专题03 二次函数的图象与性质 10大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03二次函数的图象与性质 ☆10大高频考点概览 考点01二次函数的定义 考点02二次函数的图象 考点03二次函数的对称性与增减性 考点04二次函数的图象和性质 考点05求二次函数表达式 考点06二次函数图象的平移 考点07二次函数与一元二次方程 考点08二次函数与不等式 考点09二次函数图象与系数的关系 考点10二次函数的最值问题 目目 考点01 二次函数的定义 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁大连庄河期末)下列y关于x的函数中，属于二次函数的是() A.y=-X+2x2B.y=2x+1 C.y=会 D.y=x 2.(24-25九上辽宁抚顺新宾县·期末)下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是() A.y=x2-毫+3 B.x=y2 C.y=x(x-2)-1 D.y=x2-(x+1)(x-4) 3.(24-25九上辽宁鞍山高新区·期末)下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是() A.y=x2-袁+3 B.y=(a+2)x2 C.y=x(x-2)-1 D.y=x2-(x+1)(x-4) 4.(24-25九上辽宁大连中山区期末)下列式子中，表示y是x的二次函数的是() A.y=x2 B.x2-2x+2=0C.y=-是 D.y=是 二、填空题 5.(24-25九上辽宁营口大石桥五校联考期末)y=(m-2)网+2x+1是关于x的二次函数，则m的值 为 6.(24-25九上辽宁大石桥第二初级中学期末)当m=时，y=(m-1)叶1是二次函数. 7.(23-24九上辽宁鞍山期末)已知y=(m-3x2-2x+5是二次函数，则常数m的取值范围是 1125 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 二次函数的图象 一、单选题 1.(24-25九上辽宁鞍山期末)二次函数y=ax2+bx+c,其中a<0,b>0,c<0,这个函数的图象大 致是() 2.(24-25九上辽宁盘锦兴隆台区期末)二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=碧在同一平面直角坐标系 中的大致图像可能是() 3.(24-25九上辽宁大石桥第二初级中学期末)若b<0,则一次函数y=ax+b与二次函数y=x2+bx+c在同 坐标系内的图象可能是() 2/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九上·辽宁锦州期末)在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图像 可能是 5.(24-25九上辽宁鞍山海城西部集团·期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数 y=~ax+b的图象大致是() 3/25 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25九上辽宁葫芦岛兴城期末)在同一平面直角坐标系中，画出直线y=ax+b与抛物线 y=ax2+bx,这个图形可能是() 7.(24-25九上辽宁鞍山铁西区鞍山育才中学期末)一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，则抛物线 y=ax2+bx+1图像可能是() B 二、填空题 8.(24-25九上辽宁沈阳铁西区·期末)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=X+b的图 象一定不经过第象限. 4/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 二次函数的对称性与增减性 一、单选题 1.(24-25九上辽宁抚顺新抚区期末)已知二次函数y=-x2+2x+m图象上的三点A(1,y1), B(2,y2),C(5,y3),则y1,y2,y3的大小关系为() A.y1<y2<y3B.y3<y1<y2C.y1<y3<y2D.y2<y1<y3 2.(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)若二次函数y=x2-6x+m的图象经过 A(-1,a),B(2,b),C(4.5,c)三点，则a、b、c的大小关系是() A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b 3.(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学期末)抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴的一个交点坐标为 (-1,0),对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是( 21O A.(3,0) B.3,0 c.(3,0) D.(2,0 4.(24-25九上辽宁大连汇文中学期末已知点A(2,y1)、B(-1,y2)、C(1,y3)在函数 y=2(x+1)2支上，则y1、y2、y3的大小关系是() A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y1>y2 D.y2>y1>y3 5.(2425九上辽宁铁岭铁岭县期末已知(-1y,(2y)J,(3,y。在二次函数y=-x2+4g+c的图象上， 则y1,y2,y3的大小关系正确的是() A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2 6.(24-25九上辽宁大连庄河期末)二次函数y=x2+bx+c图象上部分点的坐标对应值列表如表： … -3 -2 -1 0 … -3 -2 -3 -6 -11 则该函数图象的顶点坐标是() A.(-3,-3)B.(-2,-2) C.（-2,2) D.（-1,-3) 7.(24-25九上辽宁大连博伦中学期末)抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴的一个交点坐标为(-1,0)， 5/25 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是(） A.（3,0) B.3,0) c.(30) D.2,0 8.(②3-24九上辽宁抚顺清原县期末)设A(-5,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+3 上的三点，则y1,y2,y的大小关系为() A.y2>y3>y1B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y2>y1>y3 9.(23-24九上辽宁鞍山期末)已知二次函数y=2x2-4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时，x的取 值范围是() A.x<1 B.x>1 C.x<2 D.x>2 10.(23-24九上辽宁朝阳朝阳县·期末)在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的 取值范围是() A.x<1 B.X>1 C.x<-1 D.x>-1 二、填空题 11.(2425九上辽宁葫芦岛期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(1,0),点B(5,0), 与y轴相交于点C,点D在抛物线上，当CD川x轴时，CD=一， B 12.(24-25九上辽宁大连沙河口区期末若点A(-1,y),B(2,y2)在抛物线y=2x2上，则y1与y2的 大小关系为y1Y2(填“>”，“=”或“<”)· 13.(24-25九上辽宁沈阳沈河区期末)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，y与x的部分对应值如下表， 其对称轴是直线x=」 6/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 25 10 14.(23-24九上·辽宁鞍山期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与 y轴相交于点C,点D在抛物线上，当CDx轴时，CD的长为 15.(23-24九上辽宁大连沙河口区·期末)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-2,0)，(6,0)，则 此抛物线的对称轴是 考点04 二次函数的图象与性质 一、单选题 1.(2425九上辽宁葫芦岛期末)关于抛物线y=号(x+2)2-3,下列结论正确的是() A.抛物线的顶点坐标为(2，-3) B.抛物线可由y=-x2经过平移得到 C.抛物线与x轴有两个交点 D.当x<-2时，y随x的增大而增大 2.(24-25九上辽宁大连瓦房店期末)抛物线y=(x-3)2+4的顶点坐标是（) A.(-3,4) B.(-3,-4) C.(3,4) D.(3,-4) 3.(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)已知抛物线C1的顶点坐标为(23)，且与抛物线C2: y=x2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为() A.y=(x+2)23 B.y=-(x-2)23 C.y=-(x-2)2+3 D.y=(x-2)2+3 4.(24-25九上辽宁鞍山海城东部集团期末)关于抛物线y=(x-2)2+4图象的性质，下列说法错误的是 () A.开口向上B.对称轴是x=2C.顶点坐标是(2,4)D.与x轴有两个交点 5.(24-25九上辽宁大连沙河口区·期末)抛物线y=(x-2)2+1的顶点是() 7/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(-21) B.(1,2) C.(1,-2) D.（2,1) 6.(24-25九上辽宁铁岭铁岭县期末)我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+c（a≠0，且 b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小明同学画出了“鹊桥”函数y=x2-2x-3的图象（如图），并写 出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(-1,0)，(3,0)和(0,3)：②图象具有对称性，对称轴是直线x=1 ;③当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=-1或x=3时，函数的最小值是0； ⑤当x=1时，函数的最大值是4.其中正确的结论有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(2425九上辽宁铁岭期末)抛物线y=-专(x-2)2的顶点坐标为() A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,-2) D.(0,2) 8.(24-25九上辽宁大连中山区期末)关于抛物线y=-(x+2)2+3,下列说法中错误的是() A.开口向下 B.对称轴是直线x=-2 C.顶点坐标(-2,3) D.与y轴交点坐标(0,3) 9.(24-25九上辽宁大连嘉汇集团)在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x=1的是() A.y=-x2-2xB.y=x2-1 C.y=(x+1)2D.y=-x-12 10.(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团期末)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交 点的横坐标是-3，顶点坐标为(-1,4)，则下列说法正确的是() (-1,4) 7-3 0 A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 8/25 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 11.(24-25九上辽宁铁岭部分学校期末)将二次函数y=2x2+8x-7化为y=a(x+m)2+n的形式，正 确的是() A.y=2(x+4)2.7 B.y=(x+2)27 C.y=(x+2)2-11 D.y=2(x+2)2-15 12.(23-24九上·辽宁沈阳康平县期末)已知在二次函数y=ax2-bx+c中，若a>0,b>0,c<0,则下 列说法正确的是() A.图象开口向下 B.抛物线与y轴交于正半轴 C.对称轴在y轴的右侧 D.顶点在第一象限 二、填空题 13.(24-25九上辽宁朝阳北票期末)抛物线y=(x-1)2-2的顶点坐标是 14.(24-25九上辽宁大连瓦房店期末)抛物线y=ax2+bx+2经过点(2,4)，则3b+6a= 15.(2425九上辽宁大连西岗区期末)若点A(a,0)在二次函数y=x2+x-1的图象上，则 a3+2a2+2024=_ 三、解答题 16.(23-24九上·辽宁大连普兰店区·期末)已知二次函数y=x2-4x+3. (1)将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k形式： (2)当0≤x≤3时，直接写出y的取值范围. 目目 考点05 求二次函数表达式 一、单选题 1.(24-25九上辽宁大连嘉汇集团期末)关于x的二次函数y=(a-1)x2+ax+2a2-2的图象过原点，则 a的值为() A.-1 B.1 C.±1 D.0 2.(24-25九上辽宁营口期末)在“探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系” 活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A(0,1),B(2,1),C(4,1),D(3,2).同学们分别画出了经过这 四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y=x2+bx十c,则a+b十c的最大值等 9125 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于() B A.-5 B.号 C.2 D.5 二、填空题 3.(24-25九上辽宁盘锦大洼区·期末)若抛物线y=2x2-mx+3经过点(1,0)，则m=, 4.(24-25九上辽宁大连中山区·期末)抛物线y=x2+bx+2的对称轴是直线x=1,那么b的值 为 5.(24-25九上辽宁鞍山台安县·期末)抛物线y=2x2+(m-1)x+4的对称轴是y轴，则m的值为】 6.(24-25九上辽宁沈阳大东区期末)抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标为(2,3)，则a= 7.(2425九上辽宁大连中山区期末)若二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象开口向下且经过原点，则a的 值是 8.(23-24九上辽宁朝阳朝阳县·期末)已知二次函数y=2x2+bx+4顶点在x轴上，则b=一， 三、解答题 9.(24-25九上辽宁大连高新技术产业园区期末)(1)解方程：2x2-7x+4=0: (2)己知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(0,1),B(2,-1)两点，求二次函数的表达式. 10.(24-25九上辽宁大连甘井子区第八十中学期末)(1)解方程：x2+2x-4=0: (2)已知二次函数y=ax2+bx+5的图象经过点A(1,4),B(-1,8).求这个二次函数的表达式. 11.(23-24九上·辽宁大连中山区期末)己知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下 表所示： 10/25 专题03 二次函数的图象与性质 10大高频考点概览 考点01 二次函数的定义 考点02 二次函数的图象 考点03 二次函数的对称性与增减性 考点04 二次函数的图象和性质 考点05 求二次函数表达式 考点06 二次函数图象的平移 考点07 二次函数与一元二次方程 考点08 二次函数与不等式 考点09 二次函数图象与系数的关系 考点10 二次函数的最值问题 地 城 考点01 二次函数的定义 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：符合二次函数的定义，它是二次函数； 不符合二次函数的定义，它们不是二次函数， 故选：A. 2．(24-25九上·辽宁抚顺新宾县·期末)下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：不是二次函数，故选项A不符合题意； ，不是二次函数，故选项B不符合题意； 是二次函数，故选项C符合题意； 是一次函数，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．(24-25九上·辽宁鞍山高新区·期末)下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，熟记二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是二次函数，故选项不符合题意； B、若，不是二次函数，故选项不符合题意； C、，是二次函数，故选项符合题意； D、，不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：C． 4．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)下列式子中，表示是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如这样的式子，叫做是的二次函数，其中，、、是常数）解决此题． 【详解】解：A．，是的二次函数，故A选项符合题意； B．，是关于的一元二次方程，故B选项不符合题意； C．，不是二次函数，，故C选项不符合题意； D．，不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题 5．(24-25九上·辽宁营口大石桥五校联考·期末)是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确分析列式计算是解题关键．根据二次函数定义可知未知数最高次数为2，最高次项系数不为零，列式求解即可． 【详解】解：是关于的二次函数， ，， ， 故答案为：． 6．(24-25九上·辽宁大石桥第二初级中学·期末)当 时，是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 7．(23-24九上·辽宁鞍山·期末)已知是二次函数，则常数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可得出答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为（，为常数）是解本题的关键． 地 城 考点02 二次函数的图象 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)二次函数，其中，这个函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的判断，根据可得出抛物线开口向下，再根据可得出对称轴在y轴右侧．再根据可得出抛物线交y轴于负半轴，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴直线 ∴对称轴在y轴右侧． ∵， ∴抛物线交y轴于负半轴， 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线、反比例函数的图象性质，利用数形结合思想求解是解题的关键． 可先由二次函数的图象开口与对称得到字母系数的正负，得到的正负，再与反比例函数的图象所在象限得到的正负相比较是否一致，即可求解． 【详解】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第二、四象限，则，故此选项不符合题意； D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项符合题意； 故选：D． 3．(24-25九上·辽宁大石桥第二初级中学·期末)若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ） A． B．. C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和二次函数的性质进行分析即可. 【详解】∵b＜0， ∴一次函数y=ax+b图象与y轴的负半轴相交， 故排除A、C选项， B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限， ∴a＞0， 二次函数开口向上， 故D选项不符合题意， ∵a＞0，b＜0时， 对称轴x=-＞0，B选项符合题意． 故选B． 【点睛】考核知识点：二次函数的图象. 4．(24-25九上·辽宁锦州·期末)在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A．     B．   C．   D．   【答案】C 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 5．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键． 直接利用二次函数图形得出a、b的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C正确； D、一次函数图象，得，，故D错误； 故选：C． 6．(24-25九上·辽宁葫芦岛兴城·期末)在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 7．(24-25九上·辽宁鞍山铁西区鞍山育才中学·期末)一次函数经过一、三、四象限，则抛物线图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质．熟练掌握一次函数和二次函数图象及性质是解题的关键 根据一次函数的图象经过的象限确定，，进而根据二次函数的图象的开口方向、对称轴、于y轴的交点，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， ∴二次函数的开口向上，， ∴对称轴在y轴右侧， 当时，， ∴二次函数图象与轴交点为，在轴正半轴 ． 结合以上特征，符合条件的是选项B． 故选：B． 二、填空题 8．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 地 城 考点03 二次函数的对称性与增减性 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)已知二次函数图象上的三点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的性质，解题的关键将所有点转换在对称轴的同一侧．先算出对称轴，将所有点转换在一边，结合二次函数的性质判断即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为， ∴A点关于对称轴的对称点是：， ∵， ∴在二次函数对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)若二次函数的图象经过三点，则a、b、c 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出二次函数的对称轴以及开口方向，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵ ∴二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ∵到3的距离为4，2到3的距离为1，4.5到3的距离为1.5， ∴a、b、c的大小关系. 故选：D． 3．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的对称性可得结论． 【详解】解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0）， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， ∴，解得x=3, 此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键． 4．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)已知点、、在函数上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题意易得开口向上，对称轴为直线，然后根据“开口向上离对称轴越近，其函数也就越小”可进行求解． 【详解】解：由函数可知：，开口向上，对称轴为直线， ∵点、、在函数上，且点A、B、C离对称轴的距离分别为3、0、2， ∴； 故选B． 5．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系． 【详解】二次函数， 对称轴为， ， 时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ，，在二次函数的图象上，且，， ． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 6．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如表： x … 0 1 … y … … 则该函数图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称（已知抛物线上对称的两点求对称轴），用表格表示变量间的关系等知识点，由二次函数图象上对称的两点得出其对称轴是解题的关键． 由表格可知，和时的函数值都是（相等），由此即可得出该二次函数的对称轴，进而可得其顶点坐标． 【详解】解：和时的函数值都是（相等）， 该二次函数的对称轴为直线， 该函数图象的顶点坐标是， 故选：． 7．(24-25九上·辽宁大连博伦中学·期末)抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的对称性可得结论． 【详解】解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0）， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， ∴，解得x=3, 此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键． 8．(23-24九上·辽宁抚顺清原县·期末)设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，，，即， 离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：A． 9．(23-24九上·辽宁鞍山·期末)已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】解：∵ ∵开口向上，对称轴为x=1， ∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质． 10．(23-24九上·辽宁朝阳朝阳县·期末)在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜-1 D．x＞-1 【答案】B 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，然后开口向下，在对称轴右侧满足y随x的增大而减小即可求解． 【详解】解：y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2， 抛物线的对称轴为直线x=1， ∵a=-1＜0，开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减少． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图形性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的图形性质是解决本题的关键． 二、填空题 11．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时， ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴是解题的关键． 根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为： ． 12．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)若点，在抛物线上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 13．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)已知抛物线y与x的部分对应值如下表，其对称轴是直线x= ． x 1 3 4 6 y 25 15 10 15 【答案】4.5 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线． 【详解】解：由图可知，和时对应的函数值相等， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 故答案为：4.5 14．(23-24九上·辽宁鞍山·期末)如图，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握抛物线的对称性质是解题的关键． 利用抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，再根据，得出点C、D关于抛物线的对称轴对称，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于、两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点C、D关于直线对称， ∵点C是抛物线与y轴的交点， ∴点C横坐标为0，设点D横向坐标为m， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 15．(23-24九上·辽宁大连沙河口区·期末)抛物线与轴的公共点是，，则此抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性可知－2和6关于对称轴对称，从而得出对称轴． 【详解】∵抛物线与x轴的交点为（-2，0），（6，0）， ∴两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线x= (－2+6)÷2=2． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型．关于对称轴对称的两个点的函数值相等． 地 城 考点04 二次函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)关于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．抛物线可由经过平移得到 C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：A、抛物线的顶点坐标为，原结论错误，故此选项不符合题意；     B、抛物线可由经过平移得到，原结论错误，故此选项不符合题意；     C、∵，， ∴抛物线与轴有两个交点，原说法正确，故此选项符合题意；     D、当时，随的增大而减小，原结论错误，故此选项不符合题意；     故选：C． 2．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 可设其解析式为 抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同 抛物线的解析式为． 故选：D． 4．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期末)关于抛物线图象的性质，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，最小值为，则抛物线与轴无交点，即可求解． 【详解】解：抛物线，，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，则A，B，C正确， 最小值为，则抛物线与轴无交点，故D错误； 故选：D 5．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)抛物线的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点是， 故选：D． 6．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，结合函数图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：①，和都满足，故①正确； ②从函数图象可得图象具有对称性，对称轴为直线，故②正确； ③根据函数图象可得，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； ④当或时，函数的最小值是0，故④正确； ⑤由图象可得，当时，不是函数的最大值，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 7．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式是解题的关键． 根据抛物线的顶点式的顶点坐标为即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点式的顶点坐标为， ∴抛物线中，， ∴抛物线的顶点坐标为； 故选：B． 8．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)关于抛物线，下列说法中错误的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．与轴交点坐标 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根据的图象与性质解答． 【详解】在中， ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， ∴选项A、B、C均不符合题意； 令，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴选项D符合题意． 故选：D． 9．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·)在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，逐项判定即可． 【详解】解：A． ，抛物线对称轴为直线，故该选项不符合题意； B．，抛物线对称轴为直线，故该选项不符合题意； C．，抛物线对称轴为直线，故该选项不符合题意； D．，抛物线对称轴为直线，故该选项符合题意． 故选：D． 10．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 11．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)将二次函数化为的形式，正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法把二次函数一般式变为顶点式解析式的方法，利用配方法把二次函数一般式变为顶点式即可，熟知完全平方公式各个部分之间的关系是解题的关键． 【详解】解：将二次函数化为， 故选：． 12．(23-24九上·辽宁沈阳康平县·期末)已知在二次函数中，若，则下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．抛物线与y轴交于正半轴 C．对称轴在y轴的右侧 D．顶点在第一象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴方程、顶点坐标是解题的关键．由a、b、c的符号可判断开口方程，对称轴，顶点坐标，抛物线与y轴的交点逐项判断，可得出答案． 【详解】∵， ∴二次函数图象开口向上，故A不符合题意； ∵， ∴抛物线与y轴交于负半轴，故B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴对称轴在y轴的右侧，故C符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴其顶点坐标一定在第四象限， 故D不符合题意； 故选：C． 二、填空题 13．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案． 【详解】解：根据抛物线顶点式顶点坐标为得， 抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线顶点坐标，解题关键是记得顶点式及其顶点坐标． 14．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)抛物线经过点，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 将点坐标代入解析式可得，整体代入所求代数式即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 15．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)若点在二次函数的图象上，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，求代数式的值．把代入，求得，，再整体代入代数式即可得到答案． 【详解】解：把代入， 得， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2025． 三、解答题 16．(23-24九上·辽宁大连普兰店区·期末)已知二次函数． (1)将化成形式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省大连市普兰店区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把二次函数化为顶点式： （1）利用配方法求解即可； （2）根据（1）所求得到当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，求出当时，，当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解； ； （2）解；∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， 当时，， 当时， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． 地 城 考点05 求二次函数表达式 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·期末)关于x的二次函数 的图象过原点，则a的值为（     ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，得到关于a的方程，解方程即可，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：将代入二次函数解析式，可得， 解得， 当时，，，不是二次函数，不合题意，舍去； 当时，，是二次函数，符合题意； 故a的值为， 故选：A． 2．(24-25九上·辽宁营口·期末)在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、D、C三点的抛物线当时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会经过A、B、C三点， ∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大， 把代入得 ， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为， 当时，， 故的最大值等于2， 故选：C． 二、填空题 3．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)若抛物线经过点，则 ． 【答案】5 【分析】把代入解析式解答即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握图象上的点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：． 故答案为：5． 4．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)抛物线的对称轴是直线，那么b的值为 ． 【答案】 【分析】根据对称轴公式列得，直接求值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式，熟练掌握抛物线的顶点坐标公式是解题的关键． 5．(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)抛物线的对称轴是y轴，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式．根据抛物线的对称轴公式“抛物线的对称轴是直线”即可得出关于m的方程，解方程即得答案． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：． 故答案为：1． 6．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)抛物线的顶点坐标为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的顶点坐标并列出方程是解题的关键．根据二次函数的顶点坐标列出方程求出即可． 【详解】解：由顶点坐标为得对称轴为直线， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)若二次函数的图象开口向下且经过原点，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握函数的图象与性质是关键；抛物线经过原点，把此点坐标代入二次函数得，，解得a的值．再图象开口向下，确定a的值． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴，解得， ∵图象开口向下，， ∴． 故答案为． 8．(23-24九上·辽宁朝阳朝阳县·期末)已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝ ． 【答案】 【分析】根据题意可知一元二次方程只有一个解．再利用根的判别式即可得出b的值． 【详解】根据二次函数的顶点在x轴上，说明该二次函数与x轴只有一个交点， 即一元二次方程只有一个解． 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键． 三、解答题 9．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)（1）解方程：； （2）已知二次函数的图象经过两点，求二次函数的表达式． 【答案】（1），   （2） 【分析】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把、的坐标分别代入得到、的方程组，然后解方程求出、，从而得到抛物线解析式． 【详解】解：（1）， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）把代入， 得， 解得， ． 10．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)（1）解方程：； （2）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和配方法求一元二次方程；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）用配方法解答即可； （2）把两个点的坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可； 【详解】解：（1）， ， ， 或， 故； （2）把 代入中， 得：， 解得：， 所以，二次函数的表达式为． 11．(23-24九上·辽宁大连中山区·期末)已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 m 12 … (1)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该图象的一条性质； (2)的值为______； (3)求这个二次函数的解析式. 【答案】(1)见解析，性质：对称轴为直线（答案不唯一） (2) (3) 【来源】辽宁省大连市中山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，求二次函数解析式，画二次函数图象，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （2）根据抛物线的对称性可知当时和当时的函数值相同，则和时函数值相等解题即可； （3）根据顶点坐标，利用待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示： 性质为：对称轴为直线； （2）解：∵对称轴为， ∴当和时函数值相等，根据表格可得， 故答案为：； （3）设函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴． 12．(23-24九上·辽宁葫芦岛建昌县·期末)如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为点，． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积． (3)点坐标是_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积 （1）根据抛物线与轴交于点，与轴交于点，即可得到关于、的方程，从而可以求得、的值，然后即可写出抛物线的解析式； （2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点的坐标，然后再根据点的坐标，即可得到和的长，再根据三角形面积公式，即可求得的面积； （3）将二次函数解析式配方，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交于点， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，， 当时，， 解得 ， 又， ， ， 的面积； （3）解：∵ 点为顶点， ∴ ， 故答案为：． 地 城 考点06 二次函数图象的平移 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)把抛物线先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左加右减，上加下减的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁营口·期末)把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，熟练掌握平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．按照“上加下减，左加右减”的规律解答即可． 【详解】把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是 故选：A． 3．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)将抛物线 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位， ∴平移后的解析式为， 故选：A ． 4．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为， 故选：B． 5．(24-25九上·辽宁朝阳朝阳一中联盟校·期末)把抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：； 故选：A． 6．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 7．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键． 根据抛物线平移的规律，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：A ． 8．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)将携物线向右平移6个单位，所得的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移6个单位长度，所得的抛物线解析式为：． 故选：C． 9．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据二次函数的图象的平移规律解答即可．对于二次函数可根据“上加，下减，左加，右减”平移． 【详解】将抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得关系式为． 故选：D． 10．(24-25九上·辽宁抚顺县·期末)如何将抛物线平移得到抛物线，下列选正确的是（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象平移，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． 根据二次函数的平移特点逐一判断即可． 【详解】解：A、向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得：，故此选项错误； B、向左平移1个单位，再向下平移1个单位可得：，故此选项正确； C、向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得：，故此选项错误； D、向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得：，故此选项错误； 故选：B． 11．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为：，即． 故选：B． 12．(24-25上·辽宁沈阳沈北新区·)将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象的平移规律即可求解． 【详解】解：将抛物线的图象先向右平移3个单位得到：， 再向上平移4个单位得到：， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键． 二、填空题 13．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)将抛物线向下平移1个单位后得到的抛物线是 ． 【答案】 【分析】考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键； 根据二次函数的平移规律进行解答即可． 【详解】解：向下平移1个单位后得到的抛物线是； 故答案为： 14．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)将抛物线沿着其对称轴上下平移，当平移后的抛物线的顶点在直线上时，平移后的抛物线与轴交点的纵坐标为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，根据平移规律表示出平移后的函数解析式是解题的关键．根据题意设平移后的抛物线的解析式为，顶点为，代入从而求得，令即可求得y的值． 【详解】解：∵， ∴设平移后的抛物线的解析式为，顶点为， ∵平移后的抛物线的顶点在直线上， ∴， ∴， ∴当时，， ∴平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为1， 故答案为：1． 三、解答题 15．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)（1）计算：； （2）将抛物线向右平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度，求平移后的抛物线解析式(写成一般式)． 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值化简，然后进行计算即可解答； （2）根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”，即可解答． 【详解】解：（1）原式； （2）， 将抛物线向右平移两个单位长度，得，即， 再向上平移三个单位，得，即， 平移后抛物线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的混合运算以及函数图像的平移，掌握以上知识是解答本题的关键． 地 城 考点07 二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点问题、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式成为解题的关键． 根据题意可得方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程计算即可． 【详解】解：∵与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：A． 2．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（    ） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)． 【详解】解：由表可知当时，， 当时，， 抛物线，与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点， 方程的一个根的近似值约为， 故选：C． 3．(24-25九上·辽宁营口·期末)二次函数的顶点为，图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，由二次函数的顶点为，求出对称轴为，设图象与轴负半轴交点坐标，与轴正半轴交点坐标为，根据图象可知，则，解出不等式组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴对称轴为， 设图象与轴负半轴交点坐标，与轴正半轴交点坐标为， 根据图象可知， ∴， ∴ ∴，解得：， 即正数解的范围是：， 故选：． 4．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)根据表格中代数式ax2+bx+c＝0与x的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【答案】C 【分析】观察表中数据得到当x=6.18时，y=-0.01＜0；当x=6.19时，y=0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2+bx+c=0，所以可确定方程ax2+bx+c=0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19． 【详解】解：∵当x=6.18时，y=-0.01＜0；当x=6.19时，y=0.02＞0， ∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2+bx+c=0， ∴方程ax2+bx+c=0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用图象法求一元二次方程的近似根：先作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；再由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；然后观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 5．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:D． 6．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（    ） A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=1 【答案】C 【详解】试题分析：先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论． 解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是−3和1， ∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为(−3,0),(1,0). ∵此两点关于对称轴对称， ∴对称轴是直线x==−1. 故选C. 7．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴的一个交点的横坐标在和0之间，下列结论：①；②；③方程有一个根大于2，其中正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据函数图象及二次函数的对称性可进行求解． 【详解】解：由图象可知：开口向上，则，故①正确； 对称轴为直线，则有，即，故②正确； 设二次函数与x轴交点的横坐标分别为，由题意知， ∴，即， ∴， ∴方程有一个根大于2，故③正确； 故选A． 8．(23-24九上·辽宁大连甘井子区第七十六中学·期末)已知抛物线（为常数），，．当抛物线与线段相切时，的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】辽宁省大连市甘井子区第七十六中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了切线的性质，待定系数法求函数解析式，正确理解直线与抛物线只有一个交点时，直线与抛物线相切是解题的关键．利用待定系数法求出直线的解析式，再根据直线与抛物线只有一个交点时，直线与抛物线相切，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为：，将，代入可得： ， 解得：， 则直线的解析式为：， 由，得，即． 抛物线与直线相切， ， ， 解得， 故选：B． 9．(23-24九上·辽宁葫芦岛兴城·期末)二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；根据函数图象，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数解， ∴可以理解为和有交点， 由图可得，， ∴， ∴的最大值为． 故选C． 二、填空题 10．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·)将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 11．(23-24九上·辽宁盘锦盘山县·期末)已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 12．(23-24九上·辽宁大连普兰店区·期末)若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：1． 13．(23-24九上·辽宁铁岭·期末)已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围 ． 【答案】k＞﹣1且k≠0． 【分析】根据函数与方程的关系，求出根的判别式的符号，根据△＞0建立关于的不等式，通过解不等式即可求得的取值范围． 【详解】令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0． ∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解， ， 解得：k＞﹣1且k≠0． 故答案是：k＞﹣1且k≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程与函数的关系，函数与轴的交点的横坐标就是方程的根，若函数与轴有交点说明方程有根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题． 三、解答题 14．(24-25九上·辽宁营口·期末)已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 15．(23-24九上·辽宁大连瓦房店·期末)已知二次函数． (1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与y轴交于点，当时，则y的取值范围为__________．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值； （1）求出对应的一元二次方程的根的判别式大于0，即可得出结论； （2）先求出二次函数的解析式，利用配方法得出函数的对称轴和最小值，再分别求出和时对应的y值，即可得出答案； 【详解】（1）证明：对于二次函数， 令，即， ∵ ， ∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）解：∵该函数的图象与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该函数的解析式为：， ∴当时，二次函数有最小值， ∵当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：， 故答案为：． 地 城 考点08 二次函数与不等式 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象即可解决问题． 【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-3，0）和（1，0）， ∴时，x的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会数形结合,根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型． 2．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】 A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5 【答案】D 【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集： 由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）． 由图象可知：的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5．故选D． 3．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： 以下结论正确的是（　　） x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … A． B．抛物线的开口向下 C．当时，y随x增大而增大 D．当时，x的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∴，故选项A错误，不符合题意； 时，y随x的增大而减小， 抛物线的开口向上，故选项B错误，不符合题意； 时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 当时，x的取值范围是，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 4．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0 C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】A．抛物线的开口方向向下，则a＜0，故本选项错误； B．根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，故本选项正确； C．根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故本选项错误； D．根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故本选项错误． 故选B． 二、填空题 5．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 6．(24-25九上·辽宁大连金州区·期末)如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的应用，解题关键是运用数形结合的思想解决问题．由图像判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图像即可求解． 【详解】解：由图像可知二次函数的对称轴是直线， ∵该函数图像与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为， 故答案为：． 三、解答题 7．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)请在网格中画出抛物线的图络； (3)若一次函数，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3) 【分析】（）利用对称轴方程求出，再把顶点坐标代入解析式求出即可求解； （）根据二次函数解析式画出函数图象即可； （）画出一次函数图象，根据图象解答即可； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴画图如下： （3）解：画一次函数图象如下： 由函数图象可知，当时，的取值范围为． 地 城 考点09 二次函数图象与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)如图，二次函数（）的图像过点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像和性质的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图像和性质，属于基础题． 根据二次函数的图像与性质,由图像可知：，， ，可判断①正确；由抛物线的对称轴为直线，得，当时，，可判断②错误；由抛物线的对称性可知：，可知当时，，可判断③正确；由图像过点，对称轴为直线，得抛物线与x轴的另外一个交点坐标为，得，方程的两根为，，得 ，可判断④正确，即可求得答案． 【详解】解：①由图像可知：，，， ， ，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故②错误； ③，是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：， 当时，，故③正确； ④图像过点，对称轴为直线，抛物线与x轴的另外一个交点坐标为， ， 若方程的两根为，，且， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故④正确． 故选：C． 2．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③：④（常数）．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴是直线， ， 二次函数与轴交于正半轴， ， ，故①错误； 对称轴是直线， ， 整理得，故②正确； 由图知，二次函数的图象与轴交于，两点， 当时，，故③错误； 二次函数在时取得最大值为， （常数）， ， 即，故④正确； 综上所述，正确的有2个． 故选：C． 3．(24-25九上·辽宁朝阳朝阳一中联盟校·期末)抛物线的对称轴为，与轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（    ） ①；②；③若是方程的两个根，则 A．0个 B．2个 C．3个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等内容，关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系．①根据抛物线的性质判断a、b、c的正负性，即可判断；②由抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，得当时，函数值为负，则，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；③由函数与方程的关系，即可判断得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点A在点和之间，抛物线开口向下， ，，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，则当时，函数值为负， ∴，即， ∴，故②正确． ∵是方程的两个根， ∴是直线与抛物线两个交点的横坐标， ∴，故③正确． 故选：C． 4．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，这是二次函数图象的一部分，图象经过点，对称轴为直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据开口方向、对称轴、与轴交点等性质逐个判断即可． 【详解】解：A、由开口向下可得，对称轴为直线可得，与轴交于正半轴，则，∴，选项错误，不合题意； B、由图可得当时，，选项正确，符合题意； C、由图可得抛物线与轴有两个交点，则，选项错误，不合题意； D、∵图象经过点，对称轴为直线，∴图象与轴另一个交点，即，选项错误，不合题意； 故选：B． 5．(24-25九上·辽宁抚顺县·期末)如图，抛物线，其对称轴是，且与轴的一个交点在和之间，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④对于任意实数，总有； ⑤关于的方程的另一个根在和之间． 其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据开口方向，对称轴以及与轴的交点可判断①②④，由二次函数图象的对称性，结合图象判断③⑤即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵抛物线交的正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与关于直线对称， ∵时，， ∴时，，即，故③错误； ∵， ∴变形可得：， ∵当时，，此时二次函数的值最大，即，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，故⑤正确； 综上正确的有：①②⑤； 故选：B． 6．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由开口方向，，以及抛物线与轴的交点在轴的上方即可判断符号，即可判断①；由于抛物线与x轴有两个交点，则，即可判断②；由抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线，则抛物线与x轴另一个交点，当，即可判断③；由于时，，时，，则，运用平方差公式化简判断④；当时，，则，故，即可判断⑤． 【详解】解：开口向下，； 对称轴在轴的右侧，， 则； 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴， 所以①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点， ∴当，故③正确； ∵时，， 时，， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴当时，， ∴ ∴，故⑤错误， ∴正确的有4个， 故选：D． 7．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)在二次函数中，与的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 2 4 2 … 有下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确结论的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故选：C． 8．(24-25九上·辽宁本溪·期末)如图是抛物线的部分图像，其顶点坐标为．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据对称轴判断①，再根据当时，判断②；然后根据顶点纵坐标判断③；最后根据抛物线与直线有一个交点，即可解答④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴， 所以①正确； 当时， 即， 所以②正确； ∵， ∴， 即， 所以③正确； ∵抛物线与直线有一个交点， ∴抛物线与直线有两个交点， 即方程有两个不相等的实数根， 所以④正确． 其中正确的个数是4个． 故选：D． 9．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断．②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断．③将点分别代入、求得m、n、a、b的值，然后得到，再将其化成顶点式即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③将点代入得：，解得：， 将点代入得：，解得：， ∴函数为：， ∴时，函数有最大值；即③正确． ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 10．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断： ①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线的开口方向可得，与y轴的交点坐标得，对称轴在y轴的左侧可得，即可解答①；再根据抛物线与x轴交点的个数解答②；然后根据抛物线的对称性可得与时函数值相等解答③；再根据两个点的横坐标与对称轴的距离，结合抛物线的增减性判断④，即可得出答案． 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴． ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴， ∴． 则①不正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴． 则②正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴与时函数值相等， 即， ∴当时，． 则③不正确； ∵抛物线的对称轴是，且开口向上， ∴函数有最小值，离对称轴越近函数值越小． ∵， ∴． 则④不正确． 所以正确的有1个． 故选：D． 11．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)二次函数的部分图像如图所示，已知图像经过点，其对称轴为直线，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 一定有两个不等实数根 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像与二次函数系数的关系．根据抛物线的开口方向，与坐标轴的交点个数和位置，对称轴的位置，以及抛物线上的点的特征，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴A选项正确，不符合题意； B、∵图像经过点，且, ∴，即， ∵， ∴， ∴B选项正确，不符合题意； C、抛物线关于直线对称， ∴的函数值等于的函数值， ∴时，函数值大于0， 即， ∴C选项错误，符合题意； D、观察图像可知，抛物线与直线有两个交点， ∴一定有两个不等实数根， ∴D选项正确，不符合题意； 故选：C． 12．(24-25九上·辽宁抚顺县·期末)如图，抛物线，其对称轴是，且与轴的一个交点在和之间，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④对于任意实数，总有； ⑤关于的方程的另一个根在和之间． 其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据开口方向，对称轴以及与轴的交点可判断①②④，由二次函数图象的对称性，结合图象判断③⑤即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵抛物线交的正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与关于直线对称， ∵时，， ∴时，，即，故③错误； ∵， ∴变形可得：， ∵当时，，此时二次函数的值最大，即，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，故⑤正确； 综上正确的有：①②⑤； 故选：B． 13．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由开口方向，，以及抛物线与轴的交点在轴的上方即可判断符号，即可判断①；由于抛物线与x轴有两个交点，则，即可判断②；由抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线，则抛物线与x轴另一个交点，当，即可判断③；由于时，，时，，则，运用平方差公式化简判断④；当时，，则，故，即可判断⑤． 【详解】解：开口向下，； 对称轴在轴的右侧，， 则； 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴， 所以①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点， ∴当，故③正确； ∵时，， 时，， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴当时，， ∴ ∴，故⑤错误， ∴正确的有4个， 故选：D． 14．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查的是抛物线的图象与性质，掌握“利用抛物线的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键．由图象可得：抛物线的开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，对称轴为, 从而可判断①②，当时，y取最大值, 而可判断③，由， 可判断④． 【详解】解：由图象可得：抛物线的开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，对称轴为, ∴ ∴, 故①符合题意； ∴, 即, 故②不符合题意； 当时，，且当故时函数有最大值， ∴， 即，③符合题意； ∵抛物线与x轴的一个交点在的右侧，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的一个交点在的左侧， ∴当时，，当时，， ∴， ，故④符合题意； 综上：符合题意的有：①③④． 故选：D． 二、填空题 15．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④错误，不符合题意． 故答案为：①② 地 城 考点10 二次函数的最值问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)二次函数y=2x2－8x+1的最小值是(　　 ) A．7 B．－7 C．9 D．－9 【答案】B 【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案． 【详解】 ∴当x=2时，y有最小值-7 故选B 2．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【答案】B 【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果． 【详解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 3．(23-24九上·辽宁大连长海县·期末)二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质， 函数的最值问题等知识，先求得抛物线的对称轴， 根据二次函数图象上点的坐标特征，当 时，函数的最值为和即可得出 即从而求得 表示出函数的最值， 进而得到关于的等式是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 ∴该二次函数的图象的对称轴为直线 ∵当时， ， 当时， ， ∴当时，函数的最值为， 和， ∵当时，有最小值7， 最大值11， ∴，即， ∴， 故选：D． 4．(24-25九上·辽宁葫芦岛第六初级中学·期末)已知抛物线，则当时，函数的最大值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题 5．(24-25九上·辽宁营口·期末)已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大， 当时y有最大值5， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，时y有最大值5， ， 解得， 故答案为：1或． 6．(23-24九上·辽宁大连长海县·期末)二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其顶点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可． 【详解】∵二次函数y=x2-2x-3可化为y=（x-1）2-4， ∴最小值是-4． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $