3.3二项式定理与杨辉三角同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

3.3 二项式定理与杨辉三角 一、单选题 1．的展开式的第3项的系数为（    ） A．－40 B．40 C．－80 D．80 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项得：， 所以第3项的系数为40. 故选：B． 2．(x-2y)5的展开式中x2y3的系数为（    ） A．-80 B．80 C．-40 D．40 【答案】A 【分析】写出二项式的通项公式，今，代入即得解 【详解】由题意，展开式的第项为， 今，可得第4项为， 则的系数是. 故选：A 3．若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解. 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即． 故选：B. 4．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．240 C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合二项式的展开式的通项公式得，求出的值，令，即可求出结果. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为， 所以，解得，又因为，解得， 所以二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中常数项为. 故选：A. 5．的展开式中，的系数为（    ） A．－10 B．5 C．20 D．45 【答案】B 【分析】把所给的式子利用二项式定理展开，可得展开式中系数. 【详解】因为， 所以展开式中系数为： ，故选B. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 6．若的展开式中含的项满足，则这些项的系数和为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】直接利用二项式定理展开，可求系数和. 【详解】 ， 因为，所以含的项为，， 所以含系数和为. 故选：A. 7．设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】D 【分析】赋值为、，联立得到的两个方程进行求解. 【详解】令，得， 令，得， 两式联立可得：. 故选：D 8．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用二项式定理求出被除的余数即可. 【详解】， 且能被整除， 而， ， 被除的余数为， 用七进制表示十进制的，其个位数是. 故选：A. 二、多选题 9．关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A．各项的系数之和为0 B．展开式各二项式系数的和等于 C．展开式共有7项 D．展开式中常数项为20 【答案】ABC 【分析】各项系数和，令变量为1；展开式各二项式系数的和为；项数和为；利用通项公式可求常数项. 【详解】令，则，故A正确； 由展开式各二项式系数的和为可知，B正确； 展开式共项，故C正确； 展开式的通项为，故常数项为，故D错误. 故选：ABC 10．已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可判断ACD，利用二项式展开式的通项公式可求得的系数可判断B. 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，含的项为，所以，故B错误， 对于C，令得，， 令，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，令，可得， 两边同乘以，可得，故D正确； 故选：ACD. 11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 【答案】BC 【分析】根据二项式系数的性质判断. 【详解】A错，因为第2026行的第个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第2026行的第1014个数最大； B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为； C对，因为 ； D错，第20行数的最大值为，第21行数的最大值为， 所以． 故选：BC. 三、填空题 12．的二项展开式中，第2项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可求第2项的系数. 【详解】二项式的展开式的第2项为： . 第2项的系数是. 故答案为：. 13．在的展开式中的系数是 ． 【答案】1008 【分析】根据组合的知识，以及二项式定理的通项公式，简单计算，可得结果. 【详解】由， 则展开式中这一项为： 故为 所以在的展开式中的系数是 故答案为： 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式以及组合知识，熟悉公式，考验计算，属基础题. 14．的展开式中的系数为 (用数字作答). 【答案】 【分析】首先将三项式变形为，再根据讨论如何得到项，即可求解. 【详解】，其中的系数为 中常数项乘以中含项，此时含的系数为， 中含的项乘以中含项，此时含的系数为, 中含的项乘以中含项，此时含的系数为, 中含的项乘以中的常数项，此时含的系数为, 所以展开式中含的系数为. 故答案为： 四、解答题-问答题 15．若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. (1)求的系数； (2)求的值. 【答案】(1)180 (2) 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出. （2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【详解】（1）第3项与第9项的二项式系数相等， 则，解得，所以. 所以的展开式中项为：，所以. （2）由（1）知，的展开式中，当时，， 由二项展开式可得： 所以都是正数，都是负数， 所以 当时，， 所以. 16．在的展开式中，______．给出下列条件：①所有奇数项的二项式系数和为32；②各项系数之和为729；③第3项的二项式系数为15．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项； (3)求展开式中的系数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选①②③，答案均为 (2)160 (3)400． 【分析】（1）选①，，则，写出展开式的通项公式，求出常数项； 选②，令，则，则，写出展开式的通项公式，求出常数项； 选③，易知，则，写出展开式的通项公式，求出常数项； （2）由（1）知，根据展开式的通项公式求出每一项，比较后得到结论； （3）在（2）基础上，得到含的项和常数项，乘以中相应的项，得到答案. 【详解】（1）若选①，易知，则， 此时的展开式的通项公式为， 令得，故常数项为． 若选②，令，则，则． 此时的展开式的通项公式为， 令得，故常数项为． 若选③，易知，则． 此时的通项公式为， 令得，故常数项为． （2）由（1）知，则展开式的通项为， 由于，，，， ，， 故展开式中系数最大的项为第4项，． （3）因为，所以问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项乘以1，该项为， 再求展开式中常数项乘以，该项为， 所以展开式中含的项为， 所以其系数为400． 17．已知的展开式中第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）写出展开式的通项，依题意，即可得解； （2）令，且，求出，再代入计算可得. 【详解】（1）二项式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以，解得； （2）二项式的通项为（且）， 令，解得或或或或， 所以展开式的有理项有，， ，，， 即展开式中的有理项为，，，，共5项. 18．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17． (1)求； (2)当展开式中的系数最小时，求的系数； (3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求． 【答案】(1) (2)140 (3)582 【分析】（1）写出的通项公式，根据展开式中x的系数得到的值； （2）由（1）知，分，，均大于等于2时，得到展开式中的系数，求出当或时，的系数取得最小值，进而得到的系数； （3）由（1）知，写出的展开式的通项公式，根据二项式系数的增减性得到，利用不等式法得到，求出. 【详解】（1）根据二项式定理知，的展开式的通项为 ， 根据题意得，即． （2）由（1）知， 当时，，此时展开式中的系数为， 同理当时，，此时展开式中的系数为， 当均大于等于2时，展开式中的系数为 ， 故当或时，的系数取得最小值64， 显然的系数最小时，或， 此时，的系数为． （3）由（1）知，则， 二项式的展开式的通项为， 所以可得，再根据即得， 此时，所以． 19．设，其中是关于的多项式，． (1)求a，b的值； (2)若，求除以的余数． 【答案】(1)， (2)28 【分析】（1）把已知等式变形，利用系数相等求解a与b的值； （2）由已知求得，则，展开二项式，即可求得除以81的余数． 【详解】（1）解：（1）由已知等式，得， 因为 ， 所以 所以， 所以，， （2）解：∵， ∴结合（1）得，解得． ∴ ． ∴除以的余数为． 【点评】本题考查二项式定理及其应用，考查运算求解能力，是中档题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 二项式定理与杨辉三角 一、单选题 1．的展开式的第3项的系数为（    ） A．－40 B．40 C．－80 D．80 2．(x-2y)5的展开式中x2y3的系数为（    ） A．-80 B．80 C．-40 D．40 3．若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．240 C． D． 5．的展开式中，的系数为（    ） A．－10 B．5 C．20 D．45 6．若的展开式中含的项满足，则这些项的系数和为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 7．设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．－1 8．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 二、多选题 9．关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A．各项的系数之和为0 B．展开式各二项式系数的和等于 C．展开式共有7项 D．展开式中常数项为20 10．已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 三、填空题 12．的二项展开式中，第2项的系数为 ．（用数字作答） 13．在的展开式中的系数是 ． 14．的展开式中的系数为 (用数字作答). 四、解答题 15．若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. (1)求的系数； (2)求的值. 16．在的展开式中，______．给出下列条件：①所有奇数项的二项式系数和为32；②各项系数之和为729；③第3项的二项式系数为15．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项； (3)求展开式中的系数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17．已知的展开式中第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项． 18．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17． (1)求； (2)当展开式中的系数最小时，求的系数； (3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求． 19．设，其中是关于的多项式，． (1)求a，b的值； (2)若，求除以的余数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $