18.7应用举例 同步练习2024－2025学年北京版数学九年级上册

18.7应用举例 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（  ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．不变 D．先变短后变长再变短 3．如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长米，窗户的下檐到教室地面的距离米（点、、在同一直线上），则窗户的高为（   ） A．米 B．1米 C．米 D．2米 4．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（　　）    A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm 5．如图所示，身高为的小刚站在离路灯底部处时发现自己的影长恰好为，则该路灯的高度是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，则河的宽度AB约为(       ) A．20m B．18m C．28m D．30m 7．如图，小明同学自制了一个小孔成像装置，其中直筒的长度为10cm．他准备了一支长为15cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离直筒________cm远的地方．（　　） A．10 B．15 C．20 D．30 8．如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2m，并测得，，那么树DB的高度是（    ） A．6m B．8m C．32m D．25m 9．小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆，使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点、、在一条直线上），量得米，米，米，则电线杆长为（    ） A．2米 B．3米 C．4.5米 D．5米 10．在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则树的高度为（    ） A．4.8m B．6.4m C．9.6m D．10m 11．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的题意是：如图，四边形是矩形，已知尺，尺，则井深等于（    ） A．1.25尺 B．56.5尺 C．57.5尺 D．62.5尺 12．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（　　） A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m 二、填空题 13．身高1.6米的小华与同学一起利用旗杆的影子测量旗杆的高度，同一时刻，小华的影子长为3.2米，旗杆的影长为28米，则旗杆的高度是 米． 14．一竿高为米，其影长为米，同一时刻，某塔影长为米，某塔的高度是 ． 15．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.6米，他的影长为2米，他同学的身高为1.4米，则此时他的同学的影长为 米． 16．高为米的两路灯、之间的距离为米，身高米的亮亮站在之间某处，如图所示，点、、、、均在一条直线上，此时他身前身后两影子之和为 米． 17．如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得三点A、B、C在一条直线上，A、D、E在一条直线上，若，米，米，米，那么A、B两村间的距离为 米． 三、解答题 18．小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度，如图，相邻两盏路灯AC，BD的高度相等．某天晚上，小颍站在E点处，此时她身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；小华站在F点处，此时他身后影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，这时，小林测得米，已如米，小颖身高米，小华身高米，AC、BD、ME、NF均与地面垂直，请根据以上数据计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 19．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量旗杆高度    问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？ 组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案： 方案一 方案二 测量工具 标杆，皮尺 自制直角三角板硬纸板，皮尺 测量示意图   说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，测点与，在同一水平直线上，，，之间的距离都可以直接测得，且，，，，，都在同一竖直平面内，点，，三点在同一直线上．   说明：线段表示旗杆，小明的身高，测点与在同一水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且，，，，，，都在同一竖直平面内，点，，三点在同一直线上，点，，三点在同一直线上． 测量数据 ，之间的距离 ，之间的距离 ，之间的距离 的长度 的长度 的长度 请同学们根据上述材料，完成下列任务： 任务一： 根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度．（结果精确到； 任务二：    （1）小宇选择的测量工具是镜子和皮尺，图③是该方案的示意图．其中线段表示学校旗杆，请写出需要测量的线段有哪些？ （2）请写出一条利用小宇设计的方案进行测量时的注意事项． 20．为了测量路灯EP的长度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到B处，在之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置分别到C，D两点时，小明恰好能在镜中分别看到两灯全貌，其视线如图所示，已知点B，C，D，N在同一水平直线上，且，均垂直于，D、P、F三点共线，且，．已知小明眼睛离地面的高度，，，，．求路灯的长．（平面镜的大小忽略不计，结果精确到0.1）                21．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2是其光路简图：表示小孔，的长为物距，的长为像距，，，三点在同一条直线上，物于，像于． (1)求证：； (2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为．如果要估测太阳的直径，还需要测量______，用表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有，，的代数式表示） 22．小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 23．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 （1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ； 推广验证 （2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用 （3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积． 24．和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止. (1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________； (2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B B B D B C C 题号 11 12 答案 C D 1．B 【分析】求出的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵小明与大树都与地面垂直， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 2．C 【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得.又AB∥CD，得出，设=a,DF=b（a,b为常数），可得出，从而可以得出，结合可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果. 【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG, ∴四边形CDFE为矩形. ∴DF∥GH, ∴ 又AB∥CD，∴. 设=a，DF=b, ∴, ∴ ∴ ∴GH=， ∵a,b的长是定值不变， ∴当人从点走向点时两段影子之和不变． 故选：C. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 3．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，根据题意，，易证，再根据相似三角形的性质解答即可．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：， ，， 又，米， 米， （米）， ， ， ， 解得：米， 米． 故选：． 4．B 【详解】【分析】由已知可证△ABO∽CDO,故 ,即. 【详解】由已知可得，△ABO∽CDO, 所以， , 所以，， 所以，AB=5.4 故选B 【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质. 5．B 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，根据题意画出图形，构造出相似三角形是解答此题的关键． 如图，设为小刚，为路灯，，利用相似三角形的性质求得的长即可． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， 即：， 解得：m． 故选：B． 6．B 【分析】证明△ABC∽△ADE，利用相似比得到=，然后根据比例的性质求AB的长度． 【详解】∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴=， 即=， ∴AB=18m． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度． 7．D 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点O作，垂足为E，延长交于点F，根据题意可得：，，，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为E，延长交于点F， 由题意得：，，， ，， ， ， ， 解得：， 蜡烛应放在距离直筒远的地方， 故选：D． 8．B 【分析】根据三角形ACE与三角形ABD相似，得到对应边成比例，建立等式求解． 【详解】解：由题意可得，CE∥BD， ∴ ∴ 即 解得BD＝8m， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在三角形中一平行线平行于第三边，则这个平行线所截的小三角形与原三角形相似，相似三角形对边边成比例． 9．C 【分析】根据题意求出 ，利用相似三角形的对应边成比例即可求出答案. 【详解】 米 故选C 【点睛】本题主要考查了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出电线杆的高. 10．C 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】设树高为x米， 所以 x=4.8×2=9.6. 这棵树的高度为9.6米 故选C. 【点睛】考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键. 11．C 【分析】本题考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、求线段长等知识，由题意，数形结合，利用三角形相似的判定与性质得到，得到相似比，代值求解即可得到答案，熟练掌握相似三角形判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ，即，解得尺， 故选：C． 12．D 【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m， ∵△ABC∽△EDC， ∴， 即， 解得：AB＝6， 故选D． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键． 13．14． 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设旗杆的高度为xm， 则， 解得x=14． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力． 14．30米 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】设塔高为h米，根据同一时刻物高和影长成正比， 则有h：20=1.5：1，解得h=30， 所以塔的高度为30米． 故答案为30米． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 15．1.75 【分析】根据在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可． 【详解】解：设他的同学的影长为xm， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， 解得， 经检验，x=1.75是原方程的解， ∴他的同学的影长为1.75m， 故答案为：1.75． 【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想． 16．5 【分析】此题考查了相似三角形的应用；证明，得，则，证，得到，则，根据，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 即的长为5米． 故答案为：． 17．105 【分析】只要证得，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得（米）， 故答案为：105． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18．6.8米 【分析】根据证明△AME∽△BAD，△BNF∽△BCA，列出比例式即可求解． 【详解】解：设AE＝x，则BF＝20−10.2−x， ∵MEBD， ∴△AME∽△ADB， ∴，即， ∴x＝， ∵NFAC， ∴△BNF∽△BCA， ∴，即， ∴x＝9.8−， ∴＝9.8−， ∴BD≈6.8， 答：路灯的高度为6.8米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 19．任务一：方案一：； 方案二：； 任务二：（1）需要测量，，的长度． （2）多测两次，取其平均数，减小误差． 【分析】任务一：先证明三角形相似，再根据相似的性质列方程求解； 任务二：先证明三角形相似，再根据相似的性质列方程求解． 【详解】解：任务一：方案一：过作交于，交于，    则四边形，四边形都是矩形， ，， ∵， ， ，即：， 解得：； 方案二：（1），． ， ，即：， 解得：；    任务二：（1）由题意得：， ， ， 需要测量，，的长度．    （2）测量时的注意：多测两次，取其平均数，减小误差． 【点睛】本题考查了三角形相似，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键． 20．约 【分析】本题考查相似三角形的应用，解答的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识解决问题．先根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到， 过E作于G，则,，证明求得，进而求得即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， 过E作于G，则四边形是矩形， ∴,， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 答：路灯的长约为． 21．(1)见解析 (2)树叶缝隙到光斑中心的距离， 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，证明，，则，，进而结论得证； （2）由（1）中可知，如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离，进而可得太阳的直径可表示为． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）中可知，记光斑的直径为，太阳的直径可表示为，地球到太阳的距离为， ∴如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离， ∴，太阳的直径可表示为， 故答案为：树叶缝隙到光斑中心的距离， ． 22． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 23．（1）；（2）结论成立，证明看解析；（3） 【分析】（1）由题目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均为直角三角形，又因为，则有∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系； （2）在△ABD、△ACE、△BCF中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系； （3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，由此可知，，即可计算出，根据△ABP∽△EDP∽△CBD，从而有，由（2）结论有，最后即可计算出四边形ABCD的面积． 【详解】（1）∵△ABC是直角三角形， ∴， ∵△ABD、△ACE、△BCF均为直角三角形，且， ∴∽∽， ∴，， ∴ ∴得证． （2）成立，理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴， ∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，， ∴∽∽， ∴，， ∴ ∴得证． （3）过点A作AHBP于点H，连接PD，BD， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴PH=AH=， ∴，， ∴， ∵，ED=2， ∴，， ∴， ∵， ∴△ABP∽△EDP， ∴，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴△ABP∽△EDP∽△CBD ∴ 故最后答案为． 【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键． 24．(1)CD=EF，CDEF (2)CD=EF，CDEF，成立，理由见解析 (3)点D运动到BC的中点时，是菱形，证明见解析 【分析】（1）根据和均为等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根据E、D分别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CDEF； （2）连接BF，根据∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出△AFB≌△ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出△BFE是等边三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF， CD∥EF； （3）过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，推出AE=BE= AB，根据AB=AC， 推出AD⊥BC，得到EGAD，推出△EBG∽△ABD，推出，得到= h，根据CD=EF， CD∥EF，推出四边形CEFD是平行四边形，推出，根据EF=BD，EFBD，推出四边形BDEF是平行四边形，根据BF=EF，推出是菱形． 【详解】（1）∵和均为等边三角形， ∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°， 当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB， ∴CD=EF，CDEF； 故答案为：CD=EF，CD∥EF； （2）CD=EF，CDEF，成立． 证明： 连接BF， ∵∠FAD=∠BAC=60°， ∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD， 即∠FAB=∠DAC， ∵AF=AD，AB=AC， ∴△AFB≌△ADC(SAS)， ∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD， ∵AE=BD， ∴BE=CD， ∴BF=BE， ∴△BFE是等边三角形， ∴BF=EF，∠FEB=60°， ∴CD=EF，BCEF， 即CDEF， ∴CD=EF， CDEF； （3）如图，当点D运动到BC的中点时，四边形的面积是面积的一半，此时，四边形是菱形． 证明： 过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h， ∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE， ∴AE=BE= AB， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴EGAD， ∴△EBG∽△ABD， ∴， ∴= h， 由（2）知，CD=EF， CDEF， ∴四边形CEFD是平行四边形， ∴, 此时，EF=BD，EFBD， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵BF=EF， ∴是菱形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定． 学科网（北京）股份有限公司 $$