18.6相似三角形的性质（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

18.6相似三角形的性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。 对应边成比例：相似三角形的对应边长度的比等于相似比。 对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线的比都等于相似比。 周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。 面积比等于相似比的平方：两个相似三角形的面积之比等于它们相似比的平方。 型 习 练 题 利用相似三角形的性质求解 1．如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且相似比是， ∴， ∴， ∵， ∴， 则四边形的面积是， 故选：C． 2．若（    ） A．2 B．3 C．4 D．1.5 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应边成比例． 利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知边长求未知边长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．已知，与的面积比为，则和的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此由面积比可求相似比即可． 【详解】解：∵与的面积比为， ∴和的相似比为：，即． 故选D． 4．如图，已知，以下结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据，得出对应角相等，对应边成比例，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D． 5．如图，在中，点D，E分别在边，上，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由已知条件可得，，进而证明，得到，设，，从而求得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴． 故选：C． 利用相似求坐标 6．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    7．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 8．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】C 【详解】过点A作AE⊥OB于E，如图： ∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0）， ∴AE=2， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴， 可得：， 解得：OC=1， OE=EC﹣OC=2﹣1=1， 所以点A的坐标为（2，1）， 故选C． 9．已知:如图,点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C，D，E（E在格点上）为顶点的三角形与△ABC相似，则满足条件的点E的坐标共有(   ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【详解】根据相似三角形的边长的关系可知△CDE与△ABC相似的图形中点E的位置如图所示： 因此这样的点有6个. 故选A 考点：相似三角形 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 画相似三角形 11．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点在格点上，且与相似，且相似比为2．（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2) 取格点，连接与相交，交点即为点，根据相似三角形的判定与性质即可说理． 【详解】（1）解：作图如图，点即为所求作的点， ，， ，且相似比为2． （2）解：作图如图，点P即为所求作的点， ∵， ∴ ∴， 即． 12．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点．（网格线的交点） (1)在边上找一点，使得； (2)在边上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图、相似三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识， （1）取格点，结合勾股定理可得，进而证明，然后根据“ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明即可； （2）取格点，连接交于点，证明四边形为平行四边形，易得，然后根据“平行线分线段成比例定理”即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴； （2）如图所示，取格点，连接交于点，点即为所求， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 13．如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)图见解析，其相似比是 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． （1）先利用勾股定理可得的长，再根据相似三角形的判定即可得； （2）结合勾股定理和网格特点画出与相似，且相似比为的三角形即可得． 【详解】（1）解：这两个三角形相似，理由如下： 由图可知，，，，，，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求． ∵，，， ，，， ∴， ∴，其相似比是． 14．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图，相似三角形的判定和性质． （1）找一格点F，构造两个包含点的的矩形方格，并使，在上找一格点O，使，延长与交于点E，由于，则，故点E就是符合条件的点． （2）观察直角三角形，其两条直角边之比为，于是找到适当格点，构造，连结，相交于点E，由相似三角形的性质可得，于是可证，再由可知点D与点E到的距离相等，因此点D关于的对称点是点E，故点E就是符合条件的点． 【详解】（1）如图，点E即为所求； （2）如图，点E即为所求； 15．已知与相似，点分别对应于点，其中． (1)求的长； (2)如图，将放置在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出（仅用无刻度直尺画图，并标明点的位置）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用网格作相似三角形，掌握相似三角形的性质和网格线的特征是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质求解； （2）先根据相似三角形的性质得出为直角三角形，再根据网格的特点作图． 【详解】（1）解：∵与相似，点分别对应于点， ∴， ． 又， ， ． （2）解：如图所示，即为所求． 相似三角形的判断与性质综合 16．如图，在与中，连接、并延长交于G．若，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据题干得出，，证明，利用相似的性质得出，结合，证明，根据相似的性质即可解题． 【详解】证明：记与相交于点，如图所示： ，， ． ， ， ， ． ， ． 又， ． ∴． 17．如图，，是的高． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由垂线定义得，再结合即可得证； （2）结合相似三角形的性质得，再将、、代入即可得解． 【详解】（1）证明：∵，是的高， ∴， 又∵， ； （2）解：， ， ，，， ， 解得． 18．如图，在四边形中，点为上一点，，当在上何位置时，？ 【答案】当点P为的中点时，， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，可得，结合点P为的中点，可得，即可解答． 【详解】解：当点P为的中点时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 19．如图，为的一条中线，为的重心，，交，于点，，交于点，求与的比． 【答案】 【分析】根据重心的性质得到，再根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵点为的重心， ∴， ∴， ∵为的一条中线， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即与的比为． 【点评】本题考查三角形的重心，三角形的中线，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍． 20．如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)吗？说明理由 (3)如果的面积为2，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)24 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得，即可得证； （2）由得，即可得证； （3）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． 又， ． （2）解：，理由如下： ， ． ． ． （3）解：， ． ， ， ． 设， ， ， ． ，， ． ， 解得． ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.6相似三角形的性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。 对应边成比例：相似三角形的对应边长度的比等于相似比。 对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线的比都等于相似比。 周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。 面积比等于相似比的平方：两个相似三角形的面积之比等于它们相似比的平方。 型 习 练 题 利用相似三角形的性质求解 1．如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．若（    ） A．2 B．3 C．4 D．1.5 3．已知，与的面积比为，则和的相似比为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，以下结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点D，E分别在边，上，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 利用相似求坐标 6．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 7．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 8．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 9．已知:如图,点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C，D，E（E在格点上）为顶点的三角形与△ABC相似，则满足条件的点E的坐标共有(   ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 画相似三角形 11．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点在格点上，且与相似，且相似比为2．（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点，使（保留作图痕迹）． 12．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点．（网格线的交点） (1)在边上找一点，使得； (2)在边上找一点，使得． 13．如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 14．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 15．已知与相似，点分别对应于点，其中． (1)求的长； (2)如图，将放置在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出（仅用无刻度直尺画图，并标明点的位置）． 相似三角形的判断与性质综合 16．如图，在与中，连接、并延长交于G．若，，求证：． 17．如图，，是的高． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 18．如图，在四边形中，点为上一点，，当在上何位置时，？ 19．如图，为的一条中线，为的重心，，交，于点，，交于点，求与的比． 20．如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)吗？说明理由 (3)如果的面积为2，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $