7.3.3 余弦函数的性质与图象课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学课件聚焦余弦函数的定义、图象（五点法、变换法）及性质，通过对比正弦函数提问关系，以正弦函数性质为支架，引导学生探究余弦函数与正弦函数的联系，如利用cosx=sin(x+π/2)构建知识脉络。 其亮点在于“尝试与发现”引导自主探究，借助诱导公式建立知识联系体现逻辑推理，例题结合代数与几何法培养多角度思维，课后练习分层巩固提升应用意识。学生能构建知识网络提升推理应用能力，教师可通过系统设计提高教学效率。

7.3.3 余弦函数的性质与图象 人教B版（2019）（必修第三册） 学习目标 CONTENTS 1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象，体现逻辑推理能力（重点） 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值，体现数学计算逻辑推理能力（重难点） 课程引入 前面学习了正弦函数与正弦型函数的图象与性质，那么余弦函数与余弦型是否与正弦函数的性质有关系？是否可以由正弦函数的性质得到余弦函数的性质？正弦曲线与余弦曲线有什么关系呢？ 课程内容教学 余弦函数的定义 对于任意一个角 x，都有唯一确定的余弦 cos x 与之对应，因此 y = cos x 是一个函数，一般称为余弦函数． 课程内容教学 尝试与发现 研究余弦函数y=cos x的性质，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一个方案，研究余弦函数的性质. 我们可以通过余弦线来研究余弦函数的性质，由 cos x=sin(x+ ) y=cos x的性质与图象和正弦型函数y=sin(x+ )的相同， 因此余弦函数的定义域为R； 值域为[-1,1]； 余弦函数也是周期函数，且其周期为2π； 课程内容教学 尝试与发现 研究余弦函数y=cos x的性质，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一个方案，研究余弦函数的性质. 在区间[-π+2kπ，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，π+2kπ](k∈Z)上递减； 另外，由诱导公式cos(-x)=cos x可知，y=cos x是一个偶函数. 课程内容教学 余弦曲线的定义 对函数y=cos x的图象称为余弦曲线. 正弦曲余弦曲线和线有什么关系？ 由于y=cos x=sin(x+ )，因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移 个单位得到，如图所示. －2π －π π 2π 1 －1 x y O y＝sin x y＝cos x 课程内容教学 思考一下：根据上面的图象，你可以得到什么信息？ 由图可以看出，余弦曲线的对称轴为x＝kπ ， 对称中心为　 　　　，其中k∈Z． 课程内容教学 例1：求下列函数的值域. (1)y=-3cos x+1; 因为－1≤cos x≤1，所以3≥－3cos x≥－3，且 －2≤－3cos x＋1≤4， 即－2≤y≤4. 当cos x=1时，ymin=－2；当cos x＝－1时，ymax＝4，因此y＝－3cos x＋1的值域为[－2，4]． 课程内容教学 例1：求下列函数的值域. (2)y＝(cos x＋ )2－3 令t＝cos x，则 y＝(t＋ )2－3，t∈[-1，1]． 因为-1≤t≤1时， 所以0≤(t＋ )2≤ ，因此 －3≤(t＋ )2-3≤ 当t＝1时，ymax＝ 当t＝ 　时，ymin＝－3， 因此y＝(cos x＋ )2－3的值域为 课程内容教学 例2：判断下列函数的奇偶性. (1)y=cos x+2； 把函数y＝cos x＋2记作f (x)=cos x＋2，因为定义域为R，且 f (-x)＝cos(-x)＋2＝cos x＋2＝f (x)， 所以y＝cos x＋2是偶函数． (2)y＝sin xcos x． 把函数y＝sin xcos x记作f (x)=sin xcos x，因为定义域为R，且 f (-x)＝sin(-x)cos(-x)＝-sin xcos x＝-f (x)， 所以y＝sin xcos x是奇函数． 课程内容教学 例3：求函数 　　　　　的周期和其图象的对称轴方程． 因为 所以 令　　　　　　(k∈Z)，解得x＝ ＋3kπ(k∈Z)． 所以函数 　　　　　 的周期为6π，其图象的对称轴方程为x＝ ＋3kπ(k∈Z)． 课程内容教学 想一想：y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)具有什么性质？ 1.定义域：R 2.值域：[-|A|，|A|] 3.周期： 4.单调区间：(2k-1)π≤ωx+φ≤2kπ（k∈Z），单调递增； 2kπ≤ωx+φ≤(2k+1)π（k∈Z），单调递减. 课程内容教学 想一想：y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)具有什么性质？ 5.奇偶性：φ=kπ(k∈Z)时为偶函数； φ=kπ+ (k∈Z)时为奇函数； 6.对称中心与对称轴：对称中心： 对称轴：x= 课程内容教学 例4：求函数 　　　　　　　　　　　的最大值和最小值． 方法一： 由余弦函数的性质可知，f (x)＝cos x在　　　递增，在　　　递减，又因为 所以函数的最大值为1，最小值为 课程内容教学 例4：求函数 　　　　　　　　　　　的最大值和最小值． 方法二： 如图所示，作出示意图，其中OP为角　 的终边，OP′为角 的终边. 区间 内的角的终边只能在直线PP′的右上方， 因此当角的余弦线为 时，f(x)取得最大值 f(0)＝cos 0＝1． 1 P M N P' O x y 当角的余弦线为 时，f(x)取得最小值 课程内容教学 总结一下：cos x的性质： 定义域 R 值域 [-1,1] 最值 当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1; 当x=(2k+1)π(k∈Z)时，ymin=-1. 周期性 周期函数，最小周期2π 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 单调性 当x∈[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)时，函数单调递增； 当x∈[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)时，函数单调递减. 课后练习 B 课后练习 课后练习 C 课后练习 课后练习 D 课后练习 课后练习 D 课后练习 课后练习 B 课后练习 课后练习 f(x)=2cos 2x 课后练习 课程总结 1.余弦函数的定义 2.余弦曲线的定义 3.余弦函数的性质 感谢各位同学观看 TEACHING COURSEWARE $