18.2黄金分割（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版（2012）数学九年级上册

18.2黄金分割 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 黄金分割 1. 定义：点 (C) 把线段 (AB) 分成两条线段 (AC) 和 (BC)（(AC > BC)），如果，那么称线段 (AB) 被点 (C) 黄金分割，点 (C) 叫做线段 (AB) 的黄金分割点，(AC) 与 (AB) 的比叫做黄金比。 2. 黄金比的值：黄金比为，即，。 型 习 练 题 一、单选题 1．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的定义．把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 故选：A． 2．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先根据黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，计算出矩形的宽，在根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比， ， ， ， 根据矩形的性质得：， , 故选：A 3．已知点P是线段的黄金分割点（），，那么的长是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为整条线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段, 则． 故选：A． 4．如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵点是靠近点的黄金分割点， ， ， 故选：C． 二、填空题 5．如图已知点、都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，黄金分割点的比例为，由黄金分割点定义即可求解． 【详解】解：∵点、都是线段的黄金分割点， ∴ ∴ 故答案为：． 6．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台的长为12米，那么舞台的长为 （保留根号）． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割点，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．根据黄金分割点的定义，分和两种情况求解即可． 【详解】解：设米，则米， 当时，即，即， 整理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，即，即， 整理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，舞台的长为或． 故答案为：或． 7．黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割比，一元一次方程，解题的关键是掌握概念，利用较长的线段与整条线段的比值建立等式． 【详解】解：根据，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）． 根据，设，， ， 解得：， ∴ 故答案为：． 8．一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则它应至少再走 米才最理想．（结果精确到米） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，由题意可知，当点为线段的黄金分割点，且点靠近点时，的长度即为主持人走的最短距离，再根据黄金分割的定义列式计算即可，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设主持人站的最理想的位置为点，由题意可知，当点为线段的黄金分割点，且点靠近点时，的长度即为主持人走的最短距离， ∴， 即， 解得， ∴它应至少再走米才最理想， 故答案为：． 9．如图，小提琴的设计中蕴含着数学知识，点是线段的黄金分割点（），若小提琴的总长度为，则琴身的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割比例是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，利用黄金分割比例公式计算的长度． 【详解】∵点是线段的黄金分割点（）， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 10．（1）若，求的值； （2）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，求的长度．（保留根号） 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查比例的性质，黄金分割，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用设参法，进行求解即可； （2）根据黄金分割的定义，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴设， ∴； （2）∵P为的黄金分割点（）， ∴； ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.2黄金分割 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 黄金分割 1. 定义：点 (C) 把线段 (AB) 分成两条线段 (AC) 和 (BC)（(AC > BC)），如果，那么称线段 (AB) 被点 (C) 黄金分割，点 (C) 叫做线段 (AB) 的黄金分割点，(AC) 与 (AB) 的比叫做黄金比。 2. 黄金比的值：黄金比为，即，。 型 习 练 题 一、单选题 1．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．已知点P是线段的黄金分割点（），，那么的长是（   ） A． B．3 C． D． 4．如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图已知点、都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 6．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台的长为12米，那么舞台的长为 （保留根号）． 7．黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号） 8．一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则它应至少再走 米才最理想．（结果精确到米） 9．如图，小提琴的设计中蕴含着数学知识，点是线段的黄金分割点（），若小提琴的总长度为，则琴身的长为 ．（结果保留根号） 三、解答题 10．（1）若，求的值； （2）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，求的长度．（保留根号） 学科网（北京）股份有限公司 $