19.4二次函数的应用（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

19.4二次函数的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次函数的图像与性质应用 1. 开口方向：当(a>0)时，抛物线开口向上，函数有最小值；当(a<0)时，抛物线开口向下，函数有最大值，可据此判断函数的增减性区间。 2. 对称轴：直线（一般式）或（顶点式），是函数单调性的分界点，对称轴两侧函数的增减性相反。 3. 顶点坐标：（一般式）或((h,k))（顶点式），顶点是函数取得最大或最小值的点，在最值问题中直接应用。 4. 与坐标轴交点：与(y)轴交点为((0,c))；与(x)轴交点通过解方程得到，交点的横坐标是方程的根，可用于解决与坐标轴围成图形的面积等问题。 二次函数在实际问题中的应用 1. 最值问题： · 几何图形面积最值：如长方形、三角形等，根据图形边长关系建立二次函数模型，利用顶点坐标求面积的最大或最小值。 · 利润最值问题：根据成本、售价、销量之间的关系，建立利润关于售价或销量的二次函数，通过求函数最大值确定最大利润及对应售价或销量。 · 运动轨迹最值：如抛物运动中，物体达到的最大高度或水平射程，根据物理公式转化为二次函数求最值。 2. 几何问题： · 图形形状与位置：判断抛物线与直线、圆等图形的位置关系，通过联立方程转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数。 · 图形变换：抛物线的平移、对称、旋转等变换，根据顶点坐标的变化确定变换后函数的表达式。 3. 其他实际场景：如物体运动的位移时间关系、抛物线形拱桥的跨度与拱高计算等，通过分析实际问题中的等量关系构建二次函数解析式，进而解决问题。 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1. 与一元二次方程的关系：二次函数的图像与(x)轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方程的实数根，判别式决定交点个数（有两个交点，有一个交点，无交点）。 2. 与一元二次不等式的关系：二次函数的图像在(x)轴上方（或下方）的部分所对应的(x)的取值范围，就是一元二次不等式（或(<0)）的解集，结合函数图像的开口方向和与(x)轴交点求解不等式。 型 习 练 题 求抛物线与坐标轴交点坐标 1．如图，直线与抛物线交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为（    ）． A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据交点坐标确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再结合直线与抛物线交于点A，，且点A在y轴上，运用数形结合思想，即可作答． 【详解】解：∵点B在抛物线上，且点B在x轴上， ∴令则， ∴ 观察函数图象，得出点B在x轴的正半轴，即 ∵直线与抛物线交于点A，，且点A在y轴上， ∴结合函数图象，得不等式的解集为， 故选：B 2．小李、小张、小王、小周四位同学在学习了抛物线的图象和性质后，一起探究下面这个问题：抛物线与轴的交点为．以下是四人的说法，其中正确的是（    ） A．小李：抛物线开口向下 B．小张：抛物线与轴的交点为， C．小王：当时，有最大值为0 D．小周：抛物线的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、与坐标轴的交点、最值、对称轴的求解方法是解题的关键．先根据抛物线与轴交点求出的值，得到抛物线解析式，再分别从开口方向、与轴交点、最值、对称轴这几个方面对每个选项进行判断． 【详解】解：∵ 抛物线与轴的交点为， ∴ 当时，， ∴ 抛物线解析式为． 对于A：∵ 二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A错误． 对于B：解方程，即， ∴ 或，与轴交点为和，B错误． 对于C：∵ 抛物线开口向上， ∴ 抛物线有最小值， C错误． 对于D：根据对称轴公式，其中，， ∴抛物线的对称轴是 ，D正确． 故选：D． 3．抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的对称性，利用图象求不等式的解集，根据对称性求出函数与轴的另一个交点坐标，结合图象确定解集即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知，当时，图象在轴的上方，即， ∴当时，x的取值范围是； 故选：A． 4．已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是求解出二次函数与x轴正半轴的交点． 根据二次函数的图像可知对称轴为，则可得二次函数与x轴正半轴的交点，由此可得一元二次方程的正数解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且与x轴负半轴的交点为， ∴二次函数与x轴正半轴的交点为， ∴关于x的一元二次方程的正数解为1． 故选：A ． 5．关于的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像的开口向上 B．图像与y轴的交点坐标为 C．图像的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了的图像和性质，求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二次函数的二次项系数的符号可判断开口方向，根据求出图像与y轴的交点坐标，根据顶点式直接写出图像的顶点坐标，根据对称轴与开口方向可确定二次函数的增减性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴，开口向下，对称轴为，顶点坐标为． ∵， ∴开口向下，故A错误． 当时，， ∴与y轴交点为， 故B错误． 二次函数为的顶点坐标为，不是， 故C错误． ∵开口向下，对称轴， ∴当时，随增大而减小， 故D正确． 故选：D． 根据图像确定方程根的情况 6．关于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象与轴的交点坐标为 B．图象开口向上 C．当时，随增大而减小 D．当时，函数有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的开口方向、与y轴的交点坐标、顶点坐标及增减性逐一判断即可求解． 【详解】解：A、当时，，∴与y轴交点为，正确． B、，∴开口向上，正确． C、对称轴，∵，∴当时，y随x增大而减小，∴，y随x增大而减小，∴正确． D、当时，，为最小值，不是最大值，且值不是，∴错误． 故选：D． 7．已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与y轴交点，二次函数与y轴的交点相当于当时的函数值，根据题意该值大于0，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数图像与y轴交点在x轴上方， ∴当时，， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵、两点在抛物线上， ∴当时，，原选项错误，不符合题意； 、∵在抛物线上， ∴当时，，原选项正确，符合题意； 、当时，，原选项错误，不符合题意； 故选：． 9．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表所示，则一元二次方程的根为（     ） x … 0 … y … 0 3 4 3 … A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性及一元二次方程的根与二次函数图象的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性确定其与x轴的另一个交点．思路是根据表格中和时y值相等得出对称轴，再结合时，利用对称性找到另一个使的x值，进而得到方程的根． 【详解】解：由表格知，当和时，，故二次函数的对称轴为． 又当时，，根据对称轴的对称性，与关于对称的点的横坐标为，此时，即方程的根为，． 故选：B． 10．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． 求截线长 11．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握抛物线与轴的交点个数确定△的符号，并利用对称性是解题的关键．根据图象判断二次函数与各项系数符号的关系． 【详解】解：图象与轴的负半轴相交， ，故①不正确； 当时，， 即， ， ， ， 解得，故②不正确； 对称轴为直线，， ，即，故③正确； 图象与轴有两个交点， ，即， ，故④正确； 二次函数与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确的有：③④⑤， 故选：B． 12．下表列出了二次函数（）的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围大概是（    ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与一元二次方程的关键．根据表格数据可得二次函数图象关于y轴对称，且图象开口向上，过点，，，，即可得到当时，或，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由表可知，二次函数的图象过点，， ∴该函数图象的对称轴为，即关于y轴对称，且图象开口向上， ∵二次函数的图象过点，， ∴根据对称性可得二次函数的图象也过点，， ∴当时，或， ∴一元二次方程的解的范围为或． ∴的其中一个解的取值范围大概是， 故选：A． 13．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 14．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 15．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 16．题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．” 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、丙答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，分类求解确定位置是解题的关键．当点M在线段上时，当点M在点B的左侧时，当点M在点A的右侧时，分类求解确定的位置，进而求解． 【详解】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 将点A的坐标代入直线表达式得：，解得， 抛物线的解析式为，直线的解析式为， 当点M在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点， 的距离为3，而A，B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即， 当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点， 即时，线段与抛物线只有一个公共点， 综上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整， 故选：C． 17．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 拱桥问题 19．如图1，某大桥是中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋是抛物线的一部分（如图2），跨径为，拱高为，抛物线顶点C到桥面的距离为． (1)请以所在直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线所对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)若河水水位上涨，假设水位比所在直线高出，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？ 【答案】(1)抛物线对应的函数关系式是 (2)位于水面上的拱肋的跨径是 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）首先建立直角坐标系，设抛物线的函数关系式为，把已知坐标代入解析式可解； （2）把代入函数关系式求出x的解即可． 【详解】（1）解：以所在直线为x轴，直线为y轴，建立直角坐标系， 如图所示：设抛物线所对应的函数关系式为， 由题意得，，， ∴． ∴，． ∴抛物线对应的函数关系式是． （2）解：当水位比所在直线高出时，将代入函数关系式得 ， ∴， ∴由题意：， ∴位于水面上的拱肋的跨径是． 20．如图，这是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米． (1)求出该抛物线所对应的函数解析式． (2)现有一艘宽21米，高出水面12米的轮船，请通过计算说明这艘轮船能否通过这座拱桥？ 【答案】(1) (2)这艘轮船不能通过这座拱桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式及二次函数与一元二次方程的关系． （1）先根据拱桥的实际情况确定抛物线的顶点坐标与x轴交点坐标，设抛物线的顶点式，把A点坐标代入所设解析式，得到关于a的方程，求解a的值，进而确定函数解析式； （2）由题意知，将代入已求出的抛物线解析式中，求解得到的一元二次方程并得出对应的x值，计算两个x值的差，得到在高度为12米处拱桥可通过的宽度，最后比较该宽度与轮船宽度的大小，若大于等于轮船宽度则能通过，反之则不能通过． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴，，， 设抛物线解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴． （2）解：对于抛物线， 令，可得， 解得，， ∵， ∴这艘轮船不能通过这座拱桥． 21．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)该隧道内设双行道，中间隔离带，一辆货车高，宽，能否安全通过，为什么？ 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立二次函数模型并利用其性质求解． （1）根据抛物线的顶点坐标设出顶点式，再代入已知点坐标求出表达式； （2）根据货车的宽度和隔离带宽度确定横坐标，代入抛物线表达式求出纵坐标，与货车高度比较判断能否通过． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为 设抛物线的表达式为， 把代入表达式得， 即， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：中间隔离带，货车宽， 货车右侧到轴的距离为， 把代入得 ， ， 货车能安全通过． 22．如图为一座大桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，得出顶点的坐标是关键； 根据题意可得，然后设，再把代入求出a即可． 【详解】解：∵以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m， ∴， 设抛物线的函数解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式是． 23．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽 ，水面下降 时，水面的宽度增加多少？ 【答案】米 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点， 为原点， 抛物线以轴为对称轴，且经过，两点， 当拱顶离水面时，水面宽 ， ∴抛物线顶点坐标为，， 设顶点式，把点坐标代入得， 抛物线解析式为， 当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出： ， 解得：， 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度增加了米． 投球问题 24．如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； (2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； 【答案】(1) (2)小丽的判断是正确的，计算过程见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性； 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为． 把代入，得． ． （2）解：把代入抛物线解析式， 得． ， ∴此球不能投中，小丽的判断是正确的． 25．排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面米，当球飞行距离为8米时达最大高度米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？ 【答案】这样发球会直接把球打出边线 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．以队员的站立点为原点O，水平地面为x轴，与地面垂直的方向为y轴，建立平面直角坐标系，待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出点C的坐标，得出，根据，即可得出答案． 【详解】解：以队员的站立点为原点O，水平地面为x轴，与地面垂直的方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：抛物线的顶点坐标为，抛物线与y轴的交点坐标为，设抛物线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴这样发球会直接把球打出边线． 26．甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 【答案】(1)坐标系见解析，； (2)不能，见解析． 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点，写出A的坐标及顶点坐标，设二次函数的解析式为顶点式，将的A的坐标代入即可求得答案； （2）求出时的y值，比较这个值与城墙的高度即可做出判断． 【详解】（1）解：如图，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点（答案不唯一）， 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设石块运动轨迹的抛物线对应的函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：不能，理由如下： 当时，， ， ∴石块不能越过城墙． 27．运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； (2)求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 【答案】(1)实心球运行满足的函数关系式为 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，能够正确求出函数关系式是解题关键； （1）直接用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质直接求解即可． 【详解】（1）解：如图，以为原点，为y轴，为x轴，建立直角坐标系， 由题意：，， 将两点代入得到：， 解得， ∴实心球运行满足的函数关系式为； （2）∵，， ∴当时，取到最大值为， 答：实心球在运行过程中离地面的最大高度为． 28．如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． (1)求与的函数关系式； (2)足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 【答案】(1) (2)足球能越过人墙，能直接射进球门，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）设，根据函数图象过原点，求出a的值即可； （2）分别把和代入函数解析式求出y的值与2和比较即可． 【详解】（1）解：依题意设， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴所求的函数关系式为； （2）解：足球能越过人墙，能直接射进球门，理由如下： 由（1）得， 当时，， ∴足球能越过人墙， 当时， ∴足球能直接射进球门． 增长率问题 29．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 30．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【答案】，是二次函数． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果． 根据增长率的问题，基数是a万元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式． 【详解】解：依题意得， 此函数是二次函数． 31．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 32．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 33．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 【答案】 【分析】设每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，6月份的营收为万元． 【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． 其它问题 34．“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度厘米，最高点（抛物线的顶点）到的距离为30厘米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子吗？ 【答案】(1) (2)罩子下面不能放下个直径为厘米，高度为厘米的盘子 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的解析式． （1）根据题意，可以写出点和点的坐标，再根据点为抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，再将点的坐标代入解析式，即可得到抛物线的表达式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再求出这两个横坐标间的距离，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 则， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：将代入 解得： 罩子下面不能放下个直径为厘米，高度为厘米的盘子． 35．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是_________； (2)若学校计划安排15场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1) (2)学校应安排6个球队参加比赛． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）根据赛制，结合已知，即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：根据题意可得， ∴，， 解得， 答：学校应安排6个球队参加比赛． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.4二次函数的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次函数的图像与性质应用 1. 开口方向：当(a>0)时，抛物线开口向上，函数有最小值；当(a<0)时，抛物线开口向下，函数有最大值，可据此判断函数的增减性区间。 2. 对称轴：直线（一般式）或（顶点式），是函数单调性的分界点，对称轴两侧函数的增减性相反。 3. 顶点坐标：（一般式）或((h,k))（顶点式），顶点是函数取得最大或最小值的点，在最值问题中直接应用。 4. 与坐标轴交点：与(y)轴交点为((0,c))；与(x)轴交点通过解方程得到，交点的横坐标是方程的根，可用于解决与坐标轴围成图形的面积等问题。 二次函数在实际问题中的应用 1. 最值问题： · 几何图形面积最值：如长方形、三角形等，根据图形边长关系建立二次函数模型，利用顶点坐标求面积的最大或最小值。 · 利润最值问题：根据成本、售价、销量之间的关系，建立利润关于售价或销量的二次函数，通过求函数最大值确定最大利润及对应售价或销量。 · 运动轨迹最值：如抛物运动中，物体达到的最大高度或水平射程，根据物理公式转化为二次函数求最值。 2. 几何问题： · 图形形状与位置：判断抛物线与直线、圆等图形的位置关系，通过联立方程转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数。 · 图形变换：抛物线的平移、对称、旋转等变换，根据顶点坐标的变化确定变换后函数的表达式。 3. 其他实际场景：如物体运动的位移时间关系、抛物线形拱桥的跨度与拱高计算等，通过分析实际问题中的等量关系构建二次函数解析式，进而解决问题。 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1. 与一元二次方程的关系：二次函数的图像与(x)轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方程的实数根，判别式决定交点个数（有两个交点，有一个交点，无交点）。 2. 与一元二次不等式的关系：二次函数的图像在(x)轴上方（或下方）的部分所对应的(x)的取值范围，就是一元二次不等式（或(<0)）的解集，结合函数图像的开口方向和与(x)轴交点求解不等式。 型 习 练 题 求抛物线与坐标轴交点坐标 1．如图，直线与抛物线交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为（    ）． A．或 B． C． D．或 2．小李、小张、小王、小周四位同学在学习了抛物线的图象和性质后，一起探究下面这个问题：抛物线与轴的交点为．以下是四人的说法，其中正确的是（    ） A．小李：抛物线开口向下 B．小张：抛物线与轴的交点为， C．小王：当时，有最大值为0 D．小周：抛物线的对称轴是直线 3．抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 4．已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 5．关于的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像的开口向上 B．图像与y轴的交点坐标为 C．图像的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 根据图像确定方程根的情况 6．关于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象与轴的交点坐标为 B．图象开口向上 C．当时，随增大而减小 D．当时，函数有最大值 7．已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 9．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表所示，则一元二次方程的根为（     ） x … 0 … y … 0 3 4 3 … A． B．， C．， D．， 10．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 求截线长 11．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 12．下表列出了二次函数（）的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围大概是（    ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A． B． C． D． 13．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 14．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 16．题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．” 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、丙答案合在一起才完整 17．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 18．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 拱桥问题 19．如图1，某大桥是中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋是抛物线的一部分（如图2），跨径为，拱高为，抛物线顶点C到桥面的距离为． (1)请以所在直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线所对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)若河水水位上涨，假设水位比所在直线高出，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？ 20．如图，这是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米． (1)求出该抛物线所对应的函数解析式． (2)现有一艘宽21米，高出水面12米的轮船，请通过计算说明这艘轮船能否通过这座拱桥？ 21．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)该隧道内设双行道，中间隔离带，一辆货车高，宽，能否安全通过，为什么？ 22．如图为一座大桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． 23．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽 ，水面下降 时，水面的宽度增加多少？ 投球问题 24．如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； (2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； 25．排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面米，当球飞行距离为8米时达最大高度米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？ 26．甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 27．运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； (2)求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 28．如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． (1)求与的函数关系式； (2)足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 增长率问题 29．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 30．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 31．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 32．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 33．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 其它问题 34．“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度厘米，最高点（抛物线的顶点）到的距离为30厘米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子吗？ 35．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是_________； (2)若学校计划安排15场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 学科网（北京）股份有限公司 $