6．(24-25八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期末)如果是方程组的解，那么代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入二元一次方程组中，两式相减，即可求解． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 上两式中，后一式减前一式得：； 故答案为：5． 7．(24-25八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期末)把二元一次方程，用含x的代数式表示y，则可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组；把x当作已知数，y当作未知数，解一元一次方程即可． 【详解】解：由， 移项得：； 故答案为：． 8．(24-25八上·四川成都锦江区·期末)若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键． 先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出k的值． 【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得， 根据题意得把代入方程中，得， 解得， 故答案为：． 9．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)已知实数a、b满足，则代数式a2﹣4b2的值为 ． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相乘，利用平方差公式即可得． 【详解】解：， 由①②得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、平方差公式，代数式求值，正确发现二元一次方程组与所求代数式之间的联系是解题关键． 10．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了方程组的解，先求出第二个方程组的解，代入第一个方程组，求得新方程组的解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得入， 解得：， 故答案为：，． 11．(24-25八上·四川成都邛崃第一中学校·期末)若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解．把两个方程相加即可求出，再利用，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 12．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)若是方程的一个解，则 ． 【答案】7 【分析】把方程的解代入得3a+b=1，从而确定9a+3b=3，整体代入计算即可． 【详解】∵是方程的一个解， ∴3a+b=1， ∴9a+3b=3， ∴7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二元一次方程解的定义即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键． 13．(23-24八上·四川成都实验外国语学校·期末)已知关于x，y的方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求算术平方根等知识；正确求解二元一次方程组是解题的关键； （1）把代入二元一次方程组中，得到关于a、b的方程组，解方程组即可求得a、b； （2）把a、b的值代入中，即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x，y的方程组的解， ∴， 解得：， 即； （2）解：当时，． 地 城 考点03 列二元一次方程组 1．(24-25八上·四川成都高新区·期末)我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．根据两种测量方式各列一个方程，组成方程组即可． 【详解】解：设木长x尺，绳子长y尺， 根据题意有：， 故选：D 2．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)《孙子算经》记载：今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢：人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问：人、绢各几何？意思是：如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹，问：现在有多少人，有多少匹绢？设现在有x人，有绢y匹，下列所列方程（组）正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每人分6匹，则会剩下6匹，根据每人分7匹，则还少7匹，人数和绢布的匹数不变，列方程即可． 【详解】解：设小偷有x名，绢布丢失了y匹，根据题意： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程解应用题，解题的关键是找出等量关系，列出方程． 3．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两 由题意得： 故选D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 4．(24-25八上·四川成都东部新区·)《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得： ． 故选：B． 5．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为：， 故选：C． 6．(24-25八上·四川成都石室联合中学·期末)我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，井深为y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设绳长为x尺，井深为y尺，根据把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，即可得出关于，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长是x尺，井深是y尺， 依题意得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出两个方程是解题的关键． 7．(24-25八上·四川成都邛崃第一中学校·期末)古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x、y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出题中的等量关系是解本题的关键． 设甲原有“文钱，乙原有y文钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文”，列出一个关于x和y的二元一次方程，根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文”，列出一个关于x和y的二元一次方程，从而得到答案． 【详解】解：根据题意可列方程组为： ， 故选：C． 8．(24-25八上·四川成都八区联考·期末)（算法统宗）记载的“和尚分馒头”为：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则以下列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系是解答的关键． 根据和尚数和馒头数的等量关系直接列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得：， 故选：A． 9．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题目意思，表示出在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数为，在较大的两位数的左边写上较小的两位数，得到另一个四位数为． 根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大2178，根据等量关系列出方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 10．(24-25八上·四川成都金牛区·期末)《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组． 设有个人，该物品价值元，根据每人出元，多元；每人出元，少元，列出方程组即可． 【详解】解：设有个人，该物品价值元， 根据题意可得：； 故选：C 11．(23-24八上·四川成都邛崃·期末)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了5元；如果每人出7元，则少了9元，问组团人数和物价各是多少？若设有x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“如果每人出9元，则多了5元；如果每人出7元，则少了9元”，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．解答本题的关键是找出等量关系，列出相应的方程组． 【详解】解：设x人参与组团，物价为y元， 由“如果每人出9元，则多了5元”，可得， 由“如果每人出7元，则少了9元”，可得 故可得方程组， 故选：B． 12．(24-25八上·四川成都温江区·期末)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，列出方程组即可． 【详解】解：设有客房x间，客人y人，由题意，得：； 故选D． 地 城 考点04 解二元一次方程组（计算题） 1.(24-25八上·四川成都温江区·期末)计算下面各题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组： （1）根据实数的混合运算法则和运算顺序进行计算即可； （2）代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式； （2）， 由①，得：③； 把③代入②，得：，解得：； 把代入③，得：； ∴． 2．(21-22八上·四川成都新都区·期末)解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． （2）解：， 整理，得 得， 把代入①解得，， 故方程组的解为． 3．(24-25八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期末)（1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、算术平方根及实数的绝对值，解二元一次方程组等知识，正确计算是解题的关键； （1）分别计算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂及实数的绝对值，再进行加减运算即可； （2）先把方程组整理得到，利用加减法即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）原方程组整理得：， 得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：； 所以原方程组的解为：． 4．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）2 （2） 【分析】（1）先根据完全平方公式、二次根式的除法、立方根的定义计算，再合并即可； （2）先整理方程组，再根据消元法解二元一次方程组即可． 本题考查了解二元一次方程组，二次根式的运算，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2）， 方程组可化为， ，得， ，得， 解得， 把代入，得， 所以原方程组的解是 5．(23-24八上·四川成都成都第十七中学·期末)计算，解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用乘方的定义、零指数幂、立方根的定义及负整数指数幂分别运算，再合并即可求解； （）选化简方程组，再利用加减法解答即可求解； 本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握实数的运算法则和解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：方程组整理得，， ①+②得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解为． 6．(23-24八上·四川成都青羊区泡桐树中学·期末)（1）； （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）本题考查负整数指数幂，零指数幂，二次根式的混合运算，根据相关运算法则，正确的计算，是解题的关键； （2）本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式 （2）， ，得：， 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 7．(24-25八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期末)（1）计算： （2）解方程组：． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，二元一次方程组的解法： （1）由二次根式的性质和乘法运算进行化简，再计算加减运算即可； （2）先整理，再利用加减消元法解二元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）整理，得：， ，可得：， ，可得：， 解得：， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 8．(24-25八上·四川成都青羊区石室联中·期末)解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用代入法求解； （2）利用代入法求解． 【详解】（1）解：将②代入①，得4x-（2x+3）=1， 解得x=2， 将x=2代入②，得y=7， ∴方程组的解为； （2）解：由①得③， 将③代入②，得2（）+3y=-7， 解得y=-3， 将y=-3代入③，得x=1， ∴方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组：代入法，正确掌握代入法求解的方法是解题的关键． 地 城 考点05 一次函数与二元一次方程组交点 1．(23-24八上·四川成都·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，将点点代入得出，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， 当时， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故选：A． 2．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．根据两条直线的交点坐标即可解题． 【详解】解：把代入得， ∴点P的坐标为， ∴方程组的解是， 故答案为：． 地 城 考点06 二元一次方程组实际应用之方案选择问题 1．(23-24八上·四川成都邛崃·期末)“蓉宝”是成都2023年大运会吉祥物．大运会来临之际，“蓉宝”系列玩偶畅销全国．某礼品店在玩偶加工厂选中A，B两种玩偶，决定从该加工厂进货并销售，礼品店用1400元购进了A型玩偶15个和B型玩偶10个，已知购进1个A型玩偶和2个B型玩偶共需136元，销售每个A型玩偶可获利32元，每个B型玩偶可获利12元． (1)求两种玩偶的进货价分别为多少？ (2)礼品店第二次计划购进两种玩偶共50个，其中A型玩偶个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 【答案】(1)A型玩偶的进货价为72元，B型玩偶的进货价为32元 (2)A型玩偶30个，B型玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为1200元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用： （1）设A型玩偶的进货价为a元，B型玩偶的进货价为b元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设所获利润为w元，根据题意，列出w关于m的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设A型玩偶的进货价为a元，B型玩偶的进货价为b元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型玩偶的进货价为72元，B型玩偶的进货价为32元； （2）解：根据题意得：A型玩偶m个，B型玩偶个， 设所获利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为1200元， 即A型玩偶30个，B型玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为1200元． 2．(22-23八上·四川成都简阳·期末)今年夏天成都突发新冠疫情，“巴蜀儿女，命运与共；疫无反顾，共克时艰”按照成都市应对新型冠状病毒肺炎疫情应急指挥部统一部署，我市将组织名医务工作者前往支援，计划租用辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表： 甲种客车 乙种客车 载客量座辆 租金元辆 (1)如果恰好一次性将名医务工作者送往成都，应安排租用甲、乙两种车各几辆？ (2)设租用甲种客车辆，租车总费用为元． ①求出元与辆之间的函数表达式； ②当甲种客车有多少辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)甲种客车辆，乙种客车辆 (2)①；②辆，元 【分析】（1）设租用甲种客车辆，乙种可车辆，然后根据客车一共有8辆共载客名，列出方程组求解即可； （2）①设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，先求出，再根据费用甲的租车单价数量乙的租车单价数量列出w关于m的关系式即可；②根据①所求，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲种客车辆，乙种可车辆， 根据题意可列方程组为：， 解得：， 答：租用甲种客车辆，乙种客车辆； （2）解：①根据题意可得：租用乙种客车辆， 且， 解得：， 根据图表可得：， 整理得：， 元与辆之间的函数表达式为：； ②由①可知， ， 随的增大而减小， ， 当，有最小值，此时最小值， 答：当甲车租用辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用为元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键． 3．(24-25八上·四川成都简阳·期末)某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？ (2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人； (2)①租车方案有三种：方案一：小客车8车、大客车1辆，方案二：小客车5辆，大客车3辆，方案三：小客车2辆，大客车5辆；②租用小客车2辆，大客车5辆时费用最小，最小费用为49500元． 【分析】（1）每辆小客车能坐a人，每辆大客车能坐b人，根据“用1辆小客车和2，辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人”列出方程组，再解即可； （2）①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=280+5，然后求出整数解即可；②根据题意求出W与m的关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）设每辆小客车能坐a人，每辆大客车能坐b人，根据题意，得： ， 解得：， 答：每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人； （2）①根据题意，得30m+45n=280+5， 因为m，n均为整数 所以解得：或或， ∴租车方案有三种： 方案一：小客车8车、大客车1辆， 方案二：小客车5辆，大客车3辆， 方案三：小客车2辆，大客车5辆； ②根据题意，得W=6000m+7500×=1000m+47500， ∵1000＞0， ∴W随m的增大而增大， ∴当m=2时，W有最小值为：49500． 答：租用小客车2辆，大客车5辆时费用最小，最小费用为49500元． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 4．(25-26八上·四川成都天府新区·期末)近年来，四川天府新区取得了飞速的发展，以成都科学城发展为例，兴隆湖畔集结了一大批领先的科技创新领军项目，正如火如荼地推进建设，据报道，新区某公司打算购买A，B两种花装点城区道路，公司负责人到花卉基地调查发现：购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元． (1)求A，B两种花的单价各为多少元？ (2)公司若购买A，B两种花共10000盆，设购买的A种花m盆（3000≤m≤5000），总费用为W元； ①求W与m的关系式； ②请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 【答案】(1)A种花的单价为4元，B种花的单价为5元 (2)①W与m的关系式是W=-m+50000（3000≤m≤5000）；②当购买A种花5000盆、B种花5000盆时，总花费最少，最少费用为45000元 【分析】（1）根据购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到A、B两种花的单价各为多少元； （2）①根据题意，可以写出W与m的关系式； ②根据①中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到使总花费最少的购花方案，并求出最少费用． 【详解】（1）解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元， ∴， 解得：， 即A种花的单价为4元，B种花的单价为5元； （2）①由题意可得， W=4m+5（10000-m）=-m+50000， 即W与m的关系式是W=-m+50000（3000≤m≤5000）； ②∵W=-m+50000， ∴W随m的增大而减小， ∵3000≤m≤5000， ∴当m=5000时，W取得最小值，此时W=45000，10000-m=5000， 即当购买A种花5000盆、B种花5000盆时，总花费最少，最少费用为45000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 5．(24-25八上·四川成都八区联考·期末)随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 (1)该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ (2)经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 【答案】(1)生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个 (2)有两种，厂家最少需投资152万元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用； （1）设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个， 根据题意得：， 解得， 答：生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个； （2）根据题意得： ， 整理得：， ， 又都为正整数，为5的正整数倍， 或， 当时，， 需投资：（元）， 当时， ， 需投资：（元）， 又， 最少投资1520000元， 答：厂家生产方案有两种：生产甲网球拍4000个，乙网球拍2500个；生产甲网球拍3200个， 乙网球拍3000个；厂家最少需投资152万元． 6．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1)A型号的汽车进价为25万元、B型号的汽车的进价为10万元 (2) 共有三种购买方案：①A型号购买2辆，B型号购买15辆；②A型号购买4辆，B型号购买10辆；③A型号购买6辆，B型号购买5辆 【分析】（1）根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”列方程组求解； （2）根据“正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列方程，并求出正整数解． 本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型号的汽车进价为万元、型号的汽车的进价为万元， 则：， 解得：， 答：型号的汽车进价为25万元、型号的汽车的进价为10万元； （2）解：设型号购买辆，型号购买辆， 则：， 方程的正整数解为：，，， 共有三种购买方案： ①型号购买2辆，型号购买15辆； ②型号购买4辆，型号购买10辆； ③型号购买6辆，型号购买5辆． 7．(24-25八·四川成都简阳·期末)“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元 (2)共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵． 8．(24-25八上·四川成都双流区·期末)已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物待运，计划型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨 (2)该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车，最少租车费是元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车型恰好一次运完吨货物，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论； 【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； （2）根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数， ∴或， ∴该物流公司共有种租车方案， 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车． 选择方案所需租车费用：（元）； 选择方案所需租车费用：（元）． ∵， ∴最少租车费是元． 答：该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车，最少租车费是元． 9．(23-24八上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位？ (2)若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案． 【答案】(1)A型车有45个座位，B型车有60个座位． (2)共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设A型车有x个座位，B型车有y个座位，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n，根据题意可得：，则有：，然后列举m确定n即可解答． 【详解】（1）解：设A型车有x个座位，B型车有y个座位， 根据题意得：，解得：． 答：A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）解：设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n， 根据题意可得：，则有： 当时，； 当时，． 所以，共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆． 地 城 考点07 二元一次方程组实际应用之销售利润问题 1．(24-25八上·四川成都锦江区·期末)2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 【答案】(1)香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元 (2)总利润的最大值是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子， 根据题意得：， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）． 答：总利润的最大值是元． 2．(23-24八上·四川成都新都区·期末)“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元 (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元? (2)若该公司计划购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)共辆，且 (型汽车不超过辆，根据市场调查，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，请问怎么安排采购方案获利最大? 【答案】(1)型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元； (2)当购进辆型汽车，辆型汽车时，该公司获利最大． 【分析】（）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （）设购进辆型汽车，所购新能源汽车全部售出后获得的总利润为万元，求出与的函数关系式，再根据函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， 根据题意得，， 解得， 答：型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元； （2）解：设购进辆型汽车，所购新能源汽车全部售出后获得的总利润为万元， 则购进辆型汽车， 根据题意得， ， 即， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵，且为正整数， ∴当时，取得最大值， 此时(辆)， 答：当购进辆型汽车，辆型汽车时，该公司获利最大． 3．(23-24八上·四川成都东部新区·期末)今年流行款和款两种服装，某服装直播间趁机销售这两种服装，它们的进价和售价如下表所示： 服装 进价（元/件） 售价（元/件） 已知该直播间购进两种服装共花费元，销售完成后共获得利润元． (1)求直播间购进和两款服装各多少件？ (2)因为销售火爆，直播间再次购进两种服装共件，若购入款服装数量为件（），设本轮总利润为，用含的式子表示，并求出本轮最大利润． 【答案】(1)直播间购进款服装件，款服装件； (2)，元． 【分析】（）设直播间购进款服装件，款服装件，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意可求出与的一次函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出本轮最大利润； 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设直播间购进款服装件，款服装件， 由题意得，， 解得， 答：直播间购进款服装件，款服装件； （2）解：由题意得，总利润， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大利润． 4．(24-25八·四川成都实验外国语学校·期末)某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元． (1)求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？ (2)若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台（），设销售这140台复读机的总利润为y元， ①求y关于a的函数关系式； ②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元 (2)①（且为正整数）；②购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大 【分析】（1）设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，根据题意建立二元一次方程组解决问题； （2）①设购进A型复读机a台，则购进B型复读机台，根据（1）的结论以及总利润等于每台复读机的利润乘以总数列出函数关系式； ②根据①的结论，以及一次函数的性质求得最值即可． 【详解】（1）解：设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元， 根据题意，得：，解得， 答：每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元． （2）解：①设B型复读机购进a台，则购进A型复读机台，依题意得： ， 即， ∵ 关于a的函数关系式为：（且为正整数）； ② ， ∵， 随的增大而减小， 又∵且为正整数 当时，取得最大值， 则购进A型复读机（台）， 答：商店购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大． 5．(24-25八上·四川成都邛崃第一中学校·期末)某超市准备购进A，B两种商品，进30件A，40件B需要2700元；进50件A，20件B需要3100元．商品A，B销售单价分别定为80元，45元． (1)商品A，B每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种数量不低于B种数量的一半，商店有几种进货方案？ (3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A商品售价优惠元，B商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】(1)商品A每件的进价为50元，商品B每件的进价为30元 (2)该商店有5种进货方案 (3)当时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大；当时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同；当时，购进A种商品14件，B种商品26件时，销售这40件商品获得总利润最大． 【分析】本题是方程、不等式组及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型． （1）设商品A每件的进价为x元，商品B每件的进价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程求解即可． （2））设A商品购进a件，根据不等关系：购进A商品所需的费用+购进B商品所需的费用，A种商品的数量种商品数量，列出不等式组，解不等式组，再根据a取整数，即可求得进货方案； （3）设总利润为w元，购进A种商品a件，求得W关于x的函数关系式为，对m的取值讨论即可求得总利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设商品A每件的进价为x元，商品B每件的进价为y元， 由题意可得：， 解得： 答：商品A每件的进价为50元，商品B每件的进价为30元； （2）设购进商品A有a件，则商品B有件， 由题意可得： 解得． 又∵a为整数， ∴a可以为14，15，16，17，18， ∴该商店有5种进货方案； （3）设销售这40件商品获得总利润为w元， 则． 若，即时，w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时； 若，即时，w的值不变； 若，即时，w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大； 当时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同； 当时，购进A种商品14件，B种商品26件时，销售这40件商品获得总利润最大． 地 城 考点08 二元一次方程组实际应用之分配问题 1．(24-25八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期末)某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； (2)有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆 【分析】本题考查了二元一次方程与二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生；根据等量关系：用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意得，根据m、n为正整数求出其整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生； 由题意得：， 解得：； 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得， 则； 由于m、n为正整数，且n只能是4的倍数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当n为大于16的4的倍数时，不符合题意； 故有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆． 2．(24-25八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期末)春节将至，某坚果公司要把330吨坚果运往甲、乙两地进行销售，现用A、B两种货车共30辆，恰好能一次性装完这批坚果．已知A、B两种货车的载重量分别为12吨/辆和9吨/辆，运往甲地的运费为：A车520元/辆，B车360元/辆；运往乙地的运费为：A车600元/辆， B车480元/辆． (1)求这两种货车各有多少辆？ (2)如果安排8辆货车前往甲地，其中调往甲地的A车有a辆，其余货车前往乙地，若设总运费为W，求W与a的关系式(用含有a的代数式表示W)． (3)在（2）的条件下，如果运往甲地的坚果不少于87吨，请你设计出使用总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？ 【答案】(1)A车用20辆，B车用10辆． (2) (3)安排5辆A种车和3辆B种车前往甲地，安排15辆A种车和7辆B种车前往乙地，最少运费为16040元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、．二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出不等式和函数关系式成为解题的关键． （1）首先设大货车x辆，小货车有y辆，根据等量关系“大、小两种货车共20辆”和“一次性装完330吨坚果”列方程组求解即可； （2）调往甲地的A种车有a辆，，则到甲地的B种车有辆，调往乙地的A种车辆，到乙地的B种车有辆，再结合运费即可得到W与a的关系式； （3）先确定a的取值范围，然后再根据函数的增减性确定a的值，然后确定方案即可． 【详解】（1）解：设A车x辆，B车有y辆， 根据题意得：，解得：， 答：A车用20辆．B车用10辆． （2）解：∵安排8辆货车前往甲地，调往甲地的A车有a辆， ∴调往甲地的B种车有辆， ∴调往乙地的A种车辆，到乙地的B种车有辆， ∴总运费为 ， 答：W与a的关系式为． （3）解：由题意得，， ∵， ∴． ∴a的取值范围为，a为整数． 在函数表达式中， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴时，W最小，此时元． ∴应安排5辆A种车和3辆B种车前往甲地，安排15辆A种车和7辆B种车前往乙地，最少运费为16040元． 3．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·期末)某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 【答案】(1)七年级1班人数为49人，则2班人数为53人，联合购票，节省604元 (2)八年级报名人数为人，九年级报名人数为人 【分析】本题考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组是解题的关键： （1）设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，根据售票方式，列出方程，进行求解即可； （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人，根据两种不同的购票方式，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴七年级1班人数为49人，则2班人数为53人； 联合购票，节省：（元） 答：七年级1班人数为49人，则2班人数为53人；联合购票，节省604元． （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人， 若，则：，解得：，不合题意，舍去； ∴， ∴，解得：， 答：八年级报名人数为人，九年级报名人数为人． 4．(23-24八上·四川成都成都第十七中学·期末)目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元，购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． （2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】（1）甲：元瓶，乙元瓶；（2）的瓶，的瓶使损耗最小． 【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将9.6L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元， 依题意，得： 解得， 答：甲种免洗手消毒液的单价为15元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． （2）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶， 依题意，得：300m+500n+20（m+n）=9600， ， ∵m，n均为正整数， ∴和， ∵要使分装时总损耗20（m+n）最小， ∴． 即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小． 地 城 考点09 二元一次方程组实际应用与一次函数综合 1．(24-25八上·四川成都高新区·期末)“新冠肺炎疫情期间，戴口罩成为了每个人外出时的习惯．为满足大家使用口罩的实际需求，某药店采用A、B两类不同的包装方式出售医用口罩．A类包装每包装有10只口罩，按15元/包定价销售；B类包装则采用每只口罩独立包装的方式销售，售价如下表： 口罩的数量 售价 不超过10只的部分 2元/只 10只以上的部分 1.6元/只 设共购买口罩的数量为x只（x为10的倍数），购买A类包装口罩的金额为y1元，购买B类包装口罩的金额为y2元． （1）求y1与x之间的函数关系式，并直接写出当x＞10时y2与x之间的函数关系式； （2）小颖购买了以上两种不同包装的口罩共有100只，且购买的B类包装口罩不低于10只，合计付款160元，求小颖买了多少包A类包装口罩． 【答案】（1）y1＝1.5x，y2＝1.6x＋4（x＞10）；（2）4包 【分析】（1）由金额＝单价×数量，可求解； （2）设买了a只A类包装口罩，b只B类包装口罩，由两种不同包装的口罩共有100只，且购买的B类包装口罩不低于10只，合计付款160元，列出方程组，即可求解． 【详解】解：（1）y1＝1.5x， y2＝2×10+1.6(x-10)=1.6x＋4（x＞10）； （2）设买了a只A类包装口罩，b只B类包装口罩， 由题意可得：，解得：， 40÷10=4包 答：小颖买了4包A类包装口罩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． 2．(23-24八上·四川成都高新技术产业开发区·期末)2023年12月4日至10日，国际乒联混合团体世界杯在四川成都举行，在此期间，成都某酒店对三人间及双人间客房进行优惠大酬宾，优惠方案为：三人间为每天每间360元，双人间为每天每间300元，一个40人的旅游团于2023年12月4日在该酒店入住，住了一些三人间及双人间客房，且每个客房正好住满． (1)若旅游团一天共花去住宿费5100元，求该旅行团租住了三人间、双人间各多少间？ (2)设有人住三人间，这个团一天共花去住宿费元，请求出与的函数表达式． 【答案】(1)该旅行团租住了三人间10间，双人间5间 (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找到自变量和函数之间的等量关系． （1）首先设该旅行团租住了三人间间，双人间间，利用一个40人的旅游团，一天共花去住宿费5100元，分别得出等式方程求出即可； （2）根据（1）列出函数关系即可． 【详解】（1）解：设该旅行团租住了三人间间，双人间间， 由题意可知：，          解得，         答：该旅行团租住了三人间10间，双人间5间． （2）设有人住三人间，这个团一天共花去住宿费元， 则， 即与的函数表达式为． 3．(24-25八上·四川成都高新区·期末)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升．