3.1.2列代数式表示数量关系 课件- 2025-2026学年人教版数学七年级上册

人教版（2024）版数学7年级上册 第三章 代数式 3.1.2列代数式表示数量关系 3.1.2 列代数式表示数量关系 第一页：情境导入——从具体到一般 智慧农业中，某品牌苹果采摘机器人展现出高效的作业能力，已知它平均每秒可识别5m范围内的苹果，一个机械手平均8s能采摘一个苹果。请思考以下问题： - （1）该机器人10s能识别多大范围的苹果？60s呢？t s呢？ - （2）识别n m范围内的苹果，需要多少秒？ - （3）若搭载m个机械手，与工人同时工作1h（工人平均5s摘一个苹果），机器人可比工人多摘多少个苹果？ 思考：这些问题中，既有具体数字的计算，也有含字母的表达，后者能更简洁地概括一类数量关系。 第二页：探究新知——什么是代数式？ 1. 从具体算式到代数式 针对情境问题（1）： - 10s识别范围：5×10 = 50（m） - 60s识别范围：5×60 = 300（m） - t s识别范围：5×t = 5t（m） 这里的5t，以及我们后续会得到的$\frac{n}{5}$、450m - 720等，都是代数式。 2. 代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。 单独一个数（如5、0）或一个字母（如a、x）也属于代数式。 第三页：核心规则——代数式的书写规范 列代数式时，需遵循统一规范，确保表达清晰、无歧义，核心规则如下： 1. 乘号处理：数字与字母、字母与字母相乘，乘号可省略或写作“·”；数字必须写在字母前面。 例：5×t 写作5t或5·t，不能写作t5 2. 除法处理：除法运算一律写成分数形式，不用“÷”号。 例：n÷5 写作$\frac{n}{5}$，不能写作n÷5 3. 乘方表示：相同字母相乘，用幂的形式表示。 例：a×a 写作a²（读作“a的平方”） 4. 带分数转化：带分数与字母相乘，需先化为假分数。 例：3$\frac{1}{2}$×a 写作$\frac{7}{2}a$，不能写作3$\frac{1}{2}a$ 5. 单位标注：代数式后带单位时，若式子是加减关系，需给代数式加括号。 例：温度由t℃升高3℃后为（t+3）℃，不能写作t+3℃ 第四页：例题解析——如何列代数式？ 列代数式的关键：抓住关键词，理清数量关系，按“先读先写”原则表达。 例1：基础数量关系 用代数式表示下列数量关系： 1. （1）苹果原价p元/kg，九折优惠后的售价； 解析：九折即原价的0.9倍，数量关系为“原价×0.9”，代数式：0.9p（元/kg） 2. （2）正方形边长为a，其周长l和面积S； 解析：周长=边长×4，面积=边长×边长，代数式：l=4a，S=a² 3. （3）前年产量n件，去年产量比前年2倍少10件； 解析：“2倍”即2n，“少10件”即减10，代数式：2n - 10（件） 4. （4）长方体水池长、宽均为a m，高h m，池内水体积占容积的$\frac{1}{3}$； 解析：容积=长×宽×高=a²h，水体积=容积×$\frac{1}{3}$，代数式：$\frac{1}{3}a²h$（m³） 例2：代数式的意义 说出下列代数式的实际意义（举例说明）： - 2a + 3：a的2倍与3的和（如：一支笔a元，2支笔加一本3元的本子总价） - 2(a + 3)：a与3的和的2倍（如：一个苹果a元，买2份“1个苹果加3元零食”的总价） 第五页：易错警示——常见错误剖析 列代数式时，易因对数量关系理解不清或忽视书写规则出错，以下是典型错误： 1. 违反运算顺序（漏加括号） 错误：用代数式表示“a与b的积减去这两数的和”，错写为ab - a + b 剖析：“和”是整体，需先算，应加括号 正确：ab - (a + b) 2. 混淆数量关系（关键词理解偏差） 错误：用代数式表示“a与b的平方的差”，错写为(a - b)² 剖析：“b的平方”是b²，主体是“a与b²的差” 正确：a - b² 3. 颠倒数量关系（“多/少”“倍”关系混淆） 错误：甲数为x，“甲数比乙数少8”，乙数错写为x - 8 剖析：甲数=乙数 - 8 → 乙数=甲数 + 8 正确：x + 8 4. 忽视书写规范（带分数、除法错误） 错误：3$\frac{1}{2}$与x的积，错写为3$\frac{1}{2}x$；m除以n，错写为m÷n 正确：$\frac{7}{2}x$；$\frac{m}{n}$ 第六页：能力提升——规律探究与代数式 代数式可用于表示图形或数字的变化规律，关键是找到“序号与数量”的对应关系。 例：图形规律 用黑白五边形组成图案，观察规律： - 第1个图形：黑色1个，白色4个 - 第2个图形：黑色2个，白色7个 - 第3个图形：黑色3个，白色10个 用n表示图形序号，写出第n个图形中黑白五边形的个数： 分析：黑色个数与序号一致，为n；白色个数依次增加3，规律为3n + 1 结论：黑色n个，白色(3n + 1)个 练习：数字规律 观察数列：$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{7}$，$\frac{4}{9}$，…，第n个数是______ 提示：分子为序号n，分母为2n + 1，答案：$\frac{n}{2n + 1}$ 第七页：课堂小结——核心要点回顾 1. 代数式定义：数与字母用运算符号连接的式子，单独的数或字母也是代数式。 2. 列式关键：抓住“和、差、积、商、倍、分”等关键词，理清运算顺序。 3. 书写规范：乘号省略、数字在前、除法化分数、带分数转假分数。 4. 核心思想：用字母表示数，实现从具体到一般的抽象，体现数学的一般性。 1. 会列代数式表示数量关系 2. 会列代数式表示规律. 学习目标 橡皮擦的单价是 3 元，钢笔的单价比橡皮擦的 2 倍还多 2.5 元，则钢笔的单价为多少元？ 列出算式： 2×3 + 2.5 橡皮擦的单价是 x 元，钢笔的单价比橡皮擦的 2 倍还多 2.5 元，则钢笔的单价为多少元？ 算术（数） 代数（式） 用字母表示数 2x + 2.5 情景导入 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式. 新知探索 探究新知 如何用代数式表示 a，b 两数的和与差的积？ 可以按下面的步骤列代数式： a b 两数的和 a + b a b 两数的差 a - b 它们的积 (a+b)(a-b) 在本套书中，如无特别说明，a，b 两数的差，a 与 b 的差，都指 “a－b”. 探究新知 用代数式表示： （1）a 与 b 的积的 5 倍； （2）a 与 b 的 5% 的差； （3）x 与 y 的和的平方； （4）x，y 两数的平方和. 5ab a - 5%b (x + y)2 x2 + y2 探究新知 例 题 【教材P72】 例 3 用代数式表示： （1）购买 2 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料所需的钱数. 分析：总钱数 = 2 个面包的总价 + 3 瓶饮料的总价 所需的钱数为(2a + 3b)元 探究新知 （2）把 a 元钱存入银行，存期 3 年，年利率为 2.75%， 到期时的利息是多少元？ 分析：利息 = 本金×年利率×存期 根据题意，得 a×2.75%×3 = 8.25%a 到期时的利息为 8.25%a 元. 探究新知 （3）某商品的进价为 x 元，先按进价的 1.1 倍标价，后又降价 80 元出售，现在的售价是多少元？ 分析：现在的售价 = 原来的标价 – 降价数 现在的售价为(1.1x - 80)元 探究新知 列代数式时的注意点： 1. 认真审题，将问题中表示数量关系的词语正确地转换为对应的运算. 如：“大”“小”“多”“少”“和”“差” “积”“商”“倍”“分”“比”“几分之几”“平方” “除以”等都是表示数量关系的常用词语. 2. 注意题目的语言叙述所表示的运算顺序，一般是“先读先写”. 探究新知 列代数式时的注意点： 3. 要掌握各类实际问题中的基本量的关系和公式. 4. 根据运算顺序及与数量关系有关的“与”“的”等字，将句子分成几个层次，逐层分析，一步步地列出代数式. 探究新知 例 题 【教材P72】 例 4 甲、乙两地之间公路全长 240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为 v km/h. （1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ 时间 = 路程 速度 汽车从甲地到乙地需要行驶 h. 探究新知 （2）如果汽车的行驶速度增加 3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 早到的时间 = 原来需要行驶的时间 – 加快速度后需要行驶的时间 速度增加 3 km/h，需要的行驶时间 h. 加快速度后可以早到（ - ）h. 探究新知 列代数式表示规律 有一组按规律排列的数：1，-2，3，-4，5，-6，… . （1）这组数的第 100 个数是_______； （2）用代数式表示第 n 个数为_____________. （3）2026 在这组数中吗？ 数 符号规律 绝对值规律 偶数位上的数符号为负， 奇数位上的数符号为正 第 n 个数的符号为(-1)n+1 第 n 个数的绝对值为n -100 (-1)n+1·n 2026 不在这组数中 探究新知 观察一组数： … . 根据你发现的规律，用代数式表示这组数中的第 n 个数为 _______________. 课堂练习 练 习 【教材P73】 1. 用代数式表示： （1）比 a 的 2 倍大 1 的数； （2）a 的相反数与 b 的一半的差； （3）a 的平方除以 b 的商. 2a + 1 -a - 课堂练习 2. 某种商品每袋 4.8 元，一个月内销售了 m 袋，用代数式 表示这个月内销售这种商品的收入. 4.8m 课堂练习 1. 设表示任意一个整数，用含 的代数式表示任意一个奇数 为( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 18 2. ［2025福州期中］用代数式表示“的3倍与 的差的平方”， 正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 19 3. 母题教材P73练习 如图，阴影部 分的面积为( ) A A. B. C. D. 【点拨】阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆的面积， 由题图可知圆的直径等于 ，所以阴影部分的面积为 . 返回 考试考法 20 4. “元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以 孟春三月为元，其时正朔元旦之春.”为庆祝元旦，某商场举 行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商 品按原价打8折后，再减少20元”.若某商品的原价为 元 ，则购买该商品实际付款的金额是( ) A A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 返回 考试考法 21 5.某银行一年定期存款的利率是,存入 元钱，一年后所 得利息是_______元. 返回 考试考法 22 列代数式时要厘清运算顺序，一般按先读先写的原则确定其先后顺序. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $