18.4相似多边形（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版（2012）数学九年级上册

18.4相似多边形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、相似多边形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 二、相似多边形的表示方法 相似多边形用符号“∽”表示，读作“相似于”。若多边形ABCDE与多边形A'B'C'D'E'相似，则记作多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'。 三、相似多边形的性质 1. 对应角相等：相似多边形的对应角大小相等。 2. 对应边成比例：相似多边形的对应边长度的比值相等，这个比值称为相似比（或相似系数）。 3. 周长比等于相似比：相似多边形的周长之比等于它们的相似比。 4. 面积比等于相似比的平方：相似多边形的面积之比等于它们相似比的平方。 四、相似多边形的判定 判定两个多边形相似，必须同时满足两个条件： 1. 所有对应角都相等； 2. 所有对应边都成比例。 （注：对于三角形而言，有多种简化的判定方法，但对于一般多边形，这两个条件缺一不可。） 型 习 练 题 相似多边形 1．下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 2．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 3．将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各组图形中一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正五边形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 5．如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 相似多边形的性质 6．用放大镜看到的六边形与原六边形相比较，不发生改变的是（    ） A．每条边的长度 B．周长 C．面积 D．每个内角的度数 7．一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 8．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 相似图形 11．下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 12．下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正方形 13．如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（    ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 14．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 15．下列图形中一定相似的是（    ） A．四个角对应相等的两个四边形 B．四条边之比对应相等的两个四边形 C．有一个角对应相等的两个菱形 D．同一腰上两角对应相等的两个等腰梯形 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.4相似多边形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、相似多边形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 二、相似多边形的表示方法 相似多边形用符号“∽”表示，读作“相似于”。若多边形ABCDE与多边形A'B'C'D'E'相似，则记作多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'。 三、相似多边形的性质 1. 对应角相等：相似多边形的对应角大小相等。 2. 对应边成比例：相似多边形的对应边长度的比值相等，这个比值称为相似比（或相似系数）。 3. 周长比等于相似比：相似多边形的周长之比等于它们的相似比。 4. 面积比等于相似比的平方：相似多边形的面积之比等于它们相似比的平方。 四、相似多边形的判定 判定两个多边形相似，必须同时满足两个条件： 1. 所有对应角都相等； 2. 所有对应边都成比例。 （注：对于三角形而言，有多种简化的判定方法，但对于一般多边形，这两个条件缺一不可。） 型 习 练 题 相似多边形 1．下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，解题关键是掌握相似多边形的条件是对应角相等且对应边成比例．根据相似多边形的条件，结合矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，逐一分析，即可判断． 【详解】∵ 相似多边形需对应角相等且对应边成比例， 矩形角都相等，但边长比例可能不同，如长宽分别为与的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误． 菱形边都相等，但角可能不相等，如一个内角为的菱形与一个内角为的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故B错误． 正方形角都相等且边都相等，符合对应角相等且对应边成比例，因此任意两个正方形相似，故C正确． 故选：C． 3．将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 利用相似多边形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似，进而判断即可． 【详解】解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， ∵三角形、菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形、菱形、正方形相似， 故选：C． 4．下列各组图形中一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正五边形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义解答即可． 【详解】解：A、两个矩形的对应边不一定成比例，故两个矩形不一定相似，不符合题意； B、两个正五边形一定相似，符合题意； C、两个菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意， 故选：B． 5．如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 【答案】C 【分析】此题主要考查相似图形性质，关键要找出矩形相邻两边的比例．甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为，然后观察比较就可得出答案． 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 相似多边形的性质 6．用放大镜看到的六边形与原六边形相比较，不发生改变的是（    ） A．每条边的长度 B．周长 C．面积 D．每个内角的度数 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质． 根据相似多边形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的六边形与原六边形是相似的关系， ∴用放大镜看到的六边形与原六边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变． 故选：D． 7．一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质． 利用相似多边形对应边成比例的性质，通过最长边求比值，再求最短边． 【详解】解：∵两个多边形相似， ∴对应边成比例， 原多边形边长分别为3、4、5、6、7，最长边为7，最短边为3， 相似多边形最长边为28， 设比值为k， 则， ∴相似多边形最短边． 故选：C． 8．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断． 【详解】解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 故选C． 9．如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴，， 故只有选项B是错误的； 故选B． 10．若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似六边形的面积比为， ∴相似比的平方为， ∴相似比为． 故选：B 相似图形 11．下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 12．下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似形的定义，掌握相似形的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似形”是解题的关键． 【详解】解：A、两个等腰三角形的顶角可能不等，不一定相似； B、两个菱形的内角可能不等，不一定相似； C、两个直角三角形的锐角可能不等，不一定相似； D、∵两个正方形的所有内角均为，对应角相等；且所有边相等，对应边成比例， ∴ 两个正方形一定相似； 故选：D． 13．如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（    ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的概念，解题的关键是掌握相关的概念，根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】解：用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，只改变了图形的大小，没有改变形状，两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 14．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的识别，形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的两个图形相似， 故选：D． 15．下列图形中一定相似的是（    ） A．四个角对应相等的两个四边形 B．四条边之比对应相等的两个四边形 C．有一个角对应相等的两个菱形 D．同一腰上两角对应相等的两个等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，准确分析是解题的关键． 判定相似多边形必须同时满足对应角相等和对应边成比例，菱形因其特殊性质，一个角相等即可推出相似． 【详解】菱形的四条边相等，且对角相等，邻角互补， 若两个菱形有一个角相等，则所有对应角相等。 又菱形的边都相等， 对应边成比例， 两个菱形相似，选项正确； 对于其他选项： 选项中，四个角相等的四边形（如矩形和正方形）不一定边成比例； 选项中，四条边对应成比例的四边形（如菱形和正方形）不一定角相等； 选项中，同一腰上两角对应相等的等腰梯形不一定所有角相等且边成比例． 故选． 学科网（北京）股份有限公司 $