3.1.2排列、组合同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

3.1.2 排列、组合A卷 一、单选题 1．可以表示为（   ） A． B． C． D． 【详解】由排列数公式2），可知.故选：B. 2．三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【详解】三名同学均从四大名山中任选一个旅游的方法数为，其中仅有庐山未被选中的方法数为，所以仅有庐山未被选中的概率.故答案选：C． 3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D. 4．甲、乙两人从周一到周日7天中选2天值班，则这两人恰有1天都选的选法共有（   ） A．30 B．120 C．210 D．240 【详解】先确定选择同一天的情况，有种选法，再从剩下的6天中任选两天，因此共有种选法.C. 5．在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（    ） A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 【详解】由题可知，不同的路线有种．故选：B. 6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 【详解】由能被整除的数个位为或，则若个位为，情况数为， 若个位为，当选中时，情况数为，当选中时，情况数为， 所以.故选C. 7．现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（　　） A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 【详解】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五班每班1个，还剩下8个名额，将剩下的8个名额进行分组，每组至少一人， 利用“隔板法”求解，8个有7个间隔，要分成组，7个间隔选4个即可，则有种分配方法.故选：. 8．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（    ）种不同的涂色方法.    A．108 B．96 C．84 D．48 【详解】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法； 若选3种颜色，则①③或者②④或者①④中必有两块区域同色，另两块区域不同色，共有种涂色方法；若选4种颜色，共有种涂色方法；故共有（种）涂色方法，故选：A 二、多选题 9．象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 【详解】A对，由排列知识可得共有种排列方式．B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式，再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有种排列方式． C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空，再将两个“马”插空，故共有种排列方式．D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空， 故共有种排列方式．故选：ACD. 10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（    ） A．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法 B．若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案 C．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人可任选一项工作，每人有4种安排方式，则有种安排方法，故A不正确； 对于B，安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，则有1种方法， 其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有种方法，则共有：种方法，则B错误； 对于C，若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有种不同的方案，故C正确； 对于D，①从剩下的三人选一个人从事翻译工作，则有种方法， 则甲、乙和三人中剩下的2人从事其余的三个工作共有：种方法， 则共有种方法. ②从剩下的三人选2个人从事翻译工作，则有种方法， 则甲、乙和三人中剩下的1人从事其余的三个工作共有：种方法， 则共有种方法， 所以若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作， 则有种不同的方案，故D正确.故选：CD. 11．已知m，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A错，，．B对，． C对，，，所以． D错，．故选：BC. 三、填空题 12．某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为 ． 【详解】从8人中任抽2人的试验含有的基本事件数为种， 恰有一名女生的事件含有的基本事件数为， 设事件所抽取的两名学生中恰有一名女生参加校运会助理裁判为，则， 所以事件恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为.故答案为：. 13．甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种． 【详解】先站甲、乙、丙人，共有种不同的站法，再站剩余人，先将1人排到甲、乙、丙3人之间的空位中，最后将剩余的1人排到前面4人之间的空位中，共有种不同的站法， 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种．故答案为：40 14．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种. 【详解】由，得到或，若，，即前次跳跃，次向左，次向右， 后面次跳跃全部向右，有种，若，，即前次跳跃，次向右，次向左， 后面次跳跃次向左，次向右，有种， 所以满足的跳跃方法有种，故答案为：. 四、解答题-问答题 15．为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展．若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品的展出顺序． (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【详解】（1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则从其余四件艺术作品中选一件排在第一个展出，剩下的四件全排列，则共有种不同的安排方案． （2）相邻问题利用捆绑法．若要求油画和插画的展出顺序相邻，则将这两件艺术作品捆绑在一起，看作一件作品，再与其余三件艺术作品全排列，故有种不同的安排方案（注意捆绑的组内还需全排列）． 16．（1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 【详解】（1）； （2）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （3）因为，所以， 化简可得，解得，所以不等式解集为． 17．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．随着航天技术的飞速发展，中国航天事业迎来了新的高峰．为了执行一次重要的航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）选择4人作为航天员参加该次任务． (1)若参加此次航天任务的航天员要求既有男性也有女性，则共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，则共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【详解】（1）由题意，分3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法；有2名女性，2名男性，共有种选法； 有3名女性，1名男性，共有种选法． 所以参加此次航天任务的航天员既有男性也有女性的选法共有（种）． （2）由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组， 再分配到A，B，C实验室，共有种方法， 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式． 18．在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【详解】（1）先排2名指导老师，有种站法，再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法，所以共有种不同的站法. （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法，再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法，所以共有种不同的站法. （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法，最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法，所以共有种不同的站法. 19．在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法； (2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 【详解】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束， 第1次抽到的是正品有种抽法；第2次抽到的是次品有种抽法；第3次抽到的是正品有种抽法； 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法； 当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有种抽法； 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法； 综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法. （2）由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况： ①4次抽到的均为正品，共有种抽法； ②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有种抽法. 所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 排列、组合A卷 一、单选题 1．可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 4．甲、乙两人从周一到周日7天中选2天值班，则这两人恰有1天都选的选法共有（   ） A．30 B．120 C．210 D．240 5．在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（    ） A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 7．现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（　　） A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 8．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（    ）种不同的涂色方法.    A．108 B．96 C．84 D．48 二、多选题 9．象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（    ） A．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法 B．若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案 C．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 11．已知m，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为 ． 13．甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种． 14．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种. 四、解答题-问答题 15．为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展．若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品的展出顺序． (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 16．（1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 17．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．随着航天技术的飞速发展，中国航天事业迎来了新的高峰．为了执行一次重要的航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）选择4人作为航天员参加该次任务． (1)若参加此次航天任务的航天员要求既有男性也有女性，则共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，则共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 18．在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 19．在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法； (2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $