专题05 锐角三角函数(期末真题汇编）九年级数学上学期人教版
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内容正文：
专题05 锐角三角函数
6大高频考点概览
考点01 正弦的相关题型
考点02 余弦的相关题型
考点03 正切值的相关题型
考点04 特殊三角形与三角函数
考点05 三角函数与角度结合
考点06 三角函数综合
地 城
考点01
正弦的相关题型
一、选择题
1．（24-25九年级下·全国·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25九年级下·浙江金华·期末）在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级下·山东东营·期末）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级下·浙江宁波·期末）在中，，，，则的长是（ ）
A．6 B．8 C． D．
6．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在菱形中，，，以顶点A为圆心画弧，恰好与边、相切，分别交、于点E、F．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
7．（24-25九年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，则的长是 ．
8．（24-25九年级下·贵州铜仁·期末）在中，，如果，，那么 ．
地 城
考点02
余弦的相关问题
一、选择题
1．（24-25九年级下·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．不确定
2．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22九年级下·河南洛阳·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．
6．（24-25九年级下·湖北武汉·期末）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、非选择题
7．（24-25九年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，．的平分线交于点，若，求的值．
8．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F．
(1)求证：为的切线；
(2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长．
地 城
考点03
正切值的相关问题
一、选择题
1．（24-25九年级下·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．不确定
2．（24-25九年级下·江苏泰州·期末）如图，，，垂足为，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级下·河北石家庄·期末）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定
5．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
二、非选择题
6．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ．
7．（24-25九年级下·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ．
8．（24-25九年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，．求边的长．
地 城
考点04
特殊三角形与三角函数
一、选择题
1．（24-25九年级下·江苏常州·期末）若锐角，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
二、非选择题
2．（24-25九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ．
3．（24-25九年级下·甘肃平凉·期末）在中，若，则是 ．
4．（24-25九年级下·安徽六安·期末）计算：．
5．（24-25九年级下·全国·期末）计算下列各题：
(1)；
(2) ．
6．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）计算：．
7．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）（1）计算；
（2）解方程：．
8．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）计算：．
地 城
考点05
三角函数与角度结合
一、选择题
1．（24-·25九年级下安徽六安·期末）若，则锐角满足（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级下·广东·期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级下·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
4．（24-25九年级下·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ．
5．（24-25九年级下·辽宁·期末）计算： ．
6．（24-25九年级下·山东威海·期末）已知是锐角，且，则 ．
7．（24-25九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
8．（24-25九年级下·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ．
地 城
考点06
三角函数综合
一、选择题
1．（24-25九年级下·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级下·甘肃白银·期末）如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡
C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
3．（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、非选择题
4．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ．
5．（24-25九年级下·全国·期末）如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点．
(1)求证：；
(2)求的值．
6．（24-25九年级下·贵州黔南·期末）如图1所示，在等腰三角形中，，是边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接．
(1)当绕点逆时针旋转到如图2所示位置，求证：；
(2)当绕点逆时针旋转到三点在一条直线上时，如图3．
①和还相等吗？___________（用“”或“”填空）；
②若，猜想的数量关系，并加以证明．
7．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
(1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形．
8．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，切点为，，．求：
(1)线段的长；
(2)的直径的长．
试卷第1页，共3页
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专题05 锐角三角函数
6大高频考点概览
考点01 正弦的相关题型
考点02 余弦的相关题型
考点03 正切值的相关题型
考点04 特殊三角形与三角函数
考点05 三角函数与角度结合
考点06 三角函数综合
地 城
考点01
正弦的相关题型
一、选择题
1．（24-25九年级下·全国·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理．连接格点，由网格的特点可知：，，则，则是直角三角形，．根据三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接格点，
由网格的特点可知：，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
故选：C．
2．（24-25九年级下·浙江金华·期末）在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数，首先利用勾股定理求出，根据在直角三角形中一个锐角的正弦等于这个角的对边比上斜边，可得．
【详解】解：如下图所示，
中，，，，
，
．
故选：D ．
3．（24-25九年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了锐角三角函数，正弦值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
再根据正弦的计算方法求解．
【详解】解：．
故选：C．
4．（24-25九年级下·山东东营·期末）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正弦值，勾股定理．解题的关键在于构造含有的直角三角形．如图，延长到，连接，由图可知，勾股定理求的值，代入中计算求解即可．
【详解】解：如图，延长到，连接
由图可知：
∵，
∴
故选D．
5．（24-25九年级下·浙江宁波·期末）在中，，，，则的长是（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可．
【详解】解：在中，，
即，
解得：．
由勾股定理得，，
故选：B．
6．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在菱形中，，，以顶点A为圆心画弧，恰好与边、相切，分别交、于点E、F．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设与圆相切于点，连接，由切线的性质定理可得，在中，利用特殊角的三角函数可得，利用菱形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：如图，设与圆相切于点，连接，
则，
在中，，，
，
四边形为菱形，
，，
，
则图中阴影部分的面积为：
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，特殊角的三角函数，已知正弦值求边长，菱形的性质，两直线平行同旁内角互补，利用菱形的性质求面积，求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
二、非选择题
7．（24-25九年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，则的长是 ．
【答案】15
【分析】本题考查三角函数，解题关键在于按照定义找准对应边，其次注意计算仔细即可．
利用正弦三角函数的定义即可直接作答．
【详解】∵在中，，
∴
∴
∴．
故答案为：15．
8．（24-25九年级下·贵州铜仁·期末）在中，，如果，，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是牢记锐角三角函数的定义，根据得到，把的长度代入比例式子中即可求出的长度．
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
解得：．
故答案为： ．
地 城
考点02
余弦的相关问题
一、选择题
1．（24-25九年级下·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，如图所示：
由勾股定理得：，
∴，，，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
2．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦的概念辨析、正切的概念辨析
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项正确，符合题意；
故选：．
3．（24-25九年级下·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、余弦的概念辨析
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
4．（21-22九年级下·河南洛阳·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、已知余弦求边长
【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定，
根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案.
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
，
.
故选：B．
5．（24-25九年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．
【答案】C
【知识点】已知余弦求边长
【分析】本题考查了根据三角函数求线段长.
根据，可得，再把的长代入可以计算出的长．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
6．（24-25九年级下·湖北武汉·期末）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】正多边形和圆的综合、已知余弦求边长
【分析】本题考查了正多边形的性质，三角函数等；连接，过作交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得，结合三角形的面积，即可求解；能构建直角三角形，并熟练利用正多边形的性质及三角函数进行求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过作交于，
正八边形内接于，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
解得：，
的半径为；
故选：B．
二、非选择题
7．（24-25九年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，．的平分线交于点，若，求的值．
【答案】
【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、求角的余弦值
【分析】此题考查了求余弦值，角平分线的性质定理，勾股定理，
过点D作交于点E，首先得到，然后根据勾股定理求出，然后根据余弦的概念求解即可．
【详解】如图所示，过点D作交于点E
∵在中，，的平分线交于点，
∴
∵
∴
∴
∴．
8．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F．
(1)求证：为的切线；
(2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、证明某直线是圆的切线、已知余弦求边长
【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，，由推出，由得到，进而得到，再利用平行线的性质推出，再根据切线的判定定理即可证明；
（2）连接，根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等得到，得到，设的半径为，在中利用余弦的定义列出方程，求出的值，由是的直径，得出，，最后在中利用余弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∴，
在中，，
解得：，
∵是的直径，
∴，，
∵在中，，
∴．
地 城
考点03
正切值的相关问题
一、选择题
1．（24-25九年级下·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，如图所示：
由勾股定理得：，
∴，，，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
2．（24-25九年级下·江苏泰州·期末）如图，，，垂足为，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据同角的余角相等，得出，再结合正切的定义即可解决问题．
【详解】解：由题知，
∵，，
∴，
∴．
在中，
，
∴．
故选：A．
3．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项正确，符合题意；
故选：．
4．（24-25九年级下·河北石家庄·期末）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．
【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：．
5．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、非选择题
6．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ．
【答案】2
【分析】连接，设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，，且，故，解答即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，熟练掌握勾股定理及其逆定理，正切的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得
，，，
故，
故，
故，
故答案为：2．
7．（24-25九年级下·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
8．（24-25九年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，．求边的长．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是含的直角三角形的特征、解直角三角形、勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形．过作，先由含的直角三角形的特征得到，，再由解直角三角形可求出，最后根据勾股定理即可得出边的长．
【详解】解：过作，垂足为，如图：
，，，
，
，
即，
，
．
地 城
考点04
特殊三角形与三角函数
一、选择题
1．（24-25九年级下·江苏常州·期末）若锐角，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B
二、非选择题
2．（24-25九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ．
【答案】等边三角形
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
3．（24-25九年级下·甘肃平凉·期末）在中，若，则是 ．
【答案】等腰直角三角形
【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案．
【详解】根据题意，得
，．
可得
，．
则
．
所以，．
所以，为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键．
4．（24-25九年级下·安徽六安·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并能灵活的运用．
【详解】解：
5．（24-25九年级下·全国·期末）计算下列各题：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查三角函数的计算，二次根式的性质，零指数幂；熟练掌握特殊角的三角函数值以及零次幂的意义是解决本题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值代入并化简，零指数幂，化简二次根式，然后求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
6．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查实数运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，乘方的运算法则，绝对值的意义．根据特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，乘方的运算法则，绝对值的意义进行计算即可．
【详解】解：
．
7．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）（1）计算；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查的知识点是实数的混合运算以及解一元二次方程，掌握根据运算顺序以及运算法则、解方程的一般步骤是解此题的关键．
（1）先计算零指数幂、负指数幂、代入三角函数值、计算绝对值，最后计算加减可得；
（2）利用配方法求解可得．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
8．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的函数值成为解题的关键．
先根据特殊角的三角函数化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
地 城
考点05
三角函数与角度结合
一、选择题
1．（24-·25九年级下安徽六安·期末）若，则锐角满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
2．（24-25九年级下·广东·期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大，
，
，
故选C．
3．（24-25九年级下·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值．
利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：B．
二、非选择题
4．（24-25九年级下·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：由，
∴，
∵当时，随着的增大而减小，
∴，
故答案为：
5．（24-25九年级下·辽宁·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系，根据特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：
6．（24-25九年级下·山东威海·期末）已知是锐角，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．
将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解；
【详解】，
∴原式
故答案为：．
7．（24-25九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
，故②正确；故③错误；
∵，
∴故④正确；
故答案为①②④．
8．（24-25九年级下·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为锐角，
∴，
∴．
故答案为：．
地 城
考点06
三角函数综合
一、选择题
1．（24-25九年级下·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰的高，可得是直角三角形，根据，可以表示出的长度．
【详解】解：是等腰的高，
，
在中，，
又，
，
故选： A．
2．（24-25九年级下·甘肃白银·期末）如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡
C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【分析】本题考查锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值是随着角度的增大而减小，根据规律，结合选项逐项判断即可得到答案，熟记锐角三角函数值的变化规律是解决问题的关键．
【详解】解：A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意；
B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
C、正切值是随着角度的减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
3．（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角函数求值，勾股定理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵中，是斜边上的高，，
∴，，
∴，
∴，故A选项不正确；
∴，故B选项不正确；
∴，故C选项不正确；
∴，故D选项正确，
故选：D．
二、非选择题
4．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角函数，二次函数求最值，熟练掌握三角函数是解题的关键；
设，根据，可得，根据，利用二次函数求最值即可求解．
【详解】解：设，
，
的最大值为：，
，
，
，
则，
，
，
当时，的面积取得最大值为：；
故答案为：
5．（24-25九年级下·全国·期末）如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点．
(1)求证：；
(2)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)设，的半径为r，则，
利用勾股定理解答即可．
(2) 连接，根据直径于点E，得到，，根据正弦函数的定义解答即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵为的弦，直径于点E，且，
∴，.
设，的半径为r，
则，
连接，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：如上图，连接，
∵直径于点E，，
∴，
∴，
∴．
6．（24-25九年级下·贵州黔南·期末）如图1所示，在等腰三角形中，，是边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接．
(1)当绕点逆时针旋转到如图2所示位置，求证：；
(2)当绕点逆时针旋转到三点在一条直线上时，如图3．
①和还相等吗？___________（用“”或“”填空）；
②若，猜想的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②结论：，见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角函数，熟练掌握是解答本题的关键．
（1）在图1中，可得，根据旋转可证，即可证明；
（2）过点作于点，可得，，在直角中，，得到，通过得到，．
【详解】（1）证明：在图1中，，
，
，
，，
，
，
由旋转的性质，在图2中仍有，，，
，
，
在和中，
，
（SAS），
；
（2）解：①；②结论：，证明如下：
如图过点作于点，
，，
，，
在直角中，，
，
，
，
由（1）同理可证，
，
．
7．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
(1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形．
(2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，理解新定义是解题的关键．
（1）先证四边形是矩形，可得，即可求解；
（2）由锐角三角函数可求，设，，，由勾股定理可求，即可求解．
【详解】（1）证明：作于则，
四边形是正方形，
四边形是矩形．
四边形是正方形，
，
．
是等高底三角形．
（2）解：作 于点，
，，
，
，
，
，
设，
，，
，
在 中，，，
，
，
，
设，，，则，
在中由勾股定理得：，
解得，
．
8．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，切点为，，．求：
(1)线段的长；
(2)的直径的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的切线性质、圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键．
（1）连接，根据、可得，进而证得，据此即可求解；
（2）作，可推出；进而得到，；设的半径为，则；根据、即可建立方程求解；
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵是的直径，是的切线，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴，
解得：,
∴,
∵，
∴
（2）解：作，如图所示：
∵，
∴，
∴
∴，
设的半径为，则
∴
∵
∴
∴，
解得：
∴的直径为
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