精品解析：新疆克拉玛依市独山子区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（平行班）

独山子第二中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷（平行班） 一、选择题（本题共8小题，第小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线方程求出直线的斜率，再得出直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，又倾斜角的范围在之间， 所以直线的倾斜角是. 故选：A. 2. 与直线平行，且过点的直线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，先确定直线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以斜率为， 又直线过点， 故所求直线方程为：. 故选：A 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于基础题型. 3. 如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法法则直接求解. 【详解】在四面体中，，分别是，的中点， 故选：A． 4. 直线与直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 5. 若圆，，则和的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的圆心距，比较与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系. 【详解】可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， ， 因此，圆与圆外切. 故选：D. 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 6. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】推导出，利用空间向量法可得出线面关系. 【详解】因为，，则，即，因此，. 故选：C. 7. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 8. 已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程. 【详解】由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知空间向量，，则下列计算正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角满足 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由向量数量积坐标运算求解判断；对B，由向量的模长公式求解判断；对C，由向量的夹角公式求解；对D，由空间向量垂直的坐标关系求解判断. 【详解】对于A，由向量的数量积坐标运算得，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由题意，，所以，故C正确； 对于D，由，所以与不垂直，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列关于平面直角坐标系下直线方程的说法不正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 所有直线都可以用方程表示 C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各种直线方程的适用条件，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】若经过定点的直线斜率不存在，则直线方程不可以用方程表示，故A错误； 对于直线方程的一般式适用表示所有直线，故B正确； 方程要满足条件，，故仅表示与坐标轴不平行的直线，故C错误. 在坐标轴上截距相等的直线，若经过原点，则该直线方程不可以用方程来表示，故D错误； 故选：ACD 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 圆上有两个点到直线的距离为2 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】求出圆的圆心及半径，求出点到直线的距离判断AB；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径， 对于AB，圆心到直线的距离， 则，故A错误，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由切线的性质，得切线长为，D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 以为圆心，为半径的圆的方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，直接写出圆的方程即可. 【详解】依题意，所求圆的方程为. 故答案为： 13. 已知圆：和圆：．则两圆公共弦所在直线的方程为______；两圆公共弦长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求得公共弦所在直线方程，然后结合点到直线距离公式求得公共弦长. 【详解】两圆圆心分别为，，圆心距为2，两圆半径分别为2，3， ，所以两圆相交． 两圆对应的方程相减即可得两圆公共弦所在直线的方程为． 已知圆的圆心到公共弦直线的距离为． 所以两圆的公共弦长为． 故答案为：； 14. 已知为圆上任意一点，、为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】判断直线与圆相离后，再求出点到直线的距离的最大值，利用三角形的面积公式，即可得到答案； 【详解】圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 则圆上一点到直线的距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 16. 已知三角形三顶点，，，求： （1）直线的一般式方程； （2）边上的高所在直线的一般式方程. （3）求三角形的面积. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由两点式写出直线的方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直和直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可； （3）由（1）得直线的方程，根据点到直线的距离公式，可求得边所对应的高，再利用两点间距离公式求得边的长，再根据三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，， 根据两点式，可得方程为， 整理得，其一般方程为. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为， 又点在边上的高所在的直线上， 所以高所在直线方程为， 所以其一般方程为. 【小问3详解】 由（1）得，直线的方程为，又点， 所以点到直线的距离，即边所对应的高为， 又，， 所以， 所以，. 17. 已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆过点A. （1）求圆的标准方程； （2）若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，进而求得圆的半径，可求圆的方程； （2）设，根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 由，解得，则圆心为 ， 圆的标准方程为 【小问2详解】 设.由，可得， 则， 又点在圆上，所以，即， 化简得， 点的轨迹方程为. 18. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）． （3）存在，，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 略 19. 已知圆：，直线：. （1）证明直线总与圆相交； （2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程； （3）当时，直线与圆交于、两点，求过、两点在轴截得弦长为的圆的方程. 【答案】（1）证明：∵圆，∴圆心，半径， ∵直线，整理得：， 令，解得：，∴直线过定点， ∴， ∴定点在圆内， ∴直线总与圆相交. （2）或；（3）或. 【解析】 【分析】（1）利用直线系方程证明直线过定点，再由定点在圆内说明直线总与圆C相交； （2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求得，直线方程可求； （3）利用待定系数法设，先求出的坐标，代入圆的方程，再令，根据结合韦达定理得方程，解出方程即可得结果. 【详解】（1）略 （2）∵直线被圆所截得的弦长为， ∴圆心到直线的距离， ∵直线， ∴， ∴，解得或， 将或，代入直线， ∴直线的方程：或. （3）设圆的方程：， 当时，直线， 联立，解得或， 所以设点、点 所以有， 令，则，解得：，， 又因为圆在轴上截得弦长为，所以， 所以，解得：或， 所以圆的方程为：或 【点睛】本题主要考查直线方程的应用，考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用待定系数法求圆的方程，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山子第二中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷（平行班） 一、选择题（本题共8小题，第小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 与直线平行，且过点的直线方程为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线与直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆，，则和的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 6. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 8. 已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知空间向量，，则下列计算正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角满足 D. 10. 下列关于平面直角坐标系下直线方程的说法不正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 所有直线都可以用方程表示 C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 圆上有两个点到直线的距离为2 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 以为圆心，为半径的圆的方程是_______． 13. 已知圆：和圆：．则两圆公共弦所在直线的方程为______；两圆公共弦长为______． 14. 已知为圆上任意一点，、为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 16. 已知三角形三顶点，，，求： （1）直线的一般式方程； （2）边上的高所在直线的一般式方程. （3）求三角形的面积. 17. 已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆过点A. （1）求圆的标准方程； （2）若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 18. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知圆：，直线：. （1）证明直线总与圆相交； （2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程； （3）当时，直线与圆交于、两点，求过、两点在轴截得弦长为的圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $