精品解析：山西省大同市天镇名校联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025一2026学年度第一学期期中考试 高二数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：湘教版选择性必修第一册（第1章~第3章3.1椭圆）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求解. 【详解】由焦点在y轴上的椭圆的离心率为， 则，且，解得. 故选：C 2. 以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心坐标以及圆的半径可得出圆的标准方程. 【详解】圆心为，半径为的圆的方程为． 故选：B. 3. 已知直线，，若，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线垂直的斜率关系可得出关于的等式，即得. 【详解】由题意可知，直线、的斜率分别为、， 因为，所以，解得. 故选：B. 4. 设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线与过切点的圆的半径垂直，得到点满足的条件，用坐标表示可得点的轨迹方程. 【详解】如图： 圆表示以为圆心，1为半径的圆. 由题意，且，所以. 所以点在以，半径为的圆上， 所以点的轨迹方程是． 故选：A 5. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用几何关系，得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】由条件可知，，即. 故选：B 6. 各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则＝（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列性质可求得，再利用等比数列性质求得结果. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以，解得或（舍去）， 又因为数列是等比数列，所以． 故选：A. 7. 已知直线，直线，若直线，则直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据求出参数的值，再利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由，得，解得或． 当时，，，直线与直线之间的距离为； 当时，，，直线与直线重合，舍去． 故直线与直线之间的距离是． 故选：D. 8. 已知数列的前n项和为，且．设，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消求和. 【详解】当n＝1时，，∴＝2． 当时，，①，，② ∴①－②得，即. ∴数列是首项为2，公比为3的等比数列， ∴． ∴. 所以 ． 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，公差.若，则以下结论一定正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 存在最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】 首先根据，得到，再依次判断选项即可. 【详解】因为，所以， 又因为，解得. 对选项A，，故A正确； 对选项B，， 因为，，，， 所以的最小值为或，故B错误； 对选项C，， 又因为，所以，即，故C正确； 对选项D，因为，，所以无最大值，故D错误. 故选：AC 10. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据判断出点在以为直径的圆上，为圆心，，点又在圆上，进而即可求解. 【详解】圆的圆心，半径为． 因为圆心到的距离为， 所以圆上的点到点的距离的最大值为，最小值为，即. 由，得点在以为直径的圆上，为圆心, 所以， 故有． 故选：ABC． 11. 若数列的前项和为，且满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件及数列的通项公式即可判断选项AC，结合数列的前和的定义即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 故A正确，C错误， 因为 所以 ， 所以 ， ， 故B正确， 由 ， 故D错误， 故选：AB. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若方程所表示的曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特点列出不等式组求解即可. 【详解】若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则，解得． 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 已知直线与圆交于两点，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离： ， 由得， 解得. 【点睛】本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解. 14. 设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 数列是单调递增数列，则恒成立，分离实数和变量，构造新数列，利用的单调性求出数列的最小项，代入可得实数的取值范围． 【详解】，， 由于数列是单调递增数列，则，即，整理得， 令，， 所以，数列单调递增，则数列的最小项为，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查数列的函数特性，考查函数单调性的定义应用，考查逻辑思维能力与转化思想，属于中档题． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 直线与直线（m为正整数）的交点A在第四象限，求： （1）点A的坐标； （2）这两条直线与x轴围成的三角形面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解方程组求出交点坐标，再利用第四象限点的特征求出后可得点A的坐标； （2）分别求出两直线与x轴的交点，再由三角形的面积公式可得. 【小问1详解】 解方程组得 ∴． ∵交点在第四象限，∴，且，解得． ∵m是正整数，∴，∴． 【小问2详解】 由（1）得两直线的解析式为，， 直线与x轴的交点为，直线与x轴的交点为， ∴这两条直线与x轴围成的三角形面积为． 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，解得，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设的公差为，∵成等比数列， ∴．即，即， 又，且，解得，所以有． 【小问2详解】 由（1）知：， 则．即． 17. 已知椭圆，直线与椭圆交于两点． （1）若弦被点平分，且直线的斜率为，求； （2）若直线的方程为，求弦的长（结果用表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用中点坐标公式，求得将，代入椭圆方程，相减可得到直线的斜率，再根据直线的斜率为，即可求值； （2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，即可求得弦长. 【小问1详解】 设，因为弦被点平分， 所以 又， 两式相减得， ， ， ，由已知得， 所以， 所以，解得． 【小问2详解】 设，将代入，得， 则， 且， 所以 ，， ， ， ． 18. 已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． （1）若点，求点M的坐标； （2）探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）过定点 【解析】 【分析】（1）分别由斜截式得到直线AN和直线BP的方程，再解方程组可得点M的坐标； （2）设，由斜截式得到直线AN的方程，联立曲线方程解出点M的坐标；同理解出点N的坐标，分别讨论当直线MN垂直于x轴时和、、时四种情况可得. 【小问1详解】 ∵点，∴直线AN的方程为． 令，则．又，∴直线BP的方程为． 由及，解得． 【小问2详解】 设，∵点，∴直线AN的方程为． 由及，解得． ∵点，∴直线BM的方程为． 由及，解得． 当直线MN垂直于x轴时，则，解得， 或，直线MN的方程为； 当时，，直线MN的方程为， 故若直线MN过定点，则该定点为． 当时，直线MN的方程为，显然过点； 当时，，， ∴，∴M，N，C三点共线，即直线MN经过定点． 19. 数列满足： ，且 ，其前n项和. （1）求证：为等比数列； （2）记为数列的前n项和. （i）当时，求； （ii）当时，是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）当时，， 整理得， 所以是公比为a的等比数列，又所以 （2）（i）， （ii）因为， ∴当为偶数时，； 当为奇数时，，∴如果存在满足条件的正整数，则一定是偶数.∵. ∴当时， ，∴ 又． ∴当时，即，当时， 即 ，即存在正整数，使得对于任意正整数都有. 【解析】 【分析】（1）利用当时，，进行运算，最后能证明出为等比数列； （2）（i）利用错位相减法，可以求出； （ii）根据的奇偶性进行分类，利用差比判断数列的单调性，最后可以求出的值. 【详解】（1）略 （2）因为 （i）当 两式相减，整理得 . （ii）略 【点睛】本题考查了等比数列的证明、错位相减法求数列和、以及不等式恒成立问题，考查了数学运算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025一2026学年度第一学期期中考试 高二数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：湘教版选择性必修第一册（第1章~第3章3.1椭圆）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 2. 以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，若，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 或 4. 设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则＝（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 7. 已知直线，直线，若直线，则直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为，且．设，则＝（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，公差.若，则以下结论一定正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 存在最大值 10. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 若数列的前项和为，且满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若方程所表示的曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则t的取值范围是______． 13. 已知直线与圆交于两点，若，则____. 14. 设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 直线与直线（m为正整数）的交点A在第四象限，求： （1）点A的坐标； （2）这两条直线与x轴围成的三角形面积． 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知椭圆，直线与椭圆交于两点． （1）若弦被点平分，且直线的斜率为，求； （2）若直线的方程为，求弦的长（结果用表示）． 18. 已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． （1）若点，求点M的坐标； （2）探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 19. 数列满足： ，且 ，其前n项和. （1）求证：为等比数列； （2）记为数列的前n项和. （i）当时，求； （ii）当时，是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $