3.1.1基本计数原理 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

3.1.1 基本计数原理 一、单选题 1．现有甲部门的员工9人，乙部门的员工8人，丙部门的员工5人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ） A．36 B．360 C．22 D．224 【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为.故选：C. 2．小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车或火车到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【详解】小青从北京到山东有3种乘坐方式，从山东到辽宁有2种乘坐方式，所以共有种．故选：B 3．某公司举办了教职工运动会，设置了三大类项目：个人项目､集体项目､趣味项目，其中个人项目包括100米､200米､1000米三种比赛，集体项目只有4*100米接力赛，趣味项目包括嘉嘉传真情､跳跳一家亲两种比赛.该公司一名员工从这三类项目中只选两类且每类项目中只能选一种比赛参加，则该员工共有（    ）种不同的选法. A．6 B．7 C．11 D．14 【详解】由题意知种.故选：C. 4．乘积完全展开后的项数是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 【详解】依题意从、、中取一个有种取法，从、中取一个有种取法， 从、、中取一个有种取法，所以乘积完全展开后的项数为.D 5．2021年重庆市实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（    ） A．8种 B．12种 C．15种 D．20种 【详解】解：由题意得：物理､历史两科中选择1科，有种选法， 政治､地理､化学､生物四科中选择2科，有种选法，所以学生不同的选科方案共有种.故选：B 6．某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（   ） A． B． C． D． 【详解】由条件张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种， 选购一种商品的方法有种，选购两种商品的方法有种， 选购三种商品的方法有种， 由分类加法计数原理可得张先生不同的选购方法种数共有种，故选：D. 7．已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 【详解】由直线的倾斜角为锐角可知斜率一定存在，可得，且，所以异号， 从集合中任取三个不同元素，且异号， 易知有4种选法，有2种选法，有3种选法，共有种， 又因为当和时，都表示直线， 所以符合条件的直线的条数为种.故选：D 8．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用6种颜色给5个小区域（）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（    ）    A．480种 B．720种 C．1080种 D．1560种 【详解】分4步进行分析： （1）对于区域，有6种颜色可选； （2）对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选； （3）对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选； （4）对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， 则区域、有种选择，则不同的涂色方案有种.故选：D. 二、多选题 9．现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【详解】A. 从中任选1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确.故选：ABD 10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【详解】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 选项A：如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）.判断正确； 选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确； 选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）.判断正确； 选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况， 则不同的安排方法共有（种）.判断错误.故选：ABC 11．学校食堂某窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两同学每人均在该窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法中正确的是（    ） A．若甲选一荤一素，则有6种选法 B．若乙选两份素菜，则有3种选法 C．若两人分别打菜，则总的方法数为18 D．若两人打的菜均为一荤一素且刚好有一份菜相同，则方法数为30 【详解】对于A，甲选一份荤菜，则有2×3＝6（种）选法，故A正确； 对于B，若乙从三份素菜中选两份素菜，相当于去掉一份素菜，则有3（种）方法，故B正确； 对于C，由A B选项结合分类加法计数原理可知，甲乙两人分别打菜，每人都有（种）选菜方法，由分步乘法计数原理知两人选菜的总方法数为9×9＝81（种），故C错误； 对于D，若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，分为以下两类： 若荤菜相同，素菜不同，则有（种），若素菜相同，荤菜不同，则有（种），总计有12＋6＝18（种），故D错误．故选：AB． 三、填空题 12．如图，当一条电路从处到处接通时，不同的线路共有 条（每条线路仅含一条通路）． 【详解】由题意知可以按上、下两条线路分为两类，上线路中有2条，下线路中有（条）． 根据分类加法计数原理，得不同的线路共有（条）．故答案为：8 13．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义：A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素个数是 . 【详解】,有2个元素，，有5个元素，∴A*B有10个元素. 14．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有 种（用数字作答） 【详解】由于三人都喜欢牛、羊这两种吉祥物，分以下几种情况讨论： 若甲选牛或羊作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择，此时，不同的选择方法种数为种； 若甲选马作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择，此时，不同的选择方法种数为种. 综上所述，不同的选择方法种数为种.故答案为：. 四、解答题-问答题 15．已知集合，表示平面上的点.问： (1)可表示平面上多少个不同的点？ (2)在（1）中任取一点，求该点在第一象限或在第二象限的概率？ 【详解】（1）分别有6种选择方法，所以可表示平面上个不同的点； （2）若该点在第一象限或在第二象限，则，且， 所以可以取-3，-2，-1,1,2，共5种方法，可以取1,2，共2种方法， 所以满足条件的共有种方法，所以该点在第一象限或在第二象限的概率. 16．四个不同的小球，全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中． (1)随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？ (2)四个盒都不空的放法有多少种？ (3)恰有两个空盒的放法有多少种？ (4)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？ 【详解】（1）由题意知每个小球都有4种方法，故共有种放法； （2）四个盒都不空即相当于将4个球全排列到4个位置上，共有种放法； （3）由题意，必然是4个小球放入其中2个盒子中，分三步完成： 先选出2个盒子，再将4个小球分成两堆，最后将两堆小球放入4个盒子中， 故共有种放法； （4）由题意可分为三类考虑： 第一类，甲球放入1号盒子中，则乙球有3种放法，即可放入2，3，4号盒子中的一个， 其余2球可随便放入4个盒子中，有种放法， 故此时共有种放法； 第二类，甲球放入2号盒子中，则乙球有2种放法，即可放入3，4号盒子中的一个， 其余2球可随便放入4个盒子中，有种放法，故此时共有种放法； 第三类，甲球放入3号盒子中，则乙球有1种放法，即放入4号盒子中， 其余2球可随便放入4个盒子中，有种放法， 故此时共有种放法； 综合可知甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有种. 17．用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 【详解】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法； 第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法， 根据分步乘法计数原理，共有个. （2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法， 根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个． （3）作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类： 第一类，满足条件的一位自然数：有10个， 第二类，满足条件的两位自然数：有个， 第三类，满足条件的三位自然数： 第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个， 所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）. 18．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表： 乘坐站数 票价（元） 2 4 6 现有甲､乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. (1)若甲､乙两人共付费6元，则甲､乙下地铁的方案共有多少种？ (2)若甲､乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 【详解】（1）由已知可得：甲､乙两人共付费6元，则甲､乙一人付费2元一人付费4元， 又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选， 所以甲､乙下地铁的方案共有（3×4）×2=24（种）. （2）甲､乙两人共付费8元，则甲､乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元； 当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有35=15（种）方案； 当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案； 若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案； 若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案； 综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）. 19．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 【详解】试题分析：解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法． 第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法． 第三类：2人全被选出，同理共有16种选法． 所以共有3+18+16=37种选法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 基本计数原理 一、单选题 1．现有甲部门的员工9人，乙部门的员工8人，丙部门的员工5人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ） A．36 B．360 C．22 D．224 2．小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车或火车到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 3．某公司举办了教职工运动会，设置了三大类项目：个人项目､集体项目､趣味项目，其中个人项目包括100米､200米､1000米三种比赛，集体项目只有4*100米接力赛，趣味项目包括嘉嘉传真情､跳跳一家亲两种比赛.该公司一名员工从这三类项目中只选两类且每类项目中只能选一种比赛参加，则该员工共有（    ）种不同的选法. A．6 B．7 C．11 D．14 4．乘积完全展开后的项数是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 5．2021年重庆市实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（    ） A．8种 B．12种 C．15种 D．20种 6．某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 8．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用6种颜色给5个小区域（）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（    ）    A．480种 B．720种 C．1080种 D．1560种 二、多选题 9．现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 11．学校食堂某窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两同学每人均在该窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法中正确的是（    ） A．若甲选一荤一素，则有6种选法 B．若乙选两份素菜，则有3种选法 C．若两人分别打菜，则总的方法数为18 D．若两人打的菜均为一荤一素且刚好有一份菜相同，则方法数为30 三、填空题 12．如图，当一条电路从处到处接通时，不同的线路共有 条（每条线路仅含一条通路）．    13．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义：A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素个数是 . 14．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有 种（用数字作答） 四、解答题-问答题 15．已知集合，表示平面上的点.问： (1)可表示平面上多少个不同的点？ (2)在（1）中任取一点，求该点在第一象限或在第二象限的概率？ 16．四个不同的小球，全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中． (1)随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？ (2)四个盒都不空的放法有多少种？ (3)恰有两个空盒的放法有多少种？ (4)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？ 17．用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 18．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表： 乘坐站数 票价（元） 2 4 6 现有甲､乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. (1)若甲､乙两人共付费6元，则甲､乙下地铁的方案共有多少种？ (2)若甲､乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 19．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $