19.1二次函数（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版（2012）数学九年级上册

19.1二次函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、二次函数的定义 形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 二、y=ax²的图像和性质 （一）图像 是一条抛物线，关于y轴对称，顶点是坐标原点(0,0)。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|的大小决定抛物线开口的宽窄，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 （二）性质 1. 定义域：全体实数。 2. 值域：当a>0时，y≥0；当a<0时，y≤0。 3. 单调性：当a>0时，在对称轴（y轴）左侧，即x<0时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>0时，y随x的增大而增大。当a<0时，在对称轴左侧，即x<0时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>0时，y随x的增大而减小。 4. 最值：当a>0时，抛物线有最低点，当x=0时，y有最小值0；当a<0时，抛物线有最高点，当x=0时，y有最大值0。 三、y=ax²+k的图像和性质 （一）图像 是由抛物线y=ax²沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位长度得到的。其图像仍为抛物线，开口方向、开口宽窄与y=ax²相同。对称轴是y轴，顶点坐标为(0,k)。 （二）性质 1. 定义域：全体实数。 2. 值域：当a>0时，y≥k；当a<0时，y≤k。 3. 单调性：与y=ax²的单调性相同，即当a>0时，在x<0时，y随x的增大而减小，在x>0时，y随x的增大而增大；当a<0时，在x<0时，y随x的增大而增大，在x>0时，y随x的增大而减小。 4. 最值：当a>0时，抛物线有最低点，当x=0时，y有最小值k；当a<0时，抛物线有最高点，当x=0时，y有最大值k。 四、y=a(x−h)²的图像和性质 （一）图像 是由抛物线y=ax²沿x轴向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位长度得到的。图像为抛物线，开口方向、开口宽窄与y=ax²相同。对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,0)。 （二）性质 1. 定义域：全体实数。 2. 值域：当a>0时，y≥0；当a<0时，y≤0。 3. 单调性：当a>0时，在对称轴左侧，即x<h时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>h时，y随x的增大而增大。当a<0时，在对称轴左侧，即x<h时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>h时，y随x的增大而减小。 4. 最值：当a>0时，抛物线有最低点，当x=h时，y有最小值0；当a<0时，抛物线有最高点，当x=h时，y有最大值0。 五、y=a(x−h)²+k的图像和性质 （一）图像 是由抛物线y=ax²先沿x轴向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位长度，再沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位长度得到的。图像为抛物线，开口方向、开口宽窄与y=ax²相同。对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)。 （二）性质 1. 定义域：全体实数。 2. 值域：当a>0时，y≥k；当a<0时，y≤k。 3. 单调性：当a>0时，在x<h时，y随x的增大而减小，在x>h时，y随x的增大而增大；当a<0时，在x<h时，y随x的增大而增大，在x>h时，y随x的增大而减小。 4. 最值：当a>0时，抛物线有最低点，当x=h时，y有最小值k；当a<0时，抛物线有最高点，当x=h时，y有最大值k。 型 习 练 题 二次函数的识别 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如 ），只有选项C符合条件；选项A和D不是整式，选项B是一次函数 【详解】∵ 二次函数的标准形式为， 选项A：含有分式，不是整式函数； 选项B：最高次数为1，是一次函数； 选项C：满足 ，符合二次函数定义，是二次函数； 选项D：是根式函数，不是整式函数 ∴ 只有C是二次函数 故选C 2．下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义：形如，其中，逐项判断每个选项即可得到答案． 【详解】解：A：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； B：是分式，不是整式，不满足二次函数定义，不符合题意； C：，满足二次函数定义，符合题意； D：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； 故选：C． 3．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式． 将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数． 【详解】解：∵， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 4．二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【详解】∵ 对应一般形式， ∴常数项为 ． 故选 ：． 5．二次函数的二次项系数是（   ） A．3 B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的一般形式为，其中是二次项系数解答即可． 【详解】函数的二次项系数为， 故选：A． 根据二次函数的定义求参数 6．已知函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，函数为二次函数，则二次项系数必须不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 7．若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：B． 8．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，， ∴，， 解得， 故选：D． 9．已知是二次函数，则（   ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数需满足最高次项（二次项）的系数不为零，即 ． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， 故选：A． 10．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D y=ax²的图像和性质 11．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解∶ 二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：B 12．下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 13．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 14．下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征：点的坐标需满足函数解析式．将每个点的x坐标代入抛物线方程计算对应的y值，与点的y坐标比较，判断是否在抛物线上． 【详解】解：∵抛物线方程为， A项：对于点：当 时，，∴点不在抛物线上； B项：对于点：当时，，∴点不在抛物线上； C项：对于点：当时，，∴点不在抛物线上； D项：对于点：当时，，∴点在抛物线上， 故选：D． 15．已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 依据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线， ∴对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为， 时，随的增大而减小， ， . 故选：A． y=ax²+k的图像和性质 16．抛物线的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，先整理抛物线，即可得出顶点坐标是． 【详解】解：依题意，抛物线， ∴的顶点坐标是， 故选：B 17．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的一般式，通过系数判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ 二次函数中，， ∴ 抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 ，故A，B，C错误； ∴当时，y随x的增大而减小，故D正确． 故选：D． 18．二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断． 根据二次函数的解析式，由于，抛物线开口向上，且最小值为4，因此始终为正，图象不经过的象限． 【详解】∵ ，， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴， ∴函数值始终为正数， ∴图象经过第一象限和第二象限，但不经过第三象限和第四象限． 故选A． 19．已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，对称轴为y轴，比较各点横坐标的绝对值，绝对值越大，函数值越大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线方程为 ∴开口向上，对称轴为， ∵抛物线上有三点，，，且 ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∴ ． 故选：D． 20．抛物线具有相同的（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】该题主要考查了二次函数的性质．通过分析三个抛物线解析式，比较其开口方向、形状大小、对称轴和顶点坐标的异同点，即可得出答案． 【详解】解：因为抛物线、、均无一次项（即）， 所以对称轴均为（y轴），它们具有相同的对称轴； 而值分别为4、4、，所以形状大小不同； a 的符号分别为正、负、正，所以开口方向不同； 顶点坐标分别为，所以顶点坐标也不同． 故选：C． y=a(x−h)²的图像和性质 21．抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键． 直接根据顶点式的性质即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线； 故选：D． 22．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可知，二次函数的对称轴是，，所以二次函数的开口向上，当时，随的增大而增大，因为点关于对称轴的对称点是，则可知． 【详解】解：二次函数的对称轴是，， 二次函数的开口向上，点关于对称轴的对称点是， 当时，随的增大而增大， ， ． 故选：C． 23．已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握顶点解析式的性质． 根据二次函数的增减性，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，可知函数在处取得最小值，因此抛物线开口向上且对称轴为直线． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴ 二次函数在处有最小值，抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵ 二次函数的标准形式为，其中对称轴为， ∴，且． 选项B中，，对称轴为，，满足条件． 其他选项：A和C对称轴为，不符合；D对称轴为但，开口向下，不满足增减性要求． ∴ 该二次函数的解析式可以是； 故选：B． 24．二次函数的图象顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的图像性质； 【详解】解：由二次函数的图象性质可知； 顶点坐标为：； 故选：C． 25．二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，关键是利用顶点式快速确定顶点坐标和开口方向，再通过这两个核心要素筛选选项．熟练掌握二次函数顶点式的结构是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数图像开口向下，   结合顶点坐标和开口向下的特征，只有选项B的图象满足． 故选：B． y=a(x−h)²+k的图像和性质 26．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的单调性规律． 先确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合单调性的条件，分析对称轴与的位置关系，从而求出的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴对称轴， ∴． 故选：C． 27．函数的图像的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的顶点式，顶点坐标为．根据二次函数的顶点式 的顶点坐标是，直接写出即可． 【详解】解：∵函数是顶点形式， ∴顶点坐标是． 故选：C． 28．抛物线的对称轴为直线（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据函数解析式的顶点式可以求出对称轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 故选：A． 29．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的解析式可知二次函数开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，要求当时随增大而增大，故需对称轴在直线右侧或重合，即． 【详解】解： 二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ． 故选：A． 30．下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：A、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； B、的顶点坐标为，故本选项符合题意； C、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； D、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1二次函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、二次函数的定义 形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 二、y=ax²的图像和性质 （一）图像 是一条抛物线，关于y轴对称，顶点是坐标原点(0,0)。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|的大小决定抛物线开口的宽窄，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 （二）性质 1. 定义域：全体实数。 2. 值域：当a>0时，y≥0；当a<0时，y≤0。 3. 单调性：当a>0时，在对称轴（y轴）左侧，即x<0时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>0时，y随x的增大而增大。当a<0时，在对称轴左侧，即x<0时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>0时，y随x的增大而减小。 4. 最值：当a>0时，抛物线有最低点，当x=0时，y有最小值0；当a<0时，抛物线有最高点，当x=0时，y有最大值0。 三、y=ax²+k的图像和性质 （一）图像 是由抛物线y=ax²沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位长度得到的。其图像仍为抛物线，开口方向、开口宽窄与y=ax²相同。对称轴是y轴，顶点坐标为(0,k)。 （二）性质 1. 定义域：全体实数。 2. 值域：当a>0时，y≥k；当a<0时，y≤k。 3. 单调性：与y=ax²的单调性相同，即当a>0时，在x<0时，y随x的增大而减小，在x>0时，y随x的增大而增大；当a<0时，在x<0时，y随x的增大而增大，在x>0时，y随x的增大而减小。 4. 最值：当a>0时，抛物线有最低点，当x=0时，y有最小值k；当a<0时，抛物线有最高点，当x=0时，y有最大值k。 四、y=a(x−h)²的图像和性质 （一）图像 是由抛物线y=ax²沿x轴向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位长度得到的。图像为抛物线，开口方向、开口宽窄与y=ax²相同。对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,0)。 （二）性质 1. 定义域：全体实数。 2. 值域：当a>0时，y≥0；当a<0时，y≤0。 3. 单调性：当a>0时，在对称轴左侧，即x<h时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>h时，y随x的增大而增大。当a<0时，在对称轴左侧，即x<h时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>h时，y随x的增大而减小。 4. 最值：当a>0时，抛物线有最低点，当x=h时，y有最小值0；当a<0时，抛物线有最高点，当x=h时，y有最大值0。 五、y=a(x−h)²+k的图像和性质 （一）图像 是由抛物线y=ax²先沿x轴向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位长度，再沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位长度得到的。图像为抛物线，开口方向、开口宽窄与y=ax²相同。对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)。 （二）性质 1. 定义域：全体实数。 2. 值域：当a>0时，y≥k；当a<0时，y≤k。 3. 单调性：当a>0时，在x<h时，y随x的增大而减小，在x>h时，y随x的增大而增大；当a<0时，在x<h时，y随x的增大而增大，在x>h时，y随x的增大而减小。 4. 最值：当a>0时，抛物线有最低点，当x=h时，y有最小值k；当a<0时，抛物线有最高点，当x=h时，y有最大值k。 型 习 练 题 二次函数的识别 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 4．二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 5．二次函数的二次项系数是（   ） A．3 B．2 C． D．5 根据二次函数的定义求参数 6．已知函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 9．已知是二次函数，则（   ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 10．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． y=ax²的图像和性质 11．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 12．下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 13．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 14．下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 15．已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． y=ax²+k的图像和性质 16．抛物线的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 17．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 18．二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 19．已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 20．抛物线具有相同的（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 y=a(x−h)²的图像和性质 21．抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 22．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 23．已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 24．二次函数的图象顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 25．二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． y=a(x−h)²+k的图像和性质 26．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．0 27．函数的图像的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 28．抛物线的对称轴为直线（ ） A． B． C． D． 29．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $