19.2二次函数y=ax²+bx+c的图像（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

19.2二次函数y=ax²+bx+c的图像 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次函数图像的基本形状 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。a的绝对值越大，抛物线开口越窄；a的绝对值越小，抛物线开口越宽。 抛物线的顶点坐标 抛物线的顶点是图像的最高点或最低点。其横坐标为x=--，将横坐标代入函数解析式可求得纵坐标y=，所以顶点坐标为（-，）。 型 习 练 题 把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．抛物线的顶点在x轴上， 则m的值为（   ） A．4 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，通过配方法将函数化为顶点式，得到顶点坐标，令纵坐标为0，即可求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， ∵顶点在x轴上， ∴， 解得m的值为4， 故选：A 2．将二次函数化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用，熟练运用完全平方公式是解题关键．通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式． 【详解】， ， = ， = ， = ． ∴ 顶点式为 ， 故选：B． 3．将二次函数通过配方法化为顶点式的形式，结果是() A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了通过配方法将二次函数化为顶点式，关键步骤是完成平方，即加上和减去一次项系数一半的平方． 【详解】解： ∴顶点式为， 故选：D． 4．已知二次函数，下列结论错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，将二次函数化为顶点形式，根据二次函数的性质判断各选项。 【详解】解：∵ ， ∴ ，抛物线开口向上，A正确； 对称轴为直线 ，B正确； 顶点坐标为 ，C正确； ∵ 开口向上，对称轴 ， ∴ 当 时， 随 的增大而减小，故D错误。 故选D. 5．将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数一般式与顶点式的转化，掌握配方法是解题的关键． 由于二次项系数为1，直接使用配方法，加上一次项系数一半的平方，将一般式转化为顶点式． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 画y=ax²+bx+c的图像 6．画出抛物线的图象（要求列表，描点），回答下列问题： (1)写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)当随的增大而增大时，写出的取值范围． 【答案】(1)画图见解析，抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）列表计算、再描点画图，然后根据抛物线顶点式的性质解答即可； （2）根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 5 3 … 抛物线的图象描点、画图如下： ∴抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：由图象可得：当时，随的增大而增大． 7．已知二次函数． (1)在直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合图象，写出使的x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）先确定抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为 当时，， 当时，， 解得：， ∴抛物线与y轴交于点，与x轴交于点， 画出函数图象，如下： （2）解：由图得时，x的取值范围是． 8．已知二次函数． (1)用配方法求函数图像的顶点坐标、对称轴； (2)用描点法在给定的平面直角坐标系中画出此函数的图像（需列表）． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)见解析 【分析】本题考查的是二次函数图像问题，关键是掌握画图的方法． （1）把函数解析式用配方法化为顶点式即可解答； （2）用列表，描点，连线作出图像即可． 【详解】（1）解：， 所以，顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：列表： x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 1 4 5 4 1 -4 …… 描点，连线如图： 9．二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)12 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的画法，解题的关键是根据二次函数的解析式求出其顶点坐标，与坐标轴的交点坐标画出图象. （1）根据配方法来求解； （2）根据其顶点坐标及其坐标轴的交点画出函数图象； （3）根据抛物线与坐标轴的交点求得三角形的底边长和高，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）解： ； （2）解：用描点法作图如下； （3）解：如图所示，抛物线与轴的交点坐标是， 抛物线与轴的交点坐标是和， 所以函数图象与坐标轴所围成的三角形的底长为4，高为6， 所以函数图象与坐标轴交点所围成的三角形面积为：. 10．已知二次函数． (1)用配方法化为的形式； (2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)根据图象，求当时，的取值范围为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了配方法确定二次函数的顶点式，画出二次函数的图象以及最值的问题． （1）用配方法配方成顶点式即可； （2）写出顶点坐标，计算其与轴的交点和与轴的交点，列表、描点，画出图象； （3）由图象判断时抛物线的增减性，进而可求的取值范围． 【详解】（1）解：， 即； （2）解：二次函数图象的顶点坐标为， 令， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，， 抛物线与y轴的交点坐标为， 点关于对称轴的对称点为， 抛物线经过点，，，，， 图象如图所示： （3）解：由图象可得，当时，随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：． 11．已知二次函数． (1)写出二次函数的图像的开口方向___________，对称轴___________，顶点坐标___________； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图像； (3)当___________时，随着的增大而减小 【答案】(1)向上，直线， (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据二次函数的表达式即可得二次函数的图像的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据作函数图像的步骤，列表、描点、连线作图即可； （3）根据图像即可作答； 本题主要考查了二次函数的图像和性质以及作二次函数的图像，二次函数，当时，开口向上，当时，开口向下；对称轴为，顶点坐标为．熟练掌握二次函数的图像和性质时解题的关键． 【详解】（1）解：由，可知 ∴二次函数的图像的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 故答案为：向上，直线， （2）解：列表格如下： x … 0 1 … y … 3 0 0 3 … 将上面各组点连线可得二次函数的图像如下图所示； （3）解：由图知，时，随着的增大而减小． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2二次函数y=ax²+bx+c的图像 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次函数图像的基本形状 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。a的绝对值越大，抛物线开口越窄；a的绝对值越小，抛物线开口越宽。 抛物线的顶点坐标 抛物线的顶点是图像的最高点或最低点。其横坐标为x=--，将横坐标代入函数解析式可求得纵坐标y=，所以顶点坐标为（-，）。 型 习 练 题 把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．抛物线的顶点在x轴上， 则m的值为（   ） A．4 B．1 C． D．2 2．将二次函数化成的形式为（   ） A． B． C． D． 3．将二次函数通过配方法化为顶点式的形式，结果是() A． B． C． D． 4．已知二次函数，下列结论错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 5．将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 画y=ax²+bx+c的图像 6．画出抛物线的图象（要求列表，描点），回答下列问题： (1)写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)当随的增大而增大时，写出的取值范围． 7．已知二次函数． (1)在直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合图象，写出使的x的取值范围． 8．已知二次函数． (1)用配方法求函数图像的顶点坐标、对称轴； (2)用描点法在给定的平面直角坐标系中画出此函数的图像（需列表）． 9．二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积． 10．已知二次函数． (1)用配方法化为的形式； (2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)根据图象，求当时，的取值范围为_____． 11．已知二次函数． (1)写出二次函数的图像的开口方向___________，对称轴___________，顶点坐标___________； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图像； (3)当___________时，随着的增大而减小 学科网（北京）股份有限公司 $