精品解析：福建省福州第三中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

福州三中2025-2026学年第一学期期中考 高一数学试卷 命题：高一数学集备组 审卷：高一数学集备组 第I卷 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 集合的非空真子集共有（　　）个 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 函数若，则实数的取值是（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 5或 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（ ） A. 49% B. 51% C. 65.7% D. 72.9% 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程有唯一实数解，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为6 10. 已知，且，则的值可能为（ ）. A. B. C. D. 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 函数存在跟随区间 B. 函数不存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间，则 D. 二次函数存在“2倍跟随区间” 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 13. 若，则_____. 14. 已知 为定义在 上的奇函数 当 时， 且对任意 ， 恒有 ，则实数 的取值范围为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 16. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 已知函数是上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围. 18. 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 19. 已知函数的定义域为.对定义域内的任意的非零实数恒有，且当时，. （1）求的值，判断并证明函数的奇偶性； （2）证明：函数在区间上单调递减； （3）若，函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2025-2026学年第一学期期中考 高一数学试卷 命题：高一数学集备组 审卷：高一数学集备组 第I卷 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词命题的否定形式可直接得出结论. 【详解】易知命题“，”的否定形式是. 故选：C 2. 集合的非空真子集共有（　　）个 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据子集的个数个数即可求解. 【详解】，故的非空真子集共有， 故选：A 3. 函数若，则实数的取值是（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】对于求解与分段函数有关的方程时，应分段考虑再合并. 【详解】当时，，解得：； 当时，，解得：； 即实数的取值是5或. 故选：D. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 5. 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】换元后得到，结合函数单调性得到值域. 【详解】，令，则， 则函数变为， 在上单调递减， 其中，， 故值域为. 故选：D 6. 某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（ ） A. 49% B. 51% C. 65.7% D. 72.9% 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答. 【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得， 因此前6小时过滤后剩余污染物数量为， 所以前6小时共能过滤掉污染物的. 故选：C 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，将所给的数转化为便于比较的形式即可求出. 【详解】指数函数在上单调递增，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 将的指数化为相同，得， 幂函数在上单调递增，，， 综上所述，. 故选：. 8. 已知关于x的方程有唯一实数解，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】换元构造函数，探讨函数的性质，即可求解. 【详解】令，则方程化为， 令，其定义域为R，， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，依题意，有唯一实数解， 因此，即，所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据同一函数对应法则、定义域相同判断；B应用分离常量法求值域判断；C根据条件间的推出关系，结合特殊值判断；D应用基本不等式求函数最值，注意等号成立条件判断. 【详解】A：由、，且它们的定义域均为，是同一函数，对； B：由，易知其值域为，错； C：对于，若，显然不成立，充分性不成立； 对于，则，必要性成立，对； D：由，又， 而上式中时等号成立，显然等号不成立，错. 故选：AC 10. 已知，且，则的值可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知推出，化简为，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】，， ，，， ， 又，故，当且仅当，即时等号成立， 故，此时取最大值， 结合选项可知，符合题意， 故答案为：AD 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 函数存在跟随区间 B. 函数不存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间，则 D. 二次函数存在“2倍跟随区间” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案. 【详解】对于A，函数在上单调递增， 当时，，所以函数存在跟随区间，故A正确； 对于B，因为函数在区间与上均为增函数， 若存在跟随区间， 则有，即为的两根，即为的根， 解方程得或4， 则函数存在跟随区间，故B错误； 对于C，若函数存在跟随区间， 因为为减函数， 故由跟随区间的定义可知， 即， 因为，所以， 易得． 所以， 令代入化简可得， 同理，令也满足， 即在区间上有两不相等的实数根． 故，解得，故C正确； 对于D，若二次函数存在2倍跟随区间， 则可设定义域为，值域为， 而函数开口向下，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增， 则，即为方程的两根， 解方程得或0， 则函数存在2倍跟随区间，故D正确． 故选：ACD 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】 故答案为：. 13. 若，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由集合相等，求出a，b的值，即可得答案. 【详解】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 14. 已知 为定义在 上的奇函数 当 时， 且对任意 ， 恒有 ，则实数 的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，再根据与函数图象平移分析即可. 【详解】由题意可得，当时，，当时，，结合 为定义在 上的奇函数可作出的图象，. 又的函数图图象为向左平移2个单位，则的图象在的上方， 则，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求A，M，利用补集与并集的概念计算即可； （2）分类讨论B是否为空集，结合集合的基本关系计算即可. 【小问1详解】 由，解得，即， 由， 解得，即，则， 则； 【小问2详解】 由可知， 若，即时，符合题意； 若，则要满足题意需，解之得； 综上所述实数的取值范围为. 16. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式求最小值，再解一元二次不等式即可； （2）的最小值求出来，后得到，再根据题意列不等式组，解不等式组即可. 【小问1详解】 当且仅当即取得等号． 要使得命题为真命题，只需要，解得 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 令．当时． 要使得命题为真命题，只需要，故． 因为命题和命题中至少有一个为真命题情况较多，先考虑对立情况，即命题和命题 都是假命题，此时或，可得． 所以命题和命题中至少有一个为真命题时，实数的取值范围是． 17. 已知函数是上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 函数在区间上单调递增，证明如下： ，且， ， 因为， 所以，，，，， 所以， 所以， 所以函数在区间上单调递增. （3）或或. 【解析】 【分析】（1）由列出方程组，解出答案； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将原命题等价为对所有的恒成立，即对所有的恒成立，令，再讨论函数即可. 【小问1详解】 因为函数是上的奇函数，且， 所以， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知函数在区间上单调递增. 所以， 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 令， ①当时，，满足题意； ②当时，此时为的一次函数，若对所有的恒成立，则 或， 所以或或. 18. 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）由题设等式，可将可看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由题意，使，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【小问1详解】 由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； 【小问2详解】 由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． 【小问3详解】 由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 19. 已知函数的定义域为.对定义域内的任意的非零实数恒有，且当时，. （1）求的值，判断并证明函数的奇偶性； （2）证明：函数在区间上单调递减； （3）若，函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1），是偶函数，证明如下： 取，则， 为定义在上的偶函数． （2） 任取， 令，则，即， ， 又当时，，即，则， 在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）采用赋值法可求得，取即可得到奇偶性； （2）任取，令，结合已知等式和在上的正负即可得到结论； （3）记在上的值域为在上的值域为，将问题转化为；根据的单调性可求得；分别在和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得，根据包含关系可构造不等式求得结果． 【小问1详解】 令，则； 令，则； 是偶函数，证明略． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知：在上单调递减且，又， 当时，，记； 对任意，总存在，使得， 记在上的值域为. 由题意，当时，，且函数的图象关于点对称， ①当，即时， 当时，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，， 当时，，即， 由，得，解得； ②当，即时， 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，， 当时，， 即， 由得：，解得； ③当，即时， 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，， 时，，， 由得：，解得； ④当，即时， 当时，在上单调递减， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 当时，，即， 由得：，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $