3.3.1二项式定理（题型专练）数学人教B版2019选择性必修第二册

3.3.1二项式定理 题型一 二项展开式问题 1．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 2．（20-21高二上·重庆北碚·期末）化简（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）写出的展开式的是 . 题型二 求二项展开式的指定项 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）的展开式中的第四项是 . 题型三 根据二项展开式的项求参数（值） 1.（2022·浙江金华·模拟预测）若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（多选）（25-26高三上·江西·开学考试）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（    ） A．2 B．11 C．15 D．20 3．（24-25高二上·甘肃定西·期末）二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为 . 题型四 根据二项展开式项的系数求参数（值） 1．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）的展开式中的系数为21，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2025高二·全国·专题练习）已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）若的展开式中的系数为231，则 . 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的展开式中，的系数为80，则 ． 题型五 求展开式中指定项的二项式系数 1．（24-25高二下·重庆·期中）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型六 求展开式中指定项的系数 1．．（2025·四川巴中·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．12 B．60 C．160 D．240 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 题型七 计数原理与多项式展开问题 1．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 2．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二下·江苏南通·期末）在的展开式中，含项的系数为（    ） A．50 B．35 C．24 D．10 题型八 的展开式问题 1．（24-25高二下·新疆·期末）在的展开式中，含项的系数是 ． 2．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习） 题型一 的展开式问题 1．（19-20高二下·河南商丘·期末）的展开式的常数项为（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 2．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 3．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）二项式的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 4．（24-25高二下·山西吕梁·期末）的展开式中，含项的系数为 ． 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为 . 6．（24-25高二下·福建三明·期末）的展开式中的系数是 （用数字作答）. 7．（2025高三·全国·专题练习）求的展开式中的系数． 题型二 的展开式问题 1．（2017·辽宁·一模）的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 2．（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 3．（25-26高二上·全国·课堂例题）求多项式的展开式. 4．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）（1）求的展开式中按的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； （3）求的展开式中的系数. 题型三 二项定理综合问题 1．（25-26高二上·全国·课堂例题）在二项式定理中，分别令a，b为以下的特殊值，写出所得到的等式： (1)； (2)， 2．（24-25高二下·广东·期末）已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2． (1)求的值； (2)求展开式中含的项． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的个数，并指明是展开式的第几项． 4．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知的展开式中第5项为常数项. (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 1．（2025高二·全国·专题练习）在的展开式中，的系数为 ． 2．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）设的小数部分为，则 . 3．（25-26高三上·安徽·开学考试）的展开式中x的系数为 . 4．（2025·全国·模拟预测）展开后的系数为 ． 5．（2025高二·全国·专题练习）（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 6．（2025高二·全国·专题练习）（1）的展开式中的常数项为 ； （2）的展开式中含项的系数为 ． 7．（2025高二·全国·专题练习）已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1二项式定理 题型一 二项展开式问题 1．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【分析】先将利用二项式定理展开，然后根据等式确定和的值即可得到答案. 【详解】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． 2．（20-21高二上·重庆北碚·期末）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将代数式进行变形，结合二项式定理可得结果. 【详解】. 故选：B. 3．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）写出的展开式的是 . 【答案】 【分析】根据二项式定理求出二项式展开式. 【详解】根据二项式定理得 . 故答案为：. 题型二 求二项展开式的指定项 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 【答案】B 【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0，求得r的值，可求展开式中常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出展开式的通项，再根据通项求解即可. 【详解】由题知二项式展开式的通项且， 当时，解得， 此时含的项为. 故选：C. 3．（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）的展开式中的第四项是 . 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式可求得答案. 【详解】的展开式中的第四项是， 故答案为：. 题型三 根据二项展开式的项求参数（值） 1.（2022·浙江金华·模拟预测）若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由通项公式求出，得到，其中且，通过检验得到正确答案. 【详解】的通项公式，其中且，要想展开式中含有常数项，则，即，当时，满足要求，经检验，其他选项均不合题意. 故选：A 2．（多选）（25-26高三上·江西·开学考试）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（    ） A．2 B．11 C．15 D．20 【答案】BD 【分析】由二项式的展开式通项得或，其中，且，对分四种情况讨论即可求解. 【详解】展开式的通项，展开式的通项. 因为的展开式中存在含的项，所以或， 即或，其中，且. 经检验知，当时，，，不符合题意， 当时，，不存在，符合题意； 当时，不存在，也不存在，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：BD. 3．（24-25高二上·甘肃定西·期末）二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为 . 【答案】15 【分析】利用二项式的展开式中的指数为得，再令的指数为，求得并代入展开式的通项即可得答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，求得， 由展开式中常数项为，得，解得. 令，求得， 所以含项的系数为. 故答案为：15. 题型四 根据二项展开式项的系数求参数（值） 1．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）的展开式中的系数为21，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据通项的特征即可结合组合数的公式求解. 【详解】由于， 故的系数为，故，解得． 故选：D. 2．（2025高二·全国·专题练习）已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据二项式展开式通项公式得出系数计算求解即可. 【详解】 ， ． 由题意得，即得，解得， 故选：B． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）若的展开式中的系数为231，则 . 【答案】2 【分析】求出展开式的通项公式，令的次幂为求出，然后利用系数列方程即可求解. 【详解】的展开式的通项，. 令，解得，则，解得. 故答案为：2. 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的展开式中，的系数为80，则 ． 【答案】 【分析】求出二项展开式的通项，求出的系数，即可得出 【详解】由题意， 在中，通项为， ∵的系数为80， ∴当即时，， ∴，解得， 故答案为：. 题型五 求展开式中指定项的二项式系数 1．（24-25高二下·重庆·期中）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的展开式，求特定项的二项式系数. 【详解】已知的展开式第项为， 当，为含项，二项式系数为. 故选：C. 2．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 题型六 求展开式中指定项的系数 1．．（2025·四川巴中·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．12 B．60 C．160 D．240 【答案】B 【分析】先写出的二项展开式的通项，令，求出值，再代入通项中，计算即可得解. 【详解】因为的二项展开式的通项为 ， 令，解得，所以， 所以的展开式中的系数为60. 故选：B 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】写出该二项式展开式的通项，令，代入系数求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令得含项的系数为. 故选：D 题型七 计数原理与多项式展开问题 1．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 【答案】C 【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，即可写出含的项. 【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个， 所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. 2．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式求解即得. 【详解】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为： ， 所以x的系数为． 故选：A 3．（21-22高二下·江苏南通·期末）在的展开式中，含项的系数为（    ） A．50 B．35 C．24 D．10 【答案】D 【分析】根据多项式乘法法则，分析计算即可作答. 【详解】展开式的项是4个因式中任取3个用x，另一个因式用常数项相乘积的和， 则展开式中的项为， 所以含项的系数为10. 故选：D 题型八 的展开式问题 1．（24-25高二下·新疆·期末）在的展开式中，含项的系数是 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理，的通项为，把分成和两部分，分别求其项的系数再求和即可. 【详解】根据二项式定理，的通项为. 原式可分成和两部分： 对于，求项（即）： ，因此项的系数是6. 同理，对于，求项（即）： ，因此项的系数是24. 将两部分的项系数相加：. 故答案为：. 2．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习） 【答案】152 【分析】利用二项式定理得到的展开式，求出相加得到答案. 【详解】 ， ， 故. 故答案为：152 题型一 的展开式问题 1．（19-20高二下·河南商丘·期末）的展开式的常数项为（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先根据二项展开式通项公式求含系数，再根据多项式法则求常数项. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 令，则， 所以的展开式的常数项为. 故选：D. 2．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【答案】D 【分析】因为 ，所以分别求和展开式中的常数项，即可得出结果. 【详解】 展开式的通项为:，. 不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项，则的常数项为. 综上所述：的展开式中常数项为-180. 故选：D. 3．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）二项式的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】先求出展开式的通项，再按照展开式的次数为-2与0两种情况分类即可求出. 【详解】因为展开式的通项为， 令，得，则对应的项为， 令，得，则对应的项为. 故二项式的展开式中的常数项为. 故答案为： 4．（24-25高二下·山西吕梁·期末）的展开式中，含项的系数为 ． 【答案】48 【分析】利用二项式展开式的通项公式结合多项式乘法来求解即可． 【详解】因为， 所以的展开式中的系数为： 展开式中的系数减去展开式中的系数． 因为展开式的通项公式为：， 令得的系数为， 令得的系数为， 所以的展开式中的系数为． 故答案为：48 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为 . 【答案】12 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为12. 故答案为：12. 6．（24-25高二下·福建三明·期末）的展开式中的系数是 （用数字作答）. 【答案】-60 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是-60. 7．（2025高三·全国·专题练习）求的展开式中的系数． 【答案】 【分析】依次写出、的展开式通项，确定含项的参数情况，即可求其系数. 【详解】的展开式的通项是，， 的展开式的通项是，， 令，当时，；当时，；当时，． 因此的展开式中的系数等于 ． 题型二 的展开式问题 1．（2017·辽宁·一模）的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 【答案】B 【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论. 【详解】∵， 由二项式定理可知，展示式中共有项， ∴的展开式共有项. 故选：B． 2．（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 【答案】A 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项只含有1个字母时，有3项， 当展开式的项只含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， ∴的展开式共有45项. 3．（25-26高二上·全国·课堂例题）求多项式的展开式. 【答案】 【分析】利用二项式定理可得展开式. 【详解】， . 故答案为：. 4．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）（1）求的展开式中按的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； （3）求的展开式中的系数. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用二项式定理分类求解. （2）求出展开式的通项公式，进而确定常数项即可. （3）利用二项式定理求出含的项，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】（1）的展开式中升幂排列第三项为项， 而， 则当，时，为， 当，时，为， 当，时，为， 因此项为，所以升幂排列的第3项为. （2）由题意知， 当时，解得，则，所以常数项为. （3）依题意，， 当时，， ，当时，， 因此的项为，所以的系数为. 题型三 二项定理综合问题 1．（25-26高二上·全国·课堂例题）在二项式定理中，分别令a，b为以下的特殊值，写出所得到的等式： (1)； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）对二项展开式中的分别赋值即可. 【详解】（1）令，则， 即，， 因此，令，可得到的结论为：； （2）令，，则， 即， 又， 所以， ， 因此，令，，可得到的结论为：. 2．（24-25高二下·广东·期末）已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2． (1)求的值； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用展开式的二项式系数，列出方程，即可求解； （2）由（1），求得展开式的通项，确定的值，代入计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为的展开式中，第4项与第3项的二项式系数的比值为2， 可得，解得. （2）解：由（1）知，二项式， 可得展开式的通项为， 令，解得，所以展开式中的项为. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的个数，并指明是展开式的第几项． 【答案】(1) (2)共个，分别为第、、、、、项 【分析】（1）写出二项展开式通项，根据第项中的指数为零求出的值； （2）令的指数为整数，求出参数值，即可得出结论. 【详解】（1）已知二项展开式的通项． 因为第项为常数项，所以当时，，解得． （2）要使，只需为偶数， 由于，，故，共个， 因此有理项分别为第、、、、、项． 4．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知的展开式中第5项为常数项. (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 【答案】(1)； (2)时，无理项为；时，无理项为；时，无理项为. 【分析】（1）根据二项式定理写出通项，展开式中的常数项，即的指数为零时，即可求解； （2）根据二项式定理写出通项，展开式中所有的无理项，即的指数不为整数时，根据通项逐项求解即可. 【详解】（1）根据二项式定理，的展开式的通项为， 化简得， 因为展开式中第5项为常数项，即，的指数为零， 所以，解得； （2）由（1）得，当时的展开式的通项为， 要求展开式中的无理项，即的指数不为整数时， 即不为整数，则取奇数时满足条件， 对应的无理项为：时，； 时，； 时，. 1．（2025高二·全国·专题练习）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】120 【分析】先确定的展开式中含的项为，再确定的展开式中含的项和含的项，系数相加即可得解. 【详解】的展开式中，含的项为， 而的展开式中，含的项为， 含的项为， 因此项的系数为． 故答案为：120 2．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）设的小数部分为，则 . 【答案】7 【分析】先得到的整数部分为3，得到，利用二项式定理将其展开，求出答案. 【详解】因为，所以的整数部分为3， 则，即， 所以 ， 故. 故答案为：7 3．（25-26高三上·安徽·开学考试）的展开式中x的系数为 . 【答案】11 【分析】按第一个括号内的数分类，再利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】当第一个括号取2，第二个括号取的一次项时，展开式中的系数为； 当第一个括号取，第二个括号取常数项时，展开式中的系数为， 故展开式中的系数为. 故答案为：11 4．（2025·全国·模拟预测）展开后的系数为 ． 【答案】 【分析】将展开后结合多项式的乘法可求的系数. 【详解】因为， 故展开后含的项为， 故系数为． 故答案为：. 5．（2025高二·全国·专题练习）（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 30 【分析】（1）法一，，利用二项式定理求出中前的系数；法二，，利用二项式定理求出前的系数； 法三，根据乘法分配律结合组合知识计算系数； （2）法一，，利用二项式定理求出，再求出中前的系数； 法二，根据乘法分配律结合组合知识计算系数； 【详解】（1）解法1：， 二项式的通项为， 令，则，可求得含的项为. 解法2：， 则通项为， 令，即时，可求得含的项为． 解法3：表示4个相乘，每个相乘时有三种选择， 选x或或． 设选a个， b个，则选的有个，其中， 相乘后x的次数为， 由，解得或， 即在4个相乘时，选2个x、2个，或选3个x、1个， 故含的项为． （2）解法1：，含的项为， 其中，中含的项为，所以的系数为． 解法2：为5个相乘，每个相乘时有三种选择， 选或x或y． 设选a个，选b个，则选y的有个，其中， 根据次数关系可知，解得， 即选的有2个，选的有1个，则选y的有2个，所以的系数为． 故答案为：； 6．（2025高二·全国·专题练习）（1）的展开式中的常数项为 ； （2）的展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【分析】（1）的展开式通项为，分类讨论可得常数项； （2）的展开式通项为，的展开式通项为，分类讨论可得项的系数. 【详解】（1）的展开式通项为． 当时，即（不符合题意）； 当时，即，； 当时，即（不符合题意）； 综上常数项为. （2）的展开式通项为，的展开式通项为， 其中；． 令，则或或， 故的展开式中，含项的系数为． 故答案为： 7．（2025高二·全国·专题练习）已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. 【详解】（1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $