专题06 直角三角形与锐角三角函数(期末真题汇编）九年级数学上学期人教版

专题06 直角三角形与锐角三角函数 5大高频考点概览 考点01 解直角三角形的相关计算 考点02 仰角俯角问题 考点03 方向角问题 考点04 坡度坡比问题 考点05 其它问题 地 城 考点01 解直角三角形的相关计算 一、非选择题 1．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知四边形是菱形，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 ． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）在中，为钝角，若，，，则的面积等于 ． 3．（24-25九年级下·江西·期末）如图，为直角斜边上的高，．设，，的周长分别是，，p．当取最大值时， ． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，是一条弦，点D是的中点，于点E，交于点F，连接交于点G，连接交于点I． (1)求证：． (2)延长至点M，使，连接． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 5．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 6．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知是的直径，弦于点，是线段延长线上的一点，连接交于点，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)在（）的条件下，设，． 求关于的函数表达式； 若为的中点，求的值． 7．（24-25九年级下·福建泉州·期末）已知抛物线的图象经过点、． (1)求a，b满足的关系式； (2)若，该二次函数的图象与x轴交于C、D两点，点P是抛物线上点C，D之间的动点（不包括点C、D）． ①求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； ②点M、N是该二次函数图象上位于x轴两侧的两点（点M在点N的右侧且不在坐标轴上），点Q的坐标为，连接、、．若直线平分，求证：M、O、N三点共线． 8．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，于点D，为锐角． (1)将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值． 地 城 考点02 仰角俯角问题 一、选择题 1．（24-25九年级下·河南安阳·期末）神舟十九号载人飞船于北京时间2024年10月30日凌晨于酒泉卫星发射中心成功发射．如图，当火箭上升到点时，在位于水平地面距离发射中心千米的处的雷达测得仰角为，则此时火箭距地面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．（24-25九年级下·河北邯郸·期末）如图，从热气球看一面墙顶部的仰角是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·河南平顶山·期末）某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔的高度为（   ）（结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 二、非选择题 4．（24-25九年级下·广西贺州·期末）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为 米． 5．（24-25九年级下·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 6．（24-25九年级下·四川成都·期末）如图，无人机在处观察正面为横跨河流两岸的大桥，测得的俯角为，测得点的俯角为．已知长度为米的大桥与地面在同一水平面上．求无人机在处距离地面的高度．（参考数据：） 7．（24-25九年级下·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 8．（24-25九年级下·湖北襄阳·期末）目前，我国的太空站是世界上仅有的两个太空站之一，它为我国的科学实验提供了极大的支持，如图，科学家为了观察飞船的发射情况，预设了两个飞船上升位置A与B，飞船从地面O处发射，当飞船到达点A时，从位于地面C处的雷达站测得A，C间的距离是，仰角为，后飞船到达点B时，测得仰角为．求点B离地面的高度（结果精确到，参考数据：）. 地 城 考点03 方向角问题 一、非选择题 1．（24-25九年级下·河南商丘·期末）某时刻海上点处有一客轮，测得灯塔位于客轮的北偏东方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西方向航行小时到达处，那么 ． 2．（24-25九年级下·重庆大足·期末）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是对外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向．（参考数据：） (1)求两地之间的距离（结果保留一位小数）； (2)由于演习过程中的特殊任务，从点到点需要经过点或点，那么点到点的两条路径和哪一条线路最短？ 3．（24-25九年级下·重庆南岸·期末）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 4．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）某校开展了“寻根·行走的青春”研学活动．如图所示，国防教育B在劳动教育A正北方向，米；科学研究C在国防教育B北偏东方向，米；素质拓展D在科学研究C东南方向；德育实践E在素质拓展D正南方向，且在劳动教育A正东方向，米．（参考数据：，） (1)求C，D两处之间的距离（结果精确到个位）； (2)小沙和小坪从劳动教育A处出发，准备一起前往素质拓展D处，有两条路可选择：①；②，请通过计算说明选择哪一条路较近． 5．（24-25九年级下·重庆江北·期末）北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 6．（24-25九年级下·重庆·期末）某班正在点处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点位于点的正东方100米处，点位于点的北偏东方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点的东北方向（点、、、、在同一平面内，参考数据：）． (1)求点到点的距离（结果保留整数）； (2)下课后，小巴沿以的速度前往四食堂，小川沿以的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 7．（24-25九年级下·安徽合肥·期末）合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，） (1)求的面积（结果精确到平方千米）； (2)求的长度（结果精确到千米）． 8．（24-25九年级下·湖南株洲·期末）株洲市清水塘大桥于2023年8月28日正式通车，弧形设计的清水塘大桥在两岸公园的映衬下，被株洲市民称之为“湘江最美大桥”，它是株洲市内第八座跨江大桥，桥梁的跨度为410米，也称“八桥”，某天小红和小明在“八桥”左岸边点C处游玩，如图2此时他们发现桥梁左岸支座点A在正西方向，桥梁的右岸支座点B在北偏西方向；然后他们继续沿着河岸向游玩到达D点，这时他们观测到桥梁的右岸支座点B在北偏西方向． (1)求的度数． (2)求此过程中他们游玩路径的长度？（结果精确到1米，参考数据：，） 地 城 考点04 坡度坡比问题 一、选择题 1．（24-25九年级下·广东深圳·期末）斜坡的长，坡角，则斜坡的铅垂高度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·天津·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为 B．小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为 3．（24-25九年级下·广西百色·期末）某水库拦水坝的横成面如图所示，已知斜坡的坡度为，坡角，则为（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 4．（24-25九年级下·江苏无锡·期末）如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为 ． 5．（24-25九年级下·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 6．（24-25九年级下·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 7．（24-25九年级下·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 8．（24-25九年级下·全国·期末）2023年3月11日13时46分日本发生了级大地震，随着就是海啸．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和坡面所成的角． (1)求的度数； (2)求这棵大树折点C到坡面的距离？ 地 城 考点05 其它问题 1、 非选择题 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求A，C两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：，，，） 2．（24-25九年级下·河北唐山·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 3．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 4．（24-25九年级下·河南郑州·期末）如图①，“土圭”是古人用来测量太阳影子的工具，“土圭之法”是中国古代判别四季的方法之一：夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某校学生运用“土圭之法”进行实践探索，在如图②中，产生日影的杆子垂直于地面，高．在夏至时，太阳光线与地平面的夹角是，杆子产生的日影为；在冬至时，太阳光线与地平面的夹角是，杆子产生的日影为．（参考数据，，，，，） (1) ， ； (2)分别求出夏至和冬至时日影的长度； (3)春分时日影的长度是 ．． 5．（24-25九年级下·辽宁大连·期末）太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）． 6．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边取两点B、C，使得，，量得的长为30米． (1)求河的宽度（即求中边上的高）．（精确到1米．参考数据：，） (2)①请再设计另一种测量河的宽度的方案．可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．设计方案包括画出图形，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用m，n等字母表示，测出的角度用，等字母表示），并对设计进行简要说明； ②根据测量的数据，计算河的宽度．（用字母或三角函数表示） 7．（24-25九年级下·浙江绍兴·期末）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）． 8．（24-25九年级下·河南平顶山·期末）图1是某品牌实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：．（参考数据：） (1)如图2，，． ①填空： °；②投影探头的端点D到桌面的距离为 ． (2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直角三角形与锐角三角函数 5大高频考点概览 考点01 解直角三角形的相关计算 考点02 仰角俯角问题 考点03 方向角问题 考点04 坡度坡比问题 考点05 其它问题 地 城 考点01 解直角三角形的相关计算 一、非选择题 1．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知四边形是菱形，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、扇形面积公式以及图形面积的转化，利用三角形全等转化面积是解题关键．连接，设与交于点，与交于点，证明，即可得到阴影部分面积等于扇形面积减去的面积，先求出扇形的面积，再求出菱形中的面积即可． 【详解】解：连接，设与交于点，与交于点， 四边形是菱形，， ， . ， 是等边三角形， ， 是等边三角形，， ， ，是等边三角形， 的高为， ， 扇形的圆心角为， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 扇形的半径为6，圆心角为， ， 图中阴影部分的面积， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）在中，为钝角，若，，，则的面积等于 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理、含30度直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角函数并运用分类讨论思想是解题的关键． 如图：作交（或延长线）于点D，分位于异侧和同侧两种情况，先在中求得的值，再在中利用勾股定理求得的长，继而就两种情况分别求出的长，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：作交（或延长线）于点D， ①如图1，当位于异侧时， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当位于的同侧时， 由①知，，，， ∴， ∴． 综上，的面积是或． 故答案为或． 3．（24-25九年级下·江西·期末）如图，为直角斜边上的高，．设，，的周长分别是，，p．当取最大值时， ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，解直角三角形，二次函数的性质．易证，，令，，即可求得，根据二次函数的极值即可求得，时的度数． 【详解】解：， ∴，， ∴，， 令，，则，． ∴． 由二次函数性质知，当，时，取最大值， ∴当即时，取最大值， 此时， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，是一条弦，点D是的中点，于点E，交于点F，连接交于点G，连接交于点I． (1)求证：． (2)延长至点M，使，连接． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②的半径为． 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论； （2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论； ②证明，可得，求解，，结合，可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：①∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； ②∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质． （1）先求出，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质和相似三角形的性质计算即可； （2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：连接交于点O， ， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知是的直径，弦于点，是线段延长线上的一点，连接交于点，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)在（）的条件下，设，． 求关于的函数表达式； 若为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)；． 【分析】（）利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可； （）设，则，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得，，，利用直角三角形的边角关系定理和（）的结论解答即可； （）过点作于点，由（）的结论得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，利用已知条件得到与的关系，进而得到，的长度，利用已知条件化简即可得出结论； 过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用的代数式表示出，，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）知：， ∴； （3）解：过点作于点，如图， 则， 由（）知：， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 过点作于点，过点作于点，如图， ∵为的中点，， ∴垂直平分，， ∴，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形是判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造相似三角形或直角三角形是解题的关键． 7．（24-25九年级下·福建泉州·期末）已知抛物线的图象经过点、． (1)求a，b满足的关系式； (2)若，该二次函数的图象与x轴交于C、D两点，点P是抛物线上点C，D之间的动点（不包括点C、D）． ①求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； ②点M、N是该二次函数图象上位于x轴两侧的两点（点M在点N的右侧且不在坐标轴上），点Q的坐标为，连接、、．若直线平分，求证：M、O、N三点共线． 【答案】(1) (2)①的面积的最大值为，；②见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出a，b满足的关系式即可； （2）①求出时的函数解析式，根据三角形的面积公式得到当点为顶点时，的面积最大，进行求解即可；②设，，作关于对称轴的对称点，易得，作轴，作轴，根据，得到，进而推出，设直线的解析式为，直线的解析式为，得到，结合，求出，即可得证． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点、， ∴， ∴； （2）①由（1）知：，， ∴当时，， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于C、D两点， ∴， ∵， ∵点P是抛物线上点C，D之间的动点（不包括点C、D）， ∴当为抛物线的顶点时，即点坐标为：时，最大； ②设，，作关于对称轴的对称点， 则：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 作轴，作轴，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M、N是该二次函数图象上位于x轴两侧的两点， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线． 8．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，于点D，为锐角． (1)将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）以点C为圆心，的长为半径画弧，以点A为圆心，的长为半径画弧与前弧交于点E，点E即为所求； （2）证明，推出，在中，，设，，由，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：连接， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点02 仰角俯角问题 一、选择题 1．（24-25九年级下·河南安阳·期末）神舟十九号载人飞船于北京时间2024年10月30日凌晨于酒泉卫星发射中心成功发射．如图，当火箭上升到点时，在位于水平地面距离发射中心千米的处的雷达测得仰角为，则此时火箭距地面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， （千米） 故选：C． 2．（24-25九年级下·河北邯郸·期末）如图，从热气球看一面墙顶部的仰角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查仰角的定义．根据仰角是向上看的视线与水平线的夹角进行判断即可． 【详解】解：从热气球看一面墙顶部的仰角是， 故选：C． 3．（24-25九年级下·河南平顶山·期末）某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔的高度为（   ）（结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 延长交于点C，由题意可知，分别解和，依次求出，最后根据线段的和差即可求出解． 【详解】解：延长交于点C，可知， 由题意可知， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故选：C． 二、非选择题 4．（24-25九年级下·广西贺州·期末）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为 米． 【答案】15 【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米， ， 在中， 在中， ， ， 解得（米）， 故答案为：15． 5．（24-25九年级下·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 【答案】(1)调整，使得 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． （2）解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 6．（24-25九年级下·四川成都·期末）如图，无人机在处观察正面为横跨河流两岸的大桥，测得的俯角为，测得点的俯角为．已知长度为米的大桥与地面在同一水平面上．求无人机在处距离地面的高度．（参考数据：） 【答案】无人机在处距离地面的高度为米 【分析】本题考查了仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 如图所示，过点作于点，过点作于点，设，则米，所以米，在中由三角函数值的计算得到，可求出米，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，则无人机在处距离地面的高度为（或或）的值， ∴米，，， 设，则米， ∴米， 在中，， ∴， 解得，， ∴（米）， ∴无人机在处距离地面的高度为米． 7．（24-25九年级下·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)约米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度、仰角的含义，构造直角三角形是解题的关键； （1）过B作于E，由坡度设米，则米，由勾股定理得米，由的长度即可求得，从而求解； （2）由（1）所求得，再由正切函数关系求得，则即可求解． 【详解】（1）解：如图，过B作于E， ∵坡度， ∴设米，则米， 由勾股定理得米， ∵米， ∴， ∴， ∴米； 答：点到的水平距离为米． （2）解：由（1）知，米， 在中，， ∴米， ∴（米）． 答：教学楼的高度约为米． 8．（24-25九年级下·湖北襄阳·期末）目前，我国的太空站是世界上仅有的两个太空站之一，它为我国的科学实验提供了极大的支持，如图，科学家为了观察飞船的发射情况，预设了两个飞船上升位置A与B，飞船从地面O处发射，当飞船到达点A时，从位于地面C处的雷达站测得A，C间的距离是，仰角为，后飞船到达点B时，测得仰角为．求点B离地面的高度（结果精确到，参考数据：）. 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，根据直角三角形的性质即可得到结论，正确地求得结果是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ，， 在中，， ， ， 答：点离地面的高度为； 地 城 考点03 方向角问题 一、非选择题 1．（24-25九年级下·河南商丘·期末）某时刻海上点处有一客轮，测得灯塔位于客轮的北偏东方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西方向航行小时到达处，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意知道北偏东与北偏西成直角，利用正切的定义求值即可． 【详解】：如图： 灯塔A位于客轮P的北偏东方向，且相距20海里， ， ∵客轮以60海里／小时的速度沿北偏西方向航行小时到达B处， ， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·重庆大足·期末）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是对外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向．（参考数据：） (1)求两地之间的距离（结果保留一位小数）； (2)由于演习过程中的特殊任务，从点到点需要经过点或点，那么点到点的两条路径和哪一条线路最短？ 【答案】(1)两地之间的距离为海里． (2)线路最短，理由见解析． 【分析】本题考查的是与方向角相关的解直角三角形的应用； （1）如图，过作于，过作于，则四边形为矩形，可得，，再在中，在中结合锐角三角函数求解即可； （2）先求解，再分别求解线路和的长，再比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴（海里）． （2）解：由（1）得：，， ∴， ∴（海里）， （海里）， ∴线路最短． 3．（24-25九年级下·重庆南岸·期末）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 【答案】(1) (2)线路2比线路1短，见解析 【分析】（1）过点D作，垂足为E．解直角三角形即可． （2）解直角三角形后比较大小解答即可． 本题考查了解直角三角形，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 故的长为． （2）解：由（1）可得，在中， ， 即． 在中，， 即． ， 即． 线路1：； 线路2：． ∵， ∴线路2更短． 故线路2比线路1短． 4．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）某校开展了“寻根·行走的青春”研学活动．如图所示，国防教育B在劳动教育A正北方向，米；科学研究C在国防教育B北偏东方向，米；素质拓展D在科学研究C东南方向；德育实践E在素质拓展D正南方向，且在劳动教育A正东方向，米．（参考数据：，） (1)求C，D两处之间的距离（结果精确到个位）； (2)小沙和小坪从劳动教育A处出发，准备一起前往素质拓展D处，有两条路可选择：①；②，请通过计算说明选择哪一条路较近． 【答案】(1)两处之间的距离约为238米 (2)选择线路②较近，说明见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含30度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过点作于点，延长交延长线于点．则四边形是矩形，先根据矩形的性质可得米，再在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后在中，解直角三角形即可得； （2）先在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后比较与的大小即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，延长交延长线于点． 由题意可知，， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，米， ∴米， 在中，（米）， 答：两处之间的距离约为238米． （2）解：由（1）可知，四边形是矩形，米，米， ∴米，， 在中，（米）， ∵米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴线路①的长为（米）， 线路②的长为（米）， 因为， 所以选择线路②较近． 5．（24-25九年级下·重庆江北·期末）北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 【答案】(1)米 (2)小明先到达，先到达分钟． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方位角、直角三角形的性质等知识点，将实际问题转化为三角函数问题是解题的关键． （1）由题意可得：，，即，如图：过D作，先说明，解直角三角形可得，再说明，可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先解直角三角形得到米，再说明，解直角三角形得到，，即；然后分别求得小明、小刚所用时间，然后作差比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，即， 如图：过D作， ∵， ∴，米，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴米 （2）解：由题意可得：， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地， ∴小明用时：分钟；小刚共用时：分钟， ∵， ∴小明先到达，先到达分钟． 6．（24-25九年级下·重庆·期末）某班正在点处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点位于点的正东方100米处，点位于点的北偏东方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点的东北方向（点、、、、在同一平面内，参考数据：）． (1)求点到点的距离（结果保留整数）； (2)下课后，小巴沿以的速度前往四食堂，小川沿以的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 【答案】(1)41米 (2)小川先到达四食堂 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，数形结合，掌握方位角表示位置及特殊角的三角函数是解决问题的关键． （1）过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示，根据矩形的判定得到四边形为矩形，结合题意，由特殊角的三角函数值列式求解即可得到答案； （2）先解直角三角形求出，再由小川和小巴运行路线及速度列式求时间，比较长短即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示： 由题意得， 四边形为矩形， 点位于点的北偏东方向80米处， 在中，，米， ∴米，米， 点位于点正南方30米处， 米， 点位于点的正东方100米处， 米， 点位于点的东北方向， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， 答：的距离为41米； （2）解：在中，米， 小川沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； 小巴沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； ∵， ∴小川先到达四食堂． 7．（24-25九年级下·安徽合肥·期末）合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，） (1)求的面积（结果精确到平方千米）； (2)求的长度（结果精确到千米）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键． （1）过点作于点，可得，，在中，根据正余弦可求得、的长度，在中，根据等腰直角三角形的性质，可得的长度，进而得出，根据三角形面积公式求得结果； （2）过点作于点，可得，在中，根据正弦可求出，在中，根据正弦求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意可得，， 在中，，， 在中，， ； （2）解：过点作于点，易证， 在中，， 在中，． 8．（24-25九年级下·湖南株洲·期末）株洲市清水塘大桥于2023年8月28日正式通车，弧形设计的清水塘大桥在两岸公园的映衬下，被株洲市民称之为“湘江最美大桥”，它是株洲市内第八座跨江大桥，桥梁的跨度为410米，也称“八桥”，某天小红和小明在“八桥”左岸边点C处游玩，如图2此时他们发现桥梁左岸支座点A在正西方向，桥梁的右岸支座点B在北偏西方向；然后他们继续沿着河岸向游玩到达D点，这时他们观测到桥梁的右岸支座点B在北偏西方向． (1)求的度数． (2)求此过程中他们游玩路径的长度？（结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】(1)15° (2)300米 【分析】本题主要考查方向角以及解直角三角形的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据角的运算求解即可 （2）根据题意得是等腰直角三角形，得到米，在中，求出由列出等式，即可求出的长度． 【详解】（1）解：由题意知 ∴ ； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米 由题意知他们游玩路径的距离为 ∴在中， 又， ∴ ∴ ∴米 答：他们游玩的路径的长度为300米 地 城 考点04 坡度坡比问题 一、选择题 1．（24-25九年级下·广东深圳·期末）斜坡的长，坡角，则斜坡的铅垂高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-判断坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，， 故选：C. 2．（24-25九年级下·天津·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为 B．小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为 【答案】D 【分析】求出当时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D．本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 ∴当时，， 整理得 ， 解得， ∴当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为，选项A的说法是正确，不符合题意； ， 则抛物线的对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B的说法是正确，不符合题意； ， 解得，，， 则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C的说法是正确，不符合题意； ∵斜坡可以用一次函数刻画， ∴当时，， ∴斜坡的坡度为，选项D的说法是不正确，符合题意； 故选D． 3．（24-25九年级下·广西百色·期末）某水库拦水坝的横成面如图所示，已知斜坡的坡度为，坡角，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度是坡角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出坡角的度数即可，解题的关键是根据题意正确得出坡角与坡比的关系． 【详解】解：∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， 故选：． 二、非选择题 4．（24-25九年级下·江苏无锡·期末）如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及勾股定理，设，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出，再根据坡度的概念求出，计算即可得到答案．熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：设， ∵迎水坡的坡比为， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， ， 解得或（负值舍去）， ∴， 四边形为矩形， ∴， ∵背水坡的坡比为， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 6．（24-25九年级下·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)约米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度、仰角的含义，构造直角三角形是解题的关键； （1）过B作于E，由坡度设米，则米，由勾股定理得米，由的长度即可求得，从而求解； （2）由（1）所求得，再由正切函数关系求得，则即可求解． 【详解】（1）解：如图，过B作于E， ∵坡度， ∴设米，则米， 由勾股定理得米， ∵米， ∴， ∴， ∴米； 答：点到的水平距离为米． （2）解：由（1）知，米， 在中，， ∴米， ∴（米）． 答：教学楼的高度约为米． 7．（24-25九年级下·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，，设，根据坡度的概念用x表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：过点B作于F，过点C作于G，延长交于H， 设， ∵坡道的坡度为， ∴， 在中，，即， 解得：， 所以他沿垂直方向上升的高度为； （2）解：由（1）可知：，四边形为矩形， ∴， 在中，， 则， 则， 所以点A，D间的水平距离长约为． 8．（24-25九年级下·全国·期末）2023年3月11日13时46分日本发生了级大地震，随着就是海啸．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和坡面所成的角． (1)求的度数； (2)求这棵大树折点C到坡面的距离？ 【答案】(1) (2)米． 【分析】该题主要考查了解直角三角形-坡度坡角问题，解题的关键是正确做出辅助线． （1）通过延长交于点G， 则即可求得； （2）作于点， 作于点M， 先求得的长， 然后再求得的长． 【详解】（1）解：延长交于点G． 在中，． ． 又， ． （2）解：过点A作于点H，于点M． 在中，，， ． ∵， ． 在中，， ． ， 在中，， （米）， 即这棵大树折点C到坡面的距离为米． 地 城 考点05 其它问题 1、 非选择题 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求A，C两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，勾股定理，根据实际问题构建数学模型是解题的关键． （1）连接，过点B作，由等腰三角形三线合一可得，，再利用三角函数解求出即可； （2）先证，再用勾股定理解求出，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点B作，垂足为点E， 因为， 所以，， 在中，因为， 所以， 所以， 所以，，两点之间的距离为． （2）解： 因为， 所以， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以, 所以的长为, 答：待建环山路的长度为． 2．（24-25九年级下·河北唐山·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为 (2)导气管的长度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 3．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 4．（24-25九年级下·河南郑州·期末）如图①，“土圭”是古人用来测量太阳影子的工具，“土圭之法”是中国古代判别四季的方法之一：夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某校学生运用“土圭之法”进行实践探索，在如图②中，产生日影的杆子垂直于地面，高．在夏至时，太阳光线与地平面的夹角是，杆子产生的日影为；在冬至时，太阳光线与地平面的夹角是，杆子产生的日影为．（参考数据，，，，，） (1) ， ； (2)分别求出夏至和冬至时日影的长度； (3)春分时日影的长度是 ． 【答案】(1)， (2)夏至时日影的长度约是，冬至时日影的长度约是 (3) 【分析】该题考查了解直角三角形的应用． （1）根据题意即可求解； （2）在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，即可求解． （3）根据（2）中结果求出夏至和冬至日影长度的平均数即可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，； （2）解：在中，， ， ∴， 在中，，， ∴， 所以，夏至时日影的长度约是，冬至时日影的长度约是． （3）解：根据（2）可得，， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数， ∴春分和秋分时日影长度为春分时日影的长度为． 5．（24-25九年级下·辽宁大连·期末）太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）． 【答案】摆动一步的路程约为0.8米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式，圆的性质，矩形的性质与判定，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点C作于点H，先求出，再根据四边形是矩形得出，利用求出，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：过点C作于点H， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 解得，， （米）， 答：摆动一步的路程约为0.8米． 6．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边取两点B、C，使得，，量得的长为30米． (1)求河的宽度（即求中边上的高）．（精确到1米．参考数据：，） (2)①请再设计另一种测量河的宽度的方案．可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．设计方案包括画出图形，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用m，n等字母表示，测出的角度用，等字母表示），并对设计进行简要说明； ②根据测量的数据，计算河的宽度．（用字母或三角函数表示） 【答案】(1)河的宽度为19米 (2)①见解析；②河的宽度为米 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图1中，过点作于点．设米．构建方程求出即可解决问题； （2）①构造如图2，测得的长，构造全等三角形解决问题即可； ②构造全等三角形解决问题即可； 【详解】（1）解：如图1中，过点作于点．设米． 在中，（米， 在中，， （米， 米， ， ， （米 河的宽度为19米． （2）解：①如图2中，设线段为河的宽，取线段，使得，作，设的中点，当，，共线时，测量出的长米； ②， ， 的中点， ， ， ， 米． 7．（24-25九年级下·浙江绍兴·期末）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）． 【答案】展板最高点A到地面的距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：展板最高点A到地面的距离为． 8．（24-25九年级下·河南平顶山·期末）图1是某品牌实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：．（参考数据：） (1)如图2，，． ①填空： °；②投影探头的端点D到桌面的距离为 ． (2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离． 【答案】(1)①160；②45； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的性质和判定， 对于（1），过点B作交于点F，过点A作，交于点G，根据平行线的性质得，可知；再根据，求出，最后根据点D到桌面的距离是得出答案； 对于（2），如图所示，延长交于点H，作，与延长线相交于点M，作，则四边形是矩形，先求出，进而求出，再求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：如图所示， 过点B作交于点F，过点A作，交于点G， ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴点D到桌面的距离是； 故答案为：①160；②45； （2）解：如图所示，延长交于点H，过点B作，与延长线相交于点M，过A作于点F，则四边形是矩形， 由题意得，， ， ， ， 在中，， ， ， ∴投影探头的端点D到桌面的距离为． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $