抛物线定义与性质、以抛物线为背景的面积问题、定点问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

抛物线定义与性质、以抛物线为背景的面积问题、定点问题专项训练 抛物线定义与性质、以抛物线为背景的面积问题、定点问题专项训练 考点目录 抛物线定义与性质 以抛物线为背景的面积问题 以抛物线为背景的定点问题 考点一 抛物线定义与性质 例1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中·多选）抛物线上点处的切线分别交、轴于、，抛物线焦点为，交抛物线于异于点的.则以下说法正确的有（    ） A．为中点 B．一定为等腰三角形 C．若，则的斜率为 D．若在准线上，则 例2．（25-26高二上·安徽合肥·期中·多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（   ） A． B． C． D．以为直径的圆与相切 例3．（25-26高二上·河北·期中·多选）已知抛物线的焦点为，，为抛物线上不同的两点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B．若的中点横坐标为2，则直线的斜率为 C．直线的方程为 D．若、、三点共线，则以为直径的圆一定与抛物线的准线相切 例4．（25-26高二上·河北唐山·月考·多选）已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，则（   ） A． B．若，则直线过定点 C．若，则直线的斜率为 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 变式1．（25-26高二上·湖南·期中·多选）过抛物线的焦点作直线与交于两点，为坐标原点，直线分别与的准线交于点，则（   ） A．的最小值为4 B． C．以为直径的圆过点 D．以为直径的圆过点 变式2．（25-26高二上·新疆·期中·多选）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点、是上两个动点，则（    ） A．的准线方程为 B．的最小值为 C．当直线过点时，直线和的斜率之积为定值 D．当直线与垂直时，直线过定点 变式3．（25-26高二上·陕西商洛·期中·多选）已知抛物线C：的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则下列结论正确的是（   ） A．抛物线C的方程为： B．抛物线C的准线方程为： C． D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切 变式4．（25-26高二上·江苏常州·期中·多选）已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（    ） A．当时， B．当时，抛物线在点处的切线方程为 C．以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D．经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 考点二 以抛物线为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆：的右焦点为，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值； (3)记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围. 例2．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 例3．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 例4．（25-26高二上·江苏扬州·期中）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积. 变式1．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. (1)求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 变式2．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 变式3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与拋物线交于两点（在第一象限）. (1)若直线的斜率为，求的面积. (2)若三角形的外接圆与曲线交于点（异于点）， （i）证明：的重心的横坐标为定值，并求出此定值； （ii）设的面积分别为，若，求直线的方程. 变式4．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 考点三 以抛物线为背景的定点问题 例1．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 例2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 例3．（25-26高二上·上海·期中）已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 例4．（2025·云南·模拟预测）已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 变式2．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知点到点的距离比它到直线的距离小． (1)求点的轨迹方程； (2)为坐标原点，点，在曲线上，设直线且. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线的斜率大于，且的面积为，求直线的方程. 变式3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，. (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点，直线，分别交于另两点，. ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 变式4．（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； 2 学科网（北京）股份有限公司 $抛物线定义与性质、以抛物线为背景的面积问题、定点问题专项训练 抛物线定义与性质、以抛物线为背景的面积问题、定点问题专项训练 考点目录 抛物线定义与性质 以抛物线为背景的面积问题 以抛物线为背景的定点问题 考点一 抛物线定义与性质 例1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中·多选）抛物线上点处的切线分别交、轴于、，抛物线焦点为，交抛物线于异于点的.则以下说法正确的有（    ）    A．为中点 B．一定为等腰三角形 C．若，则的斜率为 D．若在准线上，则 【答案】ABC 【详解】由题意可知，点不与原点重合. 设，设切线的方程为，其中. 联立可得，即. 由题意可得，解得. 此时直线的方程为，即. 对于A选项，在直线的方程中令可得，即点， 在直线的方程中令可得，即点， 故点为线段的中点，A对； 对于B选项，易知点，，， 所以，故， 又因为为的中点，所以，即为等腰三角形，B对； 对于C选项，抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，可得，则点坐标为,且，故， 当点时， 当点时， 综上所述，若，则的斜率为，C对； 对于D选项，当点在准线上时，点，则， 此时，D错. 故选：ABC. 例2．（25-26高二上·安徽合肥·期中·多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（   ） A． B． C． D．以为直径的圆与相切 【答案】AD 【详解】对于A：抛物线：，则，准线方程为，由，解得，故A正确； 对于B：由，即，解得，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：设，则，设的中点为，过作准线的垂线段，垂足分别为， 则，， 由梯形中位线定理知， 所以以为直径的圆与准线相切，故D正确.    故选：AD 例3．（25-26高二上·河北·期中·多选）已知抛物线的焦点为，，为抛物线上不同的两点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B．若的中点横坐标为2，则直线的斜率为 C．直线的方程为 D．若、、三点共线，则以为直径的圆一定与抛物线的准线相切 【答案】ACD 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 故抛物线的焦点到准线的距离为2，A正确； 直线的斜率，当的中点横坐标为2，有， 则直线的斜率为，故B错误； 由得直线的方程为， 即， 化简得，故C正确； 分别过两点作，垂足分别为， 设弦的中点为，作，垂足为，则， 故以为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故D正确． 故选：ACD． 例4．（25-26高二上·河北唐山·月考·多选）已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，则（   ） A． B．若，则直线过定点 C．若，则直线的斜率为 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ABD 【详解】对于A，根据抛物线的定义得，解得，所以抛物线，，故A正确； 对于B，因为直线，，的斜率必存在，设直线的方程为，，， 联立方程消去得，则，，，因为， 所以， 解得，满足，所以直线过定点，故B正确； 对于C，因为，所以直线过焦点，且， 设直线的倾斜角为，当在第一象限时，如图，过点，分别向准线作垂线段，， 过点向作垂线段，设，则，，， 则，，，， 当在第二象限时，同理可得，所以直线的斜率为，故C错误； 对于D，因为线段的垂直平分线为，所以外接圆圆心的纵坐标为，所以外接圆半径为，故D正确. 故选：ABD. 变式1．（25-26高二上·湖南·期中·多选）过抛物线的焦点作直线与交于两点，为坐标原点，直线分别与的准线交于点，则（   ） A．的最小值为4 B． C．以为直径的圆过点 D．以为直径的圆过点 【答案】BC 【详解】对于，由题得，设直线的方程为，与联立， 得，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，抛物线C的准线方程为，设，由， 得. 所以，即，故B正确； 对于C，由上述分析知，同理有， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以为钝角，点在以为直径的圆内，故D错误． 故选：BC.    变式2．（25-26高二上·新疆·期中·多选）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点、是上两个动点，则（    ） A．的准线方程为 B．的最小值为 C．当直线过点时，直线和的斜率之积为定值 D．当直线与垂直时，直线过定点 【答案】ABD 【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，A对； 对于B选项，设点，则， 由抛物线的定义可得，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为，B对； 对于C选项，设点，若直线与轴不重合时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 易知点，设直线的方程为， 联立可得，，所以， 故，C错； 对于D选项，设直线的方程为， 联立可得，，所以， 若，则，解得， 此时直线的方程为，故直线过定点，D对. 故选：ABD. 变式3．（25-26高二上·陕西商洛·期中·多选）已知抛物线C：的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则下列结论正确的是（   ） A．抛物线C的方程为： B．抛物线C的准线方程为： C． D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切 【答案】ABD 【详解】因为抛物线的方程为，所以焦点为，准线方程为，如图： 因为在抛物线上，所以，所以. 又或（舍去）. 故. 所以抛物线的方程为：，准线方程为：，故AB正确； 当运动到点时，，所以并不恒成立，所以C错误； 对D：取的中点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，分别交轴于. 所以， 所以以AF为直径的圆与x轴相切，故D正确. 故选：ABD 变式4．（25-26高二上·江苏常州·期中·多选）已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（    ） A．当时， B．当时，抛物线在点处的切线方程为 C．以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D．经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 【答案】ACD 【详解】对于A选项：抛物线的焦点，准线， 由焦半径公式可知， 若，则，解得，A正确； 对于B选项：当时，，则点，由题意知切线斜率存在且不为， 设切线斜率，则切线方程为：， 联立直线与抛物线：消得： 因为直线与抛物线相切 所以 解得：， 所以切线方程为：,B错误； 对于C选项：以为圆心且与轴相切的圆，半径为，圆的方程为. 联立抛物线方程，解得,, 所以圆与抛物线仅有一个公共点,C正确； 对于D选项：由题意知直线：，则, 又， 所以，点， 所以直线：，化简得：， 联立直线与抛物线得：消得： 解得 所以， 所以，点到直线：的距离， 所以的面积为，D正确. 故选：ACD. 考点二 以抛物线为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆：的右焦点为，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值； (3)记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）依题意，得，则， 故椭圆的方程为. （2）    由椭圆的方程可知. 若直线的斜率不存在，则直线，易得，， 直线的方程为， 的方程为 令，易得，，此时、两点的纵坐标之积为. 若直线的斜率存在，则可设直线：， 由消去可得. 设，，则，， ∵直线的方程为令，易得点的纵坐标. 同理，点的纵坐标. 所以 . 综上，、两点的纵坐标之积为定值. （3）由题意，抛物线的方程形如，为其焦点，故， 则抛物线的方程为，设 设，记点， 则直线的斜率为，可设其方程可为， 由消去可得 由韦达定理，，∴，则. ∵的重心在轴上，∴，即， 解得，从而，则得， 由则得. 进一步可得直线的斜率为， 则其方程为：，令，可得， 又在焦点的右侧，∴，即. 因此 当（注意到），即时，取等号， 即有，当时， 故的取值范围为. 例2．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）∵， ∴，则； （2）设直线方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 则， 即； （3）设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 设，，的方程为， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以，，则，同理得， ∴. 例3．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【答案】(1)； (2)①；②. 【详解】（1）由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； （2）①易得的斜率不为0，设，，， 由，得，得，故，纵坐标的乘积为. ②由， 所以，则，故的斜率为. 例4．（25-26高二上·江苏扬州·期中）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积. 【答案】(1)标准方程为.准线方程为 (2) 【详解】（1）由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. （2） 由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 变式1．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. (1)求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 【答案】(1)抛物线，焦点坐标； (2) 【详解】（1）由抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5， 则抛物线，焦点坐标； （2） 过焦点作斜率为2的直线方程为：， 与抛物线联立方程组，消得：， 设，则， 则， 又点到直线的距离为：， 所以的面积为. 变式2．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】(1)， (2)8 【详解】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵ 同理，联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵，∴ 又∵ ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 变式3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与拋物线交于两点（在第一象限）. (1)若直线的斜率为，求的面积. (2)若三角形的外接圆与曲线交于点（异于点）， （i）证明：的重心的横坐标为定值，并求出此定值； （ii）设的面积分别为，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）为定值0  （ii）或. 【详解】（1）∵，∴， 联立，整理得， 设，则， 所以， 原点到直线的距离， ∴.      （2）（i）设， ∵四点共圆，设该圆的方程为， 联立，则， 即， ∴是方程的三个根， 则， ∵， ∴， ∴的重心的横坐标为，为定值.    （ii）显然直线的斜率存在且不为0，设直线， 原点到直线的距离，点到直线的距离， ∵，， ∴， 联立方程组，整理得， ∴，， 由（i），∴ 所以， 即，∴，即， 即直线或. ∴直线的直线方程为：或. 变式4．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）设，， 则 ， 由，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 考点三 以抛物线为背景的定点问题 例1．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形，    由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 例2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）因抛物线，得，准线，焦点. 由点的坐标为得，点的坐标为， 由抛物线的定义可知，6，解得， 因为在上，所以，所以， 故. （2）显然直线的斜率不为0，且过焦点，设直线的方程为，. 联立整理得， 则， 因且点与点关于轴对称，得， 所以 . 又，所以，整理得，，解得. 又， 由抛物线的定义得 所以.    （3）证明：由在抛物线上，再（2）知. 所以， ①当点在第一象限内，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ②同理当在第四象限时，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以也过定点， 综合①②，故直线恒过定点. 例3．（25-26高二上·上海·期中）已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见详解，定点坐标为； (3)证明见详解，定点坐标为. 【详解】（1）设动圆圆心为，依题意可得， 整理得， 所求动圆圆心的轨迹的方程是. （2）易知直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，得， 则，， 由题意知，， 即， 利用韦达定理代入得，整理得， 因为直线不过原点，故，所以， 即直线方程为，过定点. （3）证明：设，，由题意得（否则，且，， 所以直线的斜率存在，设其方程为， 显然，．即，， 把代入得， 由韦达定理知，，， 由得 韦达定理代入上式，整理化简得，， 此时，直线的方程可表示为：，即， 令，解得， 直线恒过定点． 例4．（2025·云南·模拟预测）已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，得，， 则①，②， ②-①，得，即， 所以的标准方程为. （2）将点代入的方程，得，所以，即点. 设，，其中，，且. 因为，所以， 即， 整理，得，所以. 直线的方程为， 即， 所以当时，，所以直线恒过定点. 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 变式2．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知点到点的距离比它到直线的距离小． (1)求点的轨迹方程； (2)为坐标原点，点，在曲线上，设直线且. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线的斜率大于，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【详解】（1）由点到点的距离比它到直线的距离小， 则点到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线定义可知，点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线， 即点的轨迹方程为； （2）（i）设、， ，消去，有， ，，， 则， 即 ， 解得，则直线，故直线过定点； （ii）点到直线的距离， ， 则， 化简得，则，又直线的斜率大于，则，故， 则直线的方程为，即. 变式3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，. (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点，直线，分别交于另两点，. ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 因为点在上且，所以，解得， 所以抛物线的方程为. （2）①由（1）知，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意. 设直线的方程为，设. 联立得，， 因此，. 又，所以， 故当时，的面积最小，且最小值为； ②由题意直线也不与轴重合，设、， 设直线的方程为，联立得， 则，因此，，则，同理可得. 所以. 因此直线的方程为， 由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以直线过定点. 变式4．（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设点的横坐标分别为，，由的中点到轴的距离是2，得，即， 由抛物线的弦过其焦点，得，解得， 所以抛物线的方程是. （2）设，则，设直线的方程为， 由得， 则，， . 将替换，得.当时，， 则直线的方程为，即， 当时，，当时，.过定点， 故直线过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $