18.7应用举例（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

18.7应用举例 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 测量高度：通过测量可到达物体的影长与已知高度物体的影长，利用相似三角形对应边成比例计算不可直接测量物体（如旗杆、树、建筑物）的高度。 测量距离：无法直接测量两点间距离时（如河宽、山间距），构造相似三角形，测量可及边长度，依据相似比求出未知距离。 图纸缩放：地图、工程图纸等按比例绘制，利用相似三角形原理保证图形形状不变，实现实际物体与图纸的相似转换。 光学应用：照相机、投影仪成像利用相似三角形，物体与像通过透镜形成相似图形，根据相似比计算像的大小或物距、像距。 零件加工：按图纸加工零件时，依据相似三角形确定各部分尺寸比例，确保加工零件与设计模型形状一致。 建筑设计：设计屋顶、支架等结构时，利用相似三角形稳定性和比例关系，优化结构尺寸与承重分布。 型 习 练 题 一、单选题 1．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由求出，进而即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴尺， ∴（尺）， 故选：． 2．如图，小明在A时测得某树的影长为时又测得该树的影长为．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 即树的高度为； 故选：B． 3．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 先证明，得到，代入求值即可解答． 【详解】解：由题意及图，得 ，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 二、填空题 4．如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为 ． 【答案】/4厘米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．通过证明三角形与三角形相似，利用相似三角形的性质，结合已知的线段比例和蜡烛高度，求出像的长度． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 已知，， ∴， ∴， 故答案为： 5．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．设与交点为E，正方形的边长为x，得到，根据正方形性质得到，得到，推出，解得． 【详解】解：设与交点为E，正方形的边长为x， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长是 故答案为：24． 6．据《墨经》记载，两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．在一次综合实践课上，小华测得旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附近一座纪念塔的影子长为60米，那么这座纪念塔的高度为 米． 【答案】25 【分析】此题考查了勾股定理，相似三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理求出旗杆高度，再利用平行投影中物体高度与影长成比例的关系求解． 【详解】由题意，旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，影子长为12米， ∴旗杆高度为（米）． 设纪念塔的高度为h米， 根据题意得，物体高度与影长成比例， ∴， 解得． 故答案为：25． 三、解答题 8．白河，古称淯水、白水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为1200米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 【答案】800米 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握利用平行证明三角形相似，结合相似三角形的对应边成比例求解线段长度是解题的关键． 通过证明求出，再证明得，然后代入数据即可求解． 【详解】解：过点E作，垂足为H， ， ， ∴， ∴ ． ，， ． ， ， ，即 ∴． 答：河流的宽度为800米． 9．如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图.小树在路灯的照射下形成投影，这位同学测得树高，树影，树与路灯的水平距离．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明可得，再利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ． ∴， ∴： ∴， ∴路灯的高度为． 10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，求树高．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用．利用勾股定理求出的长，根据，求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 答：树高的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.7应用举例 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 测量高度：通过测量可到达物体的影长与已知高度物体的影长，利用相似三角形对应边成比例计算不可直接测量物体（如旗杆、树、建筑物）的高度。 测量距离：无法直接测量两点间距离时（如河宽、山间距），构造相似三角形，测量可及边长度，依据相似比求出未知距离。 图纸缩放：地图、工程图纸等按比例绘制，利用相似三角形原理保证图形形状不变，实现实际物体与图纸的相似转换。 光学应用：照相机、投影仪成像利用相似三角形，物体与像通过透镜形成相似图形，根据相似比计算像的大小或物距、像距。 零件加工：按图纸加工零件时，依据相似三角形确定各部分尺寸比例，确保加工零件与设计模型形状一致。 建筑设计：设计屋顶、支架等结构时，利用相似三角形稳定性和比例关系，优化结构尺寸与承重分布。 型 习 练 题 一、单选题 1．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．如图，小明在A时测得某树的影长为时又测得该树的影长为．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为 ． 5．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 6．据《墨经》记载，两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 7．在一次综合实践课上，小华测得旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附近一座纪念塔的影子长为60米，那么这座纪念塔的高度为 米． 三、解答题 8．白河，古称淯水、白水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为1200米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 9．如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图.小树在路灯的照射下形成投影，这位同学测得树高，树影，树与路灯的水平距离．求路灯的高度． 10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，求树高．    学科网（北京）股份有限公司 $