王师傅驾驶一辆纯电动汽车从一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是千瓦时，行驶了千米后，从另一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若这辆车从高速路入口驶入时，剩余电量为千瓦时，请问王师傅能在不充电的情况下行驶千米路程到达高速公路出口吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出每千米消耗的电量，计算出行驶千米消耗的电量并与比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将点和分别代入， 得， 解得， ∴， 又∵， 与之间的函数表达式为； （2）解：王师傅能在不充电的情况下行驶千米路程到达高速公路出口．理由如下： ∵该电动汽车每千米消耗的电量为（千瓦）， ∴该电动汽车从高速路入口行驶360千米消耗的电量为（千瓦）， ∵， 王师傅能在不充电的情况下行驶千米路程到达高速公路出口． 4．(24-25八上·四川成都高新区·期末)某水果店准备购进，两种水果进行销售，若购进种水果和种水果各千克共需花费元，购进种水果千克和种水果千克共需花费元． (1)求购进种水果和种水果的单价； (2)若该水果店购进了，两种水果共千克，其中种水果售价为元千克，种水果售价为元千克，种水果运输和仓储过程中质量损失．设购进种水果千克，，两种水果全部销售获得总利润为元，求关于的函数表达式． 【答案】(1)种水果的单价是元千克，种水果的单价是元千克 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设种水果和种水果的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“总利润购进的种水果的质量除去损失掉的部分后剩下的种水果的质量种水果售价种水果的质量种水果售价购进的种水果的质量种水果的进价购进的种水果的质量种水果的进价”计算即可． 【详解】（1）解：设种水果的单价是元千克，种水果的单价是元千克， 根据题意，得：， 解得：． 答：种水果的单价是元千克，种水果的单价是元千克； （2）解：设购进种水果千克， 则购进种水果千克， 根据题意，得， 其中． 答：关于的函数表达式为． 5．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)今年3月，德宏瑞丽受疫情影响，采取了“封城措施”封城期间，某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到德宏瑞丽，支援瑞丽抗击疫情，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如表： 目的地车型 A地（元/辆） B地（元/辆） 大货车 900 1000 小货车 500 700 要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发． (1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（设未知数避开x，y） (2)设从A地出发的大货车有x辆（大货车不少于5辆）这20辆货车的总运费为y元，求总运费y的最小值． 【答案】(1)大货车有8辆，小货车有12辆 (2)总运费最小值为14500元 【分析】（1）设大货车有辆、小货车有辆，根据“大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资”，列出方程组，解方程组即可求出答案； （2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，再根据车辆数不能为负数，且大货车不少于5辆，求得x的取值范围，最后再利用函数的性质，求得最小运费． 【详解】（1）解：设大货车有辆、小货车有辆，根据题意列方程组得： 解得： 答：大货车有8辆，小货车有12辆． （2）设从A地出发的大货车有x辆， 则从A地出发的小货车有辆， 从B地出发的大货车有辆， 从B地出发的小货车有辆， 由题意得， 化简得，， ∵一次函数y＝100x+14000中，， ∴y随x的增大而增大， ∵设从A地出发的大货车有x辆，（大货车不少于5辆，大货车一共8辆） ∴5≤x≤8； ∴当x＝5时，y有最小值，此时最小运费y＝100×5+14000＝14500元， 答：总运费最小值为14500元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，同时还考查了一次函数的性质，掌握相关知识点，找出等量关系列方程组，求出一次函数的关系式，是解题的关键． 6．(24-25八上·四川成都东部新区·期末)成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 【答案】(1)每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； (2)总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”写出W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元． 根据题意，得， 解得． 答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； （2）解：， ∵， ∴W随m的减小而减小， ∵， ∴当时，W值最小，． 答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 7．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)我国的机器狗技术处于世界领先地位，为了落实科技利民，峨眉山景区计划购买一批机器狗用于搬运物资，已知1台小型机器狗和2台大型机器狗一次可以运载400千克物资，10台小型机器狗和5台大型机器狗一次可以运载1750千克物资． (1)求每台小型机器狗和大型机器狗每次各能运载多少千克物资？ (2)现峨眉山景区每天需运载5000千克物资，两种机器狗每天只能运送一次．已知小型机器狗每台3000元，大型机器狗每台6000元，合理购买大小机器狗数量刚好能够满足运输需求，若购买小型机器狗x台，求购买机器狗的总费用y与x的函数关系式． 【答案】(1)每台小型机器狗每次能运载千克物资，每台大型机器狗每次能运载千克物资 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，求出关于的函数关系式. （1）设每台小型机器狗每次能运载千克物资，每台大型机器狗每次能运载千克物资，根据“1台小型机器狗和2台大型机器狗一次可以运载400千克物资，10台小型机器狗和5台大型机器狗一次可以运载1750千克物资”， 即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据购买机器狗的总费用每台机器狗的价格购买数量，即可得出关于的函数关系式. 【详解】（1）解：设每台小型机器狗每次能运载千克物资，每台大型机器狗每次能运载千克物资，依题意得： ，解得：， 答：每台小型机器狗每次能运载千克物资，每台大型机器狗每次能运载千克物资． （2）解：设购买大型机器狗台，则， ， ． 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组 09大高频考点概览 考点01 判断是否为二元一次方程组的解 考点06二元一次方程组实际应用之方案选择问题 考点02已知二元一次方程组的解求参数 考点07二元一次方程组实际应用之销售利润问题 考点03列二元一次方程组 考点08二元一次方程组实际应用之分配问题 考点04解二元一次方程组（计算题）（必考题） 考点09二元一次方程组实际应用与一次函数综合 考点05一次函数与二元一次方程交点 （注：二元一次方程组的实际应用是成都期末考试重点考查题型） 地 城 考点01 判断是否为二元一次方程组的解 1．(23-24八上·四川成都高新技术产业开发区·期末)下面4组数值中，是二元一次方程的解是(    ) A． B． C． D． 2．(23-24八上·四川成都郫都区·期末)二元一次方程的一个解是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八上·四川成都高新区·期末)二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·四川成都温江区·期末)已知直线与直线交点的坐标为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 5．(24-25八上·四川成都成华区·期末)下列各组数中，不是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·四川成都双流区·期末)下面是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)如果二元一次方程组的解是一个直角三角形的两条直角边，则这个直角三角形斜边上的高为 ． 8．(24-25八上·四川成都东部新区·)已知直线与交于点，则方程组的解为 ． 9．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)一次函数与图象的交点为A，则方程组的解为 ． 10．(24-25八上·四川成都双流区·期末)在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 11．(23-24八上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)已知实数x，y满足，那么 ． 12．(24-25八上·四川成都成华区·期末)若满足，则代数式的值为 ． 地 城 考点02 已知二元一次方程组的解求参数 1．(24-25八·四川成都简阳·期末)若方程组的解满足，则的值为 ． 2．(24-25八上·四川成都金牛区·期末)若关于，的方程组的解为，则的值为 ． 3．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·期末)已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(23-24八上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)函数与的图象交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八·四川成都简阳·期末)若方程组的解满足，则a的值为 ． 6．(24-25八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期末)如果是方程组的解，那么代数式的值为 ． 7．(24-25八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期末)把二元一次方程，用含x的代数式表示y，则可以表示为 ． 8．(24-25八上·四川成都锦江区·期末)若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ． 9．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)已知实数a、b满足，则代数式a2﹣4b2的值为 ． 10．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则 ， ． 11．(24-25八上·四川成都邛崃第一中学校·期末)若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 12．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)若是方程的一个解，则 ． 13．(23-24八上·四川成都实验外国语学校·期末)已知关于x，y的方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求的值． 地 城 考点03 列二元一次方程组 1．(24-25八上·四川成都高新区·期末)我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)《孙子算经》记载：今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢：人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问：人、绢各几何？意思是：如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹，问：现在有多少人，有多少匹绢？设现在有x人，有绢y匹，下列所列方程（组）正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A． B． C． D． 4．(24-25八上·四川成都东部新区·)《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·四川成都石室联合中学·期末)我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，井深为y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 7．(24-25八上·四川成都邛崃第一中学校·期末)古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x、y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．(24-25八上·四川成都八区联考·期末)（算法统宗）记载的“和尚分馒头”为：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则以下列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 10．(24-25八上·四川成都金牛区·期末)《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 11．(23-24八上·四川成都邛崃·期末)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了5元；如果每人出7元，则少了9元，问组团人数和物价各是多少？若设有x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是(　　) A． B． C． D． 12．(24-25八上·四川成都温江区·期末)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 解二元一次方程组（计算题） 1.(24-25八上·四川成都温江区·期末)计算下面各题 (1)； (2)． 2．(21-22八上·四川成都新都区·期末)解下列方程组 (1) (2) 3．(24-25八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期末)（1）计算：； （2）解方程组： 4．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)（1）计算：； （2）解方程组：． 5．(23-24八上·四川成都成都第十七中学·期末)计算，解方程组： (1)； (2)． 6．(23-24八上·四川成都青羊区泡桐树中学·期末)（1）； （2）解方程组：． 7．(24-25八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期末)（1）计算： （2）解方程组：． 8．(24-25八上·四川成都青羊区石室联中·期末)解下列方程组： (1)； (2)． 地 城 考点05 一次函数与二元一次方程组交点 1．(23-24八上·四川成都·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 地 城 考点06 二元一次方程组实际应用之方案选择问题 1．(23-24八上·四川成都邛崃·期末)“蓉宝”是成都2023年大运会吉祥物．大运会来临之际，“蓉宝”系列玩偶畅销全国．某礼品店在玩偶加工厂选中A，B两种玩偶，决定从该加工厂进货并销售，礼品店用1400元购进了A型玩偶15个和B型玩偶10个，已知购进1个A型玩偶和2个B型玩偶共需136元，销售每个A型玩偶可获利32元，每个B型玩偶可获利12元． (1)求两种玩偶的进货价分别为多少？ (2)礼品店第二次计划购进两种玩偶共50个，其中A型玩偶个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 2．(22-23八上·四川成都简阳·期末)今年夏天成都突发新冠疫情，“巴蜀儿女，命运与共；疫无反顾，共克时艰”按照成都市应对新型冠状病毒肺炎疫情应急指挥部统一部署，我市将组织名医务工作者前往支援，计划租用辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表： 甲种客车 乙种客车 载客量座辆 租金元辆 (1)如果恰好一次性将名医务工作者送往成都，应安排租用甲、乙两种车各几辆？ (2)设租用甲种客车辆，租车总费用为元． ①求出元与辆之间的函数表达式； ②当甲种客车有多少辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用是多少元？ 3．(24-25八上·四川成都简阳·期末)某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？ (2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 4．(25-26八上·四川成都天府新区·期末)近年来，四川天府新区取得了飞速的发展，以成都科学城发展为例，兴隆湖畔集结了一大批领先的科技创新领军项目，正如火如荼地推进建设，据报道，新区某公司打算购买A，B两种花装点城区道路，公司负责人到花卉基地调查发现：购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元． (1)求A，B两种花的单价各为多少元？ (2)公司若购买A，B两种花共10000盆，设购买的A种花m盆（3000≤m≤5000），总费用为W元； ①求W与m的关系式； ②请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 5．(24-25八上·四川成都八区联考·期末)随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 (1)该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ (2)经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 6．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 7．(24-25八·四川成都简阳·期末)“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 8．(24-25八上·四川成都双流区·期末)已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物待运，计划型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 9．(23-24八上·四川成都武侯区成都西川中学·期末)“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位？ (2)若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案． 地 城 考点07 二元一次方程组实际应用之销售利润问题 1．(24-25八上·四川成都锦江区·期末)2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 2．(23-24八上·四川成都新都区·期末)“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元 (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元? (2)若该公司计划购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)共辆，且 (型汽车不超过辆，根据市场调查，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，请问怎么安排采购方案获利最大? 3．(23-24八上·四川成都东部新区·期末)今年流行款和款两种服装，某服装直播间趁机销售这两种服装，它们的进价和售价如下表所示： 服装 进价（元/件） 售价（元/件） 已知该直播间购进两种服装共花费元，销售完成后共获得利润元． (1)求直播间购进和两款服装各多少件？ (2)因为销售火爆，直播间再次购进两种服装共件，若购入款服装数量为件（），设本轮总利润为，用含的式子表示，并求出本轮最大利润． 4．(24-25八·四川成都实验外国语学校·期末)某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元． (1)求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？ (2)若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台（），设销售这140台复读机的总利润为y元， ①求y关于a的函数关系式； ②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？ 5．(24-25八上·四川成都邛崃第一中学校·期末)某超市准备购进A，B两种商品，进30件A，40件B需要2700元；进50件A，20件B需要3100元．商品A，B销售单价分别定为80元，45元． (1)商品A，B每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种数量不低于B种数量的一半，商店有几种进货方案？ (3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A商品售价优惠元，B商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 地 城 考点08 二元一次方程组实际应用之分配问题 1．(24-25八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期末)某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 2．(24-25八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期末)春节将至，某坚果公司要把330吨坚果运往甲、乙两地进行销售，现用A、B两种货车共30辆，恰好能一次性装完这批坚果．已知A、B两种货车的载重量分别为12吨/辆和9吨/辆，运往甲地的运费为：A车520元/辆，B车360元/辆；运往乙地的运费为：A车600元/辆， B车480元/辆． (1)求这两种货车各有多少辆？ (2)如果安排8辆货车前往甲地，其中调往甲地的A车有a辆，其余货车前往乙地，若设总运费为W，求W与a的关系式(用含有a的代数式表示W)． (3)在（2）的条件下，如果运往甲地的坚果不少于87吨，请你设计出使用总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？ 3．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·期末)某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 4．(23-24八上·四川成都成都第十七中学·期末)目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元，购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． （2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 地 城 考点09 二元一次方程组实际应用与一次函数综合 1．(24-25八上·四川成都高新区·期末)“新冠肺炎疫情期间，戴口罩成为了每个人外出时的习惯．为满足大家使用口罩的实际需求，某药店采用A、B两类不同的包装方式出售医用口罩．A类包装每包装有10只口罩，按15元/包定价销售；B类包装则采用每只口罩独立包装的方式销售，售价如下表： 口罩的数量 售价 不超过10只的部分 2元/只 10只以上的部分 1.6元/只 设共购买口罩的数量为x只（x为10的倍数），购买A类包装口罩的金额为y1元，购买B类包装口罩的金额为y2元． （1）求y1与x之间的函数关系式，并直接写出当x＞10时y2与x之间的函数关系式； （2）小颖购买了以上两种不同包装的口罩共有100只，且购买的B类包装口罩不低于10只，合计付款160元，求小颖买了多少包A类包装口罩． 2．(23-24八上·四川成都高新技术产业开发区·期末)2023年12月4日至10日，国际乒联混合团体世界杯在四川成都举行，在此期间，成都某酒店对三人间及双人间客房进行优惠大酬宾，优惠方案为：三人间为每天每间360元，双人间为每天每间300元，一个40人的旅游团于2023年12月4日在该酒店入住，住了一些三人间及双人间客房，且每个客房正好住满． (1)若旅游团一天共花去住宿费5100元，求该旅行团租住了三人间、双人间各多少间？ (2)设有人住三人间，这个团一天共花去住宿费元，请求出与的函数表达式． 3．(24-25八上·四川成都高新区·期末)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升．王师傅驾驶一辆纯电动汽车从一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是千瓦时，行驶了千米后，从另一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若这辆车从高速路入口驶入时，剩余电量为千瓦时，请问王师傅能在不充电的情况下行驶千米路程到达高速公路出口吗？并说明理由． 4．(24-25八上·四川成都高新区·期末)某水果店准备购进，两种水果进行销售，若购进种水果和种水果各千克共需花费元，购进种水果千克和种水果千克共需花费元． (1)求购进种水果和种水果的单价； (2)若该水果店购进了，两种水果共千克，其中种水果售价为元千克，种水果售价为元千克，种水果运输和仓储过程中质量损失．设购进种水果千克，，两种水果全部销售获得总利润为元，求关于的函数表达式． 5．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)今年3月，德宏瑞丽受疫情影响，采取了“封城措施”封城期间，某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到德宏瑞丽，支援瑞丽抗击疫情，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如表： 目的地车型 A地（元/辆） B地（元/辆） 大货车 900 1000 小货车 500 700 要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发． (1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（设未知数避开x，y） (2)设从A地出发的大货车有x辆（大货车不少于5辆）这20辆货车的总运费为y元，求总运费y的最小值． 6．(24-25八上·四川成都东部新区·期末)成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 7．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)我国的机器狗技术处于世界领先地位，为了落实科技利民，峨眉山景区计划购买一批机器狗用于搬运物资，已知1台小型机器狗和2台大型机器狗一次可以运载400千克物资，10台小型机器狗和5台大型机器狗一次可以运载1750千克物资． (1)求每台小型机器狗和大型机器狗每次各能运载多少千克物资？ (2)现峨眉山景区每天需运载5000千克物资，两种机器狗每天只能运送一次．已知小型机器狗每台3000元，大型机器狗每台6000元，合理购买大小机器狗数量刚好能够满足运输需求，若购买小型机器狗x台，求购买机器狗的总费用y与x的函数关系式． 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $