4.1.1 n次方根与分数指数幂课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.1.1 n次方根与分数指数幂 人教A版（2019）普通高中数学必修第一册 1 新知导入 阿基米德 需要多少沙粒可以填满整个宇宙？ “万万进”的记数方法表达大数: 1-1万万→一阶数（1-万万） 1万万-1万万个1万万→二阶数（万万-万万2） ... 幂的起源 新知导入 笛卡尔 《几何学》： 新知导入 牛顿 17世纪，英国数学家牛顿在其通信（1676年）中，用分数为指数的幂来表示根式，将指数的概念由正整数指数推广到有理数指数。 新知导入 思考： 数学家们用分数为指数的幂来表示根式；在上一章学习幂函数时，我们也将记作，这样做的意义是什么呢？ 新知讲授 探究1：次方根的概念 （1），则称为的________________________. （2），则称为的________________________. 类似地，，则称为的___________； ，则称为的____________. 新知讲授 1. 次方根的定义： 一般地，如果，那么叫作的 ， 其中 ，且 . 探究2：次方根的性质 （1）的次方根等于_______. （2）的次方根等于_______. （3）的次方根等于_______的次方根等于_______. （4）的次方根等于_______. 新知讲授 新知讲授 2. 次方根的性质： （1）当为奇数时，正数的次方根是一个_____；负数的次 方根是一个_____.此时，的次方根用符号_____表示. （2）当为偶数时，正数的次方根有___个，且互为______； 此时，的次方根用符号___________表示. （3）负数_____偶次方根. （4）的偶次方根是____，记作______. 新知讲授 3. 根式的概念： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 根式 被开方数 根指数 探究3：根式的运算性质 （1）_______; _______. （2）_______; _______. 新知讲授 新知讲授 4. 根式的运算性质： （1）. （2）当为奇数时，. 当为偶数时，. 巩固练习 【例题讲解1】 计算下列各式的值： ①_________； ⑤___________ . ②_________； ③_________； ④___________ . 探究4：分数指数幂的概念 当时，根据次方根的定义和数的运算： （1） （2） 新知讲授 探究4：分数指数幂的概念 当 时： （1） （2） （3） （4） 新知讲授 新知讲授 5. 分数指数幂的概念： （1）规定正数的正分数指数幂： （2）规定正数的负分数指数幂： （3）0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂_________. 0 没有意义 新知讲授 6. 有理数指数幂的运算性质： （1）_____ ; （2）____ ; （3）______ . 巩固练习 【例题讲解2】 求值： （1）； （2）； （3）. 课堂小结 一、知识小结： 1.n次方根的定义和性质 2.根式的定义和性质 3.分数指数幂 4.有理数指数幂的运算性质及运用 课堂小结 事实上，分数指数幂是根式的一种新的表示方法，其表示的简洁性、运算的便捷性都优于根式。用分数指数幂来表示根式不仅简化了运算，而且将根式与幂之间建立了更加紧密的联系。 思考： 数学家们用分数为指数的幂来表示根式；在上一章学习幂函数时，我们也将记作，这样做的意义是什么呢？ 限时训练 ①； ② ； 练习：计算下列各式的值： ③. 巩固练习 题型一 根式的化简与求值 化简下列各式： （1） ； （2），其中 . 巩固练习 题型二 实数指数幂的运算 1.计算下列各式： （1） ； （2） ; （3） . （4） . 巩固练习 1. 已知 ，则 ① ____； 题型三 整体代换法求分数指数幂 ② _____； ③ ____. 2. 已知,，则 ___. 3.已知,,且,求 的值. 谢谢聆听！ $