4.2对数函数的性质与图象、指数函数与对数函数的关系专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.2对数函数的性质与图象、指数函数与对数函数的关系B卷 一、单选题 1．若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（    ） A．  B．   C．  D．   5．已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，若对任意都有，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）（    ） A．当对折4次时，的最小值为64 B．当对折4次时，的最小值为32 C．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次 D．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则 B．若的最小值为，则 C．若在上为增函数，则的值可以为4 D．若，则，，都有 11．已知函数且，则（    ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．当时，的图象关于直线对称 D．若，且满足，则 三、填空题 12．已知函数，且过点，若的反函数为，则的值域为 . 13．如图，在平面直角坐标系中，已知曲线依次为的图象，其中为常数，，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点B、D，过点B作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是 . 14．已知函数，则函数的单调递增区间为 ；若，则实数的取值范围为 四、解答题-问答题 15．已知函数，从以下两个函数①，②中选择一个作为函数的解析式，并解答下列问题. (1)求函数的定义域; (2)判断函数的单调性(说明理由). 16．已知函数是偶函数，且当时，（，且）. (1)求当时的解析式； (2)在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） 17．已知函数． (1)若函数在区间上的值域为，求的最小值； (2)若，且，求的取值范围． 18．已知函数， (1)若，，求和（结果用m，n表示）． (2)求不等式的解集． (3)若，都有成立，求实数t的取值范围． 19．已知． (1)当时，求函数的定义域； (2)若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； (3)设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2对数函数的性质与图象、指数函数与对数函数的关系B卷 一、单选题 1．若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】的定义域需要满足：，解得，故的定义域为，的定义域需满足，解得，故的定义域为.故选：A 2．若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】令，得，， 所以（且）的图象过定点， 即.所以．故选：C. 3．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数在定义域上是增函数,且, ,所以只有一个零点,且所在的区间是,故选：B 4．函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   【详解】方法一：易知函数定义域是，又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当时，，排除B； 方法二：当时，，则，排除B，D， 当时，，则，排除C，故选：A 5．已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． A【详解】由，则得，所以的定义域为， 令，故，， 即，，当时，的最小值为函数的最小值为. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由于，所以，又，，所以．故选：C. 7．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由及函数在R上单调，得函数在上单调，且单调递减， 于是，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C 8．设函数，若对任意都有，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】由于，令，则，令则， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，此时，所以，当，取等号，故的最大值为，故选：B 二、多选题 9．某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）（    ） A．当对折4次时，的最小值为64 B．当对折4次时，的最小值为32 C．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次 D．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次 【详解】令，则，则，即， 即当对折4次时，的最小值为64，故A正确，B错误； 当，x=0.05cm时，， 所以该矩形纸最多能对折6次，故C正确，D错误,故选:AC. 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则 B．若的最小值为，则 C．若在上为增函数，则的值可以为4 D．若，则，，都有 【详解】对于选项A，若的定义域为，则在上恒成立， 所以.解得，故A正确； 对于选项B，若的最小值为， 即的最小值为， 则有，解得或，故B错误； 对于选项C，根据复合函数单调性同增异减可知在上也为增函数， 即，解得，故C错误.对于选项D，当时，为上凸的图象如图， 在上任意取两点，都有， 若，则，故D正确.故选：AD. 11．已知函数且，则（    ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．当时，的图象关于直线对称 D．若，且满足，则 【详解】对于A：当时，当时，， 由指数函数性质得单调递减，则在上不可能单调递增，A选项错误； 对于B：当时，对于， 当时，，由指数函数性质得单调递增，故， 当时，，由对数函数性质得单调递增，故，则的值域不为，B选项不正确； 对于C：当时，若，则，设在图象上，则， 得到，即，化简得， 此时点在图象上，而和关于直线对称， 而当时，，则的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D：由，得． 设函数，则在上单调递增，且，所以． 又由B选项解析得，时函数单调递减，故，D选项正确；故选：CD. 三、填空题 12．已知函数，且过点，若的反函数为，则的值域为 . 【详解】∵函数，且过点,∴，即，又，且， ∴，，∵，即，∴， ∵的反函数为，则的值域为.故答案为：. 13．如图，在平面直角坐标系中，已知曲线依次为的图象，其中为常数，，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点B、D，过点B作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是 . 【详解】设，其中，则，，由解得，则，所以，将点坐标代入得.故答案为： 14．已知函数，则函数的单调递增区间为 ；若，则实数的取值范围为 【详解】函数， 令，由，得的定义域为， 又， 则函数是奇函数，函数在上单调递增， 又在上单调递增，因此函数在上单调递增， 在上单调递增，函数的单调递增区间为； 不等式， 于是，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：； 四、解答题-问答题 15．已知函数，从以下两个函数①，②中选择一个作为函数的解析式，并解答下列问题. (1)求函数的定义域; (2)判断函数的单调性(说明理由). 【详解】（1）若选择①， ， 由，得，则函数的定义域为； 若选择②， ， 由，得，则函数的定义域为； （2）若选择①， 因为函数单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增； 若选择②， 因为函数单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减 16．已知函数是偶函数，且当时，（，且）. (1)求当时的解析式； (2)在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） 【详解】（1）令，则，由.所以当时. （2）若选①：由且，，在定义域上递减，且， 要使在上单调递增，则在定义域上递减，即， 所以在上恒成立，故，则，所以； 若选②：若，在上，且， 此时恒成立，不满足； 若，又与均为偶函数，只需上恒成立， 由复合函数单调性知：在上递减，而递增， 所以在上递减，则，所以. 17．已知函数． (1)若函数在区间上的值域为，求的最小值； (2)若，且，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，当时，或， 因为在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在区间上的值域为，所以区间中要含有， 所以区间为或，则其长度分别为和3， 所以区间的最短长度为，即的最小值为． （2）的图象如下：因为且，所以， 由图可得，所以． 故，令，则，因为当，， 所以在上单调递减，所以，所以的取值范围是． 18．已知函数， (1)若，，求和（结果用m，n表示）． (2)求不等式的解集． (3)若，都有成立，求实数t的取值范围． 【详解】（1）已知，所以，， 所以，. （2）当时，，所以，解得，所以； 当时，，所以，解得，所以； 综上可得，不等式的解集为. （3），所以，设， 则，令， 则， 即，，所以， 所以，即， 因为，都有成立，所以，所以， 综上实数t的取值范围为. 19．已知． (1)当时，求函数的定义域； (2)若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； (3)设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题设，则且，即，所以函数的定义域为； （2）由，则有唯一解， 所以，而在定义域上单调递增， 则有唯一解，而，所以，即，此时， 又且，则，显然、时满足，所以； （3）当，，在上的最大值与最小值的差都不超过， 由在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，则， 所以，则在上恒成立， 由，显然时，，若，，则， 而在上单调递减，故在上单调递增， 所以，故参数范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $