精品解析：河北省石家庄市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

石家庄二中教育集团2025-2026学年度高二年级上学期 数学期中考试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 0 2. 点到直线的距离为（   ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（    ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线截C的两条渐近线所得的线段长为，则的方程为（    ） A. B. C. D. 6. 记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（   ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（    ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 二、多选题 9. 对于直线，下列说法正确的有（    ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线垂直 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线到直线的距离为 10. 已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（    ） A. E的虚轴长为6 B. C. E的渐近线方程为 D. 点到直线的距离为 11. 设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（ ） A. l始终与圆P相离 B. 无最值 C. 存在点P，使得 D. 时，P到l的距离为3 三、填空题 12. 直线恒过定点的坐标为_____． 13. 已知椭圆C：（）的右焦点为，若点F到C的上顶点的距离是点F到C的右顶点的距离的2倍，则__________． 14. 已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 四、解答题 15. 已知圆与圆． （1）若圆与圆D相交，求的取值范围． （2）若，求圆与圆所得的公共弦长； 16. 已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，直线与E交于A，B两点，若，求m的值． 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 （1）求抛物线的方程； （2）设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 18. 在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. （1）求曲线E方程； （2）若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 19. 设为曲线不过原点的部分曲线. （1）求与轴，轴的交点坐标； （2）求围成的图形面积； （3）若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中教育集团2025-2026学年度高二年级上学期 数学期中考试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由直线和x轴垂直即可判断. 【详解】因为直线垂直于x轴， 故该直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 点到直线的距离为（   ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】点到直线的距离． 故选：D 3. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得，结合椭圆的定义求得的周长. 【详解】在椭圆C中，， 由椭圆的定义可得， 则的周长为. 故选：C 4. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，表示出点的坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】设点，由轴，得，且， 又，则，又，所以. 故选：A 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线截C的两条渐近线所得的线段长为，则的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定，再根据焦距公式和双曲线的性质，即可求解. 【详解】设，则，故， 由题意可得C的两条渐近线为，令可得， 所以，故，所以C的方程为. 故选：B． 6. 记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（   ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆、双曲线离心率的计算公式列出等式，求解即可. 【详解】， 则，即， 由，可知，于是． 故选：C． 7. 已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定直线的倾斜角，再利用两角和差的正切公式，即可求斜率. 【详解】因为点A在x轴上，且在直线上，所以， 易知直线l的倾斜角为，若为正三角形， 则直线AC的倾斜角为或，即或， 故直线AC的斜率为， 或. 故选：D 8. 已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】A 【解析】 【分析】联立双曲线与抛物线方程得0，利用求出点的横坐标即可得答案. 【详解】因为与在第一象限内存在交点，所以， 又，所以.联立得0， 由对称性可知与在第四象限的交点的横坐标与点的横坐标相等， 故仅有一解，所以，得， 所以.将代入得， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 则，轨迹是圆的一部分. 故选：A. 二、多选题 9. 对于直线，下列说法正确的有（    ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线垂直 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线到直线的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求直线与轴的交点，判断A，根据两直线的斜率关系，判断B，根据斜率和方向向量的关系，判断C，代入平行线间距离公式，判断D. 【详解】对于A，直线显然经过点，所以直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线的斜率为，所以一个方向向量为，故C正确； 对于D，由直线到直线的距离为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（    ） A. E的虚轴长为6 B. C. E的渐近线方程为 D. 点到直线的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的虚轴、焦半径、渐近线和等面积法对选项进行分析，从而确定最大值. 【详解】依题意，，双曲线的焦点在轴上. A选项，双曲线的虚轴长，故A错误； B选项，由于，故点P为双曲线E上支上一点， 故，解得，故B正确； C选项，由，得双曲线的渐近线方程为，故C错误； D选项，，，故， 于是的面积， 故点到直线的距离，故D正确； 故选：BD. 11. 设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（ ） A. l始终与圆P相离 B. 无最值 C. 存在点P，使得 D. 时，P到l的距离为3 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即得；对于B，先求出的取值范围，再根据等面积求出的表达式，推得，即可判断；对于C，通过计算的斜率，利用，可判断不重合，排除该项；对于D，通过反向思考，由结论作为条件，推出矛盾，从而排除D项. 【详解】 对于A，因抛物线的准线，则，解得，故． 设，则，那么P到l的距离为，即l与圆相离，故A正确； 对于B，设点，则， 因，则四边形AMPN的面积为， 可得，故B正确； 对于C，因为，AP的斜率为，而OP的斜率为， 两者相等当且仅当，而这与题意矛盾，所以与不可能垂直，故C错误； 对于D，运用反向思考，若点P到l的距离为3，则易得，由对称性，不妨取， 则，由已知，且，可得O，M，P三点共线， 由，可得， 此时PM斜率为，而AM的斜率为， 此时，，即AM与PM不垂直，这与题意矛盾，故D错误． 故选：AB． 三、填空题 12. 直线恒过定点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程得到，进而可求解. 【详解】直线， 即， 联立可得，∴， 即直线恒过定点. 故答案为： 13. 已知椭圆C：（）的右焦点为，若点F到C的上顶点的距离是点F到C的右顶点的距离的2倍，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，列出关于的方程，即可求解. 【详解】设椭圆C的半焦距为，则结合，可得， 因为C的右焦点为，所以，所以， 所以，即，则. 故答案为：. 14. 已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】求得直线的方程，求得两点的坐标，判断出是直角三角形，进而计算出的面积. 【详解】将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上， 过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得或（舍）， 当时，，故点A的坐标为， 直线过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得（舍）或， 当时，，故点B的坐标为， 因为，所以，所以是直角三角形， 且， 故. 故答案为：5 四、解答题 15. 已知圆与圆． （1）若圆与圆D相交，求的取值范围． （2）若，求圆与圆所得的公共弦长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两圆的位置关系，转化为公式，即可求解； （2）首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为3，则， 由圆与圆D相交得，，解得 所以的取值范围是； 【小问2详解】 当时，圆， 圆C与圆D的方程相减整理得， 所以圆C与圆D的公共弦所在直线方程为， 点到直线距离为， 所以公共弦长为； 16. 已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，直线与E交于A，B两点，若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，利用弦长列方程，由此求得的值. 【小问1详解】 依题意，，解得， 故E的方程为． 【小问2详解】 ，联立， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故， 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 （1）求抛物线的方程； （2）设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 【答案】（1） （2） 证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立，得， 则， 所以， 则， 易知点O，A，B不共线，故和的夹角为钝角， 故为钝角三角形. 【解析】 【分析】（1）解法一：写出焦点到直线的距离公式，根据距离最小值，即可求解；解法二，利用几何意义，直接列式，即可求解； （2）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明. 【小问1详解】 解法一：抛物线C的焦点为， 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 点F到l的距离，d取最大值，当且仅当取最小值，即， 此时d取到最大值1，即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； 解法二：因为动直线l过点， 所以点F到直线l的距离的最大值为点F到点的距离， 即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. （1）求曲线E方程； （2）若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）过定点， 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合几何关系确定点的坐标，代入双曲线方程，即可求解； （2）首先设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可求解. 【小问1详解】 由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设， 联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 19. 设为曲线不过原点的部分曲线. （1）求与轴，轴的交点坐标； （2）求围成的图形面积； （3）若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）与轴的交点为，与轴的交点为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线方程，令和，得到相应的方程求解即可； （2）分当，，和四种情况，得出曲线围成的图形，从而将问题转化成个半圆的面积及个直角三角形的面积和，即可求解； （3）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可求解. 【小问1详解】 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标； 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标， 所以与轴的交点为，与轴的交点为； 【小问2详解】 当时，由得到， 即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 所以曲线围成的图象如图所示，由（1）知， 又直线的方程为，易知直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 所以曲线围成的图形面积为个半圆的面积及个直角三角形的面积和， 即 ； 【小问3详解】 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得或（舍）， 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得（舍）或， 又曲线不过原点，由图知，要使直线与有且仅有两个公共点，则， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $