2.5.1直线与圆的位置关系教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦直线与圆的位置关系，通过日出情境与古诗导入，回顾初中从公共点个数判断的“形”的角度，过渡到高中用坐标法（代数法、几何法）定量分析的“数”的层面，梳理知识脉络。 此设计以情境化与探究式教学为特色，自然现象观察培养数学眼光，例题两种解法（联立方程、距离比较）发展逻辑推理与数学运算，学生自主讨论提升探究能力，助力教师高效教学，夯实解析几何基础。

2.5.1直线与圆的位置关系 教学设计 教学目标与核心素养 课程目标 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 学科素养 1.数学抽象：直线与圆的位置关系 2.逻辑推理：判断直线与圆的位置关系 3.数学运算：判断直线与圆的位置关系 4.数学建模：直线和圆的方程解决实际问题 教学重点和难点 重点：直线与圆的位置关系的定量判断方法. 难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系. 教学资源和教学方法 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 教学过程 教学设计意图 1、 情境导学 【实际情境】（展示日出的动图）古诗里描写道：“海上生明月，天涯共此时”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。大家有没有想过，在日出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识。 问题1：如果我们把太阳近似看作一个圆，海天交线看做一条直线，请大家观察一下，在日出的过程，体现了直线与圆的哪些位置关系？ 1．观察下列三幅图片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？ 这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？ 过情景引入本节新课。 回顾初中从“形”的角度判断直线与圆的位置关系。 问题2：对于这三种位置关系，图象呈现出什么样的几何特征呢？在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的？ 【预设的答案】通过直线与圆的公共点个数来判断，直线与圆相交时有两个公共点，相切时有一个公共点，相离时没有公共点。 问题3：除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相交到相离，圆和直线的“距离”在“变远”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？ 圆心O到直线的距离的半径为r. (1)d与r的大小有什么关系？ (2)你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？ 【预设的答案】比较圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系，当时直线与圆相交，当时直线与圆相切，当时直线与圆相离。 直线与圆的位置关系的判断方法 直线(与圆的位置关系及判断 二、例题分析： 例1、如图，已知直线和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系。如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 解法1： 联立直线与圆的方程，得 消去，得，解得，． 所以，直线与圆相交，有两个公共点． 把，分别代入方程①，得，． 所以，直线与圆的两个交点是，． 因此． 解法2：圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．所以直线l与圆C相交，有两个公共点． 如图2.5-1，由垂径定理，得． 三、课堂检测 1.直线与圆(的位置关系是(　　) A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 2.若直线与圆相切,则m的值是(　　) A.0或2 B.2 C. D.或2 4、 课堂小结 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ (1) 知识方面：直线与圆的位置关系； (2) 方法方面：几何法、代数法； (3) 思想方面：数形结合思想，分类讨论思想，类比思想等。 (4) 判定直线与圆的位置关系的方法有两种 1　 根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断； 2　 根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定. 5、 作业布置 教科书第93页 习题第1，2,3题. 教师师提出问题 学生思考的出结论 (1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点． 归纳总结 ①直线和圆相交 ③直线和圆相离 在典例分析和练习中掌握求圆的切线方程的方法，即：代数法与几何法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 2.5.1《直线与圆的位置关系 》教学反思 学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系，但还只是停留在对于直线与圆的直观“形”的感受上，而不能挖掘出内在“数”的关系。因此本节课我们主要通过引导学生探究用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系。 本节课以探究为教学主题，“情境探究、教师指导”是其教学程序，“学生探究、教师指导”为其教学策略。第一阶段：复习回顾，让学生回想前面学习过的知识，为接下来的学习做铺垫。第二阶段：教师创设情境，让学生产生疑惑，激发探究欲望。第三阶段：学生思考或交流，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价;学生提出的方法：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系。第四阶段：共同验证，教师将学生提出的解决方法集中起来，引导学生进行比较、筛选、甄别、探索答案、去伪存真。第五阶段：总结概括，教师引导学生主动、积极地进行方法总结。第六阶段：巩固练习，通过相关问题，进一步让学生掌握并运用本节课所学知识。 整个教学过程体现了学生的主体性，教师的引导性。教师创设探究情境，引导学生运用探究方法，让学生主动探究、发现问题，提出猜想、验证猜想，总结规律，理解数学知识，形成数学技能，构建自我的知识体系，并激发学习兴趣，萌发创造的意识，提高创新能力，培养数学的科学精神，实现数学教学目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $