3.1.1代数式 课件- 2025-2026学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦代数式的概念、书写规范及意义。课堂导入通过智慧农业机器人采摘情境，结合工作量关系，从具体数字运算过渡到字母表示，搭建从算术到代数的学习支架。 其特色在于以现实情境培养抽象能力与符号意识，通过问题链推导代数式发展推理思维，结合实际与几何意义强化模型意识。含跨学科例题（如古诗单位换算），助力学生理解代数式本质，为教师提供结构化教学资源。

人教版（2024）版数学7年级上册 第三章 代数式 3.1.1代数式 1. 代数式的概念 2. 代数式的书写规范 3. 代数式的意义 3.1.1 代数式 代数式 七年级数学 · 上册 核心内容：代数式的概念、书写规范、列代数式的方法、代数式的值的计算 学习目标 1. 理解：掌握代数式的定义，能区分代数式与非代数式 2. 掌握：牢记代数式的书写规范，能正确书写代数式 3. 运用：能根据文字描述或实际情境列出代数式，会求代数式的值 旧知衔接：1. 有理数的加减乘除及乘方运算——是代数式运算的基础；2. 用字母表示数——小学阶段已接触，是代数式的核心要素；3. 简单数量关系分析——为列代数式铺垫逻辑思维 情境导入：从“字母表示数”到“代数式” 生活中的数量关系 ① 苹果每千克5元，买3千克需付款______元；买x千克需付款______元； ② 小明的身高为160cm，小红比他高a cm，则小红的身高为______cm； ③ 正方形的边长为m，它的周长是______，面积是______； ④ 汽车的速度为60km/h，行驶t小时的路程是______km。 思考与发现 1. 上述横线处填写的“15”“5x”“160+a”“4m”“m²”“60t”有什么共同特点？ 2. 这些式子与我们之前学的“3+2”“5×4”等算式有何不同？ 3. 当x=2时，“5x”的值是多少？当a=5时，“160+a”的值又是多少？ 探究一：代数式的概念——核心定义 1. 代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 2. 代数式的判断方法 类型 示例 判断依据 是代数式 ① 单独的数：3，-0.5，π；② 单独的字母：a，x，t；③ 数与字母的组合：5x，160+a，m²；④ 字母与字母的组合：ab，x+y 符合代数式定义，仅含数、字母和运算符号 非代数式 ① 含等号：3x=6；② 含不等号：2x>5；③ 含关系词：a比b大3 含有“=”“>”“<”等关系符号，或不是数学式子 注意：π是常数，不是字母，因此“3π”“πr²”都是代数式，且π的取值固定为约3.14 探究二：代数式的书写规范——避免错误的关键 1. 核心书写规则 规则内容 错误示例 正确示例 数与字母、字母与字母相乘，乘号可省略或用“·”表示，且数要写在字母前面 x×3，a×b，3×x×y 3x，ab或a·b，3xy 带分数与字母相乘，带分数要化为假分数 2½x ⅝x 除法运算一般写成分数形式 x÷3，(x+y)÷2 x/3，(x+y)/2 相同字母相乘，写成乘方形式 a×a×a a³ 有单位时，若代数式是和或差，需加括号 x+3 cm (x+3) cm 2. 即时小练习：改正错误的代数式 1. 5×a → ______（答案：5a） 2. m÷n → ______（答案：m/n） 3. 1¾b → ______（答案：7/4 b） 4. x+y米 → ______（答案：(x+y)米） 探究三：列代数式——将文字转化为数学式子 1. 列代数式的基本步骤 1. 找关键词：确定数量关系中的运算符号（如“和”“差”“积”“商”“倍”“平方”等）； 2. 辨顺序：明确运算的先后顺序（如“a与b的差”是a-b，“b与a的差”是b-a）； 3. 设字母：根据题意用字母表示未知量（题目未指定时，可自行设定）； 4. 列式子：结合上述信息列出符合书写规范的代数式。 2. 常见数量关系与对应代数式 文字描述 代数式 说明 a的3倍与b的和 3a+b 先算倍数，再算和 x的平方与y的差 x² - y 先算平方，再算差 m与n的和的一半 (m+n)/2 先算和，再算一半，需加括号 比a的倒数大2的数 1/a + 2 a的倒数是1/a，再算大2 3. 实际情境列代数式 例：某书店推出优惠活动，单本书售价为20元，购买5本及以上，每本优惠3元。请用代数式表示购买n本书的总费用。 分析：分两种情况讨论—— - 当n＜5时，无优惠，总费用=单价×数量=20n； - 当n≥5时，每本单价为20-3=17元，总费用=17n。 结论：总费用为$\begin{cases}20n & (n＜5且n为正整数) \\ 17n & (n≥5且n为正整数)\end{cases}$ 探究四：代数式的值——代入计算的方法 1. 代数式的值的定义 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指定的运算顺序计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式的值的步骤 1. 代入：将指定的字母数值代入代数式中对应的位置，注意符号； 2. 括号：若代入的数值是负数或分数，需给数值加括号，避免运算错误； 3. 计算：按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行运算，有括号先算括号内的。 3. 典型例题：求代数式的值 例：已知a=2，b=-3，求下列代数式的值：(1) 2a + 3b；(2) a² - 2ab + b²。 解：(1) 代入a=2，b=-3—— 　　2a + 3b = 2×2 + 3×(-3) = 4 - 9 = -5； 　　(2) 代入a=2，b=-3—— 　　a² - 2ab + b² = 2² - 2×2×(-3) + (-3)² = 4 + 12 + 9 = 25。 技巧：a² - 2ab + b²可变形为(a - b)²，代入计算更简便：(2 - (-3))² = 5² = 25，体现代数式变形的价值。 易错点警示：代数式的“常见误区” 易错类型 错误示例 错误原因 正确解法 书写规范错误 x3，2x÷y，1.5a 数与字母顺序颠倒，除法未写成分数形式，小数未化为分数（可保留，但带分数需化假分数） 3x，2x/y，3/2 a或1.5a（小数可保留） 运算顺序错误 a与b的平方和写成(a+b)² 混淆“平方和”与“和的平方”，前者先平方再和，后者先和再平方 a² + b² 代入求值错误 当x=-1时，3x=3-1=2 负数代入未加括号，将乘法误作减法 3×(-1) = -3 忽略实际意义 用n表示人数时，写出n=-2 未考虑字母的实际取值范围，人数应为正整数 n为正整数，如n=1,2,3... 典例解析：综合应用 题型1：代数式的判断与书写 例1：下列式子中，哪些是代数式？请将不是代数式的改正为代数式。 ① 3x+2y；② 4+5=9；③ x＞1；④ -a；⑤ (m+n)² 解：①④⑤是代数式；②是等式，③是不等式，均非代数式，无对应的代数式形式（因含关系符号）。 题型2：复杂情境列代数式 例2：某出租车收费标准为：起步价8元（行驶距离不超过3km），超过3km后，每增加1km加收2.4元（不足1km按1km计算）。设行驶距离为x km（x为正整数），请用代数式表示乘车费用。 解：当x≤3时，费用=8元；当x＞3时，费用=8 + 2.4(x - 3) = 2.4x + 0.8（元）； 　　综上，费用为$\begin{cases}8 & (x≤3且x为正整数) \\ 2.4x + 0.8 & (x＞3且x为正整数)\end{cases}$ 题型3：代数式的值的实际应用 例3：某工厂生产一批零件，每个零件的成本为x元，出厂价为每个(x+20)元。若每月生产n个零件，且每月的固定成本为10000元，求每月的利润（利润=总收入-总成本）。当x=30，n=5000时，每月利润是多少？ 解：① 总收入=出厂价×数量=n(x+20)；总成本=固定成本+单个成本×数量=10000 + nx； 　　利润= n(x+20) - (10000 + nx) = 20n - 10000； 　　② 当x=30，n=5000时，利润=20×5000 - 10000 = 100000 - 10000 = 90000（元）。 分层练习：巩固提升 基础题（必做） 1. 下列式子中，是代数式的有______（填序号）：① 5；② a+2；③ 3x=4；④ -2ab；⑤ πr² 2. 用代数式表示：“x的2倍与y的倒数的差”______ 3. 当a=-2，b=1时，求代数式3a² - 2b + 1的值______ 提升题（选做） 1. 用代数式表示：“比m的相反数大n的数的平方”______ 2. 某商品原价为a元，先降价10%，再提价10%，现价为多少元？当a=200时，现价与原价相比是涨了还是跌了？ 3. 已知代数式ax + by的值当x=1，y=2时为5；当x=2，y=-1时为3，求当x=3，y=3时该代数式的值。 中考链接：真题感知 1. （2024·广州）用代数式表示“a与b的和的3倍”是（ ）A. a+3b B. 3a+b C. 3(a+b) D. a+b+3 （答案：C） 2. （2024·成都）已知x=2，y=-1，则代数式2x - y的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （答案：C） 3. （2024·武汉）某商品进价为每件m元，售价为每件n元，若卖出200件，则利润为______元（答案：200(n - m)） 课堂总结 1. 核心概念：代数式是数与字母通过运算符号连接的式子，单独的数或字母也是代数式； 2. 书写规范：数前字母后，乘号可省略，除法写成分数，带分数化假分数； 3. 列代数式：找准关键词，明确运算顺序，结合实际情境考虑字母取值范围； 4. 求代数式的值：代入（加括号）→ 计算（按运算顺序），可利用代数式变形简化计算。 