专题05 二次函数与几何综合 11大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题05 二次函数与几何综合 11大高频考点概览 考点01 二次函数的新定义与创新探究问题 考点02 二次函数与线段周长及其最值问题 考点03 二次函数与面积及其最值问题 考点04 二次函数与角度综合问题 考点05 二次函数与三角形存在性问题 考点06 二次函数与四边形存在性问题 考点07 二次函数的最值求参问题 考点08 二次函数中的公共点求参问题 考点09 二次函数与折叠问题 考点10 二次函数与相似综合问题 考点11 二次函数中的动点图象问题 地 城 考点01 二次函数的新定义与创新探究问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①②③ (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，正确理解“友好对称二次函数”的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据“友好对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得； （2）根据“友好对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误； （3）先根据“友好对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意得：的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“友好对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“友好对称二次函数”为， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“友好对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“友好对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 2．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为_____． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，或或 【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可． （2）把点代入解析式，确定，根据定义建立方程求解即可． （3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．②设与对称轴交于点G，用含m的式子表示出点P的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线的距离和点P到直线的距离，根据点P到直线的距离与点B到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， 当时，， 解得：， ∴抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为和； 故答案为：和； （2）把点代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，， 解得：或， ∴点的坐标为； （3）①设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴， ∵垂直平分 ∴， ∴， 解得：， ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，， 当时， ∴点； ②存在， 如图，设交对称轴于点H， 由（2）得：，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， ∵直线垂直平分， ∴直线， ∴点B直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线， ∵， ∴点P到直线的距离为， ∴点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键． 3．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)已知抛物线，若其顶点在一条直线上，则称这条直线为该抛物线的基准线． (1)如图1，抛物线的基准线是直线，若抛物线与x轴有两个交点，求出满足条件的a，k的取值范围； (2)如图2，抛物线的基准线，且经过点，已知抛物线开口向上，求出h的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，将基准线l向上平移1个单位得到，设抛物线的基准线为，且经过点，与直线的另一个交点为B，若点B向左平移12个单位的对应点也在抛物线上，求抛物线与直线l的两个交点之间的距离． 【答案】(1)，或， (2)且 (3) 【分析】（1）由基准线得，代入解析式化简，由，即可求解； （2）由基准线得，将代入解析整理得，当时，计算可判定，，由开口方向得，即可求解； （3）由平移得，由基准线得，同理可求，设，将、代入解析式得，解得，求出，代入后求出、，的值，联立直线与的解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：基准线是直线， ， ， 抛物线与x轴有两个交点， ， ， ，或，； （2）解：基准线，顶点， ， 抛物线经过点， ， ， ， ， 当时， 矛盾， ， ， 抛物线开口向上， ， ， ， 故：且； （3）解：基准线l向上平移1个单位得到， ， ， 抛物线经过点， 同理可求：， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， 解得：， ， ， ， 抛物线， 联立得， 解得：，， ． 【点睛】本题考查了新定义二次函数，二次函数的综合应用，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的基本性质等；理解新定义，能熟练利用二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的基本性质进行求解是解题的关键． 4．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值． 【答案】（1）②④；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数图象和性质，一元二次方程根的判别式，一次函数图象的和性质，二元一次方程组的计算，理解完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象和性质是解题的关键． （1）把坐标代入函数解析式，判断点是否在函数图象上，再分别求出点到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判断，即可得到答案； （2）根据题意得出，得到，求出完美点坐标，即可求出的值； （3）根据完美点可得二次函数与一次函数有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可． 【详解】解：（1）①当时，， 点在此函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， ， 依据完美点的定义可知，点不是完美点； ②当时，， 点在此函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， 依据完美点的定义可知，点是完美点； ③当时，， 点不在函数图象上， 点不是完美点； ④当时，， 点在函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， 依据完美点的定义可知，点是完美点； 综上，是函数的完美点的有②④， 故答案为：②④； （2）反比例函数的图象在第二象限， ， 点为反比例函数第二象限图象上的完美点， ， 解得：， ，， 点的坐标为， ； （3）二次函数的图象上有且只有一个完美点， 二次函数与直线有且只有一个交点， ， 整理得， ，即， 把点代入得， 即， 联立方程组得， 解得 ． 5．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”． 【概念理解】 （1）求直线上的“倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图1，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图像记为．将抛物线上部分的图像沿直线翻折得到的图像记为，由图像与组成的图像记为G． ①当时，求图像G上的“倍值点”的坐标； ②当图像G上存在三个“倍值点”，，，且满足，，请直接写出m的值为 ．    【答案】（1）（2）①，，；②或 【分析】（1）代入解方程即得； （2）①当时，，根据，得的顶点为关于直线对称的的顶点为，得的解析式为，当在上时，，得；当在上时，，得，；②当，时，由，知,代入得，得，得，得；当B、C在上时，代入，得，解得或，得，解得，得，得． 【详解】（1）设直线上的“倍值点”的坐标为， 则， 解得， ∴； （2）①代入， 得， 当时，， ∴， ∵， ∴的顶点为， 由翻折知，的顶点与的顶点关于直线对称， ∴的顶点为， ∴的解析式为， 设 “倍值点”为， 当在上时，， 解得（舍去）， ∴； 当在上时，， 解得， ∴，； ②由①知，上有两个“倍值点”为、， ∵G上存在三个“倍值点”，，，且， ∴当，时， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵的顶点为， ∴解析式为， ∴， 解得或，作为B、C的横坐标， 则， 解得， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：或．    【点睛】本题主要考查了新定义——“倍值点”，二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，函数与不等式的关系，函数与方程的关系，翻折性质等知识，熟练掌握新定义“倍增点”，并分类讨论是解题的关键． 6．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)已知是自变量x的函数，当时，称函数为函数的“纵和函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的纵和点”．点B在函数的“纵和函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“纵和函数”． 在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点 为点A“关于的纵和点”．点B在函数的“纵和函数”的图象上． (1)点A在函数的图象上，点A“关于的纵和点”B在点A上方，当时，求点A的坐标； (2)求函数的图象，的“纵和函数”的图象，与轴所围成的三角形的面积； (3)函数的“纵和函数”为，点A在函数图象上，点A“关于的纵和点”为点B． ①若，点，求的函数表达式； ②设函数的图象与y轴交于点C，过C作轴的平行线，与的图象交于点E，与的图象交于点F，点E，F都不与点C重合，若，求的值； ③若，函数的图象顶点坐标为，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①②③ 【分析】本题考查新定义函数、涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程、二次函数图象与性质、图象法解一元二次不等式等知识，读懂题意，理解新定义函数及其相关概念是解决问题的关键． （１）根据新定义函数，求解得到，即可以求出点坐标； （２）将和在平面直角坐标系中表示出来，通过图像即可求解三角形面积； （３）①将点，坐标代入，可得，进而得到； ②先将点和点坐标求出来，再根据，即可求出值； ③先需要求得，再把，用表示出来，进而根据的范围求解得到的范围； 【详解】（1）解：∵点A在函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∵点是点 “关于的纵和点”，且点在点上方，， ∴点的坐标为， ∵， ∴函数的“纵和函数”， ∵点在上， ∴把点代入， ∴解得， ∴； （2）解：∵， ∴的“纵和函数”， ∴将和在平面直角坐标系中表示出来，如图：， ∴通过分析和在轴上有公共点，与轴的交点为，与轴的交点为， ∴三角形面积； （3）解：①∵点在函数的图像上，且， ∴把点坐标代入，可得， ∴， ∴点的坐标为，故； ②∵， ∴函数的“纵和函数”， ∵函数与轴交于点，且点和点分别为、图像与过点平行于轴的直线的交点， ∴点和点的纵坐标与点的纵坐标相等，都为， ∵点和点分别在函数、中， ∴把分别代入函数与中， ∴点和点坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴，即； ③∵点在函数的图像上， ∴把点代入函数中， ∴， ∴函数的“纵和函数”， ∵函数图像顶点坐标为， ∴，， 即当时，． 7．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·期末)定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为 且 当自变量x满足时，此时函数的最大值记为 ，最小值记为 ，则是 的“ ”值． 已知： 在平面直角坐标系中， ， ， 轴． (1)如图， 若点坐标为， ． ①一次函数 是 的“勾股函数”吗? 若是，说明理由并求出的“ ”值，若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数 是 的“勾股函数”，若存在，求出值，不存在，说明理由． (2)若点的坐标为， 点的坐标为， 二次函数 是的“勾股函数”． ①若二次函数 经过两点，且与 的边有第三个交点，则的取值范围是 ； ②若二次函数 经过两点， 且的“ ”值 求的值． 【答案】(1)①是，理由见解析；2② (2)①②． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，新定义“勾股函数”和的“”值，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． （1）①根据“勾股函数”， “”值的定义即可求得答案； ②运用待定系数法即可求得答案； （2）①运用待定系数法可得，得出抛物线的对称轴为：直线，再结合题目条件列出不等式组即可求得答案； ②分两种情况：点B在点A上方，即，点B在点A下方，即，分别讨论即可． 【详解】（1）解：①一次函数是的“勾股函数”， 由轴，点C坐标为，，可得： 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵和这两点都在直线上， ∴一次函数是的“勾股函数”， ∵， ∴一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴的“”值为2； ②存在，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴点A和点B在同一个反比例函数图象上， ∴反比例函数是的“勾股函数”，且； （2）解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， ∵二次函数经过A，B两点， ∴将，代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∵二次函数与的边有第三个交点， ∴点B在上方，对称轴在点A、C之间， ∴， ∴； 故答案为：； ②由，可得其顶点坐标为：， 第一种情况，点B在点A上方，即， （i）当点B和点A在对称轴左侧，即，解得， 此时随x的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， 解得：， （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：（舍去），（舍去）， ∵， ∴都舍掉； 第二种情况，点B在点A下方，即， （i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得， 此时随x的增大而增大， ∴，， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴； （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：（舍去），，； 综上所述，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，新定义“勾股函数”和的“”值，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 8．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”． (1)求函数的“等距点”； (2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”， ①点的坐标为 ； ②点的坐标是，连接，求的面积； (3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②6 (3)4 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，涉及到反比例函数和一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）①由，即可求解；②由的面积，即可求解； （3）由题意得，“等距点”所在的函数表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：或，则且或且，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，“等距点”所在的函数表达式为：， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， 解得：， ∴， 即函数的“等距点”为； （2）解：①将点的坐标代入函数表达式得：， 则函数的表达式为：，与直线有交点， 则，即， 解得：， ∵时， 则点， 故答案为：； ②根据函数的对称性， 则的面积； （3）解：由题意得“等距点”所在的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：或， 则或， 解得：． 9．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”． (1)求函数的“相关函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为时，求点的坐标； (3)函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)或 【分析】（1）根据相关函数的定义可得的函数表达式； （2）易得的解析式，用表示的点的坐标，继而可得点的坐标，进而可得矩形的两边长，那么根据矩形的周长为可得的值，即可求得点的坐标； （3）易得的值，根据并结合平行四边形的性质及勾股定理可得点的纵坐标为或，求得相对应的二次函数上的点，代入一次函数可得对应的的值，进而根据函数图象可得时的取值范围． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∴的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵点的横坐标为，点在函数的图象上， ∴， ∵轴，点在函数的图象上， 当时，得：， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∵矩形的周长为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）∵与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当（点在轴的上方），过点作轴，过点作轴交轴于点，过点作交轴于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设的解析式为， 当时，，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴， 此时点的纵坐标为； 当（点在轴的下方），过点作轴， 按同样的方法可得：点的纵坐标为， ∴或， 解得：，或，， ∴点的坐标为或或或， ∵点在直线上， ∴或或或， 解得：或或或， ∵， ∴或． 【点睛】本题综合考查二次函数的图象与性质，“相关函数”的意义，坐标与图形，矩形的周长，两点间距离，理解新定义的意义并进行应用是解决本题的关键；难点是判断出时的值；易错点是根据函数图象判断出时的取值范围． 10．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， (1)若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ；（用的代数式表示） (2)若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“三倍点”的定义即可得解； （2）①先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将代入函数解析式计算即可得解；②把二次函数解析式化为顶点式得到，得到，当时，，当时，，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵“三倍点”的横坐标为， ∴点的坐标可表示为， 故答案为： （2）①将点代入，得：， 解得：， ∴， 将代入，得：，解得：， ∴函数图象上的“三倍点”坐标为； ②∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴ 11．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)新定义：A是函数y的图象上一点，过A做一条直线l，如果函数y的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．    (1)①若一次函数的一个“和谐点”是，则过A的“和谐线”是直线 ； ②反比例函数的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ； ③二次函数的“和谐点”是点 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，C均在坐标轴上，，对角线，相交于点D，已知函数的图象经过点A，函数的“和谐点”在矩形的边上，若函数的图象与直线的另一个交点为点E，且，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②和；；③ (2)a的取值范围为且． 【分析】（1）①求出“和谐线”与轴的交点，再用待定系数法求“和谐线”解析式即可；②根据题意得，反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点的对称轴，得到“和谐线”是直线，再联立函数即可求出“和谐点”；③根据题意得，二次函数的“和谐点”是其图象的顶点，再将二次函数解析式化为顶点式即可解答； （2）根据函数的“和谐点”在矩形的边上，且图象经过点A，可得，联立和直线解析式，得到方程，由根与系数的关系得到，再结合求解a的取值范围即可． 【详解】（1）解：①画出一次函数及其“和谐线”，    设与轴交于点，“和谐线”与轴交于点， 对于，令，则， 解得：， ， ， ，，， 由题意得，，即， ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， 直线的解析式为， 即过A的“和谐线”是直线； ②根据题意得，反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点的对称轴， “和谐线”是直线， 联立， 解得：或， 反比例函数的“和谐点”是点和； ③根据题意得，二次函数的“和谐点”是其图象的顶点， ， 二次函数的顶点为， 即二次函数的“和谐点”是点． 故答案为：①；②和；；③． （2）矩形对角线，相交于点D， ，即点D是的中点 ，， ， 函数的“和谐点”在矩形的边上， 函数的顶点在边上， ， ， 函数的图象经过点A， 代入到得，， ， 函数， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 消去整理得：， 函数的图象与直线的另一个交点为点E， 方程的两根为点A和点E的横坐标，记为、， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 又， ， ， ，且点A、E、D共线， ， ， 解得：， 又， ， 解得：， 综上所述，a的取值范围为且． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，阅读与理解能力，求两函数的交点，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理等知识，运算量较大，理解题意中的概念将“和谐点”转化为其图象与对称轴的交点是解题的关键． 地 城 考点02 二次函数与线段周长及其最值问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁抚顺县·期末)如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 周长的最小值就是的最小值， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 2．(24-25九上·辽宁营口·期末)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最大时，为最大，根据点与圆的位置关系可知为最大，然后再求出的长即可得出的最大值． 【详解】解：连接，设的延长线交于E，如图所示： 对于抛物线，当时，，当时，，或， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最大时，为最大， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最大， ∴当点P与点E重合时，为最大，最大值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如， (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． (3)设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，且，求m，的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）联立和得：，则①，将代入得：②，得到，再分类求解即可． （3）求出点B、C的坐标分别为：、，由，即可求解． 【详解】（1）解：令得：或1， 故“平衡点”坐标为或， 故答案为：或； （2）解：联立和得：， 则①， 将代入得：②， 联立①②并解得：，， 则， 该函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，， 当时，则函数在时取得最小值，在时，取得最大值1， 即， 则； 当时， 抛物线在时取得最大值1，在或m处取得最小值， 即，即， 当时，和关于对称，故也成立， 即， 即； （3）解：令，则，则， 即，则，即点； 令， 解得：或， 即点B、C的坐标分别为：、， ∵，则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，理解新定义是解题的关键． 4．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)已知是自变量x的函数，当时，称函数为函数的“k倍函数”． 例如：函数，当时，则函数是函数的“3倍函数”．    (1)函数的“5倍函数”是　　　　　（直接填空）； (2)求的“k倍函数”与x轴的交点坐标； (3)如图①是函数和它的“2倍函数”的图像，在的“2倍函数”图像上有一点A，作轴于点D，交函数图像于点E，作轴于点B，交函数图像于点C，连接，，求证：； (4)在平面直角坐标系中，函数的图像如图②所示，若函数的“k倍函数”的图像与函数的图像交于P，Q两点，与函数的“倍函数”的图像交于G，H两点，且Q，H两点恰好位于x轴上方，当时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据“k倍函数”的定义进行解答即可； （2）先求出的“k倍函数”解析式，然后将代入函数解析式求出与x轴的交点坐标即可； （3）根据的“2倍函数”解析式为，设点A的坐标为：，得出，，求出，得出，从而求出，即可证明结论； （4）先求出的“k倍函数”解析式为：，求出，，再得出的“倍函数”解析式为：，求出，H点横坐标为，根据，得出点Q为的中点，根据中点坐标公式求出结果即可． 【详解】（1）解：函数的“5倍函数”是； （2）解：的“k倍函数”解析式为：， 把代入得：， ∵， ∴， ∴的“k倍函数”与x轴的交点坐标为； （3）解：∵函数的“2倍函数”解析式为， ∴设点A的坐标为：， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （4）解：的“k倍函数”解析式为：，当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴函数过定点， ， 由得： ， 即， ∴，， 把代入得：， ∴，， 又的“倍函数”解析式为： ， 由得：， 即， ∴，， ∴，H点横坐标为， ∴、G两个点重合，如图所示：    当时，， ∴点Q为的中点， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数和二次函数的交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． 5．(23-24九上·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点（点P不与点B，C重合），过点P作轴交直线于点D，求线段长的最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值为4 【分析】本题考查二次函数的综合应用． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将的长转化为二次函数求最值即可． 正确的求出函数解析式，掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； （2）∵，当时，， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得：， ∴直线BC的表达式为； 设点P的坐标为，则点D的坐标为， 则． ∵， ∴当时，有最大值为4． 6．(23-24九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，点是线段上的点（不与点B，C重合），过P作轴，交抛物线于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若设点的横坐标为，请用含的代数式表示线段的长； (3)过点M作，垂足为点，求线段的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，题目较为基础，要掌握推导过程中无数据的推导形式． （1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，已知点M的横坐标，代入直线、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为的长； （3）判断是等腰直角三角形，再根据平行线的性质以及对顶角相等可以得到，结合这一条件可以得到是等腰直角三角形，最后由二次函数开口向下的抛物线在处取最大值，求得线段MN的最大值． 【详解】（1）把，代入， 得，解得， ； （2）当时，， ， 设直线解析式为， 则，解得， ， 设，则， （3），， ， ， 轴， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，抛物线开口向下，， 当时，有最大值为 7．(24-25九上·辽宁大连第七十七中学·期末)在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的图象与轴交于点． (1)求点的坐标． (2)当此抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式； (3)已知三个顶点的坐标分别为、、，若，设抛物线（为常数）与的较短的直角边的交点为．过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为．若，请直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象及性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的应用等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （）令，得，即可求点的坐标； （）有抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴，可得，再根据，可得的值，从而求出函数的解析式； （）由、、，得，，，由，可判断，即点在边上，再得出抛物线与线段相交时的的范围，结合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：令时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵、、， ∴，，，，， ∴，为斜边， ∵， ∴， ∴点在上， ∵，， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 由点在上，则令， ∴， 整理得， ∴， 解得：或， 由， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 当时，如图， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， 当时，如图， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 8．(24-25九上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)如图，抛物线过，两点，点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标为，且 (1)求抛物线的解析式 (2)过点P作轴于点D，交于点N，作轴交于点E，交抛物线的对称轴于点M，若，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将，坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）先求出点的坐标为．再求出直线的函数解析式为．用表示出和，再由，可得，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，将，坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）将代入抛物线得表达式得， ， 所以点的坐标为． 令直线的函数解析式为， 则， 解得， 所以直线的函数解析式为． 因为，且抛物线的对称轴为直线， 所以． 又因为点坐标为， 所以． 因为， 所以， 解得， 又因为， 所以． 9．(24-25九上·辽宁营口·期末)已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．    (1)求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标． (2)根据图象回答：当x取何值时，． (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的最小值，并求当取最小值时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为， (2)或 (3)的最小值为，此时 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可； （2）根据函数图象即可得到答案； （3）如图所示，连接，由抛物线的对称性可得，则当三点共线时，最小，即最小，最小值为，求出抛物线对称轴为直线，，则，即的最小值为；求出直线解析式为，可得． 【详解】（1）解：把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （2）解：∵抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标分别为， ∴当时，或； （3）解：如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴的最小值为，此时．    【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式中，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 地 城 考点03 二次函数与面积及其最值问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 对于抛物线，令，， 解得， ， 令，，则， ， 点， ， ，即点到的距离为， ， 点到的最小距离为， 的面积的最小值， 故答案为：． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， G点坐标为或或或 (3)存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式； （2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标； （3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点． 【详解】（1）解：把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴设过点与直线平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点与直线平行的直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴， 设过点与直线平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 3．(23-24九上·辽宁盘锦大洼区大洼区第二初级中学·期末)如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，从点开始沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，平移时间为秒，射线交抛物线于点、连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标是，的面积是，求关于的函数关系式； (3)如图1，当面积最大时，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，设点的横坐标是，则，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）根据二次函数的性质求得当点的横坐标是时，面积最大，进而得出，再求得直线的解析式为，根据平移的性质的解析式为，将代入，得出直线的解析式为，进而求得点的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点， ∴ 解得： ∴ （2）解：由， 当时， 解得： ∴，又， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴ 如图所示，过点作轴交于点， 设点的横坐标是，则，， ∴ ∴ 即 （3）解：∵ 即当点的横坐标是时，面积最大， ∴ ∴ ∵，， 设直线的解析式为，将点代入， 得， 解得： ∴直线的解析式为 依题意，的解析式为，将代入， 即，解得： ∴直线的解析式为 令，解得： 则点的坐标为 ∴ ∴当面积最大时， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数的解析式，面积问题，平移的问题，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．(23-24九上·辽宁大连金州区·期末)抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，点D的横坐标为m，四边形的面积为S．求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值． 【答案】(1)； (2)，S的最大值为12． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，把，分别代入，建立关于的方程组进而计算可以得解； （2）依据题意，过点作轴垂足为，进而表示出，再结合题意列出，从而得出S关于m的函数，最后结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：把，分别代入，得 ， 解得， 所求抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴垂足为， 则，，，， ． ． ．S的最大值为12． 5．(23-24九上·辽宁抚顺新抚区新抚区教师进修学校中学研训部·期末)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为的抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，作 交抛物线于点，连接．    (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)为抛物线第三象限上的一点，与的面积相等，求点的坐标； (3)为线段上一点（，两点除外），点关于直线的对称点，若点恰好落在抛物线上时，求出点的坐标． 【答案】(1)；A点坐标 (2) (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式是，根据直线解析式求得，然后待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，与轴交于点，根据等面积法得出即，证明 （）得出，即，进而待定系数法求得直线的解析式，联立抛物线解析式，解方程，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，连接，，作于点，作于点，证明，设，得出，代入二次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是 ∵直线，令，则，令，则 ∴ ∵抛物线经过，两点 ∴ 解得： ∴点坐标 （2）如图①，过点作于点，过点作于点，与轴交于点，    ， ，        ， 即 ， （） ，即 设直线的解析式为，过和， 解得： 直线的解析式， 解得：（舍去） （3）如图②，作点关于直线的对称点，连接，，作于点，    作于点            ， ， ，          设 所以， 代入 （舍去） 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，三角形的面积问题，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．(23-24九上·辽宁朝阳第一中学·期末)综合与探究 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线， (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点和点是抛物线两点，且，求c的取值范围． (3)点P是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2) (3)最大值是 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形面积的综合，掌握二次函数图象的性质，几何图形面积与二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）把点代入抛物线，根据对称轴直线，运用待定系数法即可求解抛物线解析式，再把一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把点代入抛物线解析式可得，再令时得到抛物线与轴的两个交点，由，结合图形即可求解； （3）过点作轴交于点，与直线交于点，设坐标为，根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，，可解出直线的解析式为，则，所以有，由，得到，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， 抛物线的解析式为， 把抛物线的一般式化为顶点式， ， 顶点坐标为． （2）解：∵点是抛物线上的点， ∴， 令， 解得， ∵， ∴； （3）解：过点作轴交于点，与直线交于点， 设坐标为， 在二次函数中， 令，则， ∴， 令，则， 解得， ∴， 设直线为将代入得 ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， ， 当时，最大值是． 7．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 地 城 考点04 二次函数与角度综合问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，当时； ①请直接写出B点坐标________，C点坐标________； ②M是直线上方的抛物线上一点，过点M作y轴的垂线交直线于点N，求线段的最大值； ③在抛物线上是否存在点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (2)抛物线对称轴交x轴于点H，交直线于点K，点D为顶点，过点C作的垂线交抛物线于点G，连接，，交于点P，当时，请直接写出的面积________． 【答案】(1)①，；②线段的最大值为；③点E的坐标为或 (2) 【分析】（1）①当时求出y的值，当时，求x的值，进一步得出结果； ②设，求出直线的解析式，从而表示出N的坐标，进而表述出的关系式，进一步得出结果； ③在上截取，作，交抛物线于E，，先求出直线的解析式，进而求得直线的解析式，求直线与抛物线的交点坐标，从而得出点E坐标；作，交抛物线于，作，交于G，可推出，从而，即，设，进而列出方程，求得t的值，进而求出的解析式，进一步得出结果； （2）作于W，先表示出D，C，B坐标，进而表示出作，，的长度，由得出，进而得出，从而得出，表示出，，，，，的长，进而得出b的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴或， ∴， 故答案为：，； ②设， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∵轴， ∴， 由得，, ∴， ∴， ∴当时，； ③如图1， 在上截取，作，交抛物线于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与抛物线的交点符合条件， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 由得， 或， 当时，， ∴， ∵， 作，交抛物线于，作，交于G， ∴，直线的解析式为：， ∴， ∴，即， 设， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 由得， ∴或， 当时，， ∴， 综上所述：或； （2）如图2， 由得， ，， ∴，， 由得， ，，， 当时，y=4b+1， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴BK=， 作于W， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，，， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 2．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC． (1)求抛物线y1的解析式； (2)如图1，点D是直线上方抛物线上的一点，过点D作交于点E，连接，求的最大值； (3)如图2，只将图1中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F，连接，点G是抛物线第二象限上的一点，连接．若，请求出点G的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)先根据一次函数求出与坐标轴的交点，再代入二次函数解析式，求解即可； (2)要想求出的最大值，把它转化成求的最大值，根据三角形面积的公式和分割法，把三角形面积变成二次函数的性质，根据二次函数的性质求出最大值即可； (3)根据相关条件先得到是等腰直角三角形，进而得到，求出点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，进而把二次函数移动后的解析式和的解析式联立起来求解即可； 【详解】（1）解：直线与坐标轴交于B，C两点， 则点B，C坐标分别为：， 由题意得：， 解得， ∴； （2） 解：连接， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点M交于点H，设，则， 则， ∴， ， ， ∴，抛物线开口向下， 当，最大值； 即的最大值； （3）解：当时，可得， ∵抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F， 即， ∴， ∴， 如图，设交于点N，当时， ∴， ∴， ∴， 则点 由点N，F的坐标得，直线的解析式为：， ∴ 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，一次函数图像的性质和二次函数的图形性质等知识点，解决此题的关键是要熟练的运用以上知识点． 3．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 4．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)二次函数 的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，若D是此二次函数图象上第一象限内的点，设D点横坐标为m，当四边形的面积最大时，求m的值； (4)如图3，若P是此二次函数图象上第四象限内的点，当时，求点 P 的坐标． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)点的坐标为 【分析】（1）即可求出值，从而解出二次函数解析式； （2）分别求出三边长，通过三边长的平方发现存在勾股关系，判断出是直角三角形； （3）令先设定点D坐标，再求出直线解析式，再用二次函数纵坐标减去直线纵坐标，这个差取最大时，所求面积即为最大，通过作差产生的新的二次函数求出取最大值时的横坐标； （4）在轴上取点，使，连接，再利用（2）题结论证明，从而证明，再求出直线解析式，直线又是由向下平移得到的，故可以通过来设解析式，再把代入即可求得直线解析式． 【详解】（1）把 得： 解得 （2）在中， 令， 得， 解得， 在中， ， 在中， ， （3）如图1，过点作轴于点，交于， ． 设直线的解析式为， 则有， 解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为轴， 点的横坐标为， 则， ， ． ， ∴当时， 取最大值， 的值为 （4）如图2，在轴上取点，使，连接， ， 由（2）得，， ， 即， ， 由得： 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立， 解得或 ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质．解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到相等的角，再利用角之间的关系找到边之间的关系． 5．(24-25九上·辽宁抚顺县·期末)【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，已知点，将点绕着点顺时针旋转得到点，求点的坐标． ①如图2，聪聪同学给出如下解题思路：分别过，作轴，轴的平行线，构造出两个全等的直角三角形，将点和点的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，明明同学给出另外一种解题思路：过点作轴的平行线，分别过点，作轴的平行线，同样构造出两个全等的直角三角形，也将点和点的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析，选择其中一名同学的解题思路，求出点的坐标． 【类比探究】 （2）李老师发现两名同学用不同的方法把点的坐标转化为线段的长度，为了让同学们更好地感悟这种转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． 如图4，抛物线经过点和点，且与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，为轴正半轴上一动点，将点绕点顺时针旋转得到对应点． ①求抛物线的解析式； ②若点恰好在抛物线上，求此时点的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点，连接，点为线段上一点，连接，若时，求此时点的坐标． 【答案】（1）选择聪聪的解题思路，见解析，；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）聪聪的思路：过点B作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点，证出，再利用全等三角形的性质求解即可； 明明的思路：过作轴，过作于，过作于点，证出，再利用全等三角形的性质求解即可； （2）①：利用待定系数法运算求解即可； ②：连接，，过点作轴于点，证出，利用全等三角形的性质求出的坐标，再代入二次函数解析式运算求解即可； （3）过点作交的延长线于点，分别过，作轴于点，轴于点，证出，利用全等三角形的性质求出的坐标，再代入函数解析式运算求解即可． 【详解】（1）聪聪的思路：过点B作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点，如图所示： ∴， ，， ∴，，， ∴， 由旋转的性质，得，， ∴， ， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标是， ∴点的坐标为； 明明的思路：过作轴，过作于，过作于点，如图所示： ∴， ，， ∴，， ∵， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点C的坐标为； （2）①将点，代入，得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； ②连接，，过点作轴于点，如图所示： ∵， ∴抛物线对称轴是， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）过点作交的延长线于点，分别过，作轴于点，轴于点，如图4所示： ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由抛物线解析式， 可得顶点， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， 在抛物线中，令，得， ∴， ∴，， ∴， 将点代入中，得， 解得， ∴． 6．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)已知： 抛物线 交轴于 ，交轴于，顶点为为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)在 运动过程中，连，当 时，求点坐标； (3)随着运动到第一象限，如图（2）直线交对称轴于，直线交对称轴于，若对称轴交轴于，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)或； (3) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合运用，掌握待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，动点与函数的关系的表示方法，数形结合分析思想是解题的关键． （1）把点代入，运用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴，交延长线于点，设，可得是等腰直角三角形，则，可证，得到，则，直线的解析式为，且点是直线与抛物线的交点，联立方程组得，由此即可求解； （3）根据题意，抛物先对称轴直线为，，设，可得直线的解析式为，则，同理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线 交轴于 ， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， ∴， 令，则， 解得，，即， 如图所示，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴，交延长线于点，设， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，且点是直线与抛物线的交点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴或； （3）解：根据题意，抛物先对称轴直线为，，设， 直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 同理可得，， ∴． 7．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)我们定义【a，b，c】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【1，，3】，函数的“特征数”是【0，2，】，函数的“特征数”是【0，，0】． (1)若一个函数的特征数是【1，，2】，将此函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是__________； (2)将“特征数”是【0，，】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是__________； (3)当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最低点的纵坐标为4时，求的值． (4)当特征数【1，b，c】满足时，函数的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．已知点B的坐标为，若在x轴上有一点P，使，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)【1，，】 (2)【0，，1】 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据新定义得出二次函数的解析式，然后写成顶点式，再根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据新定义得出一次函数的解析式，再根据一次函数的平移规律求解即可； （3）根据新定义得出二次函数的解析式并配方，然后分，，三种讨论，根据二次函数的性质求解即可； （4）根据勾股定理的逆定理得出，可求出，则，取点，从而，当在A的左侧时，证明，根据相似三角形的性质求出，则，即可求出点P的坐标；当P在A的右侧时，根据对称性求解即可． 【详解】（1）解：根据“特征数”的定义值：“特征数”是【1，，2】的函数解析式为， 此函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到新函数解析式为， ∴其“特征数”是【1，，】， 故答案为：【1，，】； （2）解：∵“特征数”是【0，，】的函数解析式为， ∴其向上平移2个单位，得到的新函数解析式为， ∴其“特征数”是【0，，1】， 故答案为：【0，，1】； （3）解：“特征数”是【1，，】的函数解析式为， 当时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，， 解得或（舍去）； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，， 解得或（舍去）； 综上，或； （4）解：特征数是【1，b，c】的函数解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴， 当时，， ∴， 当时，，解得，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 取点，连接， 则A、Q关于y轴对称，， ∴， ∴， 又， ∴， 当P在A的左侧时， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴P的坐标为， 当P在A的右侧时，即为， 由对称性知，和P关于y轴对称， ∴的坐标为， 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的平移，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解新定义，合理分类讨论，构造相似三角形是解题的关键． 8．(24-25九上·辽宁朝阳一中联盟校·期末)在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，代入直线解析式，进行判断即可； （2）根据抛物线过点，得到，进而得到顶点坐标为，代入直线的解析式求出的值，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵，当时，， ∴在直线上， ∴抛物线是直线的关联抛物线； （2）∵过点， ∴， ∴， ∴， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线是直线的一条关联抛物线， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）可知：， 当点在点下方时：取点， ∵， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在直线上， 又由题意，可知：点在直线上， ∴点为直线与直线的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点上方时，取点， 则：， ∴， ∴， 同理：点为直线与直线的交点， 同理可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用数形结合的和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 9．(23-24九上·辽宁朝阳县·期末)如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线经过点B，点C．    (1)试求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理等相关知识，利用勾股定理求出点H的坐标是本题的关键． （1）先求出点B和点C的坐标，利用待定系数法可求解； （2）过点P作交于点E，先求出点A坐标，设点，则点，利用面积和差关系可求解； （3）分两种情况讨论，先求出直线或的解析式，联立方程组可求解． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， 当时，，当时，， ∴，， 将，代入， 可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图1，过点P作交于点E，    ∵抛物线与x轴的交点为A、B， ∴， ∴，， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵的面积， ∴当时，的面积有最大值， 当，， 此时点； （3）如图2，当点M在上方时，设交于点H，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点，点， ∴直线解析式为：， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述：点M的坐标为或． 10．(23-24九上·辽宁抚顺清原县·期末)综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接为抛物线上的一个动点（与点不重合），设点的横坐标为，的面积为． (1)求二次函数的表达式； (2)当点在第二象限内时，求关于的函数表达式； (3)抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或 【分析】（1）利用待定系数法将坐标代入解析式即可； （2）过点作轴于点，则；分别用的代数式表示出相应线段的长度，利用梯形，三角形的面积公式计算即可得出结论； （3）分两种情况讨论解答：当点在上方时，利用平行线的判定与性质可得点，的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；当点在下方时，设交轴于点，设，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得值，则点坐标可求；利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于、两点， ， ， 二次函数的表达式为数； （2）解：过点作轴于点，如图， 则， 令，则， ， ， ， ， 点的横坐标为， ， 点在第二象限内， ，， ， ， ， 关于的函数表达式为：； （3）解：①当点在上方时，如图， ， ， 点，的纵坐标相等， 点的纵坐标为， 令，则， 解得：或， ； 当点在下方时，如图， 设交轴于点， ， ， 设， ， 在中， ， ， 解得：， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，梯形，三角形的面积，平行线的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 11．(23-24九上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期末)如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点的坐标为：或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）当点在轴上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在轴下方时，由，求出点，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； （2）解：过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， 故面积有最大值，当时，面积的最大值为4； （3）解：当点在轴上方时， 所以平行于x轴 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在轴下方时， 设交轴于点，设点， ， 则， 则， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 12．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，抛物线与直线交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标； (3)直接写出不等式的解集； (4)点M是第一象限内一点且． ①尺规作图：在图中画出满足条件的点M的集合（保留作图痕迹，不写画法）； ②当点M在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4)①见解析；② 【分析】（1）把分别代入一次函数和二次函数解析式，求出，即可； （2）联立一次函数和二次函数解析式求出点B的坐标即可； （3）根据得出，结合图象找出直线在二次函数上面时，x的取值范围，即可得出答案； （4）①过点B作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线，两条垂线交于点E，以点E为圆心，为半径画圆，则点M在第一象限中的上； ②根据作图可知，抛物线的对称轴交于两点，上面的交点即为点M，连接，，，则与抛物线对称轴交于点C，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：把分别代入得： ， 解得：， 把分别代入得： ， 解得：； （2）解：∵，， ∴二次函数解析式为，一次函数解析式为， 联立， 解得：，， ∴点B的坐标为； （3）解：由得， 根据函数图象可知：当时，一次函数在二次函数的上面， ∴不等式的解集为； （4）解：①如图，点M在第一象限中的上； 过点B作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线，两条垂线交于点E，以点E为圆心，为半径画圆，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴点B在上， ∵， ∴在第一象限中的上任意取一点M，则； ②， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 由图可知，抛物线的对称轴交于两点，上面的交点即为点M，连接，，，则与抛物线对称轴交于点C，如图所示： 根据解析①可知：轴，轴，， ∴垂直于抛物线的对称轴，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，求二次函数解析式，尺规作垂线，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 地 城 考点05 二次函数与三角形存在性问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D（0，3），连接AD． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，当△FEQ的周长最大时，求点Q的坐标和△FEQ周长的最大值； （3）如图2，已知H（，0）．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD交于点N，连接HN，当△AHN是等腰三角形时，求抛物线的平移距离d． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2-x+4；（2）△FEQ周长的最大为，此时点Q的坐标为（-，）；（3）抛物线的平移距离d的值为或或14． 【分析】（1）将A（-4，0）、B（2，0）代入y=ax2+bx+4，用待定系数法求解即可； （2）过点Q作QM⊥EF于点M，由等腰三角形的性质可得EF=2EM；由勾股定理得AD=5；根据cos∠QEM=cos∠ADO得出等式，将△FEQ的周长用QE表示出来，设Q（m，-m2-m+4），求得直线AD的解析式，进而写出QE关于m的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得QE的最大值，则可得△FEQ周长的最大值及点Q的坐标； （3）平移后的抛物线的解析式为y=-x2-x+4±d，设xN=n，则yN=-n2-n+4±d，由点N在直线AD上，可得关于n的等式，将d用含n的式子表示出来，即d=|n2+n-1|，再分三种情况：①AN=AH；②AN=NH；③AH=NH，分别得出关于n的方程，解得n的值，再代入d=|n2+n-1|，计算即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=-x2-x+4； （2）如图1，过点Q作QM⊥EF于点M，则∠QME=90°， ∵FQ=EQ，QM⊥EF， ∴EF=2EM， ∵A（-4，0），D（0，3）， ∴OA=4，OD=3， 在Rt△AOD中，由勾股定理得AD=5． ∵PQ⊥x轴， ∴PQOC， ∴∠QEM=∠ADO， ∴cos∠QEM=cos∠ADO， ∴， ∴EM=QE，EF=QE， ∴C△FEQ=QE+EF+FQ=QE， ∴当QE最大时，△FEQ的周长最大． 设Q（m，-m2-m+4），其中-4≤m≤0． ∵A（-4，0），D（0，3）， ∴直线AD的解析式为y=x+3， ∴E（m，m+3）， ∴QE=-m2-m+4-（m+3） =-m2-m+1 =-(m+)2+， ∵-＜0， ∴m=-时，QE有最大值，最大值为， ∴△FEQ周长的最大为，此时点Q的坐标为（-，）； （3）由题知：平移后的抛物线的解析式为y=-x2-x+4±d． 设xN=n，则yN=-n2-n+4±d． 又∵直线AD的解析式为y=x+3，点N在AD上， ∴yN=n+3， ∴-n2-n+4±d=n+3， ∴d=|n2+n-1|， ∵H（，0），A（-4，0）， ∴AH=-（-4）=． 当△AHN是等腰三角形时， ①若AN=AH，则(n+4)2+(n+3)2=()2， 解得n1=-9（舍去），n2=1， ∴d=|×12+×1-1|=； ②若AN=NH，则n+4=-n， 解得n=-， ∴d=|×(-)2+×(--1|=； ③若AH=NH，则(n−)2+(n+3)2=()2， 解得n1=-4（舍去），n2=4， ∴d=|×42+×4-1|=14． 综上，抛物线的平移距离d的值为或或14． ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数和二次函数的性质及一元二次方程的应用等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 2．(23-24九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴上的一动点，点D是的中点，设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点B作，交y轴于点E，连接，当的面积为10时，求点P的坐标； (3)当是锐角三角形时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或（； (3)当是锐角三角形时，或． 【分析】本题主要考查二次函数综合、三角形相似、锐角三角形的定义等知识点，掌握分类求解是本题解题的关键． （1）直接运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由的面积为，据此列方程求解即可； （3）当为直角时，先证，求出，故当是锐角三角形时，；同理可解：当或为直角时的两种情况． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则，即，则， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得，点，点， 由点P、D的坐标得，直线的表达式为：， ∵， ∴直线的表达式为：，即点， 由点D、E的坐标得， 则的面积为：，解得：或， ∴点P的坐标为：或． （3）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则点， 下图：当为直角时， 过点Q作轴交过点B和y轴的平行线于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， 故当是锐角三角形时，； 如图：当为直角时， 同理可得，， 故当是锐角三角形时，； 如图：当为直角时， 同理可得，， 故当是锐角三角形时，； 综上，当是锐角三角形时，或． 3．(23-24九上·辽宁大连长海县·期末)已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把、代入，求出a和b的值，即可得出函数解析式； （2）先求出点D和点B的坐标，根据两点之间的距离公式，求出，再根据勾股定理逆定理，得出为直角三角形，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得：， ∴此二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴，此二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴； （3）解：①当时， ∵，此二次函数对称轴为直线， ∴； ②当时，设， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵在抛物线上， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ③当时， ∵点P在对称轴右边， ∴此情况不存在， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，勾股定理逆定理，以及等腰三角形的性质． 4．(23-24九上·辽宁鞍山·期末)已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．    (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)b=4，c=5， m=5 (2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8） (3)所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9） 【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可； （2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG是矩形，而 可得四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案； （3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求解直线的解析式为： 可得 设P（2，p），再利用勾股定理表示 BP2＝， 再分两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c， ，解得： ∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5， 令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1， ∴B（5，0）， ∴m＝5； （2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴对称轴为x＝2， 设D（x，﹣x2+4x+5）， ∵轴， ∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5）， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴， ∴四边形DEFG是矩形， ∴ ∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20， ∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大， ∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）； （3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，    ∴∠NKC＝∠MHC＝90°， 由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM， ∵B（5，0），C（0，5）． ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵CH⊥对称轴于H， ∴轴， ∴∠BCH＝45°， ∴∠BCH＝∠OCB， ∴∠NCK＝∠MCH， ∴△MCH≌△NCK（AAS）， ∴NK＝MH，CK＝CH， ∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴对称轴为x＝2，M（2，9）， ∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2， ∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2， ∴N（﹣4，3）， 设直线BN的解析式为y＝mx+n， ∴ 解得： ∴直线的解析式为： ∴ 设P（2，p）， ∴ BP2＝， 分两种情况： ①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2， ∴ 解得： ∴ ②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2， ∴ 解得： ∴点P′的坐标为（2，﹣9）． 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 5．(24-25九上·辽宁辽阳第一中学西藏班·期末)如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①；② ，最大值6；③或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，，代入解答即可； ②再由即可求解； ③分两种情况讨论：当时，；当时，过点作交于，则为的中点，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②，， ， ， ， 当时，有最大值6； ③，， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，如图1， ， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 6．(23-24九上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与轴交于点A．    (1)求抛物线的解析式； (2)M在直线上，线段绕点M顺时针旋转得，过点D做y轴的平行线交抛物线于点E，若的长是1，求点M的坐标； (3)P在抛物线上，Q在直线上，以P，Q，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用求出点B和点C的坐标，利用待定系数法即可求出答案； （2）根据题意画出图形，分两种情况求解即可； （3）分四种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴， 把代入抛物线中， 解得， ∴抛物线解析式是 （2）当点D在点E下方时，如图，过点M作于点H，过点D作交HM的延长线于点N，过点D作轴交抛物线于点E，    ∴， ∴， ∵线段绕点M顺时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 把代入中得到，， 解得， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵轴，， 即， 解得， 当时，， 当时，， ∴； 当点D在点E上方时，如图，    同理可得，， 解得， 当时，， 当时，， ∴； 综上可知，点M的坐标为， （3）当以P，Q，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，点Q的坐标是，理由如下： 由（1）可知， ， ∴， 当是等腰直角三角形时，分以下三种情况： 当时，， ∴， 则点P为抛物线与x轴的交点，即点P和点A重合，如图，过点Q作于点F，    ∵， ∴， 当时，， ∴点Q的坐标是， 当时，， ∴，则点P为抛物线与x轴的交点，即点P和点A重合，如图，    ∴， ∴点Q的坐标是， 当时，则，， 当点Q在x轴上方时，过点P作轴于点K，交于点Q，如图，    则点K为的中点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点P的横坐标为t，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为， ∴点Q的坐标是， 当点在x轴下方时，过点B作轴于点G，如图，    则， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 当以P，Q，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，点Q的坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、轴对称的性质、图形的旋转、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 地 城 考点06 二次函数与四边形存在性问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 设抛物线的对称轴交于点，可求，则，而，由勾股定理得，求出，再代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：设抛物线的对称轴交于点，    当，则， 解得：或， ∴， 对称轴：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，得：， 解得：， 故答案为：． 2．(24-25九上·辽宁营口第一中学·期末)如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？ (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分 (3)存在，P点坐标为 【分析】（1）首先过C作轴于K，构造全等三角形，求出点C的坐标，然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，设直线L为，求出，求出与的解析式，则可求出；根据题意，列出方程求解即可； （3）设P的横坐标为t，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：过C作轴于K，如图： ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 把代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，此时直线L恰好将的面积分为相等的两部分，如图： 设直线L为， 由，可得， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线解析式为， ， 设直线为， 将，代入， 得, 解得， 直线解析式为， ， ， ， ， 解得（此时直线L在C右侧，舍去）或， ∴当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分； （3）解：存在点P，使四边形为平行四边形， 理由如下： 设P的横坐标为t， ∵四边形为平行四边形， 的中点即为的中点， ，，， ， 解得， 此时， ， 经检验，符合题意； ∴P点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题型以及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算． 4．(23-24九上·辽宁营口第二十九初级中学·期末)如图，抛物线经过x轴上、B两点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与直线交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； (3) F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E，D，F四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请画图说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）由二次函数的对称性可得，待定系数法求解析式即可； （2）如图1，连接，记直线与轴的交点为，联立，可得，则，求，由，可得，求，由，可得，，即，设，则，由相似可知，分，，两种情况求解；①当，，即，计算求解即可；②当，同理①求解作答即可； （3）由题意知，若A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，存在两种情况，①假设为矩形的一边，则D，F必在直线的同侧，过A，E作直线的垂线交直线于，交抛物线于，如图2，根据矩形的性质进行判断作答即可；②假设为矩形的对角线，则D，F必在直线的两侧，取A，E的中点，以为圆心，以为半径画，交直线于，作射线交抛物线于，作射线交抛物线，如图3，然后根据矩形的性质进行判断作答即可． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线，且过点， ∴， 将，代入得， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图1，连接，记直线与轴的交点为，      联立， 解得，，， ∴， ∴， 当时，，即， ∴， ∴， 当时，，即， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∵以P，B，C为顶点的三角形与相似，分，，两种情况求解； ①当， ∴，即， 解得，，即； ②当， ∴，即， 解得，，即； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，理由如下： 由题意知，若A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，存在两种情况， ①假设为矩形的一边，则D，F必在直线的同侧，过A，E作直线的垂线交直线于，交抛物线于，如图2： 由（2）可知，直线， ∴当点F必在处，而点D必须在处，由图可知，此时A，E，D，F四点组成的四边形不存在是矩形的可能； ②假设为矩形的对角线，则D，F必在直线的两侧，取A，E的中点，以为圆心，以为半径画，交直线于，作射线交抛物线于，作射线交抛物线，如图3： ∴当点F必在处，而点D必须在处，由图可知，此时A，E，D，F四点组成的四边形不存在是矩形的可能； 综上所述，不存在这样的点，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与相似三角形综合，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，等腰三角形判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与相似三角形综合，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，平行线的判定是解题的关键． 5．(23-24九上·辽宁葫芦岛建昌县·期末)综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示： ， ； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； (3)如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)①，；②点P的坐标为；③点P的坐标为 (3)点的坐标为：或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的图象和性质，正确确定线段的长度是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）①根据点的坐标，即可求解； ②若，则，即可求解； ③若，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点， 则； ①则，； 故答案为：，； ②若，则， 解得：（舍去）或， 即点； ③若，则， 解得：（舍去）或， 即点； （3）解：设点，点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：（舍去）或或， 故点的坐标为：或或． 综上，点的坐标为：或或． 6．(23-24九上·辽宁营口西区育才初级中学·期末)如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 地 城 考点07 二次函数的最值求参问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)已知抛物线为经过点和点，将抛物线的顶点的横，纵坐标都加上m（m为常数）得到抛物线 (1)求抛物线的解析式，并写出该抛物线的顶点坐标： (2)①用含m的式子写出的表达式为___________________． ②当抛物线与x轴有交点时，求m的取值范围； (3)当时，且时，函数的最大值为4，最小值为，求t的值． 【答案】(1)，且该抛物线的顶点为 (2)①；② (3) 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，再由解析式写出顶点坐标即可； （2）①根据将抛物线的顶点的横，纵坐标都加上m（m为常数）得到抛物线，则新抛物线是抛物线沿x轴向左平移m个单位得到的，则可，新抛物线的顶点坐标为，即可由顶点式写出的表达式； ②根据抛物线与x轴有交点时，则方程有实数根，得，求解即可； （3）根据抛物线的增减性与最值求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ， 解得， ，且该抛物线的顶点为． （2）解：① 理由是：∵将抛物线的顶点的横，纵坐标都加上m（m为常数）得到抛物线， ∴新抛物线是抛物线沿x轴向左平移m个单位得到的， ∴， ∵，且该抛物线的顶点为， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为：； ②当抛物线与x轴有交点时，则说明方程有实数根， ， 解得，． （3）解：当时，函数的解析式为， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，函数y的最大值为4． 因为时，函数的最大值为4，最小值为， ， 当时，， 解得，或， ． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数图象平移与二次函数的性质是解题的关键． 2．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B、C两点 （1）填空：b＝　 　（用含有a的代数式表示）； （2）若a＝﹣1 ①点P为抛物线上一动点，过点P作PM∥y轴交直线y＝﹣x+3于点M，当点P在第一象限内时，是否存在一点P，使△PCB面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②当m≤x≤m+3时，y的取值范围是2m≤y≤4，求m的值． 【答案】（1）﹣3a﹣1；（2）①P（ ，）；②m的值为0或﹣． 【分析】（1）直线经过B、C两点，先求出两点坐标，再带入抛物线解析式中求出表达式，然后再得到结果（2）若a=-1时，先写出抛物线解析式，然后根据条件求点P的坐标，再根据已知的m的范围，对照函数图象，求出m的值. 【详解】解：（1）直线y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3， ∴B（3，0）、C（0，3）， ∵抛物线过B（3，0）、C（0，3）， ∴解得：b＝﹣3a﹣1， 故答案为﹣3a﹣1． （2）若a＝﹣1，则抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； ①假设存在点P（x，﹣x2+2x+3）使得△PCB的面积最大， ∴M（x，﹣x+3）， ∴PM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x， ∵S△ABP＝S△PMC+S△PMB＝PM•OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x2﹣3x） ＝﹣（x﹣）2+， 当点P（，）在第一象限，此时△PBC的面积最大， 故存在点P的坐标为：P（ ，），△PBC的面积最大． ②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，有最大值4， ∴由题意可知m≤1，m+3≥1 当m＝﹣是x＝m和m+3对应的函数值相等， 当﹣＜m＜1时，2m＝﹣（m+3）2+2（m+3）+3， 解得m1＝0，m2＝﹣6（不合题意舍去）， 当﹣2＜m＜﹣时，﹣m2+2m+3＝2m， ∴m＝（舍）或m＝﹣ 故m的值为0或﹣． 【点睛】此题重点考查学生对二次函数的实际应用能力，抓住不同条件下的解析式是解题的关键. 3．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点M中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”，点M为“镜像中心”． 例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． (1)如图2，当时，求抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”的函数表达式； (2)已知抛物线，将其顶点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点M的坐标； (3)已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当0≤x≤1时，最大值与最小值的差为3，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键． （1）当时，则两个函数关于原点对称，即可求解； （2）由中点坐标公式得，“中心镜像抛物线”的函数的中点坐标为：，则“中心镜像抛物线”的函数的表达式为：，即可求解； （3）当时，函数在和时分别取得最小和最大值，即可求解；当时，同理可解；当时，同理可解． 【详解】（1）当时，则两个函数关于原点对称， 则“中心镜像抛物线”的函数表达式为：， 即； （2）对于抛物线，将其化为顶点式： 所以抛物线的顶点坐标为． 将顶点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，根据点的平移规律“右加左减，上加下减”，得到平移后的顶点坐标为，即， 平移后顶点坐标为：， 由中点坐标公式得，“中心镜像抛物线”的函数的顶点坐标为：， 则“中心镜像抛物线”的函数的表达式为： 当时，，则 ①， 将代入得： ② 联立①②并解得： ， 即点； （3）由新定义知，，则函数的表达式为： ， 当时，， 同理可得：当时，，当时， 当时，函数在和时分别取得最小和最大值， 则， 解得：； 当时， 同理可得：， 解得：； 当时，函数在时取得最大值， 当，即时， 则函数在时取得最小值， 则， 解得：（舍去）； 当时， 同理可得：， 解得：（舍去）， 综上，或． 4．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． (1)分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． (2)设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4或 (3)①；② 【分析】（1）根据定义将代入方程，解方程判断即可； （2）同（1）先求得“互反点”、，得到，利用，解方程即可得到答案； （3）①把代入得，根据题意可知二次函数的图象与直线有且只有一个交点，利用，得到方程解之得到值，即可得到解析式；②将①得到的解析式化为顶点式，得到其对称轴和最小值，再求得其与轴的两个交点坐标，即可判断出的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得：， 解得： 函数的图象上“互反点”的坐标为 函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得： 解得：， 函数的图象上“互反点”的坐标为． （2）解：在函数中，令， 解得：（负值已舍去）， ， 在函数中，令， 解得：， ， ， ， ，解得：或；或无解． 的值为4或． （3）解：①根据题意，把代入得， ． 函数图象上的“互反点”必在直线上， 二次函数的图象上有且只有一个“互反点”， 也就是二次函数的图象与直线有且只有一个交点， 即，有且仅有一个解， 联立方程组整理，得：， 由， 解得：，， 该二次函数的表达式为． ② ， 其图象的对称轴为直线，最小值为， 当时，，解得：或 二次函数图象与轴交点的坐标为和， 当时，二次函数的最小值为，最大值为0． 的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点，理解新定义并熟练应用是解题的关键． 地 城 考点08 二次函数中的公共点求参问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．已知点，若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示： 在上， 令， ∵， ∴或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ， 故答案为：． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点，交于点，求点的坐标； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，角平分线的性质，抛物线与直线的交点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键. （1）把点代入解析式即可求出抛物线为，由轴即可求出点； 过点D作，垂足为H，由角平分线性质得，求出点。进而求得直线解析式为，联立抛物线和直线解析式即可求出点的坐标； （2）由点，求得，进而求出； （3）分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在上方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点； ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即，解得：，； ∴点 过点D作，垂足为H， ∵轴， ∴轴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，即直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得： ， 解得：，（不合题意舍去）， ∴点 （2）∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：，解得：； （3）∵抛物线 ， ∴抛物线对称轴为，顶点为 ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， I.当抛物线的顶点在线段上时， 即：，解得：， II. 当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴ 解得：， 综上，的取值范围是或． 3．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点，点是抛物线的顶点，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线上一点，其横坐标为，将此抛物线上、两点间的部分(包括、两点)记为图象． (1)求抛物线的解析式； (2)若的面积等于时，求的值； (3)记图像的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (4)若点，连接，取线段的中点，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，以、为邻边构造矩形，当时，直接写出图像与矩形有两个交点时的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) (4)或或 【分析】（1）把点坐标代入求出值即可得到抛物线解析式； （2）由抛物线解析式求出、两点坐标，然后根据等腰三角形的性质求解的面积； （3）根据点与、、三点的位置关系分类讨论求出的表达式，由随增大时的变化规律判定即可； （4）根据点在点右侧时分为点在点上方、与点重合、在点下方三种情形进行讨论，由图像与矩形的交点个数找出临界点的横坐标，进而确定两个交点时的范围． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， 解析式为； （2）解：， 顶点坐标为，对称轴为直线， 轴， 和点关于对称轴对称，则点坐标为， 边上的高为， ， 点在直线下方的抛物线上， 设， ， ， 整理得，解得， 的值为或； （3）解：， 当时，图像的最高点为，最低点为， ， 当时，图像的最高点为，最低点为， ， 当时，图像的最高点为，最低点为， ； 当时，图像的最高点为，最低点为， ， 综上所述，， （4）解： ，是线段的中点， 轴， 由旋转得，，线段和都是随着的增大而减小， ， 当点在点右侧时分三种情形： 点在点的上方，且轴，，则点， 当恰好经过点时，如图即， 此时图像与矩形的交点为和个交点符合题意； 以图这种特殊情况为界，抛物线固定不动，若减小，则和变长，此时向下移动， ，点不能与点重合， 这个过程中图像与矩形只有一个交点， 若增大，则减小，点向上移动，这个过程中，图像与边有两个交点， 加上点有三个交点，直至点移动到线段上，如图， 此时， ， 解得：或， 当时，点在抛物线对称轴左侧，此时图像与矩形有个交点， 如图，点过了此点后，增大，减小，点向右运动， 这个过程中，图象与矩形有两个交点，直至如图， 点运动到抛物线对称轴右侧且在上，此时， 当时，有个交点； 再随着的增大，点向下运动，减小，点在矩形内部或运动到点下方， 此时只有一个交点，则， ， 解得，此时只有一个交点，不符合题意； 当点在点的右侧时，即，即， 此时点在点下方，如图， 点的纵坐标为， 的纵坐标为， ， ， ， 点的纵坐标小于点的纵坐标，点在的下方， 图像与有一个交点，加上点，共有两个交点，符合题意； 综上所述，图像与矩形有两个交点时的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握知识点是解答本题的关键． 4．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求出t的取值范围． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与图形的结合，将抛物线化为顶点式，通过顶点坐标结合图形分类讨论求解，根据抛物线与直线只有一个交点和有两个交点但只有一个交点在线段上，两种情况讨论． 【详解】解：设直线解析式为， 把点和点代入得， 解得， ∴直线解析式为， 联立得， ∴ ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴抛物线与直线只有一个交点，此时，解得，此时交点横坐标，即唯一交点不在线段上； 抛物线与直线只有两个交点，但只有一个交点在线段上，此时，解得， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，即顶点在直线上移动， 把代入得，解得， 把代入得，解得， ∵， ∴根据函数图象可得，当或抛物线与直线只有两个交点，但只有一个交点在线段上， 综上所述，抛物线与线段只有一个交点时，t的取值范围或． 5．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”． 例如：函数关于直线的“友好函数”为 ，“友好点”为． (1)求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标； (2)函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当 时，求的取值范围； (3)函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为． ①若，判断的形状，并说明理由； ②若，求的值； ③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①是等腰直角三角形．理由见解析；②或；③或或 【分析】（1）根据“友好函数”的定义即可求解； （2）由题易得，再根据的取值范围即可得到的范围； （3）①当时可得和的表达式，从而得到、、的坐标，再根据图形性质易得其是等腰直角三角形，或者由勾股定理逆定理亦可证明； ②用含的式子表示出和的表达式，进而得到、、的坐标，然后可得到和的长度，最后根据，建立方程求解即可； ③分类讨论，开口向上或者开口向下，画出图形，找出临界值代入求解即可． 【详解】（1）解：， 顶点，它关于直线 的对称点为， “友好函数”为， 两个函数图象关于直线 对称， 其交点必在直线 上，将代入中，， “友好点”坐标为； （2）解：由题意得， ， 关于的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为， 当 时，有最小值， 当 时，，当 时，， ； （3）解：① 是等腰直角三角形， 当 时，， ， ， ， 当 时，， ， 如图，直线 是线段的垂直平分线，点在直线， ， 设直线交线段于点，则， ， ，． ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ② ， ， 在中，当 时，， ， 在中，当 时，， ， ， 将 代入中，， ， 点，的纵坐标相同， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的值为或； ③第一种情况，， 如图，当“友好点”恰好在线段上时，此时“友好点”坐标为， 将代入得， ， 解得， 此时，与轴恰好交于点， 当时，与线段会有3个交点， 当时，与线段有且只有两个交点； ，如图，当的两个顶点恰好在线段上时， ， ， ， 即当时，与线段有且只有两个交点； 第二种情况：， 此时，则与轴交正半轴， 如图，当经过点，此时经过点，与线段有两个交点， 当向下平移时，则与依然会有两个交点， ， ， ， 即当时，与线段有且只有两个交点； 综上，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形结合是解题的关键． 6．(24-25九上·辽宁本溪·期末)在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． (1)点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； (2)点的1级变换点在直线上，求b值； (3)点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1)2 (2)7 (3)①②或 【分析】（1）根据定义可知点的1级变换点是，再代入函数关系式可得答案； （2）分两种情况讨论：当时，确定1级变化点，代入关系式求出答案；当时，求出1级变换点，代入关系式，求出答案； （3）①分两种情况：当时，将点代入关系式即可；当时，将点代入关系式可得答案； ②先画出图象，观察图象可得取值范围． 【详解】（1）解：点的1级变换点是， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：2； （2）解：当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得； 当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得，不符合题意舍去． 所以b的值是7； （3）①当时，即， 则点在函数的图象上， ∴， 即； 当时，即， 则点在函数的图象上， ∴， 即． ∴n与m的函数关系式为； ②如图所示，， 当时，； ， 当时，； 当时，线段与图象只有一个交点； ， 当时，； ， 当时，． 当时，线段与图象只有一个交点． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数图象上的点，一次函数图象上的点，求二次函数关系式，二次函数的图象和性质，理解新定义是解题的关键． 7．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)经验回顾： 初中阶段，我们先后学习了一次函数，反比例函数和二次函数的有关知识．在研究每一种函数的图象和性质时，都运用了数形结合思想，通过画图，观察，分析，对比等方式，经历了由“特殊”到“一般”的探究过程． 请你运用所学知识和方法解决下列问题： 阅读理解： 二次函数中，具有这样图象特征：开口方向和形状都相同，且顶点在同一直线上的所有函数统称为“同线函数”．例如：同线函数C：（c是常数）中的函数如 的图象的开口方向和形状都相同，且顶点都在y轴上． 问题解决： 已知：同线函数M：（m是常数）． (1)填表，特例分析： m的取值 （m是常数） 图象顶点坐标 （ ） （ ） （ ） …… …… …… (2)根据（1）特例分析，求函数（m是常数）的图象顶点所在直线的表达式； (3)已知同线函数K（k是常数）中的一个函数的图象顶点在第二象限内，将该函数沿坐标轴方向平移7个单位后与同线函数M中的一个函数重合，求函数的表达式； (4)若满足（3）中条件且时，将函数的图象在上方的部分沿直线向下翻折后，得到新函数Q．当直线与新函数Q的图象恰有3个公共点时，请直接写出b的值． 【答案】(1) (2) (3)（或顶点式） (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）配成顶点式求顶点坐标； （2）先求出顶点，列出顶点和之间的关系即可得解； （3）分类讨论，沿轴左右平移或轴上下平移讨论，将新顶点坐标代入中求即可得解； （4）根据题意得，先求出与的交点坐标，画出图形，分类讨论求解即可． 【详解】（1），顶点为， ，顶点为， ，顶点为， 故答案为：； （2）， ∴顶点为， 即， ∴顶点所在直线的表达式为； （3）∵同线函数， ∴顶点坐标为， ∵顶点在第二象限， ， 由题意可知，平移后的顶点在直线上， ①沿轴向右平移7个单位， 此时顶点坐标为， ， ∴函数的解析式为； ②沿轴向左平移7个单位， 此时顶点坐标为， ，与题意矛盾，故舍去； ③沿轴向上平移7个单位，此时顶点坐标为， ， 解得，与题意矛盾，故舍去； ④沿轴向下平移7个单位，此时顶点坐标为， ， 解得， ， ∴函数的解析式为； 综上，函数的表达式为或； （4）∵， ∴函数的表达式为， 令， 解得或6， 如图，， 当直线经过点时，则直线与图象有3个交点， 此时， ， 当直线与在下方的部分只有一个交点时，则直线与图象有3个交点， 令 即 解得； 综上，的值为或． 地 城 考点09 二次函数与折叠问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将沿折叠，点的对应点为点． (1)如图2，当时，延长交轴于点，若抛物线过点，，，求抛物线的解析式， (2)如图3，随着的变化，点恰好落在轴上，求的值， (3)若点的横坐标为，抛物线（且为常数）的顶点落在的内部，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图2，当时，点的坐标为，点的坐标为， ，得到轴，，，于是得到等腰直角三角形，根据对称性质，得到的中点坐标为，设点D的坐标为，根据题意，得，确定于是，设直线的解析式为，确定点的坐标，设过点，，抛物线的解析式为，待定系数法解答即可． （2）根据题意，点的坐标为，点的坐标为，，得到轴，，，设点D的坐标为，根据两点间距离公式，解答即可． （3）根据题意，点的坐标为，点的坐标为，，得到轴，，，设点D的坐标为，根据两点间距离公式，确定m，n，由抛物线得到抛物线的顶点坐标为，根据顶点落在的内部，列式解答即可． 【详解】（1）解：当时，根据题意，得点的坐标为，点的坐标为，， ∴轴，，， ∴，等腰直角三角形， 根据对称性质，得到的中点坐标为， 设点D的坐标为，根据题意，得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：， 故， 设过点，，抛物线的解析式为，根据题意，得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，点的坐标为，点的坐标为，， ∴轴，，， 根据折叠的性质，得，， 设点D的坐标为， ∴，， ∴，， ∴，或， ∴或（舍去）， 故m的值为． （3）解：根据题意，点的坐标为，点的坐标为，，得到轴，，， 设点D的坐标为， ∴，， ∴，， ∴，或， ∴或（舍去）， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为，，得到轴，，，点D的坐标为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：，过点C作直线交于点Q， 根据题意，得， ∵顶点落在的内部， ∴且， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，折叠的性质，两点间的距离公式，完全平方公式的变形计算，算术平方根，熟练掌握抛物线的性质，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 2．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则为二次函数图象上的“互反点”． (1)已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； (2)判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为5时，求的值； (4)如图2，为轴上的动点，过作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)函数的图象上不存在“互反点”，理由见解析； (3)； (4)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由定义可知，函数的图象上不存在“互反点”； （3）求出，，可得，求出n的值； （4）函数关于直线的对称抛物线解析式为，函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，分五种情况讨论，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点和是二次函数图象上的“互反点”， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：对于，有， ∴的图象上不存在“互反点”； （3）解：中，当时，， 解得， ， 中，当时，， 解得， ， ， ∴， 解得(舍去)或； ∴； （4）解：函数关于直线的对称抛物线解析式为， 当时，， ∴函数与直线的交点为， 当点在直线上时，，解得或， ①当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为，，都在上， 此时不存在“互反点”， 令， 整理得， ， 解得， ∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为和； ②当时，， 令， 解得或， ∴两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，分别为，，； ③当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，或是其中一个“互反点”； ④当时，两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，为； ⑤当时，两部分组成的图象上不存在“互反点”； ∴综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程；熟练掌握三种函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 3．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，如果满足，那么称，两点互为“等差点”． (1)在点，，中，与点互为“等差点”的是______； (2)已知点在双曲线（）上存在唯一等差点，求出的值； (3)如图1，抛物线的顶点与点是等差点，且与轴交于，两点，与轴交于点． ①点位于轴下方的抛物线上，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点．当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； ②抛物线（）图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①3或；②或 【分析】（1）根据定义，计算各点的纵坐标与横坐标的差，判断解答即可． （2）根据定义，得，设反比例函数图象上一个点与是唯一等差点，根据题意，得，整理成一元二次方程，另根的判别式等于0，解答即可； （3）①根据，得到抛物线的顶点坐标为，结合顶点与点是等差点，得到，确定，于是，令，求得，当时，，于是得到，，，根据点位于轴下方的抛物线上，得到，设直线的解析式为，把代入解析式，确定直线的解析式为，设点的横坐标是，由直线轴，垂足为点，交直线于点，得到，，，分点D为中点，点F为中点，两种情形解答即可． ②设点的“等差点”为，根据新定义，得即，根据 时，，得到的交点 ，分在直线的下方和在直线的上方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：在点，，中， ，，， 由点中，， ∴与互为“等差点”， 故答案为：． （2）解：由，得， 设反比例函数图象上一个点与是唯一等差点， 根据题意，得， 整理得， ∵反比例函数图象上一个点与是唯一等差点， ∴， 解得． （3）①解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点与点是等差点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令， 解得， 当时，， ∴，，， ∵点位于轴下方的抛物线上， ∴， 设直线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的横坐标是，由直线轴，垂足为点，交直线于点， ∴，，， 当点D为中点时，根据题意，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴； 当点F为中点时，根据题意，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，的长为3或． ②解：设点的“等差点”为，根据新定义，得， ∴， 当时，， ∴经过点， 当时，， ∴的交点， 当直线经过点时，与图象有两个不同的交点，符合 ，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”， ∴， 解得， 当在直线的下方时， 则有， ∴； 当在直线的上方时， 当直线与相切时，直线与有一个交点， 此时的判别式等于0， ∴， ∴， 解得， ∴当时，直线与无交点，与有两个不同的交点， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义，反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，线段中点坐标的意义，分类思想，熟练掌握新定义，根的判别式，中点坐标是解题的关键． 地 城 考点10 二次函数与相似综合问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁营口雁楠中学·期末)如图，抛物线经过轴上、两点，对称轴是直线．且与直线交于、两点，与轴交于点．点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先由待定系数法求出二次函数表达式，根据题意及二次函数图象与性质、抛物线与直线交点求法等知识得到相关点的坐标，再以为顶点的三角形与相似，分类得到或，再由相似三角形性质确定或，列方程求解即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于点，B， ∴点的坐标为， 将、代入得： ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 抛物线与直线交于、两点，如图所示： 由，解得：或， ∴点的坐标为， ∴， 在中，令得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵直线的函数表达式为， ∴， 设点的坐标为，则， ∵以，，为顶点的三角形与相似，即或， ∴或， ∴或， 解得m或m， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、求抛物线与直线交点、解一元二次方程、两点之间距离公式、相似三角形的判定与性质及应用、解一元一次方程等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， G点坐标为或或或 (3)存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式； （2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标； （3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点． 【详解】（1）解：把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴设过点与直线平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点与直线平行的直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴， 设过点与直线平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 3．(23-24九上·辽宁铁岭银州区朝鲜族中学·期末)如图，抛物线经过的三个顶点，点，点，轴，点为抛物线上一点，点在直线上： (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线上，且时，求点的坐标； (3)如图，当点是抛物线的顶点时，若以，，为顶点的三角形与相似请直接写出点的坐标． 【答案】(1) ； (2)或； (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点，的坐标代入抛物线的解析式中，求，； （2）过点作交轴于点，在轴上取一点，使得过点作交抛物线与点，则此时，先求得直线为：， 进而求得直线：，和直线为，与抛物线联立方程组即可得解； （3）设，，分别求出点，，，的坐标，求出，，；用含的式子表示出，，判断出，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求 【详解】（1）解：将，代入函数得： ，，解得，， 所以抛物线的解析式 ； （2）解：把代入 得， 解得或， ∴ 设直线为：， 把，代入得， ， 解得， ∴直线为：， 过点作交轴于点，在轴上取一点，使得过点作交抛物线与点，则此时，    设直线：， 把代入得， 解得， ∴， ∵， ∴ ∴直线为， 联立， 解得或， ∴或； （3）解：过作于点，连接 ∵， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 设，且，，， 由以，，为顶点的三角形与相似，得 ①当时， ，即， 解得， ∴； ②当时， ， ， 解得， ∴ 综上所述：当点为抛物线的顶点时，在直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数综合题，相似三角形的判定及性质，求一次函数的解析式，待定系数法求解二次函数，熟练掌握相似三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数是解题的关键． 地 城 考点11 二次函数中的动点图象问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，和是全等的等腰直角三角形，，与在直线l上，开始时C点与E点重合，直到B点与F点重合为止．设和的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为，的长度为，则y与x之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是等腰直角三角形的性质及面积的求法、二次函数的图象，关键是根据题意求出y与x之间的函数关系式，要注意x的取值范围． 根据△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，得出和的重叠部分也是等腰直角三角形，再根据当沿直线ɭ 自点E向右平移到点F，分和两种情况求出重叠部分的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵和是全等的等腰直角三角形， ∴和的重叠部分也是等腰直角三角形， 当沿直线ɭ 自点E向右平移到点F，即时， 和的重叠部分的面积yx2， 当时，和的重叠部分的面积， 则y与x之间的函数图象大致是C． 故选：C． 2．(24-25九上·辽宁营口第一中学·期末)如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况求出解析式，即可求解． 【详解】解：当0≤t≤1时，， ∴该图象y随x的增大而减小， 当1＜t≤2时，， ∴该图象开口向下， 当2＜t≤3，， ∴该图象开口向下， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关键． 3．(23-24九上·辽宁大连甘井子区第七十六中学·期末)如图1，在中，，，，边长为的正方形从点出发，沿射线运动．当点与点重合时，运动停止．设，正方形与的重叠面积为，关于的图象如图2所示．下列结论： ①，，，，；②当时，；③在运动过程中，的最大值为；④连接，当交边于点时，设，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数关系式，动点问题，解直角三角形，解题的关键是找出运动过程的边界点．分情况讨论，求出，，，时，与的关系即可求解． 【详解】画出运动过程中草图如下： ；临界点为B与G重合时； ；临界点为与重合时； ；临界点为D与C重合时； 时，临界点为F与A重合时； 时，临界点为G与C重合，此时运动停止． 经过计算可知，S与x的关系式如下（部分未化简）： 由上，，，，成立，故①正确； 当时，如下图所示，，符合，故②正确； 由图像可知，在时取到最大值．化简前式使用顶点公式可知，最大值为，显然与③不符，故③错误； ④由过程图可知，当时，取值范围错误，故④错误； 综上，①②正确， 故选：A． 4．(23-24九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，是等边三角形，，，垂足为点D，点P从点B出发，沿的路径运动，运动到点A停止，过点P作交边于点E，过点P作交边于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能正确反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明四边形是平行四边形，①当点从点B出发，沿路径运动时，即时，根据四边形的面积，可得；②当点从点出发，沿路径运动时，连接交于点Q，即时，  先证明平行四边形是菱形，即有菱形的面积，结合菱形的性质，解直角三角形的知识可得；问题随之得解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴,， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ①如图，当点从点B出发，沿路径运动时，即时，    ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，即是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴四边形的面积， 整理得：， ②如图，当点从点出发，沿路径运动时，连接交于点Q，即时，    ∵是等边三角形，， ∴，， ∴平分， ∴平行四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； 综上： 即能反映与之间函数关系的图象是B， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，二次函数的图象的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 5．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图，在中，，，，，，垂足为点D，动点M从点A出发沿方向以的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先解直角三角形求出的长，再分点M在和上两种情况，分别表示出的面积即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴当M在上，即时， 则，， ∴， 当M在上，即时， ， ∴， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 6．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期末)在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图1，在正方形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点的运动路程为，的面积为，图2表示的是关于的函数图象，已知点在的运动过程中，有最大值6，当点停止运动时，函数图象中的值为 ． 【答案】48 【分析】本题考查二次函数的性质．旋转的性质，根据点在的运动过程中，得到与的二次函数关系，根据有最大值6，可得到正方形的边长；进而得到当运动到点时，的值，根据所给条件判断出正方形的边长是解决本题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，由旋转可得：点在的运动过程中，， ， ， 抛物线的开口方向向下，对称轴为：直线， 有最大值6， ， 解得：（取正值）， ， 当点停止运动时，点运动到点处，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，如图： ， 四边形是正方形， ， ， 点、、在同一条直线上， ． 故答案为：48． 三、解答题 8．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，连接，作线段的的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P，设点P的坐标为，探究y与x的函数关系． 【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 … 线段长 … 如果，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象； 【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点P的坐标满足的函数关系： （1）猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围； （2）在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 【答案】归纳猜想：见详解；总结结论：（1），（x为任意实数）；（2）证明见详解 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键； 归纳猜想：根据描点法作图即可； 总结结论：（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）连接，过点作与点，利用勾股定理证明即可求解； 【详解】解：归纳猜想：函数图像如图所示， （1）解：函数图像为抛物线的一部分，故与满足二次函数的关系， 函数解析式为：； 设解析式为：， 将，，代入， 可得：， 解得：， 函数解析式为：（x为任意实数）； （2）如图，连接，过点作与点， ， 四边形为矩形， ，， ， 为线段的垂直平分线， 在中，， ， ， 故与满足的关系式为：（x为任意实数）； 9．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)中，于D，，，点E沿射线方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转得到点F（F在射线上），点G与点E关于点D成中心对称（点G在射线上），连接得到． (1)求的长； (2)在点E的运动过程中，设，与的重叠部分面积为S，求S与x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形及二次函数与图形动点问题，相似三角形的性质与判定． （1）解直角三角形求出，即可解决问题； （2）分三种情形：①如图1中，当时，重叠部分是；②如图2中，当时，重叠部分是四边形；③当时，重叠部分是；分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解： ， ， ，，， ，， ； （2）∵将点绕点逆时针旋转得到点（在射线上），点与点关于点成中心对称（点在射线上）， ∴ ∴是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形， ①如图1中，当时，重叠部分是，； ②如图2中，当时，重叠部分是四边形； 作交的延长线于，作于， ∴，则， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ； ③当时，重叠部分是，， 综上所述，． 10．(23-24九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)问题提出： 四边形是正方形，是射线上的动点，点在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，四边形的面积为（可等于0）． (1)如图①，当点由点运动到点过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象信息，回答下列问题： ①正方形的边长为___________（直接填空）； ②求关于的函数关系式； (2)如图③，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数关系式； (3)若在射线上从下至上依次存在不同位置的两个点，对应的四边形的面积与四边形的面积相等，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)①4；  ② (2)； (3)四边形的面积为3或． 【分析】（1）①由抛物线顶点为，可得时，四边形的面积最大为4；此时为的中点，故，即正方形的边长为4； ②过作于，证明，得，而，由三角形面积公式可得； （2）当点在线段的延长线上运动时，过作于，证明，得，而，故四边形的面积；即； （3）当，都在边上时，设，则，由，有，可得，即可得，解得，从而四边形的面积为3；当在边上，在边延长线上时，同理可得四边形的面积为． 【详解】（1）解：①由图②知，抛物线顶点为， 时，四边形的面积最大为4； 此时为的中点， ， 即正方形的边长为4； 故答案为：4； ②过作于，如图： ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积； 关于的函数关系式为； （2）解：当点在线段的延长线上运动时，过作于，如图： ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积； 关于的函数关系式为； （3）解：当，都在边上时，如图： 设，则， ， ， ， 在中，令和得：，， ， 解得， ， ， 即四边形的面积为3； 当在边上，在边延长线上时，如图： 设，则， ， ， ， 在中，令得：， 在中，令得：， ， 解得（大于4，舍去）或， ， ， 即四边形的面积为； 由在下方，知，不可能，都在的延长线上； 综上所述，四边形的面积为3或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及动点问题的函数图象，结合图形分析题意及分类讨论思想的应用是解题关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数与几何综合 11大高频考点概览 考点01 二次函数的新定义与创新探究问题 考点02 二次函数与线段周长及其最值问题 考点03 二次函数与面积及其最值问题 考点04 二次函数与角度综合问题 考点05 二次函数与三角形存在性问题 考点06 二次函数与四边形存在性问题 考点07 二次函数的最值求参问题 考点08 二次函数中的公共点求参问题 考点09 二次函数与折叠问题 考点10 二次函数与相似综合问题 考点11 二次函数中的动点图象问题 地 城 考点01 二次函数的新定义与创新探究问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 2．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为_____． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值：若不存在，请说明理由． 3．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)已知抛物线，若其顶点在一条直线上，则称这条直线为该抛物线的基准线． (1)如图1，抛物线的基准线是直线，若抛物线与x轴有两个交点，求出满足条件的a，k的取值范围； (2)如图2，抛物线的基准线，且经过点，已知抛物线开口向上，求出h的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，将基准线l向上平移1个单位得到，设抛物线的基准线为，且经过点，与直线的另一个交点为B，若点B向左平移12个单位的对应点也在抛物线上，求抛物线与直线l的两个交点之间的距离． 4．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值． 5．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”． 【概念理解】 （1）求直线上的“倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图1，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图像记为．将抛物线上部分的图像沿直线翻折得到的图像记为，由图像与组成的图像记为G． ①当时，求图像G上的“倍值点”的坐标； ②当图像G上存在三个“倍值点”，，，且满足，，请直接写出m的值为 ．    6．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)已知是自变量x的函数，当时，称函数为函数的“纵和函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的纵和点”．点B在函数的“纵和函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“纵和函数”． 在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点 为点A“关于的纵和点”．点B在函数的“纵和函数”的图象上． (1)点A在函数的图象上，点A“关于的纵和点”B在点A上方，当时，求点A的坐标； (2)求函数的图象，的“纵和函数”的图象，与轴所围成的三角形的面积； (3)函数的“纵和函数”为，点A在函数图象上，点A“关于的纵和点”为点B． ①若，点，求的函数表达式； ②设函数的图象与y轴交于点C，过C作轴的平行线，与的图象交于点E，与的图象交于点F，点E，F都不与点C重合，若，求的值； ③若，函数的图象顶点坐标为，当时，求的取值范围． 7．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·期末)定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为 且 当自变量x满足时，此时函数的最大值记为 ，最小值记为 ，则是 的“ ”值． 已知： 在平面直角坐标系中， ， ， 轴． (1)如图， 若点坐标为， ． ①一次函数 是 的“勾股函数”吗? 若是，说明理由并求出的“ ”值，若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数 是 的“勾股函数”，若存在，求出值，不存在，说明理由． (2)若点的坐标为， 点的坐标为， 二次函数 是的“勾股函数”． ①若二次函数 经过两点，且与 的边有第三个交点，则的取值范围是 ； ②若二次函数 经过两点， 且的“ ”值 求的值． 8．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”． (1)求函数的“等距点”； (2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”， ①点的坐标为 ； ②点的坐标是，连接，求的面积； (3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值． 9．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”． (1)求函数的“相关函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为时，求点的坐标； (3)函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围． 10．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， (1)若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ；（用的代数式表示） (2)若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求的值． 11．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)新定义：A是函数y的图象上一点，过A做一条直线l，如果函数y的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．    (1)①若一次函数的一个“和谐点”是，则过A的“和谐线”是直线 ； ②反比例函数的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ； ③二次函数的“和谐点”是点 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，C均在坐标轴上，，对角线，相交于点D，已知函数的图象经过点A，函数的“和谐点”在矩形的边上，若函数的图象与直线的另一个交点为点E，且，求a的取值范围． 地 城 考点02 二次函数与线段周长及其最值问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁抚顺县·期末)如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 2．(24-25九上·辽宁营口·期末)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 二、解答题 3．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如， (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． (3)设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，且，求m，的值． 4．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)已知是自变量x的函数，当时，称函数为函数的“k倍函数”． 例如：函数，当时，则函数是函数的“3倍函数”．    (1)函数的“5倍函数”是　　　　　（直接填空）； (2)求的“k倍函数”与x轴的交点坐标； (3)如图①是函数和它的“2倍函数”的图像，在的“2倍函数”图像上有一点A，作轴于点D，交函数图像于点E，作轴于点B，交函数图像于点C，连接，，求证：； (4)在平面直角坐标系中，函数的图像如图②所示，若函数的“k倍函数”的图像与函数的图像交于P，Q两点，与函数的“倍函数”的图像交于G，H两点，且Q，H两点恰好位于x轴上方，当时，求k的值． 5．(23-24九上·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点（点P不与点B，C重合），过点P作轴交直线于点D，求线段长的最大值． 6．(23-24九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，点是线段上的点（不与点B，C重合），过P作轴，交抛物线于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若设点的横坐标为，请用含的代数式表示线段的长； (3)过点M作，垂足为点，求线段的最大值． 7．(24-25九上·辽宁大连第七十七中学·期末)在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的图象与轴交于点． (1)求点的坐标． (2)当此抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式； (3)已知三个顶点的坐标分别为、、，若，设抛物线（为常数）与的较短的直角边的交点为．过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为．若，请直接写出的值． 8．(24-25九上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)如图，抛物线过，两点，点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标为，且 (1)求抛物线的解析式 (2)过点P作轴于点D，交于点N，作轴交于点E，交抛物线的对称轴于点M，若，求的值 9．(24-25九上·辽宁营口·期末)已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．    (1)求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标． (2)根据图象回答：当x取何值时，． (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的最小值，并求当取最小值时点P的坐标． 地 城 考点03 二次函数与面积及其最值问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．(23-24九上·辽宁盘锦大洼区大洼区第二初级中学·期末)如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，从点开始沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，平移时间为秒，射线交抛物线于点、连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标是，的面积是，求关于的函数关系式； (3)如图1，当面积最大时，求的值 4．(23-24九上·辽宁大连金州区·期末)抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，点D的横坐标为m，四边形的面积为S．求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值． 5．(23-24九上·辽宁抚顺新抚区新抚区教师进修学校中学研训部·期末)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为的抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，作 交抛物线于点，连接．    (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)为抛物线第三象限上的一点，与的面积相等，求点的坐标； (3)为线段上一点（，两点除外），点关于直线的对称点，若点恰好落在抛物线上时，求出点的坐标． 6．(23-24九上·辽宁朝阳第一中学·期末)综合与探究 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线， (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点和点是抛物线两点，且，求c的取值范围． (3)点P是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． 7．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点04 二次函数与角度综合问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，当时； ①请直接写出B点坐标________，C点坐标________； ②M是直线上方的抛物线上一点，过点M作y轴的垂线交直线于点N，求线段的最大值； ③在抛物线上是否存在点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (2)抛物线对称轴交x轴于点H，交直线于点K，点D为顶点，过点C作的垂线交抛物线于点G，连接，，交于点P，当时，请直接写出的面积________． 2．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC． (1)求抛物线y1的解析式； (2)如图1，点D是直线上方抛物线上的一点，过点D作交于点E，连接，求的最大值； (3)如图2，只将图1中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F，连接，点G是抛物线第二象限上的一点，连接．若，请求出点G的坐标． 3．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 4．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)二次函数 的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，若D是此二次函数图象上第一象限内的点，设D点横坐标为m，当四边形的面积最大时，求m的值； (4)如图3，若P是此二次函数图象上第四象限内的点，当时，求点 P 的坐标． 5．(24-25九上·辽宁抚顺县·期末)【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，已知点，将点绕着点顺时针旋转得到点，求点的坐标． ①如图2，聪聪同学给出如下解题思路：分别过，作轴，轴的平行线，构造出两个全等的直角三角形，将点和点的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，明明同学给出另外一种解题思路：过点作轴的平行线，分别过点，作轴的平行线，同样构造出两个全等的直角三角形，也将点和点的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析，选择其中一名同学的解题思路，求出点的坐标． 【类比探究】 （2）李老师发现两名同学用不同的方法把点的坐标转化为线段的长度，为了让同学们更好地感悟这种转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． 如图4，抛物线经过点和点，且与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，为轴正半轴上一动点，将点绕点顺时针旋转得到对应点． ①求抛物线的解析式； ②若点恰好在抛物线上，求此时点的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点，连接，点为线段上一点，连接，若时，求此时点的坐标． 6．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)已知： 抛物线 交轴于 ，交轴于，顶点为为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)在 运动过程中，连，当 时，求点坐标； (3)随着运动到第一象限，如图（2）直线交对称轴于，直线交对称轴于，若对称轴交轴于，求的值． 7．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)我们定义【a，b，c】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【1，，3】，函数的“特征数”是【0，2，】，函数的“特征数”是【0，，0】． (1)若一个函数的特征数是【1，，2】，将此函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是__________； (2)将“特征数”是【0，，】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是__________； (3)当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最低点的纵坐标为4时，求的值． (4)当特征数【1，b，c】满足时，函数的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．已知点B的坐标为，若在x轴上有一点P，使，请直接写出点P的坐标． 8．(24-25九上·辽宁朝阳一中联盟校·期末)在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 9．(23-24九上·辽宁朝阳县·期末)如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线经过点B，点C．    (1)试求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 10．(23-24九上·辽宁抚顺清原县·期末)综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接为抛物线上的一个动点（与点不重合），设点的横坐标为，的面积为． (1)求二次函数的表达式； (2)当点在第二象限内时，求关于的函数表达式； (3)抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．(23-24九上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期末)如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 12．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，抛物线与直线交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标； (3)直接写出不等式的解集； (4)点M是第一象限内一点且． ①尺规作图：在图中画出满足条件的点M的集合（保留作图痕迹，不写画法）； ②当点M在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标． 地 城 考点05 二次函数与三角形存在性问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D（0，3），连接AD． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，当△FEQ的周长最大时，求点Q的坐标和△FEQ周长的最大值； （3）如图2，已知H（，0）．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD交于点N，连接HN，当△AHN是等腰三角形时，求抛物线的平移距离d． 2．(23-24九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴上的一动点，点D是的中点，设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点B作，交y轴于点E，连接，当的面积为10时，求点P的坐标； (3)当是锐角三角形时，直接写出n的取值范围． 3．(23-24九上·辽宁大连长海县·期末)已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．(23-24九上·辽宁鞍山·期末)已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．    (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 5．(24-25九上·辽宁辽阳第一中学西藏班·期末)如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值． 6．(23-24九上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与轴交于点A．    (1)求抛物线的解析式； (2)M在直线上，线段绕点M顺时针旋转得，过点D做y轴的平行线交抛物线于点E，若的长是1，求点M的坐标； (3)P在抛物线上，Q在直线上，以P，Q，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，直接写出点Q的坐标． 地 城 考点06 二次函数与四边形存在性问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为 ．    2．(24-25九上·辽宁营口第一中学·期末)如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 二、解答题 3．(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？ (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 4．(23-24九上·辽宁营口第二十九初级中学·期末)如图，抛物线经过x轴上、B两点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与直线交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； (3) F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E，D，F四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请画图说明理由． 5．(23-24九上·辽宁葫芦岛建昌县·期末)综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示： ， ； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； (3)如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标． 6．(23-24九上·辽宁营口西区育才初级中学·期末)如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点07 二次函数的最值求参问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)已知抛物线为经过点和点，将抛物线的顶点的横，纵坐标都加上m（m为常数）得到抛物线 (1)求抛物线的解析式，并写出该抛物线的顶点坐标： (2)①用含m的式子写出的表达式为___________________． ②当抛物线与x轴有交点时，求m的取值范围； (3)当时，且时，函数的最大值为4，最小值为，求t的值． 2．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B、C两点 （1）填空：b＝　 　（用含有a的代数式表示）； （2）若a＝﹣1 ①点P为抛物线上一动点，过点P作PM∥y轴交直线y＝﹣x+3于点M，当点P在第一象限内时，是否存在一点P，使△PCB面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②当m≤x≤m+3时，y的取值范围是2m≤y≤4，求m的值． 3．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点M中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”，点M为“镜像中心”． 例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． (1)如图2，当时，求抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”的函数表达式； (2)已知抛物线，将其顶点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点M的坐标； (3)已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当0≤x≤1时，最大值与最小值的差为3，求t的值． 4．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． (1)分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． (2)设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围． 地 城 考点08 二次函数中的公共点求参问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．已知点，若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点，交于点，求点的坐标； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 3．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点，点是抛物线的顶点，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线上一点，其横坐标为，将此抛物线上、两点间的部分(包括、两点)记为图象． (1)求抛物线的解析式； (2)若的面积等于时，求的值； (3)记图像的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (4)若点，连接，取线段的中点，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，以、为邻边构造矩形，当时，直接写出图像与矩形有两个交点时的取值范围． 4．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求出t的取值范围． 5．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”． 例如：函数关于直线的“友好函数”为 ，“友好点”为． (1)求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标； (2)函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当 时，求的取值范围； (3)函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为． ①若，判断的形状，并说明理由； ②若，求的值； ③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围． 6．(24-25九上·辽宁本溪·期末)在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． (1)点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； (2)点的1级变换点在直线上，求b值； (3)点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 7．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)经验回顾： 初中阶段，我们先后学习了一次函数，反比例函数和二次函数的有关知识．在研究每一种函数的图象和性质时，都运用了数形结合思想，通过画图，观察，分析，对比等方式，经历了由“特殊”到“一般”的探究过程． 请你运用所学知识和方法解决下列问题： 阅读理解： 二次函数中，具有这样图象特征：开口方向和形状都相同，且顶点在同一直线上的所有函数统称为“同线函数”．例如：同线函数C：（c是常数）中的函数如 的图象的开口方向和形状都相同，且顶点都在y轴上． 问题解决： 已知：同线函数M：（m是常数）． (1)填表，特例分析： m的取值 （m是常数） 图象顶点坐标 （ ） （ ） （ ） …… …… …… (2)根据（1）特例分析，求函数（m是常数）的图象顶点所在直线的表达式； (3)已知同线函数K（k是常数）中的一个函数的图象顶点在第二象限内，将该函数沿坐标轴方向平移7个单位后与同线函数M中的一个函数重合，求函数的表达式； (4)若满足（3）中条件且时，将函数的图象在上方的部分沿直线向下翻折后，得到新函数Q．当直线与新函数Q的图象恰有3个公共点时，请直接写出b的值． 地 城 考点09 二次函数与折叠问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将沿折叠，点的对应点为点． (1)如图2，当时，延长交轴于点，若抛物线过点，，，求抛物线的解析式， (2)如图3，随着的变化，点恰好落在轴上，求的值， (3)若点的横坐标为，抛物线（且为常数）的顶点落在的内部，直接写出的取值范围． 2．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则为二次函数图象上的“互反点”． (1)已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； (2)判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为5时，求的值； (4)如图2，为轴上的动点，过作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出的取值范围． 3．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，如果满足，那么称，两点互为“等差点”． (1)在点，，中，与点互为“等差点”的是______； (2)已知点在双曲线（）上存在唯一等差点，求出的值； (3)如图1，抛物线的顶点与点是等差点，且与轴交于，两点，与轴交于点． ①点位于轴下方的抛物线上，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点．当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； ②抛物线（）图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”，请直接写出的取值范围． 地 城 考点10 二次函数与相似综合问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁营口雁楠中学·期末)如图，抛物线经过轴上、两点，对称轴是直线．且与直线交于、两点，与轴交于点．点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标为 ． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．(23-24九上·辽宁铁岭银州区朝鲜族中学·期末)如图，抛物线经过的三个顶点，点，点，轴，点为抛物线上一点，点在直线上： (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线上，且时，求点的坐标； (3)如图，当点是抛物线的顶点时，若以，，为顶点的三角形与相似请直接写出点的坐标． 地 城 考点11 二次函数中的动点图象问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，和是全等的等腰直角三角形，，与在直线l上，开始时C点与E点重合，直到B点与F点重合为止．设和的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为，的长度为，则y与x之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·辽宁营口第一中学·期末)如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A． B． C． D． 3．(23-24九上·辽宁大连甘井子区第七十六中学·期末)如图1，在中，，，，边长为的正方形从点出发，沿射线运动．当点与点重合时，运动停止．设，正方形与的重叠面积为，关于的图象如图2所示．下列结论： ①，，，，；②当时，；③在运动过程中，的最大值为；④连接，当交边于点时，设，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．③④ 4．(23-24九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，是等边三角形，，，垂足为点D，点P从点B出发，沿的路径运动，运动到点A停止，过点P作交边于点E，过点P作交边于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能正确反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图，在中，，，，，，垂足为点D，动点M从点A出发沿方向以的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ） A． B．C． D． 6．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期末)在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 二、填空题 7．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图1，在正方形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点的运动路程为，的面积为，图2表示的是关于的函数图象，已知点在的运动过程中，有最大值6，当点停止运动时，函数图象中的值为 ． 三、解答题 8．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，连接，作线段的的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P，设点P的坐标为，探究y与x的函数关系． 【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 … 线段长 … 如果，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象； 【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点P的坐标满足的函数关系： （1）猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围； （2）在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 9．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)中，于D，，，点E沿射线方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转得到点F（F在射线上），点G与点E关于点D成中心对称（点G在射线上），连接得到． (1)求的长； (2)在点E的运动过程中，设，与的重叠部分面积为S，求S与x的函数关系式． 10．(23-24九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)问题提出： 四边形是正方形，是射线上的动点，点在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，四边形的面积为（可等于0）． (1)如图①，当点由点运动到点过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象信息，回答下列问题： ①正方形的边长为___________（直接填空）； ②求关于的函数关系式； (2)如图③，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数关系式； (3)若在射线上从下至上依次存在不同位置的两个点，对应的四边形的面积与四边形的面积相等，当时，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $