专题02 实数（13大题型）（期末真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题02 实数 13大高频考点概览 考点01 判断是否为无理数（基础题） 考点08利用二次根式的性质化简 考点02无理数的大小估算 考点09最简二次根式的判断 考点03求一个数的算术平方根 考点10二次根式的混合运算 考点04利用算术平方根的非负性求解 考点11二次根式的实际应用 考点05无理数整数部分有关计算 考点12实数的混合运算（计算题）（必考题） 考点06平方根和立方根综合计算 考点13新定义下的实数运算 考点07二次根式有意义的条件（高频考题） 地 城 考点01 判断是否为无理数 1．(24-25八·四川成都实验外国语学校·期末)实数：，，，中无理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义作答即可． 【详解】解：实数：，，，中无理数的个数为，共2个， 故选：B． 2．(24-25八·四川南充营山县·期末)在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，立方根，先化简，再根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、，是有理数，故此选项不符合题意； D、，是有理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．(24-25八上·四川成都新都区·期末)下列四个数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，符合题意； B. 是有理数，不是无理数，不符合题意； C. 是有理数，不符合题意； D. 是分数，不是无理数，不符合题意； 故选：A． 4．(23-24八上·四川成都双流区·期末)在下列各数中是无理数的有（　　） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．(24-25八·四川自贡·期末)在实数，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是无理数的定义，属于基础题型．理解无理数的定义是解题的关键． 无理数是指无限不循环小数，其中包含开方开不尽的二次根式、还有π的式子等等，根据定义即可得出答案． 【详解】解：根据定义可得：和是无理数， 故选：B． 6．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)有一组数如下：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加个），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根、绝对值． 【详解】解：，， 故无理数有，，，（相邻两个之间的个数逐次加个），共个， 故选：B． 7．(24-25八上·四川宜宾一中叙州区实验初级中学校·期末)已知一组数据：，π，，1.010010001……（每两个1之间依次多一个0），，其中无理数出现的频率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，无理数的定义，求频率，掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义得出无理数的个数，根据频率等于出现的次数除以总数即可求解． 【详解】解：， ∴无理数有， 1.010010001……（每两个1之间依次多一个0），， ∴无理数出现的频率是：， 故选：C． 8．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有 个无理数． 【答案】2 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的数要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：在数，，，，，（每两个之间依次多个），中， 无理数有2个，分别是：、（每两个之间依次多个）， 故答案为：2． 地 城 考点02 无理数的大小估算 1．(24-25八·四川泸州合江县·期末)满足的正整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，确定满足条件的立方根和平方根的范围，找出符合条件的正整数． 【详解】解：已知，， 故介于2和3之间． 已知，， 故介于6和7之间． ， ， x的可能取值为3、4、5、6．共4个， 故选C． 2．(23-24八·四川广元利州区·期末)若是两个连续的整数，且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法得出，结合题意可得，，代入求和即可． 【详解】解： ， ，即， 是两个连续的整数，且， ，， ， 故答案为：9． 3．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)若为连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算，代数式求值．先估算出的取值范围，由此可确定a和b的值，进而可得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵为连续整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．(24-25八·四川广元利州区·期末)把一条线段分为两部分，若此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，则这个比值就是黄金数，即为比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，正确运用作差法是解题的关键． 先作差得到，再利用无理数的估算得到，则，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25八·四川德阳旌阳区·期末)已知为整数，当最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，估算的大小，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即更接近 ∴ ∴ 故答案为：． 6．(23-24八·四川泸州合江县·期末)与最接近的整数是 【答案】5 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 利用无理数的估算确定出所求即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴与最接近的整数是5． 故答案是：5． 地 城 考点03 求一个数的算术平方根 1．(24-25八上·四川成都锦江区·期末)下列说法错误的是（  ） A．4的算术平方根是2 B．2的平方根是 C．的整数部分是2 D．的小数部分是 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根，解题关键是熟练掌握如何估算无理数大小和平方根的定义．A．根据算术平方根的定义进行解答即可；B．根据平方根的定义进行解答即可；C．估算的大小，求出整数部分，进行判断即可；D．估算的大小，求出其整数部分和小数部分，进行判断即可． 【详解】解：A．∵4的算术平方根是2，∴此说法正确，故此选项不符合题意； B．∵2的平方根是，∴此说法错误，故此选项符合题意； C．∵，∴的整数部分是2，此说法正确，故此选项不符合题意； D．∵，∴的整数部分是5，小数部分是，此说法正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．(23-24八上·四川达州外国语学校·期末)已知，则（   ） A．4045 B．4047 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，完全平方公式的应用等知识，由得到，再代入中，通过化简得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：C． 3．(24-25八·四川南充嘉陵第一中学·期末)已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4．(24-25八·四川泸州合江县·期末)若实数有算术平方根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，算术平方根的被开方数是非负的，即，求不等式解集即可． 【详解】解：若实数 有算术平方根，则被开方数 必须满足非负性， 即： 因此， 的取值范围是 ． 故选： D． 地 城 考点04 利用算术平方根的非负性求解 1．(24-25八上·四川成都新都区·期末)已知满足，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性解答即可． 本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由，得， 故， 故答案为：． 2．(24-25八·四川泸州合江县·期末)若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的应用、代数式求值，根据算术平方根和绝对值的非负性求得x、y值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八·四川泸州古蔺县中城初级中学校·期末)若，则的值是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质进行化简求出代入求值即可 【详解】解：∵， ∴ ∴，， ∴， 故答案为： 4．(24-25八上·四川眉山洪雅县·期末)先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式除以单项法则对原式进行化简，再根据完全平方式和二次根式的非负性求出x、y的值，最后代入化简以后的式子中求值即可． 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，以及掌握完全平方式和二次根式的非负性． 【详解】解：原式      ，                                  由题意得， 解得 ，               代入得，原式． 地 城 考点05 无理数整数部分有关计算 1．(24-25八·四川（武胜、岳池、华蓥）·期末)若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解： ， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 2．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)的整数部分是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先利用夹逼法估算的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴的整数部分是3， 故答案为：3． 3．(24-25八·四川凉山州·期末)已知的算术平方根是，的立方根是3，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 故答案为;． 地 城 考点06 平方根和立方根综合计算 1．(24-25八·四川广元利州区东城实验初级中学教育集团·期末)已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求出，即可得到； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出 ，把， ， 代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴； ∵是的整数部分，， ∴， ∴， 的平方根是． 2．(24-25八·四川德阳旌阳区·期末)已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵4的算术平方根是， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是5， 又是的整数部分， ∴， 综上可知，，； （2）解：∵，，， ∴． ∴的平方根为． 地 城 考点07 二次根式有意义的条件 1．(24-25八·四川资阳雁江区保和中学·期末)若二次根式有意义，则x的值可以是（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，求解即可得解．解题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是． 故选：D． 2．(24-25八上·四川成都七中育才学校·期末)若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数必须是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意，得 x+4≥0， 解得x≥-4， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，概念：式子（a≥0）叫二次根式．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 3．(24-25八·四川南充·期末)要使式子﹣有意义，则x的值可以为（    ） A．﹣6 B．0 C．2 D．π 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：x﹣3≥0， 解得：x≥3， 各个选项中，π符合题意， 故选：D． 【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式的性质． 4．(24-25八·四川广安武胜县青岩学校·期末)若式子有意义，则自变量x的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 地 城 考点08 利用二次根式的性质化简 1．(24-25八·四川资阳雁江区保和中学·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据相关运算法则进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八·四川绵阳北川羌族自治县·期末)设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．先将进行化简变形，然后把a，b的值代入计算即可．熟练掌握二次根式的化简及二次根式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 3．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的运算法则和性质分别计算各选项后再进行判断即可． 【详解】解：A、2与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，故不符合题意， 故选：C． 4．(24-25八上·四川宜宾翠屏区龙文学校·期末)计算的结果是（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：， 故选：B． 5．(24-25八·四川南充仪陇县·期末)下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及运算，根据二次根式的性质逐一验证即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 6．(24-25八·四川南充仪陇县·期末)计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 地 城 考点09 最简二次根式的判断 1．(24-25八·四川广安武胜县青岩学校·期末)下列各式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．(24-25八·四川泸州合江县·期末)下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，满足最简二次根式的两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此逐一判断即可． 【详解】解：A：，被开方数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件； B：，被开方数含有分母，故不是最简二次根式； C：，被开方数含分母，故不是最简二次根式； D：，被开方数，含平方因数，故不是最简二次根式． 故选：A． 3．(23-24八上·四川成都温江区·期末)下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】解：① ：被开方数3不含分母，且3是质数，无法再分解出平方因数，故为最简二次根式． ② ：被开方数含分母4，可化简为，不是最简二次根式． ③ ：被开方数9是，可开方为3，故不是最简二次根式． ④ ：0.5即，被开方数含分母2，化简为，不是最简二次根式． ⑤ ：被开方数无法分解为平方形式，且不含分母，故为最简二次根式． 综上，最简二次根式有①和⑤，共2个， 故选B． 4．(24-25八上·四川成都七中育才学校·期末)下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用最简二次根式：分母中不含根号，根号中不含分母，被开方数不含能开方的因数，判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键． 5．(24-25八·四川遂宁射洪·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、＝不是最简二次根式，不符合题意； C、＝|x|，不是最简二次根式，不符合题意； D、＝，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，理解最简二次根式的概念是解题的关键． 地 城 考点10 二次根式的混合运算 1．(24-25八·四川绵阳平武县·期末)计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算括号内的减法，最后计算二次根式除法即可得到答案； （3）先化简二次根式和计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．(23-24八上·四川达州外国语学校·期末)计算题： 【答案】9 【分析】把二次根式化成最简二次根式并计算出立方根，最后合并同类二次根式即可．本题考查了二次根式的加减运算、立方根的计算，正确化简二次根式及求立方根是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 3．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)计算： 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式，并利用完全平方公式进行计算，再计算加减即可． 【详解】解： ． 4．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，先利用二次根式的性质以及完全平方公式进行运算，再合并同类项即可 【详解】解： 5．(24-25八·四川德阳·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的绝对值，负整数指数幂等知识，掌握运算法则是关键；依次计算绝对值、二次根式的乘方、分母有理化及负整数指数幂，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 6．(24-25八·四川绵阳·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后计算减法，最后进行除法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．(24-25八上·四川成都新都区·期末)计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）根据绝对值，0次幂，求一个数的算术平方根、立方根进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．(24-25八下·四川广安武胜县青岩学校·期末)计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先算平方差公式，完全平方公式，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 9．(24-25八·四川南充仪陇县·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算算术平方根、立方根、绝对值、二次根式的乘法，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 10．(24-25八·四川泸州合江县·期末)计算： 【答案】2 【来源】四川省泸州市合江县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算除法，再算加减即可． 【详解】解： ． 11．(24-25八·四川凉山州·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先计算二次根式的乘法，然后根据二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）利用同底数幂的乘法和积的乘方将化为，同时利用负整数指数幂计算，然后利用平方差公式和有理数的乘方作进一步的计算，最后进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 地 城 考点11 二次根式的实际应用 1．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形的周长等于其长与宽的和的2倍，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(24-25八·四川广安武胜县·期末)如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)销售收入为3780元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为： ． （2）解：由题意，得， ， ， （元）． 答：销售收入为3780元． 3．(24-25八·四川广元利州区·期末)在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为． (1)求正方形框架的边长． (2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2)不能围出这个长方形框架，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用平方根解方程求出，比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得正方形框架的边长为； （2）解：不能围出这个长方形框架，理由如下： 由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为，得 ， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， ∵， ∴不能围出这个长方形框架． 地 城 考点12 实数的混合运算（计算题） 1．(23-24八·四川广安第二中学校·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘法与算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 2．(24-25八·四川南充嘉陵第一中学·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算．先计算算术平方根，立方根，乘方和求绝对值，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 3．(24-25八上·四川眉山洪雅县·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算算术平方根和立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式                ． 4．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根、算术平方根的定义及绝对值的性质先化简，再相加减即可，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5．(24-25八上·四川宜宾一中叙州区实验初级中学校·期末)计算： (1)|； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、实数的混合运算、幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）根据乘方，算术平方根，立方根进行化简，再计算即可； （2）先算积的乘方，同底数幂的除法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 6．(24-25八·四川广元剑阁县·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算有理数的乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再加减即可得出答案，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： ． 7．(24-25八·四川广元苍溪县·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算以及二次根式的混合运算，正确运算是解决本题的关键． （1）由幂的运算，绝对值的化简，以及立方根的计算求解即可． （2）由立方根的运算，0指数幂的运算以及二次根式的运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．(24-25八·四川自贡富顺县代寺学区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，并计算绝对值和乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 9．(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、有理数乘方、算术平方根、立方根等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据有理数乘方、算术平方根、绝对值、立方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 地 城 考点13 新定义下的实数运算 1．(24-25八·四川泸州合江县·期末)用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 2．(24-25八·四川成都实验外国语学校·期末)如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“和雅数”．例如：四位数8031，因为，所以8031是“和雅数”；又如：四位数9132，因为，所以9132不是“和雅数”． 若是“和雅数”，则的最大值是 ； 若是一个“和雅数”，去掉其十位数字得到一个三位数，记，若是11的倍数，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 9609 5 【分析】根据个位数字最大是9 ，千位数字最大也是9，故，故，当时最大，故的最大值是9609；根据题意即。代入解答即可． 本题考查了数的整除，熟练掌握整除是解题的关键． 【详解】解：是“和雅数”，则，个位数字最大是9 ，千位数字最大也是9，故，故，当时最大，故的最大值是9609； 根据题意，是一个“和雅数”，则，去掉其十位数字得到一个三位数，， 又是11的倍数， 故， 故c一定是奇数， 当时，， 当时，， 当时，舍去， 当，时，最大，且为， 当，时，最小，且为， 故， 故答案为：9609，5 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 13大高频考点概览 考点01 判断是否为无理数（基础题） 考点08利用二次根式的性质化简 考点02无理数的大小估算 考点09最简二次根式的判断 考点03求一个数的算术平方根 考点10二次根式的混合运算 考点04利用算术平方根的非负性求解 考点11二次根式的实际应用 考点05无理数整数部分有关计算 考点12实数的混合运算（计算题）（必考题） 考点06平方根和立方根综合计算 考点13新定义下的实数运算 考点07二次根式有意义的条件（高频考题） 地 城 考点01 判断是否为无理数 1．(24-25八·四川成都实验外国语学校·期末)实数：，，，中无理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25八·四川南充营山县·期末)在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·四川成都新都区·期末)下列四个数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 4．(23-24八上·四川成都双流区·期末)在下列各数中是无理数的有（　　） A． B． C． D．0 5．(24-25八·四川自贡·期末)在实数，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)有一组数如下：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加个），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．(24-25八上·四川宜宾一中叙州区实验初级中学校·期末)已知一组数据：，π，，1.010010001……（每两个1之间依次多一个0），，其中无理数出现的频率是（　　） A． B． C． D． 8．(24-25八上·四川成都天府新区元音中学·期末)在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有 个无理数． 地 城 考点02 无理数的大小估算 1．(24-25八·四川泸州合江县·期末)满足的正整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．(23-24八·四川广元利州区·期末)若是两个连续的整数，且，则的值为 ． 3．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)若为连续整数，且，则 ． 4．(24-25八·四川广元利州区·期末)把一条线段分为两部分，若此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，则这个比值就是黄金数，即为比较大小： ．（填“”“”或“”） 5．(24-25八·四川德阳旌阳区·期末)已知为整数，当最小时， ． 6．(23-24八·四川泸州合江县·期末)与最接近的整数是 地 城 考点03 求一个数的算术平方根 1．(24-25八上·四川成都锦江区·期末)下列说法错误的是（  ） A．4的算术平方根是2 B．2的平方根是 C．的整数部分是2 D．的小数部分是 2．(23-24八上·四川达州外国语学校·期末)已知，则（   ） A．4045 B．4047 C．4049 D．4050 3．(24-25八·四川南充嘉陵第一中学·期末)已知，则（      ） A． B． C． D． 4．(24-25八·四川泸州合江县·期末)若实数有算术平方根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 利用算术平方根的非负性求解 1．(24-25八上·四川成都新都区·期末)已知满足，则 ． 2．(24-25八·四川泸州合江县·期末)若，则的值为 ． 3．(24-25八·四川泸州古蔺县中城初级中学校·期末)若，则的值是 ； 4．(24-25八上·四川眉山洪雅县·期末)先化简，再求值：，其中x，y满足． 地 城 考点05 无理数整数部分有关计算 1．(24-25八·四川（武胜、岳池、华蓥）·期末)若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 2．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)的整数部分是 ． 3．(24-25八·四川凉山州·期末)已知的算术平方根是，的立方根是3，c是的整数部分，则的平方根是 ． 地 城 考点06 平方根和立方根综合计算 1．(24-25八·四川广元利州区东城实验初级中学教育集团·期末)已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 2．(24-25八·四川德阳旌阳区·期末)已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 地 城 考点07 二次根式有意义的条件 1．(24-25八·四川资阳雁江区保和中学·期末)若二次根式有意义，则x的值可以是（   ） A． B．2 C．4 D．6 2．(24-25八上·四川成都七中育才学校·期末)若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八·四川南充·期末)要使式子﹣有意义，则x的值可以为（    ） A．﹣6 B．0 C．2 D．π 4．(24-25八·四川广安武胜县青岩学校·期末)若式子有意义，则自变量x的取值范围是 ； 地 城 考点08 利用二次根式的性质化简 1．(24-25八·四川资阳雁江区保和中学·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八·四川绵阳北川羌族自治县·期末)设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·四川宜宾翠屏区龙文学校·期末)计算的结果是（　　） A． B．2 C． D．4 5．(24-25八·四川南充仪陇县·期末)下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八·四川南充仪陇县·期末)计算： ． 地 城 考点09 最简二次根式的判断 1．(24-25八·四川广安武胜县青岩学校·期末)下列各式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八·四川泸州合江县·期末)下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．(23-24八上·四川成都温江区·期末)下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(24-25八上·四川成都七中育才学校·期末)下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八·四川遂宁射洪·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 地 城 考点10 二次根式的混合运算 1．(24-25八·四川绵阳平武县·期末)计算： (1) (2) (3) 2．(23-24八上·四川达州外国语学校·期末)计算题： 3．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)计算： 4．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)计算： 5．(24-25八·四川德阳·期末)计算： 6．(24-25八·四川绵阳·期末)计算： (1) (2) 7．(24-25八上·四川成都新都区·期末)计算 (1) (2) 8．(24-25八下·四川广安武胜县青岩学校·期末)计算： (1) (2)． 9．(24-25八·四川南充仪陇县·期末)计算： 10．(24-25八·四川泸州合江县·期末)计算： 11．(24-25八·四川凉山州·期末)计算： (1) (2) 地 城 考点11 二次根式的实际应用 1．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 2．(24-25八·四川广安武胜县·期末)如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 3．(24-25八·四川广元利州区·期末)在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为． (1)求正方形框架的边长． (2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断． 地 城 考点12 实数的混合运算（计算题） 1．(23-24八·四川广安第二中学校·期末)计算： 2．(24-25八·四川南充嘉陵第一中学·期末)计算： 3．(24-25八上·四川眉山洪雅县·期末)计算： 4．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)计算： 5．(24-25八上·四川宜宾一中叙州区实验初级中学校·期末)计算： (1)|； (2)． 6．(24-25八·四川广元剑阁县·期末)计算： 7．(24-25八·四川广元苍溪县·期末)计算： (1) (2) 8．(24-25八·四川自贡富顺县代寺学区·期末)计算： 9．(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期末)计算： 地 城 考点13 新定义下的实数运算 1．(24-25八·四川泸州合江县·期末)用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 2．(24-25八·四川成都实验外国语学校·期末)如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“和雅数”．例如：四位数8031，因为，所以8031是“和雅数”；又如：四位数9132，因为，所以9132不是“和雅数”． 若是“和雅数”，则的最大值是 ； 若是一个“和雅数”，去掉其十位数字得到一个三位数，记，若是11的倍数，则的最大值与最小值的和为 ． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $