重庆市铜梁区巴川中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

重庆市铜梁区巴川中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 一.选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代码为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向下，顶点坐标（﹣2，3） B．对称轴为直线x＝3 C．与y轴交于点（0，3） D．当x＜2时，y随x的增大而增大 3．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 4．若，则m的取值范围是（　　） A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＜0 B．b2﹣4ac≥0 C．9a﹣3b+c＜0 D．2a+b＝0 6．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．3.1（1﹣x）2＝27.9 B．3.1（1+x）2＝27.9 C．3.1（1﹣x）10＝27.9 D．3.1（1+x）10＝27.9 7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交BC于点P，交AB于点M，交AC于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 8．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第11种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且CE＝DF，连接AF，DE，点G在AB边上，连接DG交AF于点H，若∠AHG＝α，则∠EDG的度数为（　　） A．2α B．45°+α C．90°﹣α D．180°﹣2α 10．已知整式M：，整式N：，令，令，其中a1，a0，b1，b0为自然数，a2，b2，m，n为正整数，下列说法，其中正确的个数是（　　） ①若x＝1，M+N＝10时，则m+n＝4；②若x＝2，a0＝b0时，则M+N的值不可能是奇数；③若m＝2，则满足条件的整式M共有10个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二.填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣6）关于原点的对称点的坐标为　 　 ． 12．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣2m2+2m的值是　 　 ． 13．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为3，则点O到AC的距离OG的长为　 　 ． 14．关于x的分式方程的解为整数，且关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣3x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点，则符合条件的所有整数m的和为 　 　 ． 15．如图，AB是⊙O的直径，点C，E为圆上两点，若点C为BD的中点，连接DE并延长与⊙O交于点F，与CA的延长线交于点H．若2∠D+∠DBE＝180°，BC＝3，HC＝12，则BE＝ 　 　 ，AH＝ 　 　 ． 16．一个四位正整数N，其各个数位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数N叫“间倍数”，例如4621满足4÷2＝2，6÷1＝6，则4621是“间倍数”．最小的“间倍数”是　 　 ；已知“间倍数”（1≤n，a，b≤9）且n，a，b均为整数，当“间倍数”N能被3整除，且|a﹣b|＝1时，则符合题意的最大“间倍数”N为　 　 ． 三．解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解方程或计算： （1）x（x﹣5）＝6（5﹣x）； （2）． 18．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上的一点，连接CE． （1）用尺规作图，完成以下基本作图：在∠DAB内部作∠DAF＝∠ECB，交线段BC于点F，连接BE交AF于点G，连接DF交EC于点H． （2）在（1）问所求作的图形中． 求证：四边形EGFH是平行四边形． 证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴①　 　 ． ∵∠DAF＝∠ECB， ∴∠DAF+∠AEC＝180°， ∴②　 　 ． ∴四边形AFCE是平行四边形． ∴AE＝CF． ∵AD＝BC， ∴③　 　 ． ∵BF∥ED， ∴四边形EBFD是平行四边形． ∴BE∥DF． ∵EG∥FH，EH∥GF， ∴四边形EGFH是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形AFCE是平行四边形时，我们发现用一组对边和一组对角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：④　 　 的四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动．现从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一言之成理的理由即可） （3）若该校八年级有760名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20．）如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD． （1）求证明：AD是⊙D的切线； （2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长． 21．）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，已知每本A书籍的进价是B书籍的两倍，商家用1800元购买的A书籍的数量比用1200元购买的B书籍的数量少20本． （1）求商家购买每本A书籍和每本B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本39元，B书籍的售价为每本24元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元且B书籍的售价不低于21元，则每本B书籍的售价为多少元？ 22．）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→D方向运动；动点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线AD方向运动．当点P追上点Q时，P、Q均停止运动．设运动时间为x秒，△BPQ的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． （3）结合函数图象，若直线与函数图象只有1个交点，请直接写出t的取值范围． 23．）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东45°，D与A相距1800m．C地位于B地北偏东60°方向上，且C与B地相距800m，E地位于D地南偏东60°方向上，且位于C地正北方． （1）请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） （2）甲以每分钟90米的速度从D出发，沿路线D→A→B跑步前进，与此同时，乙以每分钟60米的速度从D出发，沿路线D→E→C→B步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（结果精确到0.01）（参考数据：，， 24．）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）交x轴于A、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，若OC＝2OA． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，过点P作PA⊥BC于点N．求的最大值和此时点P的坐标； （3）将该抛物线沿AC方向平移个单位长度得到得新抛物线y′，Q为新抛物线y′上的一个动点．当∠QBC﹣∠ACO＝45°时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 25．）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，点D是BC的中点，点E是AC上一点，连接DE，作DF⊥DE交AB于点F．若，，求线段BF的长； （2）如图2，点D是BC延长线上一点，连接AD，以AD为直角边在AD上方作等腰直角△ADF，∠DAF＝90°，点E是FD的中点，连接BE并延长到点H，连接DH，若2∠H+∠HBD＝90°，用等式表示线段HE、EB、CD之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点D是线段BC上一动点，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°到MD，连接AM，点E是线段AC上一点，满足2CE＝AE＝2，连接EM，点P是线段AD上一点，连接PM，当EM最小时，在平面内将△APM沿PM翻折至△NPM，连接CN，请直接写出CN的最小值． 重庆市铜梁区巴川中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B C B A C C D 一.选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代码为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向下，顶点坐标（﹣2，3） B．对称轴为直线x＝3 C．与y轴交于点（0，3） D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的性质，逐项判断，即可求解． 【解答】解：∵﹣1＜0，y＝﹣（x﹣2）2+3 ∴抛物线开口向下，顶点坐标（2，3），故A选项错误，不符合题意； 抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的对称轴为直线x＝2，故B选项错误，不符合题意； 抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3与y轴交于点（0，﹣1），故C选项错误，不符合题意； 当x＜2时，y随x的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 3．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球， ∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：． 故选：A． 4．若，则m的取值范围是（　　） A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 【分析】先根据二次根式混合运算的方法计算结果，再根据算术平方根的定义估算无理数﹣2d的大小即可． 【解答】解：m＝﹣2， ∵5＜＜6， ∴3﹣2＜4， 即3＜m＜4， 故选：B． 5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＜0 B．b2﹣4ac≥0 C．9a﹣3b+c＜0 D．2a+b＝0 【分析】通过观察抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等特征，来判断各项结论的正确性． 【解答】解：A、由图象得：a＜0，c＞0， ∵抛物线对称轴为x＝﹣1， ∵， ∴b＝2a＜0， ∴abc＞0，故A选项不符合题意； B、∵从图象可以看到抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， 故：b2﹣4ac＞0，（这里不能取等号，因为是两个不同交点），故B选项不符合题意； C、∵观察图象可知，当x＝﹣3时，y＜0， 即：y＝9a﹣3b+c＜0，故C选项符合题意； D、由图可知：对称轴公式，得到b＝2a，移项可得2a﹣b＝0，而不是2a+b＝0，故D选项不符合题意； 故选：C． 6．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．3.1（1﹣x）2＝27.9 B．3.1（1+x）2＝27.9 C．3.1（1﹣x）10＝27.9 D．3.1（1+x）10＝27.9 【分析】利用2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量＝2015年同期阅兵的相关信息量×（1+2015年同期阅兵的相关信息量）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：3.1（1+x）2＝27.9． 故选：B． 7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交BC于点P，交AB于点M，交AC于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用直角三角形的面积减去两个扇形的面积进行求解即可． 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴∠B+∠C＝90°，BC＝＝10， ∵以B、C为圆心，长为半径画弧， ∴扇形CPN和扇形BPM的半径相同，均为5， ∴两个扇形的面积之和＝＝π， ∴阴影部分的面积为：S△ABC﹣π＝﹣π＝24﹣π． 故选：A． 8．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第11种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【分析】根据所给图形，依次求出化合物的分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个． 当n＝11时， 2n+2＝2×11+2＝24（个）， 即第11种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为24个． 故选：C． 9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且CE＝DF，连接AF，DE，点G在AB边上，连接DG交AF于点H，若∠AHG＝α，则∠EDG的度数为（　　） A．2α B．45°+α C．90°﹣α D．180°﹣2α 【分析】设∠DAF＝β，则∠ADH＝α﹣β，证明△ADF和△DCE全等得∠DAF＝∠CDE＝β，由此可得出∠EDG的度数． 【解答】解：设∠DAF＝β， ∵∠AHG是△ADH的外角，∠AHG＝α， ∴∠AHG＝∠DAF+∠ADH， ∴∠ADH＝∠AHG﹣∠DAF＝α﹣β， ∵四边形ABC是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE＝β， ∴∠EDG＝∠ADC﹣（∠ADH+∠CDE）＝90°﹣（α﹣β+β）＝90°﹣α． 故选：C． 10．已知整式M：，整式N：，令，令，其中a1，a0，b1，b0为自然数，a2，b2，m，n为正整数，下列说法，其中正确的个数是（　　） ①若x＝1，M+N＝10时，则m+n＝4；②若x＝2，a0＝b0时，则M+N的值不可能是奇数；③若m＝2，则满足条件的整式M共有10个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】把x＝1，M+N＝10代入可得m2+n2＝10，再结合m，n为正整数，可得到m，n的值，即可判断；②设a0＝b0＝k，把x＝2代入，可得M+N＝2[2（a2+b2）+（a1+b1）+k]，即可判断；③把m＝2代入，可得，分别根据a2＝1时，a2＝2时，a2＝3时，a2＝4时，分别讨论各种情况数，即可判定③正确． 【解答】解：①∵x＝1，M+N＝10， ∴M+N＝a2+a1+a0+b2+b1+b0＝10， ∵a2+a1+a0＝m2，b2+b1+b0＝n2， ∴m2+n2＝10， ∵m，n为正整数， ∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3， ∴m+n＝4，故①正确，符合题意； ②设a0＝b0＝k， ∵x＝2， ∴M+N＝4a2+2a1+2a0+4b2+2b1+b0， ＝4（a2+b2）+2（a1+b1）+a0+b0， ＝2[2（a2+b2）+（a1+b1）+k]， ∴M+N的值一定为偶数，不可能是奇数，故②正确，符合题意； ③若m＝2，此时a2+a1+a0＝m2＝4，列举a2（正整数）的可能值： a2＝l时，a1+a0＝3，有4种组合； a2＝2时，a1+a0＝2，有3种组合； a2＝3时，a1+a0＝1，有2种组合； a2＝4时，a1+a0＝0，有1种组合； 总共有4+3+2+1＝10种，故③正确，符合题意； 综上，正确的有①②③，共3个． 故选：D． 二.填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣6）关于原点的对称点的坐标为　（﹣5，6）　 ． 【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（5，﹣6）关于原点的对称点的坐标为（﹣5，6）． 故答案为：（﹣5，6）． 12．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣2m2+2m的值是　2023　 ． 【分析】根据题意可得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0中得：m2﹣m﹣1＝0，从而可得m2﹣m＝1，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0中得：m2﹣m﹣1＝0， ∴m2﹣m＝1， ∴2025﹣2m2+2m＝2025﹣2（m2﹣m）＝2025﹣2×1＝2025﹣2＝2023， 故答案为：2023． 13．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为3，则点O到AC的距离OG的长为　　 ． 【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠AOG＝＝60°， 在Rt△AOG中，OA＝3，∠AOG＝60°， ∴OG＝OA＝， 故答案为：． 14．关于x的分式方程的解为整数，且关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣3x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点，则符合条件的所有整数m的和为 　13　 ． 【分析】先解分式方程得到x＝，再利用x为整数和﹣1≠0得到m的值为3，1，4，0，5，﹣1，﹣4，再根据根的判别式的意义得到m+1≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（m+1）×（﹣1）＞0，解得m＞﹣且m≠﹣1，从而确定满足条件的m的值，然后计算它们的和即可． 【解答】解：去分母得8﹣mx＝﹣2（x﹣1）， 整理得（m﹣2）x＝6， 当m﹣2≠0时，x＝， ∵x为整数， ∴m﹣2＝±1，±2，±3，±6， ∴m为3，1，4，0，5，﹣1，8，﹣4 ∵x﹣1≠0， ∴﹣1≠0， 解得m≠8， ∴m的值为3，1，4，0，5，﹣1，﹣4， ∵关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣3x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点， ∴m+1≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（m+1）×（﹣1）＞0， 解得m＞﹣且m≠﹣1， ∴m的值为0，1，3，4，5， ∴符合条件的所有整数m的和为0+1+3+4+5＝13． 故答案为：13． 15．如图，AB是⊙O的直径，点C，E为圆上两点，若点C为BD的中点，连接DE并延长与⊙O交于点F，与CA的延长线交于点H．若2∠D+∠DBE＝180°，BC＝3，HC＝12，则BE＝ 　6　 ，AH＝ 　　 ． 【分析】根据点C为BD的中点，BC＝3得BD＝6，根据三角形内角和定理得∠D+∠DBE+∠BED＝180°，再根据2∠D+∠DBE＝180°得∠BED＝∠D，则BE＝BD＝6；连接AE，设AH＝a，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB＝∠ACD＝∠AEB＝90°，进而根据三角形内角和定理及2∠D+∠DBE＝180°得∠H＝∠AEH，则AE＝AH＝a，AC＝12﹣a，在Rt△ABC和Rt△ABE中，由勾股定理得 （12﹣a）2+32＝a2+62，由此解出a的值即可得出AH的长． 【解答】解：∵点C为BD的中点，BC＝3， ∴CD＝BC＝3， ∴BD＝CD+BC＝6， 在△BDE中，∠D+∠DBE+∠BED＝180°， ∵2∠D+∠DBE＝180°， ∴∠D+∠DBE+∠BED＝2∠D+∠DBE， ∴∠BED＝∠D， ∴BE＝BD＝6； 连接AE，设AH＝a，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ACD＝∠AEB＝90°， 在Rt△HBC中，∠H+∠D＝90°， ∴2∠H+2∠D＝180°， ∵2∠D+∠DBE＝180°， ∴∠DBE＝2∠H， 根据圆周角定理得：∠EAC＝∠DBE， ∴∠EAC＝2∠H， ∵∠EAC是△AEH的外角， ∴∠EAC＝∠H+∠AEH， ∴2∠H＝∠H+∠AEH， ∴∠H＝∠AEH， ∴AE＝AH＝a， ∵HC＝12， ∴AC＝HC﹣AH＝12﹣a， 在Rt△ABC和Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝AE2+BE2， ∴（12﹣a）2+32＝a2+62， 解得：a＝， ∴AH＝a＝． 故答案为：6；． 16．一个四位正整数N，其各个数位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数N叫“间倍数”，例如4621满足4÷2＝2，6÷1＝6，则4621是“间倍数”．最小的“间倍数”是　2613　 ；已知“间倍数”（1≤n，a，b≤9）且n，a，b均为整数，当“间倍数”N能被3整除，且|a﹣b|＝1时，则符合题意的最大“间倍数”N为　8643　 ． 【分析】根据定义可得2为1的倍数，千位不能为0，则千位为2，十位为1，各个位上数字均不相同，则个位为3，百位为6，即可求解；根据题意求得 N＝（100n+1）（10a+b），根据整除求得n＝2或5或8，再根据|a﹣b|＝1，分类求得a、b的值，结合定义，分类讨论求解即可． 【解答】解：2为1的倍数，千位不能为0，则千位为2，十位为1， ∵各个位上数字均不相同，则个位为3，百位为6， ∴最小的“间倍数”是2613， 故答案为：2613； ∵ ＝1000na+100nb+10a+b ＝100n（10a+b）+（10a+b） ＝（100n+1）（10a+b）， ∵无论两位数ab是什么数，“间倍数”N都能被3整除， ∴100n+1能被3整除， ∴n＝2或5或8， ∵|a﹣b|＝1， 当a＞b时，b＝a﹣1， 则ab＝10a+b＝10a+a﹣1＝1la﹣1， ∴两位数ab＝21、32、43、54、65、76、87、98， ∵N为四位数， ∴两位数ab＝21、32、43， 当n＝2时，＝4221、6432、8643，其中4221中的数字2重复，不是“间倍数”， 当n＝5时，两位数ab＝21，N＝10521不是四位数， 当n＝8时，不存在“间倍数”， 当a＜b时，b＝a+1，则ab＝10a+b＝10a+a+1＝11a+1， ∴两位数ab＝12、23、24， 当n＝2时，＝2412、4623、6834，其中2412中数字2重复，不是“间倍数”， 当n＝5时，两位数ab＝12，N＝6012，存在0，不是“间倍数”， 当n＝8时，两位数ab＝12，N＝9612此时，非数字为倍数关系故舍去， 综上所述，所有符合题意的“间倍数”N为6432、8643、4623、6834， ∴符合题意的最大“间倍数”N为8643， 故答案为：8643． 三．解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解方程或计算： （1）x（x﹣5）＝6（5﹣x）； （2）． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）根据分式的基本性质进行计算即可． 【解答】解：（1）x（x﹣5）＝6（5﹣x）， x（x﹣5）+6（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x+6）＝0， 则x﹣5＝0或x+6＝0， 所以x1＝5，x2＝﹣6； （2）原式＝ ＝ ＝x2+x﹣x2+4x﹣4 ＝5x﹣4． 18．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上的一点，连接CE． （1）用尺规作图，完成以下基本作图：在∠DAB内部作∠DAF＝∠ECB，交线段BC于点F，连接BE交AF于点G，连接DF交EC于点H． （2）在（1）问所求作的图形中． 求证：四边形EGFH是平行四边形． 证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴①　∠ECB+∠AEC＝180°　 ． ∵∠DAF＝∠ECB， ∴∠DAF+∠AEC＝180°， ∴②AF∥CE ． ∴四边形AFCE是平行四边形． ∴AE＝CF． ∵AD＝BC， ∴③DE＝BF ． ∵BF∥ED， ∴四边形EBFD是平行四边形． ∴BE∥DF． ∵EG∥FH，EH∥GF， ∴四边形EGFH是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形AFCE是平行四边形时，我们发现用一组对边和一组对角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：④　有一组对边平行，有一组对角相等　 的四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可． （2）结合平行四边形的判定与性质填空即可． 【解答】（1）解：如图所示． （2）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ECB+∠AEC＝180°． ∵∠DAF＝∠ECB， ∴∠DAF+∠AEC＝180°， ∴AF∥CE． ∴四边形AFCE是平行四边形． ∴AE＝CF． ∵AD＝BC， ∴DE＝BF． ∵BF∥ED， ∴四边形EBFD是平行四边形． ∴BE∥DF． ∵EG∥FH，EH∥GF， ∴四边形EGFH是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形AFCE是平行四边形时，我们发现用一组对边和一组对角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：有一组对边平行，有一组对角相等的四边形是平行四边形． 故答案为：①∠ECB+∠AEC＝180°；②AF∥CE；③DE＝BF；④有一组对边平行，有一组对角相等． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动．现从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　93　 ，b＝　88.5　 ，m＝　30　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一言之成理的理由即可） （3）若该校八年级有760名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b，用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值； （2）从平均数、方差的角度比较得出结论； （3）用总人数乘九、八年级不低于90分人数所占百分比即可． 【解答】解：（1）由题意可知，八年级20名学生的竞赛成绩中93出现的次数最多，故众数a＝93； 九年级A组有：20×45%＝9（人）， 把九年级20名学生的竞赛成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是89，88，故中位数b＝＝88.5， m%＝×100%＝30%，即m＝30， 故答案为：93，88.5，30； （2）九年级学生的知识竞赛成绩更好，理由：两个年级的平均数相同，但九年级成绩的方差比八年级小，成绩更稳定．（答案不唯一）； （3）760×+800×45%＝778（人）， 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有778人． 20．）如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD． （1）求证明：AD是⊙D的切线； （2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长． 【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°即可； （2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD． ∵E为BC的中点， ∴OE⊥BC于F． ∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°， 则OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵∠AGD＝∠ADG， ∴∠ADG+∠ODE＝90°． 即OD⊥AD， ∴AD是⊙O的切线； （2）作OH⊥ED于H， ∴DE＝2DH， ∵∠ADG＝∠AGD， ∴AG＝AD， ∵∠A＝60°， ∴∠ADG＝60°， ∴∠ODE＝30°， ∵OD＝4， ∴DH＝OD＝2， ∴DE＝2DH＝4． 21．）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，已知每本A书籍的进价是B书籍的两倍，商家用1800元购买的A书籍的数量比用1200元购买的B书籍的数量少20本． （1）求商家购买每本A书籍和每本B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本39元，B书籍的售价为每本24元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元且B书籍的售价不低于21元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【分析】（1）设商家购买B书籍的进价为x元/本，则A书籍的进价为2x元/本，根据商家用1800元购买的A书籍的数量比用1200元购买的B书籍的数量少20本，列出分式方程，解方程即可； （2）设每本B书籍的售价为y元，则每本B书籍的销售利润为（y﹣15）元，平均每天可售出（265﹣10y）本，根据想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元且B书籍的售价不低于21元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设商家购买B书籍的进价为x元/本，则A书籍的进价为2x元/本， 根据题意得：＝﹣20， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×15＝30， 答：商家购买A书籍的进价为30元/本，B书籍的进价为15元/本； （2）设每本B书籍的售价为y元，则每本B书籍的销售利润为（y﹣15）元，平均每天可售出25+×5＝（265﹣10y）（本）， 根据题意得：（39﹣30）×50+（y﹣15）（265﹣10y）＝775， 整理得：2y2﹣83y+860＝0， 解得：y1＝21.5，y2＝20（不符合题意，舍去）， 答：每本B书籍的售价为21.5元． 22．）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→D方向运动；动点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线AD方向运动．当点P追上点Q时，P、Q均停止运动．设运动时间为x秒，△BPQ的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． （3）结合函数图象，若直线与函数图象只有1个交点，请直接写出t的取值范围． 【分析】（1）分两种情况，根据三角形面积公式即可写出y与x的函数关系式； （2）结合（1）画出图象即可； （3）根据直线与直线y＝﹣x平行，再结合图象可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，2x﹣6＝x， ∴x＝6， ∴0＜x＜6， 当0＜x＜3时，AQ＝x，BP＝2x， ∴． 当3≤x＜6时，AQ＝x，AP＝2x﹣6， ∴PQ＝x﹣（2x﹣6）＝6﹣x， ∴． ∴； （2）由题意，y＝x2，抛物线顶点为（0，0）：y＝﹣3x+18过（3，9）和（6，0）． 如图所示：当x＝3时，△BPQ的面积最大为9（答案不唯一）； （3）由题意，直线与直线y＝﹣x平行， 又当直线过（6，0）时，则﹣×6+t＝0， ∴t＝3． 又当直线过（3，9）时，则﹣×3+t＝9， ∴t＝10.5． ∴结合图象，根据直线与函数图象只有1个交点，则0≤t＜3或t＝10.5． 23．）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东45°，D与A相距1800m．C地位于B地北偏东60°方向上，且C与B地相距800m，E地位于D地南偏东60°方向上，且位于C地正北方． （1）请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） （2）甲以每分钟90米的速度从D出发，沿路线D→A→B跑步前进，与此同时，乙以每分钟60米的速度从D出发，沿路线D→E→C→B步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（结果精确到0.01）（参考数据：，， 【分析】（1）先由△ABD为等腰直角三角形得到AB＝BD＝900m，过E点作EF∥BC交BD于F点，如图，证明四边形BCEF为平行四边形得到BF＝CE，EF＝BC＝800m，证明△DEF为等边三角形得到DF＝EF＝DE＝800m，然后计算出BF＝BD﹣DF＝（900﹣800）m，从而得到CE的长； （2）利用速度公式计算出甲所需时间和乙所需时间，然后比较两时间的大小可判断谁先到达B地． 【解答】解：（1）根据题意得∠BAD＝45°，∠ABD＝90°， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴AB＝BD＝AD＝×1800＝900（m）， 过E点作EF∥BC交BD于F点，如图， ∵BC∥EF，BD∥CE， ∴四边形BCEF为平行四边形，∠DFE＝∠DBC＝60°， ∴BF＝CE，EF＝BC＝800m， ∵∠BDE＝∠DFE＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴DF＝EF＝DE＝800m， ∴BF＝BD﹣DF＝（900﹣800）m， ∴CE＝（900﹣800）m； （2）甲所需时间为（1800+900）×≈34.1（分）， 乙所需时间为（800+900﹣800+800）×≈34.48（分）， ∵34.1＜34.48， ∴甲先到达B地． 24．）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）交x轴于A、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，若OC＝2OA． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，过点P作PA⊥BC于点N．求的最大值和此时点P的坐标； （3）将该抛物线沿AC方向平移个单位长度得到得新抛物线y′，Q为新抛物线y′上的一个动点．当∠QBC﹣∠ACO＝45°时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【分析】（1）首先求出C（0，4），再由OC＝2OA可得A（﹣2，0），然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线BC表达式为y＝﹣x+4，设，表示出PM，由△PMN是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当x＝2时，取得最大值，得到此时P（2，4）； （3）首先求出AC＝，进而可得将该抛物线沿AC方向平移个单位长度得到得新抛物线y'时，点A的对应点是AC的中点A'（﹣1，2），由此确定平移方式，进而确定平移后的新抛物线y'表达式为y'＝﹣，再根据∠QBC﹣∠ACO＝45°，可得∠QBC＝∠ACO+45°＝∠ACB，分两种情况求出BQ的函数表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）交x轴于A、B（4，0）两点，与y轴交于点C，OC＝2OA，当x＝0时，得：y＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， ∴OA＝2， ∴A（﹣2，0）， ∴将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）∵P是直线BC上方抛物线上的一动点， ∴设， 设直线BC表达式为y＝kx+b， 将B（4，0），点C（0，4）分别代入得：， 解得：， ∴直线BC表达式为y＝﹣x+4， ∵过点P作PM∥x轴交直线BC于点M， ∴设，﹣）， ∴PM＝m﹣（， ∵OC＝OB＝4， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵PM∥x轴， ∴∠OCN＝∠OBC＝45°， ∵PN⊥BC， ∴△PMN是等腰直角三角形， ∴， ∴ ＝＝ ＝ ＝， ∵， ∴当m＝2时，取得最大值3， ∴此时P（2，4）； （3）∵A（﹣2，0），C（0，4）， ∴， ∵将该抛物线沿AC方向平移个单位长度得到得新抛物线y'， ∴点A移动到AC的中点A'（﹣1，2）， ∴平移方式为向右平移1个单位，向上平移2个单位， ∵， ∴平移后的新抛物线y'表达式为， ∵∠QBC﹣∠ACO＝45°， ∴∠QBC＝∠ACO+45°， 又∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠QBC＝∠ACO+∠OCB＝∠ACB， ∴当点Q在x轴上方时，如图2，延长BQ1交抛物线y′于点Q1， ∴∠Q1BC＝∠ACB， ∴BQ1∥AC， ∵A（﹣2，0），C（0，4）， ∴可得直线AC表达式为y＝2x+4， 设直线BQ1表达式为y＝2x+n， ∵B（4，0）， ∴0＝2×4+n，即n＝﹣8， ∴设直线BQ1表达式为y＝2x﹣8， 联立得： 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点Q1坐标为（5，2）； 当点Q在x轴下方时，如图所示，在y轴负半轴上取点K（0，﹣2），连接BK并延长交抛物线y′于点Q2， 在△AOC和△KOB中， ， ∴△AOC≌△KOB（SAS）， ∴∠KBO＝∠ACO， ∴∠Q2BC＝∠OBC+∠KBO＝∠ACO+45°， ∵B（4，0），K（0，﹣2）， ∴可得直线BK表达式为y＝， 联立得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴点Q2坐标为； 综上所述，点Q的坐标为Q1（5，2），． 25．）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，点D是BC的中点，点E是AC上一点，连接DE，作DF⊥DE交AB于点F．若，，求线段BF的长； （2）如图2，点D是BC延长线上一点，连接AD，以AD为直角边在AD上方作等腰直角△ADF，∠DAF＝90°，点E是FD的中点，连接BE并延长到点H，连接DH，若2∠H+∠HBD＝90°，用等式表示线段HE、EB、CD之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点D是线段BC上一动点，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°到MD，连接AM，点E是线段AC上一点，满足2CE＝AE＝2，连接EM，点P是线段AD上一点，连接PM，当EM最小时，在平面内将△APM沿PM翻折至△NPM，连接CN，请直接写出CN的最小值． 【分析】（1）连接AD，可证得△ADF≌△CDE，从而AF＝CE＝，进一步得出结果； （2）连接BF，作∠HDG＝∠H，交BH于G，可证得△ACD≌△ABF，从而∠ABF＝∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣45°＝135°，BF＝CD，进而证得△BEF≌△GED，从而EG＝BE，BF＝DG，进一步得出结果； （3）作AF⊥BC于F，可证得△ABM∽△AFD，从而∠ABM＝∠AFD＝90°，从而得出点M在过点B且与AB成90°的直线l上运动，从而当EM⊥l时，EM最小，进而求得AM和MC的值，进而得出MN＝AM＝，根据CN≥MN﹣CM＝，当M、C、N共线时，CN最小，进而得出结果． 【解答】解：（1）如图1， 连接AD， ∵AC＝AB，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴AD＝CD＝BC，∠BAC＝∠C＝45°， ∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝90°， ∴∠EDF＝∠ADC， ∴∠EDF﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠ADE， ∴∠CDE＝∠ADF， ∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴AF＝CE＝， ∵AC＝AB＝BC＝2， ∴BF＝AB﹣AF＝； （2）如图2， EH﹣CD＝BE，理由如下： 连接BF，作∠HDG＝∠H，交BH于G， ∴∠EGD＝∠H+∠HDG＝2∠H，DG＝GH， ∵2∠H+∠HBD＝90°， ∴∠EGD+∠HBD＝90°， ∴∠BDG＝90°， ∵∠DAF＝∠BAC＝90°， ∴∠DAF﹣∠CAF＝∠BAC﹣∠CAF， ∴∠CAD＝∠BAF， ∵AC＝AB，AD＝AF， ∴△ACD≌△ABF（SAS）， ∴∠ABF＝∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣45°＝135°，BF＝CD， ∴∠DBF＝∠ABF﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°， ∴∠DBF+∠BDG＝180°， ∴DG∥BF， ∴∠DGE＝∠EBF， ∵点E是FD的中点， ∴DE＝DF， ∵∠DEG＝∠BEF， ∴△BEF≌△GED（AAS）， ∴EG＝BE，BF＝DG， ∴CD＝GH， ∵EH﹣GH＝EG， ∴EH﹣CD＝BE； （3）如图3， 作AF⊥BC于F， 由（1）知：△ABF是等腰直角三角形， ∴∠BAF＝45°，， ∵AD绕点D逆时针旋转90°到MD， ∴∠ADM＝90°，AD＝DM， ∴∠DAM＝45°，， ∴∠BAF＝∠DAM，， ∴∠DAF＝∠BAM， ∴△ABM∽△AFD， ∴∠ABM＝∠AFD＝90°， ∴点M在过点B且与AB成90°的直线l上运动， ∴当EM⊥l时，EM最小， ∵∠BAC＝∠ABM＝∠BME＝90°， ∴四边形ABME是矩形， ∴BM＝AE， ∵2CE＝AE＝2， ∴CE＝1，AB＝AC＝3， ∴AM＝， MC＝， ∵△APM沿PM翻折至△NPM， ∴MN＝AM＝， ∴CN≥MN﹣CM＝，当M、C、N共线时，CN最小， ∴CN的最小值为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/28 22:08:39；用户：王老师；邮箱：13089005299；学号：25587142 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $