专题01 二次函数8大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期沪科版

专题01 二次函数（期末真题汇编，安徽专用） 8大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 二次函数与一元二次方程的关系 考点03 二次函数的应用 考点04 二次函数中函数值大小比较的方法 考点05 二次函数区间问题 考点06二次函数的图象与系数之间的关系 考点07 二次函数中的最值问题 考点08二次函数图象中的交点问题 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）抛物线过两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足，则实数m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线（）经过，两点，则下列判断正确的是（   ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽池州·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知四个点，，，，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式． （1）对应的函数表达式有 个； （2）所有函数表达式中的最大值是 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线，若抛物线经过点， ． (1)求抛物线的表达式； (2)当x为何值时，抛物线在x轴上方？当x为何值时，y的值随x的增大而增大？ 7．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）二次函数，其中为实数． (1)判断点是否在该拋物线上． (2)求该二次函数顶点的纵坐标（用含的代数式表示）． (3)若将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为________．（直接写出答案） 地 城 考点02 二次函数与一元二次方程的关系 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（    ） A． B． C．3 D．或3 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 3．（23-24九年级上·安徽·期末）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽池州·期末）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知二次函数与x轴交于，． (1)若，求该二次函数的对称轴； (2)若点在该抛物线上，且，当时，求m的范围； (3)若，求的值． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知函数的图象与x轴只有一个交点，求出这个交点坐标． 地 城 考点03 二次函数的应用 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价−成本价）（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 4．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23九年级上·安徽·期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m= 时，水面宽为5m？ 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，某水产养殖户用长的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗．要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为6米，宽为12米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．    (1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽2米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明； (3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在地物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大 地 城 考点04 二次函数中函数值大小比较的方法 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）在抛物线上有和三点，若抛物线与轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，当，，时，，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（20-21九年级上·安徽合肥·期末）点A（﹣，y1），B（0，y2）在抛物线y＝﹣x2+x+c上，则y1，y2的大小关系是 ． 三、解答题 5．（22-23九年级上·安徽·期末）抛物线与交于点，分别交轴于点，，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．已知，． (1)求的值． (2)若点，及都在抛物线上，判断，，的大小关系，并说明理由． (3)求的值． 地 城 考点05 二次函数区间问题 一、单选题 1．二次函数，当时，函数值y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）二次函数，当时，y的取值范围为 ． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是 ； （2）的值为 ． 4．已知y关于x的函数，点P为抛物线顶点． （1）当P点最高时， ． （2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值8，则 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线过点． (1)求的值； (2)求该抛物线顶点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； (2)当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 地 城 考点06 二次函数的图象与系数之间的关系 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图所示是二次函数的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③；④方程一定有两个不相等的实数根；其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期末）二次函数的部分图像如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②方程必有一个根大于且小于；③若是抛物线上的两点，那么；④； ⑤对于任意实数，都有，其中错误结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．若t为任意实数，则有 二、填空题 5．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 （把正确说法的序号都填上）． 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为 ． 地 城 考点07 二次函数中的最值问题 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点是正方形内一点，已知：，则的面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24九年级上·安徽池州·期末）已知抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向下 B．与x轴无交点 C．y的最大值为 D．对称轴是直线 二、填空题 3．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）实数，满足，则的最大值为 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的二次函数． (1)若该二次函数的图象经过三点中的一点． ①求a的值； ②若该二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，求直线BC的函数表达式； (2)当时，y有最小值，若将该二次函数的图象沿x轴平移m（）个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最小值，求a，m的值． 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线________，抛物线与y轴的交点坐标为________； (2)若，且x满足时，y的最小值为，求此时y的最大值． 6．已知是关于x的一次函数． (1)当b为何值时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点？ (2)若一次函数的图象与二次函数的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出当二次函数值大于一次函数值时x的取值范围． 地 城 考点08 二次函数图象中的交点问题 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）对于抛物线的说法不正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是（1，2） C．抛物线的对称轴是直线 D．当时，y的最小值是2 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则实数m的值为 ． 4．（22-23九年级上·安徽六安·期末）抛物线与轴的两个交点为点和点，． （1）抛物线的对称轴为 ； （2）若关于的方程在的范围内有实数根，则的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）抛物线的顶点坐标为． （1） ： （2）若抛物线向下平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ． 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图1，点A，B的坐标分别为，，抛物线的两个端点分别为A，B． (1)求h的值． (2)若抛物线与x轴只有一个交点，求抛物线L的解析式． (3)如图2，当时，经过点的一条直线与抛物线只有一个交点，请直接写出n的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数（期末真题汇编，安徽专用） 8大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 二次函数与一元二次方程的关系 考点03 二次函数的应用 考点04 二次函数中函数值大小比较的方法 考点05 二次函数区间问题 考点06二次函数的图象与系数之间的关系 考点07 二次函数中的最值问题 考点08二次函数图象中的交点问题 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了一般式中抛物线的对称轴公式，熟知对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式为即可获解． 【详解】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）抛物线过两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足，则实数m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是根据点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足，得到． 把代入抛物线得，根据对称轴，且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足，所以，解得或，把代入得：，得到a＝，所以≥或≤−，即可解答． 【详解】解：将点代入抛物线，得， ， ． ∵对称轴为，且点B到抛物线对称轴的距离为d，满足， ， ， 或， 将点代入，得， 即， ， 或， 或． 故选B． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线（）经过，两点，则下列判断正确的是（   ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向下，且对称轴为，顶点坐标为，再逐一分析即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向下，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，即， ∴， ∴不等式无解，故A不符合题意；B不符合题意； 当时，则， 当时，， 解得：或， 当时， ∴或， ∴C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽池州·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性．掌握二次函数的图像关于对称轴对称是解题的关键． 根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为，结合表格中所给数据可得出答案． 【详解】解：由表中数据知，二次函数上的点和对称， 对称轴为， ∴点的对称点为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知四个点，，，，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式． （1）对应的函数表达式有 个； （2）所有函数表达式中的最大值是 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握待定系数法是解本题的关键． （1）根据二次函数的性质，结合图中四个点的位置进行判断即可； （2）分别求解经过三点的抛物线的解析式，再比较各项的系数和，进一步可得结论． 【详解】解：（1）根据二次函数的性质，经过点A、B、C三点不能画出二次函数的图象， ∴经过A、B、D或A、C、D或B、C、D都可以画出二次函数的图象， 故答案为：3； （2）当抛物线经过，，三点时， 得， 解得， ∴， ∴； 当抛物线经过，，三点时， 得， 解得， ∴， ∴； 当抛物线过， ，时， 得， 解得， ∴； ∴， ∵， ∴的最大值为4， 故答案为：4． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线，若抛物线经过点， ． (1)求抛物线的表达式； (2)当x为何值时，抛物线在x轴上方？当x为何值时，y的值随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)当或时，抛物线在x轴上方；当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查了待定系数法确定抛物线解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象与性质，利用了数形结合的思想，待定系数法是数学中重要的思想方法，做题时注意灵活运用． （1）将，代入抛物线解析式，得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式； （2）令抛物线解析式中，得出关于x的方程，求出方程的解得出抛物线与x轴交点的坐标，即可得出抛物线图象在x轴上方时x的范围，由抛物线开口向上，及抛物线的对称轴可得出当x在对称轴右边时，y随x的增大而增大． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式，得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令，得， 解得， ∴抛物线与x轴交点为和， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当或时，抛物线在x轴上方； 又， ∴抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大． 7．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）二次函数，其中为实数． (1)判断点是否在该拋物线上． (2)求该二次函数顶点的纵坐标（用含的代数式表示）． (3)若将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为________．（直接写出答案） 【答案】(1)在 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入求解，即可判断； （2）将利用配方法配成顶点式即可求解； （3）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，可表达顶点的纵坐标，再求最小值． 【详解】（1）解：当时，， ∴点在该拋物线上； （2） ， ∴该二次函数顶点的纵坐标为； （3）将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线为， 则抛物线顶点纵坐标为， ∵， ∴， 故：所得抛物线顶点的纵坐标的最小值是． 故答案为：． 地 城 考点02 二次函数与一元二次方程的关系 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（    ） A． B． C．3 D．或3 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式以及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．根据题意求出代入解方程即可． 【详解】解：二次函数只有一个零点且图象开口向下， ， 解得， 故， 将代入二次函数， 得， 令， 解得． 故选A． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴可得，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据当时，，即，再将代入即可判断②错误；先求出二次函数的顶点坐标为，再代入二次函数的解析式即可判断③正确；根据二次函数与一元二次方程的交点、二次函数的对称轴即可判断④正确． 【详解】解：∵二次函数的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴， ∴， ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴，则结论②错误； 对于直线， 当时，， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴这个抛物线的顶点坐标为， 将点代入得：，即， ∵， ∴，则结论③正确； 方程可转化为或， 不妨设方程的两个根为，，方程的两个根为，， 求方程的根可看作为求二次函数与直线的交点， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数与直线的交点关于直线对称， ∴， 同理可得：， ∴，则结论④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：C． 3．（23-24九年级上·安徽·期末）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，根据，二次函数与轴有两个不同的交点即可求解． 【详解】解：根据题意，，且， 解得，且， 故选：B ． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽池州·期末）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程决定抛物线与轴的交点个数，由于只有一个公共点，因此． 【详解】由于二次函数的图像与轴只有一个公共点． 即 解得： 将代入二次函数二次项系数中，得： 符合题意． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知二次函数与x轴交于，． (1)若，求该二次函数的对称轴； (2)若点在该抛物线上，且，当时，求m的范围； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将代入得到，然后根据对称轴公式求解即可； （2）将点代入抛物线得到，然后根据根与系数的关系得到，结合得到，进而求解即可； （3）首先由得到，然后将代入二次函数得，进而求解即可． 【详解】（1）当时， ∴ ∴对称轴为直线； （2）将点代入抛物线中 ∵ ∴ ，，是方程的两个根， ； （3） 将代入二次函数得， ∴， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知函数的图象与x轴只有一个交点，求出这个交点坐标． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系．分与两种情况考虑，对于时，函数是二次函数，由一元二次方程根的判别式即可求得k，再解一元二次方程即可求得交点坐标． 【详解】解：①当时，函数是一次函数； 令，则， 解得：， 即交点为， ②当时，函数是二次函数， ∵函数图象与x轴只有一个交点， ∴， 即，   令，则， 解得：， 即交点为． 综上，函数与x轴的一个交点为或． 地 城 考点03 二次函数的应用 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 2．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价−成本价）（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】A 【分析】根据题意列方程组求出二次函数的解析式，再列方程即可得到结论． 【详解】解：由题意知：当时，；当时，代入中， 得， 解得：， ∴， 当每天利润为0元时，售价即为成本价．令， 解得：， 由题意可知38不符合条件， ∴， ∴这种口罩的成本价是10元/个； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 4．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据、关于y轴对称，得出点坐标为，再求出左边抛物线的顶点的坐标为，则右边抛物线的顶点的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，、关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 二、填空题 5．（22-23九年级上·安徽·期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m= 时，水面宽为5m？ 【答案】 【分析】以抛物线的顶点为原点建立坐标系，则可以设函数的解析式是y=ax2，然后求得水面与抛物线的交点坐标，利用待定系数法求解抛物线的解析式，再利用点的坐标特点即可求解． 【详解】解：如图，建立如下的坐标系： 水面与抛物线的交点坐标是（-2，-2），， 设函数的解析式是y=ax2， 则4a=-2， 解得， 则函数的解析式是． 当水面宽为5米时，把代入抛物线的解析式可得： （米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，建立合适的平面直角坐标系，求得水面与抛物线的交点是解题的关键． 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出点I左边和右边端点的坐标，求出当，时的y值，比较即可． 【详解】 由题意得：点I左边端点的坐标为，右边端点的坐标为 对于抛物线，当时，，当时，， 当时，解得或5， ∴点P在台阶I上，落点的坐标是 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，某水产养殖户用长的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗．要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，设矩形的一边长为，则相邻边长，列出S关于x的二次函数，化为顶点式，即可求解． 【详解】解：设矩形的一边长为，此时相邻边长， 则水面面积：． 当时，S取得最大值为100平方米， 此时另一边长． 故要使围成的水面面积最大，则它的边长应都是． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为6米，宽为12米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．    (1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽2米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明； (3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在地物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大 【答案】(1) (2)能，计算见解析 (3)15米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出或时，求出函数值，进行判断即可； （3）设点的坐标为，求出的解析式，根据二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即； （2）当（或）时，． 故能行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆． （3）设点的坐标为， 则，， 根据抛物线的轴对称，可得：， ∴，即， 令， ， ∴当，即米时，三根木杆长度之和的最大值为15米． 地 城 考点04 二次函数中函数值大小比较的方法 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）在抛物线上有和三点，若抛物线与轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键． 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再根据抛物线与轴交点位置确定的正负，然后根据点到对称轴的距离结合二次函数的增减性判断的大小． 【详解】解：抛物线的对称牰为，且若抛物线与轴的交点在正半轴上， ， ， ∴当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小，且抛物线上的点离对称轴的水平距离越远，函数值越小， ， 故选B． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性和对称性求解，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，在处有最大值， 到的距离为，到的距离为， ， 故选：D． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，当，，时，，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，得出距离抛物线对称轴越远的点的函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，抛物线开口向上 ∵，， ∴ ∴． 故选：B． 二、填空题 4．（20-21九年级上·安徽合肥·期末）点A（﹣，y1），B（0，y2）在抛物线y＝﹣x2+x+c上，则y1，y2的大小关系是 ． 【答案】y1＜y2 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断y1，y2的大小关系． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+x+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝， ∵﹣＜0＜， ∴y1＜y2． 故答案为：y1＜y2． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 三、解答题 5．（22-23九年级上·安徽·期末）抛物线与交于点，分别交轴于点，，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．已知，． (1)求的值． (2)若点，及都在抛物线上，判断，，的大小关系，并说明理由． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，可得，然后代入可得的值； （2）求出，可得抛物线的对称轴是直线，根据点，及并结合增减性可得，，的大小关系； （3）求出，两点的坐标，可得的值． 【详解】（1）解：∵，，轴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴的值为． （2）由（1）可得：， 当时，得， 解得：或， ∴， ∴，即抛物线的对称轴是直线， ∵点，及都在抛物线上， 又∵抛物线开口向上，且， ∴． ∴，，的大小关系为． （3）∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴， 当时，得， ∴， ∵， 当时，得， ∴， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是掌握二次函数相关的性质． 地 城 考点05 二次函数区间问题 一、单选题 1．二次函数，当时，函数值y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及增减性求得其最大和最小值即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， 当-1≤x≤0时，y随x的增大而减小， ∴当x=-1时，y有最大值1，当x=0时，y有最小值0， 当0≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x=3时，y有最大值9，当x=0时，y有最小值0， ∴当-1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，利用二次函数的增减性分别求得ｙ的最大值和最小值是解题的关键． 二、填空题 2．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，确定最大值，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴当时，y有最小值， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值． （1）根据，可得，再根据，即可求得的取值范围； （2）根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）， ， ， 当时，有最小值， 当时，有最大值， ，， ， 故答案为：． 4．已知y关于x的函数，点P为抛物线顶点． （1）当P点最高时， ． （2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值8，则 ． 【答案】 1 【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式，即可得到顶点，纵坐标化为的形式，即可得出结果； （2）将代入得，，这时当时，函数有最小值5，且函数图象开口向上，由于，函数有最小值8，故只有当时，函数取得最小值8，代入即可求出答案． 【详解】（1）∵， ∴顶点， ∵， ∴当时，取得最大值5， ∴当P点最高时，； 故答案为：1； （2）当时，， ∵当时，函数有最小值5，且函数图象开口向上， 又∵，函数有最小值8， ∴当时，函数取得最小值8， ∴ ∴，（不合题意，舍去） ∴当时，函数有最小值8，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和最值的求法，求最值除了考虑开口方向还要考虑自变量的取值范围和对称轴的关系，这是解决本题的关键． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为； (2)当时，y的最小值是． 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，函数最值问题，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式是解题的关键． （1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）二次函数的顶点式得抛物线开口向下，分别计算端点值和对称轴出的值，然后比较即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 当时，， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，y的最小值是． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线过点． (1)求的值； (2)求该抛物线顶点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数图像和性质； （1）将代入即可求得的值， （2）将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （3）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为； （3）解：∵开口向上，对称轴为直线，， ∵， ∴当时取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； (2)当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)①直线；② (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）①将点代入函数表达式得到，再利用二次函数的性质求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数的最大值为，进而求得c值即可； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则当时，该函数的最小值为，然后分当时和当时两种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值，再根据已知列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又∵时， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：由得抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，该函数的最小值为， 当时，当时，该函数取得最大值， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，当时，该函数取得最大值c， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，符合题意的b值为或． 地 城 考点06 二次函数的图象与系数之间的关系 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图所示是二次函数的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③；④方程一定有两个不相等的实数根；其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据对称轴即可判断①，根据函数图像可知，方程一定有一个根在和之间，根据二次函数的对称性即可判断②；由图像可知，时，，再由图像与轴交点求出即可判段③；抛物线与直线有两个交点，即可判断④． 【详解】解：该函数图象的对称轴是直线，故， ， 故①正确； 根据函数图像可知，方程一定有一个根在和之间， 根据二次函数的对称性可知，和对称，和对称， 故方程一定有一个根在和之间； 故②错误； 由图像可知，时，， 即， 由图像与轴交点得到， 故 ； 故③错误； 抛物线与直线有两个交点， 故方程一定有两个不相等的实数根； 故④正确； 故选：C 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期末）二次函数的部分图像如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②方程必有一个根大于且小于；③若是抛物线上的两点，那么；④； ⑤对于任意实数，都有，其中错误结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴；故①错误； 由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∵抛物线关于直线对称， ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确； ∵， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴；故③错误； ∵ ∴， 由图像知：，， ∴；故④正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小为：， ∴对于任意实数m，都有， 即：， ∴；故⑤正确； 综上：错误的有2个． 故选：A． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象判断系数的符号及式子的符号，注意数形结合．由抛物线开口方向、图象与y轴交点位置、对称轴位置可确定a、c、b的符号，从而可判断①；由抛物线的对称轴可判断②；由二次函数的最小值可判断③；由时的函数值可判断④；由抛物线的对称性判断⑤；由此可确定答案． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向上，则；图象与y轴交于y轴负半轴，则；对称轴为直线，即，则，故①正确； 由，得，故②错误； 由于二次函数当时取得最小值，则对于任意实数m，，故有，故③正确； 由图象知，时的函数值与时的函数值相等，所以当时，，故④正确； 由于，且，即，表明自变量取时，二次函数的函数值相等，由抛物线的对称性得：，即，故⑤正确；因此正确的有①③④⑤三个． 故选：C． 4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．若t为任意实数，则有 【答案】B 【分析】根据开口方向和对称轴的位置可判断A；根据当时，和可判断B；根据与x轴的交点可判断C；根据当时，y有最小值可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴． ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，故A正确； 根据图象，可得当时，， ∴． ∵， ∴，故B错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，即，故C正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∴，即，故D正确． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与各系数关系，二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键． 二、填空题 5．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 （把正确说法的序号都填上）． 【答案】①③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当x取何值时，． 【详解】解：①∵开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故正确； ②如图，当时，y不只是大于0．故错误； ③∵对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间， ∴另一个交点的横坐标在0与之间； ∴当时，，故正确； ④∵对称轴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，故正确； ∴正确的有3个． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，数形结合思想的应用是本题的关键． 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点结合对称轴判断②，特殊点结合平方差公式判断③，最值判断④即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故①错误， 当时，， ∴；故②正确； ∵时，函数有最小值，且由图象可知最小值为：， ∴，故③正确； ， ∴；故④正确； 故答案为：②③④ 地 城 考点07 二次函数中的最值问题 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点是正方形内一点，已知：，则的面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，二次函数的性质，勾股定理．过点P作，垂足分别为M，N，延长交于点Q，则，，可得四边形是矩形，从而得到，再由，可得，设，根据勾股定理可得，从而得到，进而得到，再由三角形的面积公式可得，然后根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作，垂足分别为M，N，延长交于点Q，则，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最小值，最小值为． 故选：B 2．（23-24九年级上·安徽池州·期末）已知抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向下 B．与x轴无交点 C．y的最大值为 D．对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质逐项分析即可． 【详解】抛物线化为顶点式为： ， ，则抛物线的开口向下，故A选项不符合题意； ∵， 与x轴无交点，故B选项不符合题意； 顶点坐标为，即y的最大值为，故C选项不符合题意； 抛物线对称轴为直线，D选项符合题意； 故选：D 二、填空题 3．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据条件变形为，确定出a的取值范围，将转化为即可． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，式子的值随的增大而增大， ∴当时，的最大值为． 故答案为． 三、解答题 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的二次函数． (1)若该二次函数的图象经过三点中的一点． ①求a的值； ②若该二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，求直线BC的函数表达式； (2)当时，y有最小值，若将该二次函数的图象沿x轴平移m（）个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最小值，求a，m的值． 【答案】(1)①  ② (2)，或4 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质， （1）①分别将三个点的坐标代入关系式，计算可得答案； ②，由①得出关系式，进而求出点的坐标，然后根据待定系数法求出关系式； （2）先根据在，y有最小值，则抛物线在对称轴处取得最小值，可求出抛物线的表达式， 再根据平移m个单位得出新抛物线的表达式，及其对称轴，然后根据抛物线在对称轴处取得最小值时，即时，得出方程，求出即可；当抛物线在时取得最小值时，此时，即，可得方程，求出解；当抛物线向左平移m个单位时得出新抛物线的表达式，其对称轴为直线，在抛物线的对称轴或时取得最小值，同理得出解. 【详解】（1）解：（1）①， 将分别代入上式，均无法求出的值，不符合题意， 将代入函数表达式得：， 解得 ②由①知，函数的表达式为：， 当时，，令，则或4， 即点B、C的坐标分别为：. 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， 则直线的关系式为； （2）解：当时，y有最小值，则抛物线在对称轴处取得最小值， 当时，， 解得：，     则抛物线的表达式为：， 当抛物线向右平移m个单位时，则新抛物线的表达式为：，其对称轴为直线， 在抛物线的对称轴或时取得最小值， 当抛物线在对称轴处取得最小值时，即时，，方程无解； 当抛物线在时取得最小值时，此时，即，即，解得：（不合题意，舍去）或； 当抛物线向左平移m个单位时，则新抛物线的表达式为：，其对称轴为直线， 在抛物线的对称轴或时取得最小值， 同理可得：. 综上，或4． 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线________，抛物线与y轴的交点坐标为________； (2)若，且x满足时，y的最小值为，求此时y的最大值． 【答案】(1)， (2)y的最大值为． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，求二次函数与坐标轴的交点坐标等等： （1）利用对称轴计算公式求出对称轴，再求出，当时y的值，即可求出与y轴的交点坐标； （2）根据开口向上，离对称轴越远函数值越小得到当时取得最小值，据此利用待定系数法求出函数解析式，进而求出当时y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线； 在中，当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：；； （2）∵抛物线的对称轴为直线， ∴顶点在范围内． 又∵当x满足时，y的最小值为，且，即抛物线开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴当时取得最小值， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，，即此时y的最大值为． 6．已知是关于x的一次函数． (1)当b为何值时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点？ (2)若一次函数的图象与二次函数的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出当二次函数值大于一次函数值时x的取值范围． 【答案】(1) (2)另一个公共点坐标为 (3)当二次函数值大于一次函数值时x的取值范围为或 【分析】（1）根据一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点得出方程有两个相等的实数根，即△，解方程即可； （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把顶点坐标代入中求出的值，在解方程组即可得到另一公共点的坐标； （3）在（2）的条件下，结合函数图象求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点， 方程即有两个相等的实数根， △， 解得：， 当时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； （2）解：∵二次函数， 二次函数的顶点， ∵一次函数的图象与二次函数的图象一个公共点恰是该二次函数图象的顶点， ， 解得：， 一次函数的解析式为， 则联立方程组得：， 解得：或， 一次函数的图象与二次函数的图象的令一公共点坐标为； （3）解：如图所示： 由图象知，在（2）的条件下，当二次函数值大于一次函数值时，自变量的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是直线和抛物线的交点个数与一元二次方程实数根之间的关系，当△时，一元二次方程有两个不等的实数根，图象有两个公共点；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根，图象有一个公共点；当△时，一元二次方程无实数根，图象没有公共点． 地 城 考点08 二次函数图象中的交点问题 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数与轴的交点坐标，令求出的值即可得解． 【详解】解：在中，当时，， 故二次函数与y轴的交点坐标是， 故选：D． 2．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）对于抛物线的说法不正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是（1，2） C．抛物线的对称轴是直线 D．当时，y的最小值是2 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：， ，开口向下，A选项正确，不符合题意； 抛物线的顶点为（1，2），B选项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，C选项正确，不符合题意； 当时，y的最大值是2，D选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关知识． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则实数m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴且， 解得：； 故答案为：4． 4．（22-23九年级上·安徽六安·期末）抛物线与轴的两个交点为点和点，． （1）抛物线的对称轴为 ； （2）若关于的方程在的范围内有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 【分析】 （1）直接利用对称轴公式计算即可； （2）根据得出点A和点B的坐标，继而求出函数解析式，再画出相应图像，将方程的解转化为抛物线与直线在的范围内有交点，结合图像解答即可 【详解】 解：（1）抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线 （2）∵抛物线与轴的两个交点为点和点，， ∴，，即，， 将代入中， 得：， ∴， ∵方程在的范围内有实数根， ∴抛物线与直线在的范围内有交点， 当直线与直线重合时， 令，则， 当直线与直线重合时， 令，则， ∴直线在直线和直线之间， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，从而借助数形结合解题是关键． 5．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）抛物线的顶点坐标为． （1） ： （2）若抛物线向下平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标结合图象求解． 本题考查二次函数的图象性质，解题的关键是根据题意作出图象，根据二次函数的图象与现在求解． 【详解】（1）抛物线的对称轴是直线． ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴． 则． 故答案为：1； （2）由（1）知抛物线的解析式为， 平移后抛物线解析式为， 如图，当直线与抛物线交点在x轴上方，直线与抛物线交点在x轴上或x轴下方满足题意． 即， 解得． 故答案为：． 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图1，点A，B的坐标分别为，，抛物线的两个端点分别为A，B． (1)求h的值． (2)若抛物线与x轴只有一个交点，求抛物线L的解析式． (3)如图2，当时，经过点的一条直线与抛物线只有一个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数的图象与性质． （1）利用对称性得到抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质解答即可； （2）根据抛物线L与x轴只有一个交点，得到抛物线L的顶点在x轴上，则，再利用待定系数法解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：①当直线从（含）位置旋转到（不含）位置时，直线与抛物线只有一个交点，利用待定系数法分别求得直线，的解析式解答即可；②当直线经过抛物线L的顶点时，利用平行于x轴的直线的特征解答即可． 【详解】（1）解：∵点，的纵坐标相等， 点A，B关于抛物线L的对称轴对称， 抛物线L的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为直线， ； （2）解：∵抛物线L与x轴只有一个交点， 抛物线L的顶点在x轴上，顶点纵坐标为0， 由（1）可知，抛物线L的对称轴为直线， 顶点的横坐标为1， 顶点的坐标为， 设抛物线L的解析式为， 将代入，得， 解得， 抛物线L的解析式为； （3）解：将直线看作绕点旋转的一条直线，有两种情况： ①如图1，当直线从（含）位置旋转到（不含）位置时，直线与抛物线只有一个交点， 把，代入得，解得，即直线的解析式为， 同理由，，得直线的解析式为， 故n的取值范围为； ②如图2，当直线经过抛物线L的顶点时， ∵抛物线的顶点为，与点的纵坐标相等， 直线与x轴平行，与抛物线L只有顶点这一个交点， 此时，即，． 综上所述，n的取值范围为或． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $