湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（11.24）

高二数学试卷 一、单选题 1．已知直线l过点，且椭圆，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　) A．1 B．1或2 C．2 D．0 2．下列四个结论正确的是 （    ） A．任意向量，若，则或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量都满足 D．已知向量，若，则为钝角 3．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．设为抛物线：的焦点，直线：，点为上任意一点，过点作于，则（    ） A．－2 B．2 C．3 D．不能确定 5．已知点在椭圆上，是椭圆的左焦点，线段的中点在圆上．记直线的斜率为，若，则椭圆离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③.如图2，在长方体中中，，，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 8．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 10．已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则的中点到轴距离的最小值为2 11．新定义：如图，与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，交于P，Q两点（Q在P，H之间），我们把点Q称为关于直线a的“近点”，把的值称为关于直线a的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，1为半径作.若与直线l相离，点是关于直线l的“近点”，且关于直线l的“秘钥数”是6，则直线l的表达式为（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 12．已知点在双曲线上，点是坐标原点，直线的斜率为，若线段的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线的渐近线方程为 ． 13．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为 . 14．已知，，，则下列结论中正确的是 . ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 四、解答题 15．已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线． (1)若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程； (2)若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程． 16．如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)若四面体的体积为 ，求； (3)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 17．已知在平面直角坐标系中，抛物线方程为． （1）若直线与抛物线相交于、两点，且，求抛物线的方程； （2）直线过点交抛物线于、两点，交x轴于点，如图，设，求证：为定值． 18．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． (1)求椭圆M的方程； (2)过x轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆M交于A、B两点，与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示． （ⅰ）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点； （ⅱ）若直线，相互垂直，试求的取值范围． 19．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则. (1)①点，，求的值； ②写出到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程， (2)已知点，直线：，求点到直线的“曼哈顿距离”最小值； (3)我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”. （i）求“曼哈顿椭圆”的方程； （ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A D B B D ACD ABD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】根据点坐标判断点与椭圆位置关系，从而得到公共点的个数． 【详解】直线过定点且，故点在椭圆的内部， 所以，直线与椭圆有2个公共点. 故选：C 2．B 【分析】A选项，也可以是，；B选项，利用向量线性运算得到，从而得到三点共线；C选项可以举出反例；D选项，求出为钝角时的取值范围，从而得到答案. 【详解】则或或，，故A错误； 若空间中点O，A，B，C满足， 即， 所以，化简得：， 则A，B，C三点共线，B正确； 设。则不满足，C错误； ，则， 令得：，当时，，此时反向， 要想为钝角，则且，故D错误. 故选：B 3．A 【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， 反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点； 关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点， 反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 4．A 【分析】根据抛物线的几何性质求解即可 【详解】由题意，抛物线的准线为，且到的距离等于.又点到距离为，故 故选：A 5．D 【分析】设的中点为，由题意得，设，则，在中，利用余弦定理，即可求得椭圆离心率的取值范围. 【详解】 设的中点为，连接， 因为点在上， ， 所以，， 设，则， 所以，， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 所以， 离心率， 故选：D. 6．B 【分析】两镇位于公路的两侧等价于它们的坐标代入后异号，然后解不等式即可. 【详解】由已知得的方程为，而点在的侧取决于的符号. 所以条件等价于，即，此即或. 故选：B. 7．B 【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D. 【详解】对于A，同时与，垂直，， 且，，构成右手系，即成立，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，与共线，且方向相同， ，与共线，且方向相同， ，与共线，且方向相同， 则，与共线，且方向相同， 因此，C正确； 对于D，，， 因此，D正确. 故选：B 【点睛】思路点睛：向量是有大小、方向的量，探讨两个向量相等，需从大小和方向两个方面分别探讨. 8．D 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径， 即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而， 因此，即， 所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得， 又由①知，，得， 所以，④正确， 所以说法正确的有①②③④. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，及点差法得出斜率积等的应用. 9．ACD 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 10．ABD 【分析】将点B的坐标代入抛物线方程即可求得，从而求出准线方程判断A；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式即可判断B；设直线：，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求解即可判断C；结合焦半径公式，利用及焦半径公式即可判断D. 【详解】对A，把点代入抛物线，得， 所以抛物线的准线方程为，故A正确； 对B，因为，，，， 所以，，， 又由，得， 所以，故B正确； 对C，因为三点共线，所以线段是焦点弦， 设直线：， 联立得， 所以，故C不正确； 对D，设的中点为， 因为，， 所以，得， 即的中点到轴距离的最小值为，故D正确. 故选：ABD 11．BD 【分析】分类讨论直线是否与坐标轴垂直，根据题意结合性质分析求解. 【详解】过圆心作直线l的垂线，垂足为，直线与的交点分别为，其中点是关于直线l的“近点”， 1.若直线l与x轴垂直，则，此时，不合题意；    2. 若直线l不与x轴垂直，设直线，则有： （1）若，则，，符合题意；    （2）若，设直线l与x轴的交点为， 因为，由，可得，结合（1）可知， 分别过作x轴垂线，垂足分别为，    可知，， 可得，则，即，解得， 可知直线l过，， 则，解得，所以直线； 综上所述：直线l的表达式为或. 故选：BD. 12．． 【分析】设点在第一象限→线段的垂直平分线经过双曲线的右顶点，求得直线的领斜角为60°，得到，代入双曲线的方程，求得，即可求解． 【详解】不妨设点在第一象限，此时线段的垂直平分线经过双曲线的右顶点， 如图所示，连接，则， 根据直线的斜率为，可得直线的倾斜角为30°， 所以直线的倾斜角为60°，所以点， 又由点在双曲线上，可得，可得，即， 故双曲线的渐近线方程为． 故答案为：． 13． 【分析】根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式即得. 【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为， 由于过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点， 则， 因此，，又， 所以，该双曲线的离心率为取值范围是. 故答案为：. 14．①②④ 【分析】根据直线和圆的位置关系、并集、交集的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①当时， ， 由令，解得， 由令，解得， 画出对应点集如下图所示，所以， 所以①正确. ②当时， ， 画出对应点集如下图所示， 圆的圆心为，半径为， 直线，即， 到的距离为， 所以圆与直线相切， 所以有个元素，所以②正确. 对于③，当时， ， 画出对应点集如下图所示， 半圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 此时有个元素，所以③错误. 对于④，若， 则 ， 此时直线与圆至多有个公共点，不符合题意. 若，则由③的分析可知有个元素， 综上所述，若有4个元素，则无整数解,所以④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 15．(1) (2)或 【分析】（1）首先利用共渐近线方程，设出曲线，再代入顶点坐标，即可求解； （2）根据双曲线的定义求，再分焦点的位置，根据双曲线的性质，即可求解. 【详解】（1）依题意可设M的方程为． 抛物线，顶点为， 将代入M的方程，得，则M的方程为． （2）由题意易知，． 当焦点在x轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，， 则双曲线M的方程为． 当焦点在y轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，， 则双曲线M的方程为． 综上所述，双曲线M的方程为或． 16．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，可证线面垂直； （2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【详解】（1）.的中点为，则. . ，则， 故，即. 因为，，平面，平面， 所以平面. （2）因为，所以. 而， 所以，解得：. （3）过作轴垂直平面，以方向分别为 则， ， 设平面法向量为 由得， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 17．（1）；（2），证明见解析. 【解析】（1）设，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式列方程即可解出的值，进而求出抛物线的方程； （2）设，，，直线方程为与抛物线方程联立， 可得，，将向量共线用坐标表示，可得，即可得 【详解】（1）设，联立 可得：； 因为，所以； 则 ， 所以， 解得： ∴抛物线的方程为； （2）设，， ∵直线过点； 故可设直线方程为； 将直线方程与抛物线方程联立整理得； ∴； ， ③ ， ④； ∵，，=，；且，可得 即 ； ∴；即； 所以为定值﹣1． 【点睛】本题主要考查了利用抛物线的弦长求抛物线的标准方程，考查了圆锥曲线与向量的综合，向量共线的坐标表示等，属于中档题. 18．(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）根据离心率、所过的点求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）（ⅰ）令，，且，且均不为2，联立椭圆方程，应用韦达定理得，，结合得到关于的方程，可得的关系，即可证； （ⅱ）利用向量数量积的运算律得，令，，则，且，联立椭圆方程并结合韦达定理、向量数量积的坐标表示得到关于参数t的方程，即可求范围. 【详解】（1）由题设，可得，故椭圆方程为； （2）（ⅰ）由题意，令，，且，且均不为2， 联立，则， 且，所以， 则，， 由， 所以，则， 所以，故或， 当时，，此时过定点； 当时，，此时过定点，不合题意； 综上，直线过定点，得证. （ⅱ）由，，又直线，相互垂直， 即， 所以 ， 若， 则， 所以， 令，则，且， 联立，可得，显然， 则，，同理，， 所以，， ，， 所以 ， 令，则， 所以， 综上， 【点睛】关键点点睛：第二问的二小问，注意应用数量积运算律得到，设，则，且，综合应用韦达定理、数量积的坐标表示得到关于参数t的方程是关键. 19．(1)①；②； (2)2； (3)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析. 【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可； （2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论的最小值即可； （3）（i）根据“曼哈顿椭圆”的定义，求得其方程即可; （ii）画出（i）的“曼哈顿椭圆”的图象，结合图象即可判断. 【详解】（1）①根据“曼哈顿距离”的定义得； ②到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程为. （2）设直线上任意一点坐标为， 则， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时， 综上所述，的最小值为2. （3）（ⅰ）设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则， 即， 即， 所以“曼哈顿椭圆”的方程为； （ⅱ）由方程，得， 因为， 所以，即， 所以或或， 解得， 由方程，得， 即， 所以，所以， 所以“曼哈顿椭圆”的范围为，， 将点代入得，， 即，方程不变， 所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称， 将点代入得，， 即，方程不变， 所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称， 将点代入得，， 即，方程不变， 所以“曼哈顿椭圆”关于原点对称， 所以“曼哈顿椭圆”关于轴，轴，原点对称. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”,明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论 ； （2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况； （3）类“新定义”中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $