2.7 抛物线及其方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.7抛物线及其方程 一、知识点 1.抛物线定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意：1）定点不在定直线上，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点垂直于直线的一条直线． 2）抛物线的定义用集合语言表示为：（为到直线的距离）． 3）定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为点；一个定点（抛物线的焦点）； 一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（即点到点的距离与它到定直线的距离之比等于）． 4）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 的几何意义：焦点到准线的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 ， ， ， ， 开口方向 向右 向左 向上 向下 3.重要公式 （1）弦长公式：. （2）韦达定理：，. 4.重要结论 抛物线焦点弦，设、（），的中点，准线为. （1）焦半径问题： ①焦半径：，（随焦点位置变动而改变）； ②焦点弦：（其中为直线的倾斜角）；③； 焦半径公式得：，，（为直线的倾斜角） （2）、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即，（随焦点动而变）； （3）其他结论：①（其中为直线的倾斜角）；    ②以为直径的圆必与准线相切于点． 二、题型训练 1.抛物线定义及其应用 例1.已在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为，则动点的轨迹是（ ） A.抛物线 B.直线 C.抛物线或直线 D.以上结论均不正确 例2.若抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.过点且与轴相切的圆的圆心的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 2.若动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 3.动圆与定圆外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程. 4.在平面直角坐标系内，到点和直线距离相等的点的轨迹是（ ） A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 5.若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（ ） A. B. C. D. 6.动点满足方程，则点的轨迹是（    ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7.若抛物线上的两点，到焦点的距离之和是，则线段的中点的横坐标是________. 8.已知抛物线的焦点为，是上一点，，则________. 9.如图，在同一平面内，，为两个不同的定点，圆和圆的半径都为，射线交圆于点，过点作的切线，当变化时，与圆的公共点的轨迹是（     ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 10.如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是（    ） A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线 2.抛物线标准方程及性质 例3.求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，准线方程为； （2）顶点在原点，且过点； （3）顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上； （4）焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为. 例4.过抛物线的焦点的直线交于，两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（    ） A. B. C. D. 例5.抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. 或 D. 例6.设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，且为等边三角形，的面积为，则（    ） A. B. C. D. 练习： 1.设抛物线上一点到轴的距离是，则点到该抛物线的焦点距离为（ ） A. B. C. D. 2.已知抛物线的准线方程为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3.已知，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4.抛物线上的点到焦点的距离最小值为（ ） A. B. C. D. 5.（多选）点到抛物线的准线的距离为，那么抛物线的标准方程是（    ） A. B. C. D. 6.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到的距离为_______. 7.若抛物线的准线与圆相切，求抛物线的准线和标准方程． 8.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若（为原点），则到的距离为（    ） A. B. C. D. 9.已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则点到轴的距离为（    ） A. B. C. D. 10.已知抛物线的准线为，圆与相切，则抛物线的焦点________. 11.已知点为抛物线上一动点，点为圆上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为，若的最小值为，则（   ） A. B. C. D. 12.已知抛物线的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则______. 13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，与准线交于点，为的中点，且，则_______. 3.焦点弦问题 例7.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则等于(　　) A. B. C. D. 例8.直线 过抛物线的焦点，且与交于，两点，则________， ________． 例9.过抛物线的焦点，且垂直于轴的弦为，为抛物线的顶点，则的度数（　　） A.小于 B.等于 C.大于 D.不能确定 练习： 1. 是抛物线的焦点，到是抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ） A. B. C. D. 3.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于，若，且，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 4.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点．若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 6.（多选）已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（    ） A. B. C.存在某条直线，使得 D.若点，则周长的最小值为 7.在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足．如果直线的倾斜角为，那么________. 8.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则________. 9.设在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线与抛物线的准线相交于，两点，则的面积为_________. 10.设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上的三点，若，则_______. 4.周长问题 例10.已知抛物线，圆，直线（为实数）与抛物线交于点，与圆交于，两点，且点位于点的右侧，则的周长可能为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.已知抛物线的准线为，圆与抛物线交于，两点，与交于，两点，则由，，，四点所围成的四边形的周长为（    ） A. B. C. D. 2.抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于、两点，若的周长为，则（    ） A. B. C. D. 3.已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于，则点的纵坐标的取值范围是________. 5.面积问题 例11.抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2.一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，若这个三角形的的面积为，则________. 3.已知抛物线的焦点为，点是上异于原点的任意一点，线段的中点为，则以为圆心且与直线相切的圆的面积最大值为（    ） A. B. C. D. 4.已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于，，三点（其中点在，之间），若，.则的面积是_________. 5.抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，且（为坐标原点），，垂足为，则的面积是_________. 6.最值问题 例12.已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.已知是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2.已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（    ） A. B. C. D. 4.已知抛物线的焦点到其准线的距离为，是抛物线上一点，若，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 5.已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为_______. 6.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为_______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7抛物线及其方程 一、知识点 1.抛物线定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意：1）定点不在定直线上，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点垂直于直线的一条直线． 2）抛物线的定义用集合语言表示为：（为到直线的距离）． 3）定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为点；一个定点（抛物线的焦点）； 一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（即点到点的距离与它到定直线的距离之比等于）． 4）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 的几何意义：焦点到准线的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 ， ， ， ， 开口方向 向右 向左 向上 向下 3.重要公式 （1）弦长公式：. （2）韦达定理：，. 4.重要结论 抛物线焦点弦，设、（），的中点，准线为. （1）焦半径问题： ①焦半径：，（随焦点位置变动而改变）； ②焦点弦：（其中为直线的倾斜角）；③； 焦半径公式得：，，（为直线的倾斜角） （2）、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即，（随焦点动而变）； （3）其他结论：①（其中为直线的倾斜角）；    ②以为直径的圆必与准线相切于点． 二、题型训练 1.抛物线定义及其应用 例1.已在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为，则动点的轨迹是（ ） A.抛物线 B.直线 C.抛物线或直线 D.以上结论均不正确 【答案】C 【解析】 由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1， 可得该动点到定点和到定直线距离相等， 当定点不在定直线上时，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是抛物线； 当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线. 故选C． 例2.若抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得：抛物线准线方程为，P点到抛物线的焦点的距离等于到准线的距离，设点纵坐标为，则，解得：. 故选：D 练习： 1.过点且与轴相切的圆的圆心的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 【答案】D 【解析】 如图，设为满足条件的一个点，因为点到点的距离等于点到轴的距离，所以点在以点为焦点，轴为准线的抛物线上，故点的轨迹为抛物线，故选D 2.若动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 依题意可知，点到点的距离等于点到直线的距离，因此其轨迹方程是抛物线，且，顶点在原点，焦点在轴正半轴上，所以其方程为，故选：D 3.动圆与定圆外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设动圆圆心，过点作于点，作直线，过点作于点，连接，设圆的半径为，动圆的半径为，可知，因为圆与圆外切，所以，又因为圆与直线相切，所以，因为，即动点到定点与到定直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，设抛物线的方程为，可知，所以所求动圆圆心的轨迹方程为. 4.在平面直角坐标系内，到点和直线距离相等的点的轨迹是（ ） A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 【答案】A 【解析】 点在直线上，所以所求点的轨迹是过点且与直线垂直的直线. 5.若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由抛物线方程为， 则其准线， 又在抛物线上，则，且到直线的距离， 由抛物线定义可知， 故选：C. 6.动点满足方程，则点的轨迹是（    ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D 【解析】 由得， 等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 7.若抛物线上的两点，到焦点的距离之和是，则线段的中点的横坐标是________. 【答案】 【解析】 由抛物线方程可知，， 设点，， 由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离， 即． 同理． 故，即，得． 故线段AB的中点的横坐标是2． 故答案为：2. 8.已知抛物线的焦点为，是上一点，，则________. 【答案】 【解析】 由抛物线C：可得p＝1，，准线方程． 因为是C上一点，，，所以，解得． 故答案为：2. 9.如图，在同一平面内，，为两个不同的定点，圆和圆的半径都为，射线交圆于点，过点作的切线，当变化时，与圆的公共点的轨迹是（     ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 【答案】D 【解析】 由题意画图如下： 设切线与圆的一个公共点为，过点作直线的垂线，过点作，垂足为，连接，则，，所以，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，且定点不在定直线上，根据抛物线定义知，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选：D． 10.如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是（    ） A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线 【答案】B 【解析】 解：如图所示，在正方体中，作，垂足为， 则平面，过作，则平面， 则为点到直线的距离， 由题意得， 由已知得， 所以， 即到点的距离等于到的距离， 所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线， 故选：B 2.抛物线标准方程及性质 例3.求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，准线方程为； （2）顶点在原点，且过点； （3）顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上； （4）焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为. 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）. 【解析】 （1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； （4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 故， 故抛物线标准方程为. 例4.过抛物线的焦点的直线交于，两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为直线过点，所以直线的方程为. 由得，.      设，则. 因为 ， 整理得，解得， 所以抛物线的准线方程是. 故选：D. 例5.抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 解：当时，抛物线焦点在轴上，开口向右， 由得，， ∴焦点坐标为， 同理可得当时，焦点， 故选：B. 例6.设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，且为等边三角形，的面积为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】    过点，做轴于点，因为，，且为等边三角形， 则，，则，， ，则. 故选：A 练习： 1.设抛物线上一点到轴的距离是，则点到该抛物线的焦点距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为点到轴的距离为，所以点到抛物线的准线的距离，根据抛物线的定义知，点到抛物线焦点距离为 2.已知抛物线的准线方程为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为抛物线的准线方程为，所以，解得，故选C. 3.已知，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图，设，过点做准线的垂线，，，即，则，即直线的斜率是，所以，解得，故选C. 4.抛物线上的点到焦点的距离最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 将抛物线方程化为标准形式是，因为，所以，所以抛物线上的点到焦点的距离最小值为. 5.（多选）点到抛物线的准线的距离为，那么抛物线的标准方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 抛物线的标准方程为， 当时，开口向上，准线方程为， 则点M到准线的距离为，解得. 因此，抛物线方程为，即. 当时，开口向下，准线方程为， 则点M到准线的距离为， 解得. 因此，抛物线方程为，即. 故选：BD 6.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到的距离为_______. 【答案】 【解析】 如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为， 因为点在C上，根据抛物线定义可得， 且，则，所以为等腰三角形， 且， 在中，，即 解得，即F到l的距离为. 故答案为：6 7.若抛物线的准线与圆相切，求抛物线的准线和标准方程． 【答案】， 【解析】 由，得，所以圆心为，半径为3， 的准线方程为， 由题意可得，解得， 所以抛物线的准线方程为，标准方程为 8.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若（为原点），则到的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 易知抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 所以，，解得，因此，到的距离为. 故选：C. 9.已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则点到轴的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为点是抛物线C：的焦点，所以，． 又因为，所以， 设，则 ， 所以，故点M到y轴的距离为8． 故选：B    10.已知抛物线的准线为，圆与相切，则抛物线的焦点________. 【答案】 【解析】 由题意，抛物线准线为，且与圆与相切， 圆心且半径为3，所以或都是圆的切线， 又，则，可得，故抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 11.已知点为抛物线上一动点，点为圆上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为，若的最小值为，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线为， 则由抛的线的定义可知点到y轴的距离为， 所以， 由图可知，当共线，且在线段上时，最短， 而， 因为， 所以，解得， 故选：B    12.已知抛物线的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则______. 【答案】 【解析】 抛物线的准线为， 由题意，， 设，则，， 因为，所以， 所以，， 代入得，解得（负值舍）， 所以. 故答案为： 13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，与准线交于点，为的中点，且，则_______. 【答案】 【解析】 设轴交准线于，过作准线的垂线，垂足为，因为为的中点，且， 则由抛物线的定义可得， 在中，，所以， 故答案为： 3.焦点弦问题 例7.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 法一(通性通法)易知直线的斜率存在，设为，则其方程为． 由，得，得①，因为，由抛物线的定义得，即②，由①②解得，， 所以. 法二：(巧用结论)由对称性不妨设点在轴的上方，如图设，在准线上的射影分别为，，作于，设，直线的倾斜角为，则， 由抛物线的定义知，，所以，所以.则，∴.又，知，故利用弦长公式. 法三：(巧用结论)因为，所以，解得，，故.] 例8.直线 过抛物线的焦点，且与交于，两点，则________， ________． 【答案】； 【解析】 由题意知，从而，所以抛物线方程为.当直线的斜率不存在时，将代入抛物线方程，解得，从而.当直线的斜率存在时，设的方程为，联立，整理得，设，， 则，从而.综上，.答案：2　1 例9.过抛物线的焦点，且垂直于轴的弦为，为抛物线的顶点，则的度数（　　） A.小于 B.等于 C.大于 D.不能确定 【答案】C 【解析】 设抛物线的焦点为F，则其坐标为， 将代入抛物线的方程，解得，． 在直角三角形中，，故． 由抛物线的对称性可知，． 故选：C    练习： 1. 是抛物线的焦点，到是抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 抛物线的焦点，准线方程为，根据抛物线定义得，所以，所以线段的中点横坐标为，所以线段的中点到轴的距离为，故选D 2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意知，抛物线的准线方程是，因为过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，所以，又，所以，故选B 3.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于，若，且，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图，设，作，分别垂直于准线于点，，则，，又，可得，所以，则，设，则，解得，又，，且，所以，解得，所以抛物线的方程为，故选C 4.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 法一：(通性通法)如图，设与轴交于点，过点作交于点，由抛物线的定义知，，由是的中点，知，所以，解得，所以抛物线的方程为，设，，则，所以，可得，所以，又，所以直线的斜率，所以直线的方程为，代入抛物线方程得，所以，.故选C. 法二：(巧用结论)如上解得，设，，则，所以，又，所以，所以. 法三：(巧用结论)因为，，，所以，所以. 5.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点．若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设，，．当轴时，，，不成立，所以.由的面积为，得，所以，因此. 6.（多选）已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（    ） A. B. C.存在某条直线，使得 D.若点，则周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 由对称性得点在抛物线上， 所以，解得，故A选项正确； 设直线和双曲线交于两点， 设直线方程为， 代入抛物线方程可得：，， 所以， 所以： 故B选项正确； 则， 当且仅当时等号成立，故C错误； 如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，    过作垂直于准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号，故D选项正确． 故选：ABD． 7.在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足．如果直线的倾斜角为，那么________. 【答案】 【解析】 法一：抛物线的焦点为，准线方程为.因为直线的倾斜角为，所以.又，所以.因为，所以.将其代入，得，所以. 法二：抛物线的焦点为，准线方程为，因为，所以.又因为直线的倾斜角为，所以，所以，所以为等边三角形，所以 8.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则________. 【答案】 【解析】 依题意，抛物线的焦点，因为是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，设，所以，，所以，. 9.设在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线与抛物线的准线相交于，两点，则的面积为_________. 【答案】 【解析】 双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为联立两直线方程得，，所以的面积为. 10.设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上的三点，若，则_______. 【答案】 【解析】 因为，所以为的重心，则、、三点横坐标之和为点的横坐标的倍，即，所以. 4.周长问题 例10.已知抛物线，圆，直线（为实数）与抛物线交于点，与圆交于，两点，且点位于点的右侧，则的周长可能为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意知：抛物线焦点恰为圆心，抛物线准线，圆半径为2，可得圆与相切，设直线l：与准线交于， 由抛物线定义知：，又，故△FAB的周长为， 由图知，故，结合选项知：△FAB的周长可能为5. 故选：B. 练习： 1.已知抛物线的准线为，圆与抛物线交于，两点，与交于，两点，则由，，，四点所围成的四边形的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 抛物线的准线为：. 由解得，即； 由解得，即. 则由四点所围成的四边形为矩形，，. 此四边形的周长为. 故选：B. 2.抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于、两点，若的周长为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题知，双曲线的渐近线为， 抛物线的焦点，准线方程为， 由得两点坐标为，， 所以，因为的周长为， 所以，解得.故B，C，D错误. 故选：A. 3.已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于，则点的纵坐标的取值范围是________. 【答案】 【解析】 解：抛物线：，则焦准距，则 如图，设点的坐标为，则准线与轴的交点为， 则由抛物线定义可得 又， 所以的周长为， 设函数 ，则在上为减函数， 因为，所以的解为，则点的纵坐标的取值范围是. 故答案为：. 5.面积问题 例11.抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由知，则直线为，    设，则D到直线的距离为， 又点在的右下方，所以， 联立方程，消元得， 设，则，， 所以， 所以 故当时，有最大值. 故选：A 练习： 1.从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设，则，解得，，则，故，故选B. 2.一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，若这个三角形的的面积为，则________. 【答案】 【解析】 设正三角形的边长为，则，解得，当时，将代入得，当时，将代入得，故 3.已知抛物线的焦点为，点是上异于原点的任意一点，线段的中点为，则以为圆心且与直线相切的圆的面积最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意，作图如下：    设（不妨令），由已知可得，则，所以直线OM的方程为， 设，则（当且仅当时取“=”），所以点F到直线OM的距离为， 即圆F的半径最大值为，面积最大值为． 故选：B. 4.已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于，，三点（其中点在，之间），若，.则的面积是_________. 【答案】 【解析】 过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，    则， 在中，，所以，所以， 故在中，，所以，则. 又轴，，所以， 又抛物线，则，所以， 所以抛物线，点. 因为，所以直线的斜率，则直线， 与抛物线方程联立，消并化简得， 易得，设点，则， 则， 又直线，可化为， 则点到直线的距离， 所以. 故选：B. 5.抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，且（为坐标原点），，垂足为，则的面积是_________. 【答案】 【解析】 由抛物线方程可知，准线的方程为，如图所示， 设，其中，过作轴于， 在直角中，， 由，可得，故， 所以点的坐标为， 将此代入抛物线方程可得，解得或（舍去） 所以点的坐标为，所以. 故答案为：.    6.最值问题 例12.已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由拋物线知，则，准线l方程为． 如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H．    由抛物线的定义得， 所以，当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点（即A，P，H三点共线）时取等号． 故的最小值为． 故选：A 练习： 1.已知是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 连接、，过点做准线的垂线，如图所示，由抛物线的定义知，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，因为抛物线的准线方程为，而，所以，所以，故选：B. 2.已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设抛物线的交点为，由抛物线的定义知抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，则过焦点做直线的垂线，如图，当为该垂线与抛物线交点时，取得最小值，由，直线方程为，得，故选A 3.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则， 所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于. 所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1， 即其最小值是.        故选：D 4.已知抛物线的焦点到其准线的距离为，是抛物线上一点，若，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由焦点到其准线的距离为得； 设在准线上的射影为如图, 则 ， 当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4． 故选：D． 5.已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 抛物线，即，其焦点为，抛物线的准线为， 圆变形为， 则圆心为抛物线的焦点，半径为. 点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值时，最小值为. 如图，过点作于点，由抛物线定义可知， 所以取最小值时，即取最小值， ， 当三点共线，当时，等号成立. . 则的最小值为.      故答案为：. 6.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 抛物线，所以焦点为，准线方程为， 当时，所以，因为，所以点在抛物线内部， 如图， 过作准线的垂线垂足为，交抛物线于， 由抛物线的定义，可知， 故． 即当、、三点共线时，距离之和最小值为． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $