20.1 锐角三角函数（ 定义概念 题型提分练）数学北京版九年级上册

20.1锐角三角函数 同步练习 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∴cosB． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握余弦的定义是解决问题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8．则sinA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：在直角△ABC中，AB17， 则sinA． 故选：A． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，AB＝2，则AC长是（　　） A． B． C． D．2 【分析】根据∠A的正弦值得到BC的长，进而利用勾股定理得到AC长即可． 【详解】解：∵∠C＝90°，sinA，AB＝2， ∴BC＝AB×sinA＝2， 由勾股定理得：AC． 故选：A． 【点评】此题考查锐角三角函数的定义的相关知识；掌握一个锐角的正弦值是这个角在直角三角形中的对边与斜边之比是解决本题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（　　） A．sinB B．cosA C．tanB D．cosB 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得， AC5， 所以sinB，cosA，tanB，cosB， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，， 则． 故选：B． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键． 6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列三角比的值是的是（　　） A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA 【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的区别． 7．若在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由勾股定理求出BC的长度，再根据求解决即可． 【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理和余弦定义是解题的关键． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（　　） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA”求解． 【详解】解：∵∠C＝90°， ∴sinA＝∠A的对边与斜边的比， ∵△ABC的三边都扩大5倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴sinA的值不变． 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键． 9．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，则t的值为　3　． 【分析】根据点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，可以求得t的值． 【详解】解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα， ∴tanα． 解得t＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是明确锐角三角函数的定义和第一象限点的特点． 10．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 　　． 【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可． 【详解】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上， ∴a5， ∵PH⊥x轴于H， ∴PH＝5，OH＝12， ∴tan∠POH， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cosA＝　　． 【分析】根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数定义求出即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC6， cosA， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝4，c＝5，则tanA＝　　． 【分析】利用勾股定理列式求出b，再根据锐角的正切等于对边比邻边解答． 【详解】解：∵∠C＝90°，a＝4，c＝5， ∴根据勾股定理得，b3， ∴tanA． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边． 13．已知锐角A与锐角B的余弦值满足cosA＜cosB，则∠A与∠B的大小关系是：　∠A＞∠B　． 【分析】根据锐角余弦值随着角度的增大而减小得出答案． 【详解】解：∵锐角A与锐角B的余弦值满足cosA＜cosB， ∴∠A＞∠B． 故答案为∠A＞∠B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 14．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．如果关于x的方程3x2sinα﹣4xcosα+2＝0有实数根，那么锐角α的取值范围是　0＜α≤30°　． 【分析】利用方程有实根判别式大于或等于零可得出关于α三角函数值的方程，然后利用因式分解的知识进行判断可得出sinα的取值范围，从而可解得答案． 【详解】解：由Δ＝16cos2α﹣24sinα＝16（1﹣sin2α）﹣24sinα≥0得：2sin2α+3sinα﹣2≤0， ∴（sinα+2）（2sinα﹣1）≤0． 又∵sinα+2＞0， ∴． 故答案为：0＜α≤30°． 【点评】本题考查了根的判别式及锐角三角函数的增减性，难度一般，关键是根据判别式的关系得出sinα的取值范围． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值． 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC8， 所以sinA，cosA，tanA． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，注意：已知△ACB中，∠C＝90°，那么sinA，cosA，tanA． 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件求出∠A和∠B的正弦、余弦的值： （1）a＝1，b； （2）b，c＝4． 【分析】（1）由a与b的长，利用勾股定理求出c的长，再根据锐角三角函数的定义计算即可； （2）由b与c的长，利用勾股定理求出a的长，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：（1）∵a＝1，b， ∴c2， ∴sinA，cosA，sinB，cosB； （2）∵b，c＝4， ∴a5， ∴sinA，cosA，sinB，cosB． 【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，理解锐角三角函数的意义，掌握勾股定理是得出正确答案的前提． 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a，b，c满足等式5a﹣3c＝0，求sinB的值． 【分析】由5a﹣3c＝0，令a＝3x，c＝5x，由勾股定理得到b4x，于是得到sinB． 【详解】解：∵5a﹣3c＝0， ∴， ∴令a＝3x，c＝5x， ∵∠C＝90°， ∴b4x， ∴sinB． 【点评】本题考查锐角的正弦，关键是掌握锐角的正弦定义． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA．当c＝2，a＝1时，求cosA． 【分析】根据勾股定理求出b，根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：∵∠C＝90°，c＝2，a＝1， ∴b， ∴cosA． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE． 根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答． 【详解】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE． 则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB， ∴BE＝BN．∴∠NBE＝90°． ∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠ABN， ∴△NAB≌△EAB． 设EC＝MN＝x，AD＝a，则AM＝a，DE＝2a﹣x，AE＝AN＝a+x， ∵AD2+DE2＝AE2， ∴a2+（2a﹣x）2＝（a+x）2， ∴xa． ∴tan∠AEB＝tan∠BNM3． 故选：A． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答． 2．若cosα，则锐角α满足（　　） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【分析】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 【详解】解：∵cos30°，cos45°， ∵， ∴30°＜α＜45°， 故选：B． 【点评】考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在0°～90°间变化， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 3．已知a，b，c是△ABC的三边a，b，c满足等式（2b）2＝4（c+a）（c﹣a），且5a﹣3c＝0，则sinA+sinB+sinC＝　　． 【分析】先对等式化简，得到a，b，c的关系后，再求解锐角三角函数的值． 【详解】解：∵（2b）2＝4（a+c）（c﹣a）， ∴4b2＝4（c2﹣a2）， ∴b2＝c2﹣a2， ∴a2+b2＝c2． ∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°． ∵5a﹣3c＝0， ∴， ∴sinA． 设a＝3k，c＝5k， ∴b4k， ∴sinB． sinA+sinB+sinC1． 【点评】等式化简后得到a2+b2＝c2，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，通过设参数的方法求三角函数值． 4．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是　2或　． 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质求解． 【详解】解：此题有两种可能： （1）∵BC＝2，DP＝1， ∠C＝90°， ∴tan∠BPC2； （2）∵DP＝1，DC＝2， ∴PC＝3， 又∵BC＝2，∠C＝90°， ∴tan∠BPC． 故答案为：2或． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是利用图形考虑此题有两种可能，要依次求解． 5．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB． （1）求BC的长； （2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：1.4，1.7，2.2） 【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得ADAC＝2，由三角函数求出CD＝2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD＝16，即可得出结果； （2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，求出∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD即可得出结果． 【详解】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示： 在Rt△ADC中，AC＝4， ∵∠ACB＝150°， ∴∠ACD＝30°， ∴ADAC＝2， CD＝AC•cos30°＝42， 在Rt△ABD中，tanB， ∴BD＝16， ∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2； （2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示： ∵∠ACB＝150°， ∴∠AMC＝∠MAC＝15°， tan15°＝tan∠AMD20.3． 【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20.1锐角三角函数 同步练习 题型 锐角三角形函数基础 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8．则sinA＝（　　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，AB＝2，则AC长是（　　） A． B． C． D．2 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（　　） A．sinB B．cosA C．tanB D．cosB 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列三角比的值是的是（　　） A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA 7．若在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（　　） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 9．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，则t的值为　 　． 10．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 　 　． 11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cosA＝　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝4，c＝5，则tanA＝　 　． 13．已知锐角A与锐角B的余弦值满足cosA＜cosB，则∠A与∠B的大小关系是：　 　． 14．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．如果关于x的方程3x2sinα﹣4xcosα+2＝0有实数根，那么锐角α的取值范围是　 　． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值． 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件求出∠A和∠B的正弦、余弦的值： （1）a＝1，b； （2）b，c＝4． 17． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a，b，c满足等式5a﹣3c＝0，求sinB的值． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA．当c＝2，a＝1时，求cosA． 1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（　　） A．3 B．2 C． D． 2．若cosα，则锐角α满足（　　） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 3．已知a，b，c是△ABC的三边a，b，c满足等式（2b）2＝4（c+a）（c﹣a），且5a﹣3c＝0，则sinA+sinB+sinC＝　 　． 4．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是　 　． 5．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB． （1）求BC的长； （2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：1.4，1.7，2.2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$