19.1《二次函数》 课件 2024-2025学年北京版数学九年级上册

19.1 二次函数的概念 回顾旧知 1、什么是函数？ 在某一变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x 的函数。 2、什么叫做一次函数？ 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0) 3、函数有哪些表示方法？ 解析法、列表法、图象法 3.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量) (4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1. 不是，等式右边是分式. 不是，x 最高次数是二次. 不一定是，缺少 k ≠ 0 的条件. 不是，函数是每个唯一的 x 都有唯一对应的 y 值. y = kx + b ( k≠0 ) ； 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 比赛的场次数 。 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 一年后的产量是 件 再经过一年后的产量是 件 即两年后的产量y=________. 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 y = 20 x2+ 40 x + 20 小组讨论：函数关系式有什么共同点? y =6 x2 y = 20 x2+ 40 x + 20 函数都是用自变量的二次式表示的 y =6 x2 视频引入 思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗? 问题1： 请将下面正方体展开，它的六个面是全等的正方形， 设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系 式为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体 棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 知识点1： 二次函数的相关概念 分析：每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数 . n-1 答： 此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数. 问题2： n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛， 比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件, 再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=________. 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 答： y=20x2+40x+20； 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结. 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点? y = 6x2 y = 20x2 + 40x + 20 想一想 温馨提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征. ①自变量的最高次项的次数：1 ②最高次项系数： k，且 k≠0 ③两个未知数，且等式两边是整式 y = 6x2 自变量的最高次项 最高项系数 函数解析式 6 是 2 2 2 y = 20x2 + 40x + 20 那么这类函数我们怎么定义？ 等式两边是否是整式 20 是 是 合作探究 二次项系数 自变量 归纳总结 二次函数的定义 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数. 解析式 y = ax² + bx + c 一次项系数 常数项 你能自己举出具体的二次函数吗？ 典例分析 例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2；　(3)y＝3a3＋2a2； (4)y＝x－2＋x; (5)y＝3(x－2)(x－5); (6)y＝x2＋ . 解：(2)与(5)是二次函数．(2)y＝－5x2的二次项系数为 －5，一次项系数和常数项为0；(5)化为一般式， 得到y＝3x2－21x＋30，所以y＝3(x－2)(x－5)的 二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30. 典例分析 例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2；　(3)y＝3a3＋2a2； (4)y＝x－2＋x; (5)y＝3(x－2)(x－5); (6)y＝x2＋ . 小结：判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数的表达式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件： (1)所表示的函数的表达式为整式； (2)函数的表达式有唯一自变量； (3)自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0. 例2 已知函数y＝(a－b)x3＋2x2＋2＋ 是y关 于x的二次函数，求a，b的值． 典例分析 分析：若是二次函数，则等号的右边应是关于x的二次多项 式，故a－b＝0，2a＋b－3＝0，于是a，b可求． 解：由题意得： 解得： a－b＝0 2a＋b－3＝0 a＝1 b＝1 例2 已知函数y＝(a－b)x3＋2x2＋2＋ 是y关 于x的二次函数，求a，b的值． 典例分析 小结：当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须满足二次项系数不为0这一条件． 方法归纳 (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 判断一个函数是否为二次函数的步骤： 归纳总结 y = 6x2 y = 20x2 + 40x + 20 y = ax² + bx + c (a≠0) y = 3 − 2x² y = ax² + c (a≠0) y = ax² (a≠0) y = ax² + bx (a≠0) y = (x − 1)2 − 1 b = 0 c = 0 b = 0，c = 0 二次函数的一般形式： 特殊形式 成立条件 函数解析式 合作探究 1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____ ,一次项系数为______，常数项为 . 3．下列函数是二次函数的是 ( ) y＝2x＋1 y＝3x2＋1 2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) m,n是常数,且m≠0 m,n是常数,且n≠0 m,n是常数,且m≠n m,n为任何实数 学以致用 -3x2 -16 12 2. 已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； ∴ m = 1. (2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0. 解： (1) 由题意得 3.若函数 是二次函数，求： （1）求a的值. (2) 求函数关系式. （3）当x=-2时，y的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 （2）当a=-1时，函数关系式为 . （3）将x=-2代入函数关系式中，有 null 53994.28 null 63136.664 FormatFactory : www.pcfreetime.com $$