作业布置 - 必做：课本对应练习题，标注列代数式的依据和求代数式值的步骤； - 选做：收集生活中3个可用代数式表示的数量关系，列出代数式并假设数值计算； - 预习：3.1.2 代数式的求值与化简。 谢谢观看！ 祝大家理解透彻，运用自如！ 学习目标 点击播放 情景导入 新课导入 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一. 某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成 5 m2 范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均 8 s 可以采摘一个苹果. 根据这些数据回答下列问题： 探究新知 （1）该机器人 10 s 能识别多大范围内的苹果？60 s 呢？t s 呢？ （2）该机器人识别 n m2 范围内的苹果需要多少秒？ （3）若该机器人搭载了 m 个机械手（m > 1），它与采摘工人同时工作 1 h，已知工人平均 5 s 可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 回答上面的问题，要用到含有字母的式子. 探究新知 新知探索 先看本章引言中的问题，其中包含三个量：______、__________和___________. 工作量 工作效率 工作时间 它们之间的关系为： 工作量 = 工作效率×工作时间 工作时间 = 工作量 工作效率 探究新知 机器人平均每秒可以完成 5 m2 范围内苹果的识别. 该机器人 10 s 能识别的范围（单位：m2）是 5×10 = 50； 60 s 能识别的范围（单位：m2）是 5×60 = 300； t s 能识别的范围（单位：m2）是 5×t = 5t； 在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写. 例如，5×t 可以写成 5·t 或 5t. 工作量 = 工作效率×工作时间 探究新知 5×10 = 50 5×60 = 300 5×t = 5t 观察这三个式子，你有什么发现？ 表示机器人在两个具体时间内完成的工作量. 含有字母 t 的式子 5t 表示机器人在任意时间 t 内完成的工作量. 用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性. 探究新知 （2）该机器人识别 n m2 范围内的苹果需要多少秒？ 需要时间是 s n 5 机器人平均每秒可以完成 5 m2 范围内苹果的识别. 工作量 = 工作效率×工作时间 探究新知 （3）若该机器人搭载了 m 个机械手（m > 1），它与采摘工人同时工作 1 h，已知工人 5 s 可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 机器人多采摘的苹果个数 = 机器人采摘的苹果个数 - 工人采摘的苹果个数 = 一个机械手的采摘效率×工作时间×机械手的个数 - 工人的采摘效率×工作时间 = 450m - 720 . 工作量 = 工作效率×工作时间 探究新知 （1）某工程队负责铺设一条长 2 km的地下管道，经过 d 天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度. 平均每天铺设的管道长度=铺设的管道总长度÷工作天数 探 究 这支工程队平均每天铺设的管道长度是 km 2 d 探究新知 （2）一个正方形的边长是 a，这个正方形的周长 l 是多少？面积 S 呢？ 由正方形的周长及面积公式，可得 周长 l = 4a 面积 S = a2 探究新知 归 纳 5t n 5 450m - 720 2 d 4a a2 它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 单独的一个数或字母也是代数式. 例如，5，t 都是代数式. 探究新知 代数式的书写规范 类型 规定 示例 数字与字母相乘或字母与字母相乘 乘数是“1”或 “-1” 将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写 “1”或省略不写 如 3×m 写成 3·m或 3m，a×b 写成a·b 或 ab 如 1×a 写成 a -1×ab 写成 -ab 探究新知 乘数是带分数 除法运算 式子后面有单位且式子是和或差的形式 带分数要化成假分数 要用分数线 把式子用括号括起来 如 (x - y)km 如 2÷a 写成 如 写成 代数式的书写规范 探究新知 例 题 【教材P70】 例 1 （1）苹果原价是 p 元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价； （2）一个长方形的长是 0.9 m，宽是 p m，用代数式表示这个长方形的面积； 苹果的售价是 0.9p 元/kg 这个长方形的面积 0.9p m2 探究新知 （3）某产品前年的产量是 n 件，去年的产量比前年产量的 2 倍少 10 件，用代数式表示去年的产量； （4）一个长方体水池底面的长和宽都是 a m，高是 h m，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积. 去年的产量是 (2n - 10)件 水池容积 a2h m3，池内水的体积为 a2h m3. 探究新知 苹果的售价是 0.9p 元/kg 这个长方形的面积 0.9p m2 0.9p 既可以表示苹果的售价，也可以表示长方形的面积. 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系. 探究新知 例 题 【教材P71】 例 2 说出下列代数式的意义： （1）2a+3；（2）2(a+3)；（3） ；（4）x2+2x+8. 解：（1）2a + 3 的意义是 a 的 2 倍与 3 的和； （2）2(a + 3) 的意义是 a 与 3 的和的 2 倍； （3） 的意义是 c 除以 a，b 的积的商； （4）x2+2x+8 的意义是 x 的平方，x 的 2 倍，与 8 的和. 探究新知 归 纳 代数式表示的意义包括三种： （1）运算意义：几个字母加、减、乘、除、乘方等运算的结果； （2）实际意义：表示实际问题中的数量或数量关系； （3）几何意义：主要从图形的周长、面积和体积三个方面考虑. 探究新知 及时巩固 1. 说出下列代数式的意义： （1）2a + 5；（2）2(a + 5)； 解：（1）2a + 5 的意义是 a 的 2 倍与 5 的和； （2）2(a + 5) 的意义是长为 a，宽为 5 的长方形的周长. 课堂练习 2. 举例说明下列代数式表示的实际问题中的数量或数量关系： （1）5m + 2； （2）50-4p. 解：（1）一些苹果分给 m 名同学，每人 5 个，还剩下 2 个，这些苹果一共有 (5m + 2) 个. （2）中性笔每支 p 元，买 4 支中性笔，给了 50 元后商店找回 (50 - 4p) 元. 课堂练习 练 习 【教材P71】 1. 填空题. （1）每包书有 10 册，6 包书有_____册，n 包书有______册； （2）王芳今年 m 岁，她去年_______岁，6 年后________岁； 60 10n （m-1） （m+6） 课堂练习 （3）将 p kg 糖装入 n 个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋装入糖______kg； （4）棱长为 a 的正方体的体积是_______. p n a3 课堂练习 2. 说出下列代数式的意义： （1）2a + 3c；（2）3(m-n)；（3）a2 + 1；（4） . 3a 5b 解：（1）a 的 2 倍与 c 的 3 倍的和； （2）m 与 n 的差的 3 倍； （3）a 的平方与 1 的和； （4）a 的 3 倍除以 b 的 5 倍的商. 课堂练习 1. 下列各式符合代数式书写规范的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 26 2. ［2025徐州期中］下列式子：0,,,, , , ,其中代数式有( ) B A. 3个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【点拨】在0,,,,,, 中，代数式 有0,,,, ，共5个. 返回 考试考法 27 3. 下列能用 表示的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 28 4. 三个连续整数中，中间一个是 ，则最大的一个是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 29 5. “黄河远上白云间，一片孤城万仞山”中， “仞”是古时的一种长度计量单位，每仞长度大约是 ， 则仞约是______ . 返回 考试考法 30 6. ［2025济宁期中］有下列各式： ； ； ；；； .其中，符合代数 式书写要求的有( ) A A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【点拨】 ，正确；应为； 应 为；，正确；应为 ； 应为 .故正确的有①④，共2个.故选A. 返回 考试考法 31 7. ［2025菏泽期中］下列对代数式表示的意义解释错误的是 ( ) B A. 表示的2倍与 的和 B. 表示与 的和的平方 C. 表示， 两数的和与差的乘积 D. 表示， 两数的平方和减去它们乘积的2倍 【点拨】表示的平方与 的平方的和，原叙述错误， 故选B. 返回 考试考法 32 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式. 单独的一个数或字母也是代数式. 代数式的三种意义 运算意义 实际意义 几何意义 课堂小结 谢谢观看！ $