20.1锐角三角函数（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

20.1锐角三角函数 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 锐角三角函数知识点简单罗列要有小标题 锐角三角函数的性质 新课探索 锐角三角函数的增减性 讲义内容 求角的正弦值 已知正弦值求边长 求角的余弦值 题型练习 已知余值求边长 求角的正切值 已知正切值求边长 新 课 探 索 锐角三角函数的定义 在直角三角形中，设一个锐角为∠A,其对边为a,邻边为b,斜边为c。则∠A的正弦(sinA) 等于对边与斜边的比值，即sinA=是；余弦(cosA)等于邻边与斜边的比值，即cosA=号；正 切(tanA)等于对边与邻边的比值，即tanA=君。 锐角三角函数的性质 锐角三角函数值均为正值。对于同一个锐角，正弦和余弦值的平方和等于1，即sin2A+cos2A =1:正切值等于正弦值与余弦值的比值，即器。 锐角三角函数的增减性 当角度在o°到90°之间变化时，正弦值(sinA)随角度的增大而增大；余弦值(cosA)随角 度的增大而减小；正切值(tanA)随角度的增大而增大。 题 型 练 习 求角的正弦值 1.在ABC中，∠C=90°，BC=2,AB=3,则sinA的值是() B.25 c.⑤ D.2f3 5 3 13 2.如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为6,8)，且OP与x轴正半 轴的夹角为a,则∠a的正弦值是() P(6,8) a A月 c D. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍，则 sinA的值() A B A.不变 B。缩小为原来的4倍 C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,AB=3,那么∠B的正弦值是() B B. 2 c. 3 D.5 5.如图，ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠A的值为() B A. 6 5 B. 6 C.34 D. 5v61 3 61 己知正弦值求边长 6在Rt△48C中，∠C=90,4C=4,sinB=号，则B的值是() A.5 B.9 C.6 D.3 7.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE⊥CD交DC的延长线于点E.若 B=2,BD=5.Sin∠BDC:则OE的长为C D A. B.1 C.2 D.5 8.在Rt△ABC中，斜边AB的长为m,∠A=35°，则直角边BC的长是() A.msin35 B.m cos35 C.m D.- sin350 0s350 9,如图，在4BC中，AB=AC=5,sin☑ACB则BC的长是( C A.3 B.6 C.8 D.9 10.如图，市政府准备修建一座高AB为6m的过街天桥，己知∠ACB为天桥的坡面AC与 地面BC的夹角，且sim乙ACB=,则坡面4C的长度为C○ A.6m B.8m C.10m D.12m 求角的余弦值 11.如图，在ABC中，三边AC,BC,AB满足AC:BC:AB=3:4:5,则cosB等于() B A B c D. 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,BC=3,AC=4,则 cos∠DCB的值为() D B c3 D 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠B的余弦值(). A.不变 B.扩大2倍 C.扩大4倍 D.缩小2倍 14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,AC=1,那么cosB的值是() A号 B. 2 C. D.2 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3,AC=1,CD⊥AB于D,设LACD=a,则 cosa的值为() D A. 2V2 B.② 1 3 2 C.2√5 D. 3 已知余值求边长 16.如图，R1s8C中，∠C=90,点D在4C上，∠D8C=∠A若4C=8,c0s4-专，则 BD的长度为() D 9 A. B. D.4 2 17.如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕CB与键盘BA所成夹角为110°，若屏幕CB的长度 为30cm,则上方边界C处到桌面的距离CD为() D-B A A.30sin30°cmB.30cos20°cmC.30tan30°cm D.30 cos20°cm 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,cosB=,则BC的长为() B A.4.5 B.5 C.4 D.35 19.如图所示，电线杆CD的高度为5米，两根拉线AC与BC交于点C,A,D,B在同一条直 线上，∠CAB=a,则拉线AC的长度为() C &mb点点 AC A.5sina米 B.5米 c.5米 D.5tana米 cosa sina 20.如下图所示，在矩形ABCD中，DE14C于点E,设∠4DE=a,且cosa=3 AB=4,则AC的长为() B C A.3 B.16 D.3 0 5 求角的正切值 21.如图， ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是() B c.3 4 A. D.2 22.如果把一个Rt△ABC的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值() A.扩大2倍B.保持不变 c.箱小到原来的) D.以上都有可能 23.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5,那么tanA的值是() B c. 已知正切值求边长 24,在RtABC中，已知∠ACB=90,anB=子，4AC=4,那么BC的长是() A.6 B.3 C.25 D.5 25.如图，在ABC中，若LB=90°，tanC=√2，BC=3,则AB的值估计在() A.3到4之间B.4到5之间 C.5到6之间 D.6到7之间 26.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6,BD平分∠ABC,分别以A,D 为圆心，大于D的长为半径画弧，两弧交于点F,G,作直线FG交4C于点E.连接BE ,则BE的长为() B A.5 B.6 C.6W3 D.√2I 27.如图，在48C中，C=0,若8=而，an8-号，则8C=〔) A Ch B A.1 B.2 C.3 D. 3 28.如图，AD是ABC的高.若BD=2CD=4,tanC=3,则ABC的面积为() y d B D C A.12 B.18 C.24 D.36 20.1锐角三角函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 锐角三角函数的定义 在直角三角形中，设一个锐角为∠A，其对边为a，邻边为b，斜边为c。则∠A的正弦（sinA）等于对边与斜边的比值，即sinA=；余弦（cosA）等于邻边与斜边的比值，即cosA=；正切（tanA）等于对边与邻边的比值，即tanA=。 锐角三角函数的性质 锐角三角函数值均为正值。对于同一个锐角，正弦和余弦值的平方和等于1，即sin²A + cos²A = 1；正切值等于正弦值与余弦值的比值，即 。 锐角三角函数的增减性 当角度在0°到90°之间变化时，正弦值（sinA）随角度的增大而增大；余弦值（cosA）随角度的增大而减小；正切值（tanA）随角度的增大而增大。 型 习 练 题 求角的正弦值 1．在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即． 【详解】解：， ， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过P作轴于H，由P的坐标，得到，，结合勾股定理列式计算得，由锐角的正弦定义进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过P作轴于H， ∵P的坐标是， ∴，， 则， ∴， 即的正弦值是． 故选：C． 3．如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦等于对边比斜边是解题的关键． 求出扩大前后的值即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 如果把的各边都扩大为原来的4倍， ∴， ∴的值不变． 故选：A． 4．如图，在中，，那么的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键． 根据锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 故选：A． 5．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求正弦，勾股定理， 先画出图形，再根据勾股定理求出，然后根据正弦定义求解. 【详解】解：标注点D，， 根据勾股定理，得， ∴. 故选：D. 已知正弦值求边长 6．在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 7．如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 8．在中，斜边的长为，，则直角边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义解答即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故选：． 9．如图，在中，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质；过A作于D，则，根据等腰三角形的性质可得，根据三角函数可得，再根据勾股定理可得，进而可求． 【详解】解：过A作于D，则， ，， ， ， ，， ， 故选：． 10．如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：，即坡面的长度为． 故选：C． 求角的余弦值 11．如图，在中，三边，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数． 先判断三角形的形状，再根据，求解即可． 【详解】解：∵， 令， ， ， ∴是直角三角形， ， 故选：C． 12．如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数．先由勾股定理求出的长，再由，可得的长，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B 13．在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值（    ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，根据将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍后，变化后的三角形和原三角形相似，的度数不变，即可得出结果． 【详解】解：∵将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍，变化后的三角形和原三角形相似， ∴的度数不变， ∴的余弦值不变； 故选A． 14．在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，求余弦值． 根据勾股定理求出，进而可求出的值． 【详解】∵在中，， ∴， ∴， 故选：B． 15．如图，在中，于，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的余弦值，先利用勾股定理求出的长，进而求出的值，再证明即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 已知余值求边长 16．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 17．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 18．如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 19．如图所示，电线杆的高度为5米，两根拉线与交于点在同一条直线上，，则拉线的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数定义成为解题的关键．根据锐角三角函数的定义解直角三角形即可解答． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴，即， 解得：米． 故选：C． 20．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义．根据同角的余角相等求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵矩形中，， ， ， ， ， 故选：D． 求角的正切值 21．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，连接构造直角三角形是解决本题的关键． 连接格点、，在中求出的正切值． 【详解】解：如图，连接格点、， 在中，． 故选：C． 22．如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大2倍 B．保持不变 C．缩小到原来的 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 23．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义．先利用勾股定理求，再根据正切定义求即可．熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴ 由勾股定理，， ． 故选：A． 已知正切值求边长 24．在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【详解】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 25．如图，在中，若，，，则的值估计在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，无理数的估算，根据正切的定义得到，则，再根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵在中，若，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值估计在4到5之间， 故选：B． 26．如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据基本作图，得垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义，熟练掌握性质是解题的关键． 27．如图，在中，，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正切函数的定义及勾股定理，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 设，根据正切的定义得出，再根据勾股定理即可得出的值，进而可得出的值． 【详解】解：设， ， ， 在中，， 即， 解得：（负值舍去），即， ， 故选：C． 28．如图，是的高．若，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形与三角形的高，证明，由可得，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，是的高， ∴， ∵，， ∴，， ， ， ∴的面积为． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $