第二十二章二次函数专项训练：二次函数与一元二次方程、线段与周长问题、以二次函数为背景的新定义问题-2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数与一元二次方程、线段与周长问题、以二次函数为背景的新定义问题专项训练 二次函数与一元二次方程、线段与周长问题、以二次函数为背景的新定义问题 专项训练 考点目录 二次函数与一元二次方程 线段与周长问题 以二次函数为背景的新定义问题 考点一 二次函数与一元二次方程 例1．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，顶点为．对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．②③⑤ 例2．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（   ）个． ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，随增大而减小． A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）二次函数（）的图像如图所示，下列结论：；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例4．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论①；②；③多项式可因式分解为；④对于任意实数m，满足．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例5．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图是抛物线部分图象，其对称轴是直线，且经过点，则下列说法：①当时，y随x的增大而增大；②；③；④当时，，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 变式1．（25-26九年级上·新疆·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 变式2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知二次函数． 的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．此二次函数的最大值是 变式3．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论中：①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，⑥抛物线图像上有任意两点，若，则，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式4．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是给出下列命题：①；②；③的两根分别为和1；④，其中正确的命题是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 变式5．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二 线段与周长问题 例1．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 例2．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线过，两点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，是线段上的动点． (1)求直线及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段的长度l与m的关系式，m为何值时，最长？ 例3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍． ①求点P的坐标． ②抛物线的对称轴上有一动点Q，求的周长最小值． 例4．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 变式1．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线与轴的交点坐标； (2)点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线与直线交于点． ①若，，求的长； ②点在抛物线上运动过程中，线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 变式2．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． (1)若，求点的坐标； (2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 变式4．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点． (1)求A、B的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线的对称轴上求一点P，使得的周长最小，并求出最小值． 考点三 以二次函数为背景的新定义问题 例1．（25-26九年级上·江西赣州·期中）【学习研究】定义：若变量、满足（是正整数常数），则称是的“方函数”．此时若变量满足（是整数常数），则称是的“倍方函数”．例如：的“1方函数”为的“2倍1方函数”为． 【初步思考】 （1）写出自变量的“2倍2方函数”是_____． 【尝试应用】 （2）已知函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，该函数与轴交于点，与坐标系横轴右侧交点为，垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，与直线交于点． ①请写出的表达式： ②若，请结合函数的图象，求的取值范围． 【拓展提高】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，函数是的“倍2方函数”、“倍1方函数”与“（是常数）”的和．且其顶点在第一象限角平分线上，函数与四边形的图形有4个交点时，请直接写出的取值范围． 例2．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点． (1)求抛物线的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； (2)若抛物线经过点． ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； (3)若抛物线在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围． 例3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有相同的交点、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、． (1)求抛物线的解析式和点G的坐标； (2)点M是x轴下方抛物线上的点，过点M作轴于点N，交抛物线于点D，求线段与线段的长度的比值； (3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接，在轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标； (4)二次函数与二次函数组成新函数．当时，图象的最高点到x轴的距离为m，最低点到x轴的距离为n，若，求t的值或取值范围． 例4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）新定义：我们把抛物线与成为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； (1)抛物线的友好抛物线的解析式为______，“友好抛物线”的顶点坐标为______． (2)若抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式． (3)已知抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴； ②当时，y的最大值是4，求的值． 变式1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 变式2．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） (1)若该函数经过点，求该函数表达式； (2)在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围． 变式3．（2025·辽宁铁岭·二模）已知是的函数，其图象记为，定义函数为的级“递美函数”， 的函数图象是将函数的图象整体向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，图象记为，其中叫作“递美级数”．例如：函数，其1级“递美函数”为 ，“递美级数”为1． (1)求函数的2级“递美函数”的解析式． (2)判断是否存在函数的“递美函数”的函数图象经过原点．若存在，求出“递美级数”的值；若不存在，请说明理由． (3)已知函数 的图象经过点，其5级“递美函数” 的图象经过点， ①求的函数解析式； ②若记函数，且满足，求的值； ③在②的条件下，函数与函数的图象交于三点，从左到右依次记为，请直接写出的值． 变式4．（2025·湖南长沙·一模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”． (1)求直线上的“倍点”的坐标； (2)已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，，设，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，，，且满足，，求m的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数与一元二次方程、线段与周长问题、以二次函数为背景的新定义问题专项训练 二次函数与一元二次方程、线段与周长问题、以二次函数为背景的新定义问题 专项训练 考点目录 二次函数与一元二次方程 线段与周长问题 以二次函数为背景的新定义问题 考点一 二次函数与一元二次方程 例1．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，顶点为．对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．②③⑤ 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故③正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间， ∴当时，， 又， ∴，故②错误； 根据函数图象可知，当时，的值有正有负，故④错误； ∵抛物线与直线的交点关于对称， 设的两根为,根据对称性可得，则， 同理的两根和为， ∴若方程有四个根， 这四个根的和为．故⑤正确； 综上，①③⑤正确； 故选：C． 例2．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（   ）个． ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，随增大而减小． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为，与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，，即，， ∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，，故③正确； ④根据抛物线图象可得，当时，随增大而减小，故④正确； 故正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 例3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）二次函数（）的图像如图所示，下列结论：；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：由图像可知：开口向下，即；抛物线与y轴交于负半轴，即，对称轴在y轴的右侧，即， ∴，即且，故⑤正确； ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于不同的两点， ∴，故②正确； 由图象可知：当时，则有，当时，则有，故③错误，④正确； 综上所述：正确的有②④⑤，共3个； 故选B． 例4．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论①；②；③多项式可因式分解为；④对于任意实数m，满足．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，交y轴的正半轴， ∴，，， 则， 故①正确； ∵该函数图象经过点，对称轴为直线， ∴该函数图象与轴的另一个交点为， ∴，即， 故②正确； ③∵该函数图象与轴的交点为，， ∴， 即多项式可因式分解为， 故③正确； 根据图象知，当时，y有最大值； 当m为实数时，有， 所以（m为实数）， 故④错误； 综上所述，正确的是①②③，一共有3个． 故选：C． 例5．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图是抛物线部分图象，其对称轴是直线，且经过点，则下列说法：①当时，y随x的增大而增大；②；③；④当时，，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，则，故②正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过点， ∴将代入，则，故③正确； ∵抛物线开口向上，且与轴交点为， ∴当时，，故④错误， ∴正确的有②③， 故选：B． 变式1．（25-26九年级上·新疆·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵，对称轴是直线， ∴函数在时取最大值，即当时，，即， ∴①正确， ∵且， ∴，即：， ∴②正确， 设，对称轴是直线， ∴，，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴将代入中，得， ∴， ∴③正确， ∵，，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点在抛物线的对称轴上，且， ∴当点在上方时，过点作轴，连接，如下图所示： ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，即：， ∴， ∴④不正确， 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知二次函数． 的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．此二次函数的最大值是 【答案】D 【详解】解：二次函数图象开口向下， ∴， 二次函数对称轴直线为， ∴， 二次函数与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∴，故B选项错误，不符合题意； 的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴当时，，故C选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为，图象开口向下， ∴当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，， ∴，则， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 变式3．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论中：①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，⑥抛物线图像上有任意两点，若，则，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴对称轴，即， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， 与 轴交于正半轴， ∴， ∴，故②错误； 方程，即， ∵顶点， ∴直线与抛物线相切， ∴有两个相等实数根，故③正确； ∵对称轴，一个交点， ∴另一交点横坐标为，即，故④错误； 当时，抛物线在直线上方， ∴，故⑤正确； ∵抛物线开口向下，对称轴， 当 时，随增大而减小， 取，则，与矛盾，故⑥错误； ∴ 正确结论有①③⑤，共3个． 故选：B． 变式4．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是给出下列命题：①；②；③的两根分别为和1；④，其中正确的命题是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】C 【详解】解：时，， ， 所以①正确； ， ， 所以②错误； 点关于直线对称的点的坐标为， 抛物线与x轴的交点坐标为和， 的两根分别为和1， 所以③正确； 由图可知当时，， 所以④错误． 故选：． 变式5．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①对称轴位于y轴的右侧，则异号，即． 抛物线与y轴交于正半轴，则． 故①正确； ②当时，，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线， 时， ， ，故③正确； ④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是． ∴当时，，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 故选：D． 考点二 线段与周长问题 例1．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)周长的最小值为 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 例2．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线过，两点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，是线段上的动点． (1)求直线及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段的长度l与m的关系式，m为何值时，最长？ 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)当时，线段的长度有最大值 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴拋物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴当时，线段的长度有最大值． 例3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍． ①求点P的坐标． ②抛物线的对称轴上有一动点Q，求的周长最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：∵二次函数过，两点，则， ∴， 解得， ∴； （2）解：①过点P作垂直x轴于E，则， ∵． ∴，即， ∵， ∴， 令， 解得，（P在第二象限舍去）， ∴； ②∵抛物线与x轴相交于A、B两点， ∴令， 解得，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴A点与B点关于对称轴对称， ∵点Q在对称轴上运动， ∴直线与对称轴交点为Q，此时最小； ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴周长的最小值为． 例4．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)6 (3)线段最大为． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵，在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则，解得， ∴， ∴的面积； （3）解：设动点P的坐标为，则C点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段最大为． 变式1．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线与轴的交点坐标； (2)点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线与直线交于点． ①若，，求的长； ②点在抛物线上运动过程中，线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)；抛物线与轴的交点坐标为， (2)①；②或 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得， 解得； 令， ∵， ∴， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）①解：若，则抛物线的表达式为，直线的表达式为． ∵是抛物线上一动点， 当时，， ∴， ∵轴与直线交于点． ∴， ∴； ②解：由（1）可得， ∴抛物线解析式为， ∵点， ∴， ∵轴与直线交于点． ∴ 当在的上方时，即， 解得：或 ∴ ∵， ∴当时，线段的长度随的增大而减小， ∴时，线段的长度随的增大而减小， 当在的下方时，即， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度随的增大而减小， ∴时，线段的长度随的增大而减小， 综上所述，或时，线段的长度随的增大而减小. 变式2．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， ． （2）解：当时，， ，． 如图，连接，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为． 点是轴上一点，点，两点关于轴对称， ． ． 当点在直线上时，取得最小值． 当时，， ． 变式3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． (1)若，求点的坐标； (2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 【答案】(1)点C的坐标为或或或； (2)13 【详解】（1）解：令得，或6， ∴，即， ∴， 解得， 当时，即， 解得， ∴或； 当时，即， 解得或4， ∴或； 综上，点C的坐标为或或或； （2）解：设点， ∴． 又抛物线的对称轴是直线， ∴C的横坐标为． ∴． ∴矩形的周长． ∴当时，周长L有最大值13． 故答案为：13． 变式4．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点． (1)求A、B的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线的对称轴上求一点P，使得的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：对于直线， 令，得到；令，得到， 则，； （2） 由，，设抛物线解析式为， 把代入得：，即， 则抛物线解析式为； 抛物线解析式为 （3）连接，与抛物线对称轴交于点，连接， 由对称性得，此时周长最小， 由抛物线解析式，得到对称轴为直线， 设直线解析式为， 将，代入得：， 解得：，，即直线解析式为， 联立得：， 解得：， 即， 根据两点间的距离公式得： ，， 则， 周长为． 周长最小值为 考点三 以二次函数为背景的新定义问题 例1．（25-26九年级上·江西赣州·期中）【学习研究】定义：若变量、满足（是正整数常数），则称是的“方函数”．此时若变量满足（是整数常数），则称是的“倍方函数”．例如：的“1方函数”为的“2倍1方函数”为． 【初步思考】 （1）写出自变量的“2倍2方函数”是_____． 【尝试应用】 （2）已知函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，该函数与轴交于点，与坐标系横轴右侧交点为，垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，与直线交于点． ①请写出的表达式： ②若，请结合函数的图象，求的取值范围． 【拓展提高】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，函数是的“倍2方函数”、“倍1方函数”与“（是常数）”的和．且其顶点在第一象限角平分线上，函数与四边形的图形有4个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【详解】解：（1）根据定义：“倍方函数”为． 代入，，得： ． 故答案为：； （2）①∵函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，     ∴； ②令，得， ∴， 令，得， 解得， ∵与坐标系横轴右侧交点为， ∴， 设解析式为，代入，， ， 解得， ∴解析式为， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴直线在抛物线顶点上方， ∵顶点坐标为， 当，时代入， ， 此时 ∵与直线交于点，且， ∴直线在P点下方， 当时，代入，得， ∴此时， ∴， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴关于抛物线对称轴对称， ∴， ， ∴， ∴； （3）由题意，函数解析式为， 且其顶点在第一象限角平分线上， 故抛物线解析式也可设为，即顶点坐标， ∵直线与线段交点为， 故当时，如图，抛物线与四边形的图形有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当抛物线过时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 将代入，得， 解得（舍） 故当时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 综上所述，当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 即， 即． 例2．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点． (1)求抛物线的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； (2)若抛物线经过点． ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； (3)若抛物线在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)顶点的坐标为； (2)①；②，，，，， (3)的取值范围为或． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：①∵抛物线经过， ∴，解得； ∴抛物线的表达式o ②对于：， 令得，， 解得，， ∴点，点． 当时，， ∴，两个整点在“U区域”； 当时，， ∴，两个整点在“U区域”； 当时，， ∴，两个整点在“U区域”； （3）解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 当时，如图1所示， 此时有，解得； 当时，如图2所示， 此时有，解得； 综上，如果“U区域”内仅有4个整点时，则的取值范围为或． 例3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有相同的交点、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、． (1)求抛物线的解析式和点G的坐标； (2)点M是x轴下方抛物线上的点，过点M作轴于点N，交抛物线于点D，求线段与线段的长度的比值； (3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接，在轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标； (4)二次函数与二次函数组成新函数．当时，图象的最高点到x轴的距离为m，最低点到x轴的距离为n，若，求t的值或取值范围． 【答案】(1)， (2)比值为2 (3)， (4)或 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，令，则， ∴． （2）解：设，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：存在点F，使得是以为腰的等腰三角形， 理由：由（1）知，的对称轴为直线， ∵E点与H点关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ①当时， ， 解得：，， ∴点F的坐标为或， ②当时， ，此时方程无解， 综上所述，点F的坐标为或． （4）解：由题意知，新函数由二次函数与二次函数组成， 由（1）知，二次函数解析式为， 如图，新函数的图象如图所示，其中当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，此时图象最低点为二次函数的顶点，其顶点为， ∴最低点到x轴的距离，则， ①当时， ∵，图象最高点与x轴的距离为m， ∴，即图象最高点到x轴的距离为8， ∴当时，，此时最高点在二次函数上， 将代入二次函数中， 得，解得，， ∵， ∴，即， ∴t的值为， ②当时， ∴， 当时，此时图象最高点到x轴的距离为0，说明该点在x轴上，即， 最低点仍为二次函数的顶点， ∴结合图象可得出当时，满足， 综上所述，或． 例4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）新定义：我们把抛物线与成为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； (1)抛物线的友好抛物线的解析式为______，“友好抛物线”的顶点坐标为______． (2)若抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式． (3)已知抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴； ②当时，y的最大值是4，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①抛物线C的对称轴为直线．②当时，y的最大值是4时，的值为或． 【详解】（1）解：抛物线的友好抛物线的解析式为， ∵， ∴“友好抛物线”的顶点坐标为， 故答案为：，． （2）解：∵抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同， ∴， ∵抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2， ∴抛物线的顶点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴抛物线M的解析式为：． （3）解：①∵抛物线（其中）的“友好抛物线”为， 而的顶点横坐标为， ∴顶点纵坐标为， ∵抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴抛物线C的对称轴为直线． ②∵， ∴抛物线， 当时，如图， ∵， ∴当时，函数取最大值4， ∴， 解得：， 当时，如图， ∴当时，函数取最大值4， ∴， 解得：， 综上：当时，y的最大值是4时，的值为或． 变式1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【答案】（1）①3；②81    （2），    （3）最优纵横值为 【详解】解：（1）①∵， ∴点的“纵横值”为3； 故答案为：3． ② 当时，随的增大而减小 当时，取得最大值81 函数（）的“最优纵横值”是81； （2）二次函数的对称轴为直线 ，解得 “最优纵横值”为3， ， （3） 当时，随时取最大值，即最大值为 “最优纵横值”是 当时，随时取最大值， 即最大值为 “最优纵横值”是 综上所述，最优纵横值为. 变式2．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） (1)若该函数经过点，求该函数表达式； (2)在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）①设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得， 整理得：， 解得， ∴“三倍点”坐标为； ②由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或 ∵， ∴； 综上，的值为或． （3）解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 综上，的取值范围为：． 变式3．（2025·辽宁铁岭·二模）已知是的函数，其图象记为，定义函数为的级“递美函数”， 的函数图象是将函数的图象整体向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，图象记为，其中叫作“递美级数”．例如：函数，其1级“递美函数”为 ，“递美级数”为1． (1)求函数的2级“递美函数”的解析式． (2)判断是否存在函数的“递美函数”的函数图象经过原点．若存在，求出“递美级数”的值；若不存在，请说明理由． (3)已知函数 的图象经过点，其5级“递美函数” 的图象经过点， ①求的函数解析式； ②若记函数，且满足，求的值； ③在②的条件下，函数与函数的图象交于三点，从左到右依次记为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)不存在函数的“递美函数”，满足的图象经过原点，理由见解析 (3)①；②或；③或 【详解】（1）解∶ 根据题意，得， 即． （2）解∶ 不存在．理由如下： 由，得， 若的图象经过原点，则，即，此时方程无解， 不存在函数的“递美函数”，满足的图象经过原点． （3）①解∶ 将点代入，得， ， 由题意，得，将点代入，得，解得， 函数的表达式为； ②解∶ 由①，得， 联立，解得， 函数，的交点的坐标为， 作出函数与的图象，如图 1 所示， 联立，得， 解得， 由图象可知交点在直线的左侧， ， 联立， 得，解得， 由图象可知交点在直线的右侧， ， 的值为或； ③解：当函数的图象经过点时，作出函数与函数的图象如图 2 所示，此时函数的表达式为，联立， 得，解得，， ， 根据勾股定理，得， ，； 当函数与函数只有一个交点时，作出函数与函数的图象，如图 3 所示． 联立，得，令，得， 此时方程有两个相等的根，即， ， 联立，得，解得，，， 由勾股定理，得，， 同理，， ，， 综上所述，的值为或． 变式4．（2025·湖南长沙·一模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”． (1)求直线上的“倍点”的坐标； (2)已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，，设，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，，，且满足，，求m的值． 【答案】(1)直线上的“倍点”的坐标为； (2)； (3)m的值为或． 【详解】（1）解：设直线上的“倍点”的坐标为， 根据“t倍点”的定义得，， 又点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴直线上的“倍点”的坐标为； （2）解：∵点，是抛物线上的两个“1倍点”， ∴，， 即，是方程的两个根，即， 由根与系数的关系得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 令， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 对于， ∵开口向上， ∴当时，； 当时，； 则； （3）解：使“倍点”的坐标为，则， 联立得， 解得或， ∴直线与抛物线的交点坐标为，， ∵， ∴顶点为，则就是抛物线的顶点， 设点关于的对称点为， ∴， ∴， ①当时，最多有两个实数根， ∴图象最多有两个“倍点”，不可能存在三个倍点”， ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去），； ③当时，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去），； 综上，m的值为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $