16.3.1平方差公式讲义-2025-2026学年人教版 八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 第四节 平方差公式 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1平方差公式 2 题型精讲1运用平方差公式进行运算 5 题型精讲2平方差公式与几何图形 6 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 知识技能：理解平方差公式（．）的推导过程，掌握公式结构特征（两数和乘两数差）及逆用方法，能规范运用公式进行计算，契合新教材知识编排。 素养能力：通过多项式乘法推导公式、辨析公式适用条件，发展逻辑推理与代数运算能力，对接新中考对公式直接应用、简便计算的基础考查要求。 情感应用：运用公式解决整式化简、实际问题中的面积计算等问题，感受公式简化运算的价值，为后续完全平方公式、因式分解学习奠基。 【新知学习】 【知识点1】 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 边学边练计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， 其中，， ∴． 故选：A． 题型精讲 题型精讲1运用平方差公式进行运算 【例题1】计算： ； ； ． 【答案】 1 【分析】本题考查了零次幂、平方差公式以及添括号．根据零次幂、平方差公式以及添括号法则计算即可求解． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；． 【变式训练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题点关键．将原式变形为，然后应用平方差公式计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式训练2】已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式：，熟记公式结构是解题的关键． 将N表示为，利用平方差公式化简计算即可． 【详解】解：∵， 又 ∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式训练3】（1）计算：； （2）用乘法公式计算：； 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则和平方差公式是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方以及单项式除以单项式进行计算即可求解； （2）利用平方差公式计算即可得． 【详解】解：（1） （2） ． 题型精讲2平方差公式与几何图形 【例题1】观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积，根据矩形和正方形的面积公式列式，即可得出结论． 【详解】解：图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴， ∴A选项符合题意． 故选：A． 【变式训练1】如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 【变式训练2】如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用． 分别表示出两图中的阴影面积，进而列出等式即可． 【详解】解：由左图可知：阴影面积， 由右图可知：阴影面积， 即． 故选：B． 【变式训练3】如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【答案】(1) (2)28平方分米 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． （2）把a、b 的值代入计算即可， 【详解】（1）解：∵图1中阴影部分的面积为；图②的面积可以表示为， ∴； （2）解：当，时， ， 即该物料的面积为28平方分米． 【拓展培优】 【典例1】．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，理解题意，熟练运用平方差公式是解题的关键．在原式前乘上，再连续运用平方差公式即可得解． 【详解】解： 故选：D． 【变式训练1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）用科学计算器求（n为正整数）的近似值（精确到0．001）如下，从不同角度观察并思考． (1)变化趋势 随着n的增大，的值随之________（填“增大”或“减小”）．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：_________． (2)分布规律 1与2之间的不完全开方数有2个：，； 2与3之间的不完全开方数有4个：，，，； 3与4之间的不完全开方数有6个：，，，，，； …… 以上的2个、4个、6个、8个，是巧合还是必然？ 如果是巧合，请举出反例；如果是必然，请用符号解释两个相邻正整数之间的不完全开方数的个数总满足以上规律． (3)运算关系 注意到，，三者恰好满足，，于是推理得出它们之间的运算关系为，． ①从表格中再找出具备类似关系的3个值，并仿照写出它们之间的运算关系； ②结合以上发现，求的值（精确到个位）． 【答案】(1)增大；正方形的面积越大，那么它的边长越大 (2)上述规律是必然的，理由见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，平方差公式，实数的运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据可得第一空的答案；根据正方形面积与其边长之间的关系可得第二空答案； （2）设a、b为两个相邻的正整数，且，则，则可推出b与a之间的不完全开方数有个，即个，据此可得答案； （3）①选取，根据表格中的数据可得，再仿照题意求解即可；②原式可变形为，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，随着n的增大，的值随之增大．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：正方形的面积越大，那么它的边长越大． （2）解：上述规律是必然的，理由如下： 设a、b为两个相邻的正整数，且， ∴， ∴大于且小于的正整数为个， ∴b与a之间的不完全开方数有个，即个， ∴1与2之间的不完全开方数有2个； 2与3之间的不完全开方数有4个； 3与4之间的不完全开方数有6个： ……； （3）解：①选取， ∵， ∴，； ② 【典例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程有4个根，，，．则 【答案】 【分析】本题考查多项式方程根的相关性质、多项式乘以多项式及代数式的巧妙变形，关键在于得出． 根据方程的四个根得出，根据多项式乘以多项式法则展开，根据系数对应关系得出，利用平方差公式把所求式子变形，利用多项式乘以多项式法则得出，，利用平方差公式把所求式子变形即可得答案． 【详解】设多项式 有四根， ∴， ∴ 同理：， ∴ ． 故答案为： 【变式训练1】（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式，解决此题的关键是熟练掌握平方差公式；先根据式子形式把式子乘以，同时乘以，多次运用平方差公式得到答案即可； 【详解】解： ， ， ， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【分析】本题主要考查学生观察数列规律归纳代数表达式的能力以及对平方差公式的理解与运用，正确分析等式右边两个平方项的底数与序号的关系是解题的关键．通过观察等式中个数的变化规律，找到与序号相关的代数表达式，即可求出答案． 【详解】（1）解：先观察等式左边：第个式子为，第个式子为，第个式子为，第个式子为， 每个式子均为序号，故第个等式的左边为； 再观察等式右边，右边由两部分组成： ①前半部分为一个数的平方，底数依次为，，，，相邻两数之差均为， 即第个底数为，第个底数为，第个底数为，第个底数为，每一个底数均为序号， 因此第个底数为，即第个等式右边的前半部分为； ②观察后半部分，第个式子为，第个式子为，第个式子为，第个式子为， 后半部分均为序号的平方，故第个等式右边的后半部分为． 综上，第个等式为． （2）解：由（1）可提出猜想，第个等式的左边为，第个等式右边的前半部分的底数为，即第个等式右边的前半部分为，第个等式右边的后半部分为， 故第个等式为． 证明如下： 右边 左边． 故等式成立． 【变式训练3】（24-25七年级下·重庆·自主招生）列式计算，写出推导过程 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了简便运算的相关公式和平方差公式，根据公式逐一计算求出结果即可，解题的关键是注意计算的正确性； （1）运用乘方公式进行简便运算； （2）先把式子变成，根据进行简便运用即可； （3）先根据平方差公式，把分母变成含平方的形式，再变成的形式，根据进行运用即可； （4）提出相同的公因数，进行运算即可； （5）根据进行变形，再根据计算出结果即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， （5）解： ． 【典例3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）综合与实践 【素材】 如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】 步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】 （1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】 （2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 【实践拓展】 （3）小明发现利用图1，图2也能验证结论：“周长一定的长方形中，正方形的面积最大”．例如，当时，图1中长方形的周长为20，图2中大正方形的面积为25，所以，即周长为20的长方形中，正方形的面积最大，最大值为25．请仿照上述割补方式，求当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图，再直接给出最大值）． 【答案】（1）①②（2）（3）32 【分析】本题考查了平方差公式与面积，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①观察图中的信息，得出阴影面积等于长乘宽，即可作答． ②观察图1，图2，运用面积公式表达出图1的空白部分面积以及割补法得出图2的空白部分面积，再由拼接过程，空白部分面积不会变化，进行列式，即可作答． （2）理解题意，设，结合，得，由阴影部分的面积为18，进行列式，整理得，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）先整理得，再模仿（1）的过程，作图，与（1）同理得，当时，该长方形是边长为4的正方形，得边长是和的长方形的最大面积16，即可作答． 【详解】解：（1）①如图所示： 依题意，， ∴， 则图2中的阴影部分的面积是； ②观察图1，图2，得出图1的空白部分面积， 得出图2的空白部分面积， ∴用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式； （2）如图3， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）依题意，， 我们把和看作是长方形的两条边长， 此时这个长方形的周长， 根据“周长一定的长方形中，正方形的面积最大” 如图4，当时，阴影部分是边长为的正方形 ∴与（1）同理得， 当时，该长方形是边长为4的正方形， ∴边长是和的长方形的最大面积16， ∴当时，代数式的最大值是． 【变式训练1】（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2)；；，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； 故答案为：；；； （3）解： ． 【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【答案】【探究】【应用】（1）3，（2）；【扩展】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用． 探究：利用图形的面积得出平方差公式； 应用：（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可． 【详解】解：【探究】， 故答案为：； 【应用】（1）由得，， 即， 将代入上式得，； 故答案为：3； （2）原式 ； 【扩展】 ． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 先分别求出图甲和图乙中阴影部分的面积，再根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解． 【详解】解：图甲中的阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即， 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的矩形的面积，即， 两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）下列各式中能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【详解】解：A．第二个括号提取负号，得，原式化简为，不符合平方差公式的形式，故不符合题意； B．第二个括号可变形为，原式化简为，不符合平方差公式的形式，故不符合题意； C．，故符合题意； D．不符合平方差公式的形式，故不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）若．则m的值为（   ） A．6 B．9 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用， 将左边多项式展开后与右边比较对应项的系数，解方程求出m的值． 【详解】解：， ∴且， 解得． 故选：D． 4．（24-25七年级下·广东清远·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，平方差公式和单项式乘以多项式等，根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，平方差公式和多项式乘以多项式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，    故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意；     D． ，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为21的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为3，即， ∴阴影面积为． 故选：D． 6．（11-12八年级上·福建泉州·期末）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（，如图1），将余下的部分剪开后拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出图1和图2两个图形中阴影部分的面积，根据图1中的阴影部分面积等于图2中的阴影部分面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分面积为， 图2中阴影部分面积为， ∵图1中的阴影部分面积等于图2中的阴影部分面积， ∴， 故选：C． 7．（24-25九年级下·陕西咸阳·期末）下列运算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式、整式的加减、单项式乘多项式、整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则、平方差公式、单项式乘多项式法则、多项式除以单项式法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算正确，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项符合题意； C、，原计算正确，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，例如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（   ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 【答案】D 【分析】先根据平方差公式推导出“和谐数”的表达式，然后确定其取值范围，最后进行求和计算．本题主要考查了平方差公式的应用以及数列求和，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：设两个连续奇数分别为和（为正整数） “和谐数” “和谐数”不超过 为正整数 的最大值为 所有“和谐数”之和为 故选：D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简． 先提取负号，再根据平方差公式计算即可． 【详解】， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）利用乘法公式化简下列式子： ． 【答案】 【分析】此题考查了利用平方差公式计算．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·全国·期末）若且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算，运用平方差公式进行计算、求解． 【详解】解：， ， 故答案为：2． 12．（24-25六年级下·山东烟台·期末）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，正确将已知式的局部进行计算成为解题的关键． 先运用平方差公式对局部进行计算，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 14．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式、多项式乘多项式法则以及整式除法法则． （1）先利用平方差公式展开，再进行整式的乘法运算，最后合并同类项； （2）先运用多项式乘多项式法则展开，再进行整式除法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由，可得，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25七年级下·河北衡水·期末）如图，在一个边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，再将余下的部分拼成如图所示的长方形． 【观察】比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式：______（用字母，表示）； 【应用】计算：； 【拓展】已知，，求的值． 【答案】[观察]；[应用]；[拓展] 【分析】观察：根据图形的面积列出等式即可； 应用：利用平方差公式计算即可； 拓展：先利用平方差公式进行因式分解，再把已知代入计算即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景，利用平方差公式计算，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：观察：由图可得，， 故答案为：； 应用：∵， ∴， ∴； 拓展：， ∵，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 第四节 平方差公式 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1平方差公式 2 题型精讲1运用平方差公式进行运算 5 题型精讲2平方差公式与几何图形 6 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 知识技能：理解平方差公式（．）的推导过程，掌握公式结构特征（两数和乘两数差）及逆用方法，能规范运用公式进行计算，契合新教材知识编排。 素养能力：通过多项式乘法推导公式、辨析公式适用条件，发展逻辑推理与代数运算能力，对接新中考对公式直接应用、简便计算的基础考查要求。 情感应用：运用公式解决整式化简、实际问题中的面积计算等问题，感受公式简化运算的价值，为后续完全平方公式、因式分解学习奠基。 【新知学习】 【知识点1】 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 ．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 边学边练计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 题型精讲 题型精讲1运用平方差公式进行运算 【例题1】计算： ； ； ． 【变式训练1】计算： ． 【变式训练2】已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式训练3】（1）计算：； （2）用乘法公式计算：； 题型精讲2平方差公式与几何图形 【例题1】观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【拓展培优】 【典例1】．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）用科学计算器求（n为正整数）的近似值（精确到0．001）如下，从不同角度观察并思考． (1)变化趋势 随着n的增大，的值随之________（填“增大”或“减小”）．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：_________． (2)分布规律 1与2之间的不完全开方数有2个：，； 2与3之间的不完全开方数有4个：，，，； 3与4之间的不完全开方数有6个：，，，，，； …… 以上的2个、4个、6个、8个，是巧合还是必然？ 如果是巧合，请举出反例；如果是必然，请用符号解释两个相邻正整数之间的不完全开方数的个数总满足以上规律． (3)运算关系 注意到，，三者恰好满足，，于是推理得出它们之间的运算关系为，． ①从表格中再找出具备类似关系的3个值，并仿照写出它们之间的运算关系； ②结合以上发现，求的值（精确到个位）． 【典例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程有4个根，，，．则 【变式训练1】（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【变式训练3】（24-25七年级下·重庆·自主招生）列式计算，写出推导过程 (1) (2) (3) (4) (5) 【典例3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）综合与实践 【素材】 如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】 步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】 （1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】 （2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 【实践拓展】 （3）小明发现利用图1，图2也能验证结论：“周长一定的长方形中，正方形的面积最大”．例如，当时，图1中长方形的周长为20，图2中大正方形的面积为25，所以，即周长为20的长方形中，正方形的面积最大，最大值为25．请仿照上述割补方式，求当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图，再直接给出最大值）． 【变式训练1】（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）下列各式中能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）若．则m的值为（   ） A．6 B．9 C． D．3 4．（24-25七年级下·广东清远·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为21的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 6．（11-12八年级上·福建泉州·期末）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（，如图1），将余下的部分剪开后拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·陕西咸阳·期末）下列运算错误的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，例如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（   ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 二、填空题 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）化简： ． 10．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）利用乘法公式化简下列式子： ． 11．（24-25八年级上·全国·期末）若且，则 ． 12．（24-25六年级下·山东烟台·期末）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算：． 14．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 15．（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 16．（24-25七年级下·河北衡水·期末）如图，在一个边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，再将余下的部分拼成如图所示的长方形． 【观察】比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式：______（用字母，表示）； 【应用】计算：； 【拓展】已知，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $