第五单元四边形课件 2026年中考数学一轮专题复习（浙江）

让天下学子共享优质教育！ 第五单元　四边形 第21讲 矩形、菱形、正方形 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 1 1.[浙教八下P113例1改编]如图，矩形ABCD的 对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°， AB=4 cm，则矩形的对角线AC的长为　8　cm， 矩形的面积为　16 　cm2.  8 16 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 2 【解析】 ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=180°－∠AOD=60°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO，∴△AOB是等边三角形， ∴CO=AO=AB=4 cm， ∴AC=AO＋CO=4＋4=8(cm). 又∵∠ABC=90°， ∴BC==4(cm)， ∴S矩形ABCD=AB·BC=4×4=16(cm2). 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 2.[浙教八下P119例1改编]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠BAC=30°，BD=6，则菱形的边长为　6　，对角线AC的长为　6　，菱形的面积为　18　.  6 6 18 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB=2∠BAC=60°，AB=AD，AC⊥BD，OB=BD=3， ∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=6， ∴OA==3， ∴AC=2OA=6， ∴S菱形ABCD=AC·BD=×6×6=18. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 3.[浙教八下P120T2改编]已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF，若∠EAF的度数为22°，则∠AEF的度数为　79　°.  79 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D. 又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴AE=AF，∴∠AEF=(180°－∠EAF)=79°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 4.[浙教八下P127T2]如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点.若BE=10，则CE=　 2　.  2 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠D=90°，AB=CD=AD=8， ∴AE==6， ∴DE=AD－AE=2， ∴CE==2. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 5.[浙教八下P122例2]如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB. ∵EF垂直平分AC， ∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°， ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF， ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题根1 [浙教八下P113例1改编]已知：如图1， 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∠AOD=120°，AB=4 cm. (1)求∠OAD的度数. (2)求矩形对角线AC的长. 图1 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)∵四边形ABCD为矩形， ∴AO=OC，BO=DO，AC=BD， ∴AO=DO=BO=CO. 又∵∠AOD=120°， ∴∠OAD=∠ODA=(180°－120°)=30°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=90°. ∵∠ODA=30°， ∴BD=2AB=2×4=8(cm)， ∴AC=BD=8 cm. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系1 如图2，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O. 图2 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系1－1 若要使▱ABCD是矩形，则需添加的条件为(　　　) A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠ABC=90° D.AC平分∠BAD 题系1－2 已知四边形ABCD为矩形，若AB=3，BC=4，则BD=　5　；若∠AOD=120°，AB=2，则BC的长为　2　，矩形ABCD的面积为　4 　；若∠AOD=120°，且△BOC的周长比△AOB的周长大6，则BC的长为　9＋3　.  C 5 2 4 9＋3 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系1－3 如图3，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，AB=4，AD=8，则DE的长为　5　.  图3 5 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系1－4 如图4，若四边形ABCD为矩形，AB =8，BC=12，F为BC上一点，将△ABF沿AF折 叠，点B的对应点为点B'，连结CB'. (1)当F为BC的中点时，CB'的长为  　.  (2)当点B'落在矩形的对角线上时，BF的长为  　. 图4   教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 (1)如答图1，过点B'作直线MN⊥ BC于点M，交AD于点N. 易知四边形ABMN为矩形，∴∠ANB'= ∠B'MF=90°，AN=BM，AB=MN. 由折叠得，AB=AB'=8，BF=B'F=BC=6，∠ABF=∠AB'F=90°. 答图1 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 易证△ANB'∽△B'MF，∴，即， 解得FM=，B'M=，∴CM=6－FM=. 在Rt△B'MC中，B'C=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)分两种情况：①当点B'落在对角线AC上时， 如答图2. 由折叠得，AB=AB'=8，BF=B'F，∠ABF= ∠AB'F=90°， ∴AC==4，FC=12－BF， ∴B'C=4－8. 在Rt△B'FC中，FC2=B'F2＋B'C2，即(12－BF)2=BF2＋(4－8)2， 解得BF=，∴FC=12－BF=. 答图2 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 ②当点B'落在对角线BD上时，如答图3. 由折叠得，AF⊥BB'. 易知△ABF∽△CBA，∴，即， 解得BF=. 综上，BF的长为或. 答图3 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题根2 [浙教八下P119例1]如图5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠BAC=30°，BD=6，求菱形的边长和对角线AC的长. 图5 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：∵四边形ABCD是菱形，且∠BAC=30°， ∴△ABD是等边三角形. ∵BD=6，∴AB=BD=6. 在Rt△AOB中， ∵OB=AB，∴OB=3. ∵AO2=AB2－OB2， ∴OA=3，∴AC=2OA=6. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系2 如图6，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O. 图6 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系2－1 要使平行四边形ABCD为菱形，则需添加的条件为 (　　　) A.AB=BC B.AC=BD C.∠ABC=90° D.∠ABC=∠BAC 题系2－2 若E，F分别是OB，OD的中点，且BD⊥AC，则四边形AFCE是　菱　形.  A 菱 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系2－3 已知四边形ABCD为菱形，AB=6.若AB=AC，则∠ABC=　60　°；若∠ABC=120°，则∠ACD=　30　°；若AC=8，则BD=　4　，菱形ABCD的面积为　16　.  题系2－4 若四边形ABCD为菱形，BC=5，两条对角线的长度之和为14，则菱形ABCD的面积为　24　.  60 30 4 16 24 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题根3 [浙教八下P132T11]已知：如图7，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为OB上一点，DF⊥EC于点F，交CO于点P.求证：OE=OP. 图7 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DO=CO，AC⊥BD， ∴∠BOC=∠DFE=90°， ∴∠DEF＋∠EDF=∠DEF＋∠ECO=90°， ∴∠EDF=∠ECO. 又∵CO=DO，∠COE=∠DOP=90°， ∴△DOP≌△COE(ASA)， ∴OE=OP. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系3 如图8，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD上一点，连结BE，交AC于点F. 图8 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系3－1 若AB=BC，对角线需满足　AC=BD　，则▱ABCD为正方形.  题系3－2 若∠ABC=90°，对角线需满足　AC⊥BD　，▱ABCD为正方形.  题系3－3 若四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD的中点.则∠BAC=　45　°，AC=　4　，AF∶CF=　2∶1　，△CEF 的面积为  　.  AC=BD AC⊥BD 45 4 2∶1 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 题系3－4 若四边形ABCD为正方形，BE平分∠DBC.若AB=2，则∠AFB=　67.5　°，AF=　2　，OF=　2－　；若将△BFC和△CEF的面积分别记为S1和S2，则的值为 ＋ 1　.  67.5 2 2－ ＋1 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 1.矩形 (1)定义：有一个角是直角的　平行四边形　叫做矩形.  (2)性质定理： ①矩形的四个角都是　直　角.  ②矩形的对角线　相等　.  (3)判定方法： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形. ②有三个角是直角的　四边形　是矩形.  ③对角线相等的　平行四边形　是矩形.  平行四边形 直 相等 四边形 平行四边形 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (4)拓展： ①矩形具有平行四边形的一切性质. ②矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的　等腰　三角形.  ③矩形是轴对称图形，它有　2　条对称轴，矩形还是中心对称图形，它的对称中心是　对角线的交点　.  ④矩形的面积等于两邻边的乘积. 等腰 2 对角线的交点 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 2.菱形 (1)定义：一组邻边相等的　平行四边形　叫做菱形.  (2)性质定理： ①菱形的四条边都　相等　.  ②菱形的对角线互相　垂直　，并且每条对角线平分一组对角.  (3)判定方法： ①一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②四条边都相等的　四边形　是菱形.  ③对角线互相垂直的　平行四边形　是菱形.  平行四边形 相等 垂直 四边形 平行四边形 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (4)拓展： ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形是中心对称图形，它的对称中心是　对角线的交点　；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的称 轴　.  ③因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成四个全等的　直角　三角形，故菱形的面积等于两条对角线乘积的　一半　.  ④因为菱形是平行四边形，所以菱形的面积也等于底乘高，所以菱形各边上的高线　相等　.  对角线的交点 对称轴 直角 一半 相等 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 3.正方形 (1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的　行四边形　叫做正方形.  (2)性质定理： ①正方形的四个角都是　直　角，四条边　相等　.  ②正方形的对角线相等，并且互相　垂直平分　，每条对角线平分一组对角.   平行四边形 直 相等 垂直平分 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (3)判定方法： ①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. ②有一组邻边相等的　矩形　是正方形.  ③有一个角是直角的　菱形　是正方形.  (4)拓展： ①正方形具有矩形、菱形的一切性质. ②正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有　4　条，对称中心是　对角线的交点　.  矩形 菱形 4 对角线的交点 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 4.中点四边形 (1)定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形. (2)常用结论： ①任意四边形的中点四边形是　平行四边形　.  ②对角线相等的四边形的中点四边形是　菱形　.  ③对角线互相垂直的四边形的中点四边形是　矩形　.  ④对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是　方形　.  平行四边形 菱形 矩形 正方形 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 5.梯形 (1)定义：一组对边　平行　，另一组对边　不平行　的四边形叫做梯形.梯形分为一般梯形和特殊梯形，特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形.　两腰　相等的梯形叫做等腰梯形； 有一个角是　直角　的梯形叫做直角梯形.  平行 不平行 两腰 直角 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)等腰梯形的性质与判定： ①性质定理：等腰梯形的两腰相等，同一底上的两个内角相等；等腰梯形的对角线　相等　.  ②判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线　相等　的梯形是等腰梯形.  相等 相等 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (3)梯形的中位线： ①定义：连结梯形　两腰中点　的线段叫做梯形的中位线.  ②定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的　 　.  (4)研究梯形问题的主要方法(转化思想)： 将梯形问题通过作辅助线转化成三角形、平行四边形或矩形来解决. 两腰中点 一半 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (5)梯形常用的七种辅助线： ①平移一腰；②过顶点作高；③平行一条对角线；④延长两腰相交于一点；⑤过一腰中点和另一腰的顶点作直线；⑥过一腰的中点作另一腰的平行线；⑦作梯形的中位线. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 [2023·杭州]如图，矩形ABCD的 对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB=60°， 则=(　　　) A. B. C. D. 类型一　矩形的性质 D 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 44 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO，∠ABC=90°. 又∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠BAO=60°，∴∠ACB=30°， ∴=tan 30°=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式1 [2025·广东]如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连结DE，AF，两者相交于点G，连结CG.若AB=8，BC=12，则tan ∠GCF的值是(　　　) A. B. C. D. B 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 如答图，过点G作GH⊥BC于点M. 在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，∠B=90°. ∵E，F是BC的三等分点， ∴BE=EF=CF=BC=4， ∴BF=BE＋EF=8， ∴AB=BF=8， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴∠BFA=45°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 同理可得△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CED=45°， ∴∠BFA=∠CED=45°， ∴△GEF是等腰直角三角形. 又∵GM⊥EF， ∴GM=EM=FM=EF=2， ∴CM=CF＋MF=4＋2=6， 在Rt△GMC中，tan∠GCF=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 [2025·云南]如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，O是AC的中点.延长BO至点D， 使OD=OB.连结AD，CD.记AB=a，BC=b， △AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边 形ABCD的周长为l3. (1)求证：四边形ABCD是矩形. (2)若l2－l1=2，l3=28，求AC的长. 类型二　矩形的判定与性质 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)∵O是AC的中点， ∴OA=OC. 又∵OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠ABC=90°， ∴▱ABCD是矩形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)∵l2－l1=(BC＋OB＋OC)－(AB＋OB＋AO)=BC－AB=b－a=2， l3=2(AB＋BC)=2(a＋b)=28， ∴解得 ∴AB=6，BC=8， ∴AC==10. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式2－1 [2023·宁波]如图，以钝角三角形ABC的 最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD， 设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2， 若要求出S－S1－S2的值，只需知道(　　　) A.△ABE的面积 B.△ACD的面积 C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 如答图，过点A作AF⊥EB交EB的延长线于点F，AH ⊥DC交DC的延长线于点H. ∵四边形BCDE为矩形， ∴BC⊥EB，BC⊥CD，BE=CD，BC=DE， ∴AF∥BC，AH∥BC， ∴点F，A，H在同一条直线上. 易知∠F=∠H=∠BED=90°， ∴四边形FEDH是矩形， ∴FH=DE. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 ∵S=DE·DH，S1=AF·BE， S2=AH·CD=AH·BE， ∴S－S1－S2=S－(S1＋S2) =DE·DH－BE(AF＋AH) =DE·DH－BE·FH =DE·DH－BE·DE 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 =DE(DH－BE) =BC·CH=S△ABC， ∴若要求出S－S1－S2的值，只需知道△ABC的面积. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式2－2 [2025·舟山模拟]如图，在▱ABCD中， BE⊥AD，交DA的延长线于点E，AE=AD. (1)求证：四边形AEBC是矩形. (2)F为CD的中点，连结AF，BF.已知AB=6，BF ⊥AF，求BF的长. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC. 又∵AE=AD， ∴AE∥BC，AE=BC， ∴四边形AEBC是平行四边形. 又∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°， ∴四边形AEBC是矩形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)由(1)得，四边形AEBC是矩形，ED∥BC， ∴∠CAD=∠BCA=90°. 由题意可得AF=CD=AB=3. ∵∠AFB=90°， 由勾股定理得BF==3. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 [2024·浙江]如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，.线段 AB与A'B'关于过点O的直线l对称，点B的对 应点B'在线段OC上，A'B'交CD于点E，则 △B'CE与四边形OB'ED的面积比为  　.  类型三　菱形的性质 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 如答图，连结BB'，OE，A'O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD. 又∵AB与A'B'关于GH对称， ∴∠BOG=∠B'OG=∠BOC=45°， ∠AOH=∠A'OH，AO=A'O，BO=B'O， ∴∠AOH=∠B'OG=45°， ∴∠A'OH=45°，∴∠AOA'=90°， ∴A'，D，O三点共线. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 ∵， ∴设AC=10k，BD=6k(k＞0)， ∴AO=OA'=OC=5k，OB'=OB=OD=3k， ∴A'D=B'C=5k－3k=2k， ∴S△B'CE∶S△OEB'=2k∶3k=2∶3. ∵∠A'OB'=∠COD=90°， ∴易证△A'OB'≌△COD(SAS)， ∴∠A'=∠B'CE. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 又∵A'D=CB'，∠A'ED=∠CEB'， ∴△A'DE≌△CB'E(AAS)， ∴DE=B'E. 又∵DO=B'O，OE=OE， ∴△DOE≌△B'OE(SSS)， ∴S△OEB'=S△OED， ∴S△B'CE∶S△OEB'∶S△OED=2∶3∶3， ∴S△B'CE∶S四边形OB'ED=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式3－1 [2023·丽水]如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB =60°，则AC的长为(　　　) A. B.1 C. D. D 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 如答图，连结BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴OA=OC，∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD， ∴OA=AB·cos∠BAO=， ∴AC=2OA=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式3－2 [2023·温州]图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC，∠BOC=30°，DE=2时，EH的长为(　　　) A. B. C. D. C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 ∵四边形CDEF是菱形，DE=2， ∴CD=DE=CF=EF=2，CF∥DE，CD∥EF. ∵∠CBO=90°，∠BOC=30°， ∴∠DEO=∠CBO=90°， ∴OD=2DE=4，OE=DE=2， ∴CO=CD＋DO=6， ∴BC=AB=CO=3，∴OB=BC=3， ∴BE=OB－OE=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 ∵∠A=90°， ∴AO==3. ∵EH⊥AB，∴EH∥OA， ∴△BHE∽△BAO， ∴，∴， ∴EH=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式3－3 [2023·嘉兴、舟山]如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF. (1)求证：AE=AF. (2)若∠B=60°，求∠AEF的度数. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°. 在△ABE和△ADF中， ∵ ∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AE=AF. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＋∠BAD=180°. 又∵∠B=60°，∴∠BAD=120°. ∵∠AEB=90°，∴∠BAE=30°. 由(1)知△ABE≌△ADF， ∴∠DAF=∠BAE=30°，AE=AF， ∴∠EAF=120°－30°－30°=60°， ∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 [2025·衢州模拟]如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中 点，过点D作AB的垂线，交BC于点E， 在直线DE上截取DF，使DF=ED，连结AE，AF，BF. (1)求证：四边形AEBF是菱形. (2)若cos∠EBF=，BF=5，连结CD，求CD的长. 类型四　菱形的判定与性质 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)∵D为AB边的中点， ∴AD=BD. 又∵DF=ED， ∴四边形AEBF是平行四边形. 又∵EF⊥AB， ∴四边形AEBF是菱形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)如答图，连结CD，过点F作FG⊥BC于点G，得矩形AFGC. ∵cos∠EBF=，BF=5， ∴BG=3，∴FG=AC=4. ∵四边形AEBF是菱形， ∴CG=AF=BF=5， ∴BC=CG＋BG=5＋3=8， ∴AB==4. ∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴CD=AB=2. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式4－1 [2024·广西]如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为　8　cm.  8 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 如答图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，则∠AEB=∠AFD=90°. ∵两张纸条宽度均为3 cm，∴四边形ABCD为平行四边形，且AE=AF=3 cm， ∴∠ADF=∠ABE=60°，∴△ADF≌△ABE(AAS)， ∴AD=AB，∴▱ABCD为菱形. 在Rt△ADF中，∠ADF=60°，AF=3 cm， ∴AD==2 cm， 四边形ABCD的周长为2×4=8(cm). 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式4－2 [2025·扬州]如图，在▱ABCD中， 对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相 交于点E，F. (1)求证：四边形AFCE是菱形. (2)若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD，求DE的长. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)∵EF是AC的垂直平分线， ∴EA=EC，FA=FC，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCF. 在△OAE和△OCF中， ∵ 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 ∴△OAE≌△OCF(ASA)， ∴EA=FC， ∴EA=EC=FA=FC， ∴四边形AFCE是菱形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，BC=5， ∴CD=AB=3，∠D=∠B. ∵四边形AFCE是菱形， ∴∠ACB=∠ACE. ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE， ∴∠DCE=∠BCA. 又∵∠D=∠B，∴△CDE∽△CBA， ∴，∴， ∴DE=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 [2025·浙江]【问题背景】如图所示， 某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼 状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上. 【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三 角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程. (2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE 的度数. 类型五　正方形的性质与判定 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABD=∠CBD. 又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE(SAS). (2)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，∠ADB=45°. ∵DE=DA，∴∠DAE=∠DEA， ∴∠DAE＋∠DEA＋∠ADE=180°， ∴∠DAE=∠DEA=67.5°， ∴∠BAE=∠BAD－∠DAE=22.5°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式5－1 [2025·广安]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF，连结AE，AF，CE，CF. (1)求证：△ADE≌△CBF. (2)若四边形AECF的周长为4，求EF的长. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=BC，BC∥AD， ∴∠ADE=∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ∵ ∴△ADE≌△CBF(SAS). 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)连结AC，交BD于点O，如答图所示. ∵四边形ABCD为正方形，BD=10， ∴BD垂直平分AC，OA=OC=OB=OD=BD=5， ∴AF=CF，AE=CE. 由(1)可知△ADE≌△CBF，∴AE=CF， ∴AF=CF=AE=CE， ∴四边形AECF是菱形， ∴OF=OE，∴EF=2OF. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 ∵四边形AECF的周长=4AF=4，∴AF=. 在Rt△AOF中，由勾股定理，得 OF==3， ∴EF=2OF=6. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式5－2 [2023·绍兴]如图，在正方形ABCD中， G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE ⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF， 连结AG并延长交EF于点H. (1)求证：∠DAG=∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)在正方形ABCD中，AD⊥CD. 又∵GE⊥CD， ∴AD∥GE，∴∠DAG=∠EGH. (2)AH与EF垂直.理由如下： 如答图，连结GC交EF于点O. ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG=∠CDG=45°. 又∵DG=DG，AD=CD， ∴△ADG≌△CDG(SAS)， ∴∠DAG=∠DCG. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 在正方形ABCD中，∠ECF=90°. 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形， ∴OE=OC，∴∠OEC=∠OCE， ∴∠DAG=∠OEC. 由(1)，得∠DAG=∠EGH， ∴∠EGH=∠OEC， ∴∠EGH＋∠GEH=∠OEC＋∠GEH=∠GEC=90°， ∴∠GHE=90°，∴AH⊥EF. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 归纳总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系： (1)在平行四边形的基础上，增加条件“一个角是直角”或“对角线相等”，可得矩形. (2)在平行四边形的基础上，增加条件“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”，可得菱形. (3)在平行四边形的基础上，要证明是正方形，可先证明它是矩形，再证明它是菱形，或者先证明它是菱形，再证明它是矩形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是(　　　) A.互相平分 B.互相垂直 C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等 类型六　中点四边形 D 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 如答图. ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点， ∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EF=AC=HG，EH=BD=FG. ∵四边形EFGH是正方形， ∴EF⊥FG，FE=FG， ∴AC⊥BD，AC=BD.故选D. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 思维升华 依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式6 [2025·德阳]如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.如果BD=AC，四边形EFGH的面积为24，且HF=6，那么GH=(　　　) A.4 B.5 C.8 D.10 B 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 如答图，连结EG，与HF相交于点O. ∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边的中点， ∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC. 又∵BD=AC，∴EH=FG=EF=GH， ∴四边形EFGH是菱形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 ∴EG⊥HF，OH=HF=3，OG=EG， ∴∠HOG=90°. ∵菱形EFGH面积为24，HF=6， ∴24=×6×EG，解得EG=8， ∴OG=EG=4. 在Rt△HOG中，GH==5. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， BD=CD，且∠ABC为锐角.已知AD=4，BC= 12，E为BC上的一点，连结DE. (1)当四边形ABED是等腰梯形时，求CE的长. (2)当四边形ABED是直角梯形时，求CE的长. 类型七　梯形 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：(1)当四边形ABED是等腰梯形时，连结AE， 易知AE=BD=CD，AB=DE. 又∵BE=EB， ∴△ABE≌△DEB(SSS)， ∴∠AEB=∠DBE. ∵BD=CD，∴∠DBE=∠C， ∴∠AEB=∠C，∴AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴CE=AD=4. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)当四边形ABED是直角梯形时，易知DE⊥BC. 又∵BD=CD，∴CE=BC=6. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 变式7 [2025·广东]如图，CD是Rt△ABC 斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥ DC，CE∥AB.现有以下命题： ①若连结BE，交CA于点F，则S△CFB=2S△CEF. ②若连结ED，则ED⊥AC. ③若连结ED，则ED=BC. 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 解：如答图，连结ED. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD=DA=DB=AB. ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵DA=DC， ∴四边形ADCE是菱形， ∴AC⊥DE，且OA=OC，OE=OD. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 ①是真命题，证明如下： 连结BE，交CA于点F. ∵O为AC的中点，D为AB的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴OD∥BC，OE=OD=BC， ∴OC⊥BC， ∴S△CFB=CF·BC，S△CEF=CF·OE，则S△CFB=2S△CEF. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 ②是真命题，证明如下： ∵四边形ADCE是菱形， ∴AC⊥DE. ③是真命题，证明如下： 由①知ED∥BC. 又∵CE∥AB， ∴四边形BCED是平行四边形， ∴ED=BC. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 [2025·浙江模拟]阅读下列材料： 易错点一——特殊平行四边形的判定 在数学课上，老师提出一道尺规作图问题： 已知：如图1，AB∥CD，AE平分∠BAC， 交CD于点E. 求作：菱形ACEF，并使点F在AB上. 图1 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 小明：如图2，作∠ACD的平分线CF，交AB于点F，连结EF. 小英：如图3，以点E为圆心，AE长为半径作弧，交AB于点F，连结EF. 小明：小英，你的作法有问题. 小英：哦……我的作法确实存在问题，你的作法是正确的. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (1)给出小明作法中四边形ACEF是菱形的证明. (2)指出小英作法中存在的问题. 解：(1)∵AB∥CD，∴∠AEC=∠EAF. ∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠EAF， ∴∠AEC=∠CAE，∴AC=CE. 同理可得AC=AF，∴AF=CE， ∴四边形ACEF是平行四边形. 又∵AF=AC， ∴▱ACEF是菱形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 (2)小英所作图形中只能得到AC=CE，AE=EF，不能得到AF=AC，无法证明四边形ACEF是菱形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【易错剖析】 本题容易出错的地方在于：(1)把菱形的判定方法记混；(2)误认为∠ACE=60°；(3)把邻边相等与边和其中一条对角线相等混淆. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 在判定矩形、菱形、正方形时，要认清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础上来求证的.要熟悉各种判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过仔细分析已知条件来确定用哪一种判定方法. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 易错点二——特殊平行四边形的计算 [2023·绍兴]如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连结AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连结CE，则∠AEC的度数是　10°或80°　.  10°或80° 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【解析】 以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E'，如答图所示. ∵在菱形ABCD中，∠DAC=∠BAC， ∠DAB=40°， ∴∠DAC=20°. ∵AC=AE， ∴∠AEC=(180°－20°)÷2=80°. ∵AE'=AC， ∴∠AE'C=∠ACE'=∠DAC=10°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 【易错剖析】 本题容易出错的地方在于几何计算中，若点的位置不确定，易忽视分类讨论而漏解. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 变式4-2 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 变式3-3 返回 $让天下学子共享优质教育！ 第五单元　四边形 第20讲 多边形与平行四边形 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 1 【课标要求】 1.了解多边形的概念，探索并掌握多边形内角和与外角和公式。 2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理。 3.探索并证明三角形的中位线定理。 4.会将四边形中的问题转化到三角形中处理，发展抽象能力、转化能力和推理能力。 返回 2 【单元架构】 返回 1.[浙教八下P80T1改编]已知一个多边形的内 角和为1 800°，则这个多边形是　十二　边 形.  2.[浙教八下P86T1]如图，E是直线CD上的一 点.已知▱ABCD的面积为52 cm2，则△ABE的面积为　26cm2.  十二 26 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 4 3.[浙教八下P87例4改编]如图，在▱ABCD中， 对角线AC，BD相交于点E，AC⊥BC.若AC= 4，AB=5，则BD的长为　 2　.  2 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CE=AC=2，BE=BD. ∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°， ∴BC==3， ∴BE=， ∴BD=2BE=2. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 4.[浙教八下P83T5改编]已知：如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC于点E，在对角线AC上取一点F，使得FC=AE，连结DF.求证：DF⊥AC. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF. 在△ABE和△CDF中， ∵ ∴△ABE≌△CDF(SAS)， ∴∠DFC=∠BEA. ∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠DFC=90°， 即DF⊥AC. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 5.[浙教八下P96例2]已知：如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 证明：如答图，连结AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD， ∴∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中， ∵ 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 ∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴BE=DF， ∴OB－BE=OD－DF，即OE=OF. 又∵OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 题根 [浙教八下P88作业题T1]如图， ▱ABCD的两条对角线相交于点O. (1)图中有多少对全等三角形？把它们 写出来. (2)图中有多少对面积相等的三角形？ 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 解：(1)图中有4对全等三角形：△AOB≌△COD，△AOD≌ △COB，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA. (2)△AOB和△COD，△AOB和△AOD，△AOB和△BOC，△AOD和△COD，△AOD和△COB，△COD和△COB，△ABD和△CDB，△ABD和△CDA，△ABD和△ABC，△ADC和△CBD，△ADC和△CBA，△BCD和△ABC，共有12对. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 题系1 若∠ABC=46°，则∠BAD=　134°，∠ADC=　46°.  题系2 若AC⊥AB，AC=6，BD=10.则AO=　3　，BO=　5　，AB=　4　，AD=　2 　；▱ABCD的周长为　8 ＋4　，面积为　24　；△BOC的面积为　6　.  题系3 若AB＋BC=18，△AOB的周长比△AOD的周长小6，则BC=　12　，CD=　6　.  134 46 3 5 4 2 8＋4 24 6 12 6 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 1.多边形的概念 (1)定义：在同一平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)　首尾顺次相接　形成的图形叫做多边形.  (2)正多边形：各　边　相等，各　内角　也相等的多边形叫做正多边形.  首尾顺次相接 边 内角 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 2.多边形的内角和与外角和 n边形的内角和为　(n－2)×180°(n≥3)　；任何多边形的外角和为　360°　.  3.多边形的对角线 n边形有 ( n≥3)　条对角线.  (n－2)×180°(n≥3) 360°  (n≥3) 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 4.平行四边形的定义和性质 (1)定义：两组对边分别　平行　的四边形是平行四边形.  (2)性质定理： ①平行四边形的对角　相等　.  ②平行四边形的对边　相等　.  ③平行四边形的对角线　互相平分　. (3)推论： ①夹在两条平行线间的平行线段　相等　.  ②夹在两条平行线间的垂线段　相等　.   平行 相等 相等 互相平分 相等 相等 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 (4)拓展： ①平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是　两条对角线的交点　.  ②如果一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积. 两条对角线 的交点 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 5.平行四边形的判定方法 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)一组对边平行并且　相等　的四边形是平行四边形.  (3)两组对边分别　相等　的四边形是平行四边形.  (4)对角线　互相平分　的四边形是平行四边形.  (5)两组对角分别　相等　的四边形是平行四边形.  相等 相等 互相平分 相等 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 6.平行四边形的面积 (1)平行四边形的面积=　底　×　高　.  (2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形的面积　相等　.  底 高 相等 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 7.平行四边形中常用的辅助线的作法 (1)连对角线把平行四边形问题转化为全等三角形问题. (2)有平行线时，作平行线构造平行四边形. (3)有中点时，作倍长中线构造平行四边形. (4)图形具有邻边特征时(如等腰三角形、等边三角形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕邻边的公共端点旋转到另一位置. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 [2025·云南]一个六边形的内角和等于(　　　) A.360° B.540° C.720° D.900° 类型一　多边形 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 22 变式1－1 [2025·自贡]如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β=(　　　) A.140° B.150° C.160° D.170° B 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 【解析】 如答图， 正六边形的每个内角为=120°， 正方形的每个内角为90°. ∵四边形的内角和是(4－2)×180°=360°， ∴∠1＋∠2=360°－120°－90°=150°. 又∵α=∠1，β=∠2，∴α＋β=150°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 变式1－2 [2025·遂宁]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(　　　) A.10 B.11 C.12 D.13 A 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 归纳总结 已知多边形内、外角的相关度数或数量关系，根据内角和定理或外角和定理列方程，就能确定多边形的边数. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 [2024·浙江]如图，在 ▱ABCD中，AC，BD相交于点O， AC=2，BD=2，过点A作BC的垂 线，交BC于点E，记BE的长为x， BC的长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是 (　　　) A.x＋y B.x－y C.xy D.x2＋y2 类型二　平行四边形的性质 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 【解析】 如答图，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F. ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB=∠AEC=∠BFD=90°. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠DCF， ∴△ABE≌△DCF(AAS)， ∴CF=BE=x，AE=DF， 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 ∴BF=BC＋CF=x＋y. 在Rt△AEC中，AE2＋EC2=AC2，即AE2＋(y－x)2=4.① 在Rt△BFD中，BF2＋DF2=BD2，即(x＋y)2＋DF2=12.② 由②－①，得xy=2. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 变式2－1 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为(　　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 【解析】 ∵在▱ABCD中，AB∥DC，AB=CD=6，OD=OB， ∴∠CDP=∠APD. ∵DP平分∠ADC， ∴∠CDP=∠ADP， ∴∠ADP=∠APD， ∴AP=AD=4，∴PB=AB－AP=2. ∵E是PD的中点，O是BD的中点， ∴EO是△DPB的中位线， ∴EO=PB=1. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 变式2－2 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H.若AB=2，BC=2，则AH的长 为  　.  教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 【解析】 ∵AB⊥AC，AB=2，BC=2， ∴AC==2. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC=. 又∵AB⊥AC，∴OB=. ∵AH⊥BD，∴OB·AH=OA·AB， 即·AH=×2， 解得AH=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 [2023·杭州]如图，▱ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，点E，F 在对角线BD上，且BE=EF=FD，连结 AE，EC，CF，FA. (1)求证：四边形AECF是平行四边形. (2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积. 类型三　平行四边形的判定与性质 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵BE=DF，OE=OB－BE，OF=OD－DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 (2)设△ABE的面积为S1，△AEO的面积为S2. ∵BE=EF，OE=OF，∴BE=2OE， ∴=2. 又∵S1=2，∴S2=1. ∵OA=OC，OE=OF，∠AOE=∠COF， ∴△AEO≌△CFO(SAS)， ∴△CFO的面积等于△AEO的面积， ∴△CFO的面积等于1. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 方法技巧 平行四边形的证明思路： (1)若条件中涉及角，试着用“两组对角分别相等”来证明. (2)若条件中涉及对角线，试着用“对角线互相平分”来证明. (3)若条件中涉及边，试着用“两组对边分别平行”“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”来证明. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 变式3－1 [2025·西湖区校级模拟]如图，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE=DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形. (2)若∠BAC=90°，AC平分∠EAF，且BC=8 cm，求BE的长. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC， ∴AF∥EC. 又∵BE=DF，∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 (2)∵AC平分∠EAF， ∴∠1=∠2. ∵AD∥BC，∴∠1=∠ACE， ∴∠2=∠ACE，∴AE=CE. ∵∠BAC=90°，∴∠BAE=90°－∠1. 又∵∠B=90°－∠ACE，∴∠BAE=∠B， ∴AE=BE，BE=CE=BC=4 cm. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 变式3－2 如图，E，F，G，H分别是▱ABCD各边的中点，连结AF，CE相交于点M，连结AG，CH相交于点N. (1)求证：四边形AMCN是平行四边形. (2)若四边形AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 解：(1)∵E，F，G，H分别是▱ABCD各边的中点， ∴AH∥CF，AH=CF， ∴四边形AFCH是平行四边形， ∴AM∥CN. 同理可得，四边形AECG是平行四边形， ∴AN∥CM， ∴四边形AMCN是平行四边形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 (2)如答图，连结AC. ∵H，G分别是AD，CD的中点， ∴点N是△ACD的重心，∴CN=2HN， ∴S△ACN=S△ACH. 又∵CH是△ACD的中线， ∴S△ACH=S△ACD，∴S△ACN=S△ACD. 又∵AC是▱AMCN和▱ABCD的对角线， ∴S▱AMCN=S▱ABCD. 又∵▱AMCN的面积为4， ∴▱ABCD的面积为12. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 变式3－3 [2025·苏州]如图，C是线段AB 的中点，∠A=∠ECB，CD∥BE. (1)求证：△DAC≌△ECB. (2)连结DE，若AB=16，求DE的长. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 解：(1)∵CD∥BE，∴∠DCA=∠B. ∵C是线段AB的中点，∴AC=CB=AB. 在△DAC和△ECB中， ∵∴△DAC≌△ECB(ASA). 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 (2)∵AB=16，∴AC=CB=AB=8. 由(1)可知△DAC≌△ECB，∴CD=BE. 又∵CD∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DE=BC=8. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 [绍兴中考]问题：如图，已知在▱ABCD中，AB=8，AD=5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD相交于点E，F，求EF的长. 答案：EF=2. 类型四　平行四边形的开放探究 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 探究：(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变. ①当点E与点F重合时，求AB的长. ②当点E与点C重合时，求EF的长. (2)把“问题”中的条件“AB=8，AD=5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 解：(1)①如答图1. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD=5，AB∥CD， ∴∠DEA=∠EAB. ∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5. 同理，CF=BC=5. 又∵点E与点F重合， ∴AB=CD=DE＋CF=10. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 ②如答图2. ∵点E与点C重合，∴DC=DE=AD=5. 又∵CF=BC=5，∴点F与点D重合， ∴EF=DC=5. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 (2)分三种情况讨论： ①当点E，F均在线段CD上，且点E在点F左侧时，如答图3，AD=DE=EF=FC， ∴； 答图3 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 ②当点E，F均在线段CD上， 且点F在点E左侧时，如答图 4，AD=DE=CF. 又∵DF=FE=EC，∴； ③当点E，F均不在线段CD上时，如答图5，AD=DE=CF. 又∵FD=DC=CE，∴=2. 综上所述，的值为或或2. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 变式4 [2025·台州模拟]如图，在平面直角坐标系中，直线y=－x＋3与x轴、y轴相交于A，B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 (1)求证：△BOC≌△CED. (2)求点D的坐标. (3)若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 解：(1)∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，DE⊥x轴， ∴∠BOC=∠BCD=∠CED=90°， ∴∠OCB＋∠DCE=90°，∠DCE＋∠CDE=90°， ∴∠BCO=∠CDE， 在△BOC与△CED中， ∵ ∴△BOC≌△CED(AAS). 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 (2)令x=0，y=3；令y=0，－x＋3=0， 此时x=6， ∴点A(6，0)，B(0，3)， ∴OA=6，OB=3. ∵△BOC≌△CED， ∴OC=DE，BO=CE=3. 设OC=DE=m，则点D的坐标为(m＋3，m). 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 ∵点D在直线AB上， ∴m=－(m＋3)＋3， ∴m=1， ∴点D的坐标为(4，1). 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 (3)存在，点Q的坐标为或或. 设点Q的坐标为. 由(2)知OC=1. ∵动点C在线段OA上， ∴点C的坐标为(1，0)， 分两种情况考虑，如答图所示： 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 ①当CD为边时， ∵点C的坐标为(1，0)，点D的坐标为(4，1)，点P的横坐标为0， ∴0－n=4－1或n－0=4－1， ∴n=－3或n=3， ∴点Q的坐标为，点Q'的坐标为； 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 ②当CD为对角线时， ∵点C的坐标为(1，0)，点D的坐标为(4，1)，点P的横坐标为0， ∴n＋0=4＋1， ∴n=5， ∴点Q″的坐标为. 综上所述，存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 下列说法中，错误的是(　　　) A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 易错点——平行四边形的判定 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 【易错剖析】 本题容易出错的地方在于记混平行四边形的几种判定方法. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 变式1-2 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 变式3-1 变式3-2 变式3-3 典例4 变式4 返回 $