第七章 概率（复习课件）数学北师大版必修第一册

该高中数学概率单元复习课件系统梳理了随机事件、古典概型、几何概型、互斥与对立事件等核心概念及公式，通过单元知识图分层呈现随机现象、样本空间、事件运算等内容的逻辑关系，结合考点串讲中的定义解析与对比辨析，帮助学生构建完整的概率知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，如通过互斥与对立事件的Venn图对比培养逻辑推理能力，设计素数分布、熬夜调查等实际情境题发展数学建模与数据意识，分层练习覆盖基础到综合题型，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

单元复习课件 第七章概率 北师大版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握随机事件、古典概型、几何概型、互斥事件与对立事件等核心概念及相关公式，能从实际情境中抽象概念模型并选择恰当的方法计算概率、解决实际问题，培养随机思维和数学建模素养 3.概率模型识别、基本事件有序列举、复杂事件的事件拆分与 公式应用 2. 概念辨析、古典概型的计算、概率公式加法公式运用 单元学习目标 单元知识图谱 随机现象 随机事件 随机事件的关系和运算 随机事件的概率 用频率估计概率 随机事件的独立性 有限样本空间 古典概型 一、随机现象与随机事件 1.1 随机现象 在自然界和人类社会中，普遍存在着两类现象，一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象．另一类则是在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象． 随机现象有如下两个特点： (1)结果至少有两种 (2)事先并不知道会出现哪一种结果 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.2 样本空间 在概率与统计中，把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用来表示，把观察结果或实验结果称为试验结果． 一般地，将试验的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记作．样本空间的元素，即试验的每种可能结果，称为试验的样本点，记作．如果样本空间 的样本点的个数是有限的，那么称样本空间为有限样本空间． 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.2 样本空间 样本空间中样本点的求法 表示方法 适用情况 优点 注意点 列举法(枚举法) 适用于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题 计算时只需一一列举即可得出随机事件所包含的样本点 列举时必须按一定顺序，做到不重不漏 列表法 适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题 准确、全面、不易遗漏 通常把样本点归结为”有序实数对”,最常用的方法是坐标系法 树状图法 适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解 直观、全面不易重复 一般需要分步(两步或两步以上) 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.3 随机事件 一般地，把试验的样本空间的子集称为的随机事件,简称事件,常用等表示.在每次试验中,当一个事件发生时,这个子集中的样本点必出现一个;反之,当这个子集中的一个样本点出现时,这个事件必然发生. 样本空间是其自身的子集,因此也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点出现, 都必然发生,因此称为必然事件． 空集也是的一个子集,可以看作一个事件.由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称为不可能事件． 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.4 随机事件的运算 一般地,由事件与事件都发生所构成的事件，称为事件与事件的交事件(或积事件)，记作 或 )．事件 是由事件和事件所共有的样本点构成的集合． 事件与事件的交事件可用Venn图(如右图)表示． 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.4 随机事件的运算 一般地，由事件和事件至少有一个发生(即发生，或发生，或都发生)所构成的事件，称为事件与事件的并事件(或和事件),记作事件与事件的并事件是由事件或事件所包含的样本点构成的集合． 事件与事件的并事件可用Venn图(如右图)表示． 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.4 随机事件的运算 一般地，不能同时发生的两个事件与()称为互斥事件．它可以理解为同时发生这一事件是不可能事件． 互斥事件可用Venn图(如右图)表示． 给定事件不发生也是一个事件，记为显然，每次试验要么发生，要么不发生(即发生)，故事件与事件不可能同时发生。即 A B 考点串讲 一、随机现象与随机事件 1.4 随机事件的运算 若，且，则称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记作. 对立事件可用Venn图(如右图)表示． A 对立必定互斥，但互斥未必对立 考点串讲 二、古典概型 2.1 古典概型的概率计算公式 对于一个随机事件，我们通常用一个数来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件的概率．概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画． 一般地，若试验具有如下特征： (1)有限性:试验的样本空间的样本点总数有限，即样本空间为有限样本空间； (2)等可能性:每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等． 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． 对古典概型来说，如果样本空间包含的样本点总数为，随机事件包含的样本点个数为，那么事件发生的概率为 考点串讲 二、古典概型 2.2 古典概型的应用 在一个试验中，如果事件和事件是互斥事件，那么有 这一公式称为互斥事件的概率加法公式． 特别地, 即，所以 一般地，如果事件两两互斥，那么有 考点串讲 三、频率与概率 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件的概率，记作．显然，．我们通常用频率来估计概率． 区别 联系 频率 本身是随机的,在试验之前无法确定，随着试验次数的改变而改变,即使做同样次数的重复试验,得到的频率也可能会不同 频率是概率的近似值,在多次重复试验中,同一事件发生的频率会在某一个常数附近摆动,频率会越来越接近概率.在大量重复试验的前提下,可将频率近似地作为这个事件发生的概率.在实际问题中,通常事件的概率是未知的,常用频率估计概率 概率 是中的一个常数,度量事件发生的可能性的大小,不随试验次数改变而改变,它是频率的科学抽象 考点串讲 四、事件的独立性 事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件． 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即 若事件A与事件B相互独立，则 又因为 , 所以 . 上面的讨论表明，如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立． 考点串讲 题型一、现象类型的判断 【例1】(多选)下列现象是随机现象的是( ) A．连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现点 B．走到十字路口，遇到红灯 C．异性电荷相互吸引 D．抛一石块，下落 AB 【解析】A,B是随机现象，C,D是确定性现象，故选AB. 随机现象的两个特点：①结果至少有2种；②事先并不知道会出现哪一种结果． 题型剖析 题型二、样本空间和样本点 【例2】在试验"连续射击一个目标次，观察命中的次数"中，事件，则下列说法正确的是( ) A．样本空间中共有个样本点 B．事件A中有个样本点 C．样本点在事件内 D．事件中包含样本点 C 【解析】连续射击一个目标次，可能全部未命中，最好的情况是全部命中，故样本空间中共有个样本点，故错误；事件，事件中共有个样本点，且样本点中没有，故错误，正确．故选 对于样本空间中样本点的个数的求解要求我们有逻辑地数数，主要包括枚举法、列表法和树状图法． 题型剖析 题型三、交事件与并事件 【例3】(多选)某人连续投篮三次，每次投一球，记事件A为"三次都投中"，事件B为"三次都没投中"，事件C为"恰有两次投中"，事件D为"至少有两次投中"，则( ) A.B.C. D. ACD 【解析】设为三次投篮命中次，，则，可得, 所以, 故 正确，错误．故选. 题型剖析 事件A与B A发生B一定发生 子事件 A发生且B发生 交事件 A发生或B发生 并事件 题型四、互斥事件与对立事件 【例4】(多选)从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是( ) A."至少有一个黑球"与"都是黑球"是互斥而不对立的事件 B."至少有一个黑球"与"至少有一个红球"不是互斥事件 C."恰好有一个黑球"与"恰好有两个黑球"是互斥且对立的事件 D."至少有一个黑球"与"都是红球"是对立事件 BD 【解析】"至少有一个黑球"等价于"一个黑球和一个红球或两个黑球"，与"都是黑球"可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； "至少有一个黑球"等价于"一个黑球和一个红球或两个黑球","至少有一个红球"等价于"一个黑球和一个红球或两个红球"，可以同时发生，故B正确； "恰好有一个黑球"等价于"一个黑球和一个红球"，与"恰好有两个黑球"不能同时发生，样本点还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误； 题型剖析 题型四、互斥事件与对立事件 ①判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件． ②判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．两个事件是对立事件的前提是这两个事件是互斥事件 【解析】"至少有一个黑球"等价于"一个黑球和一个红球或两个黑球"，与"都是红球"不同时发生，且一定会有一个发生，是对立事件，故D正确，故选BD. 题型剖析 题型五、古典概型的判断 【例5】下列试验中符合古典概型研究的试验是( ) A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，观察正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中环、命中环、命中环 B 一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性． 【解析】在选项A中，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故不是古典概型； 在选项B中，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B项是古典概型； 在选项C中，试验的样本点个数无限，故不是古典概型； 在选项D中，因为各环的大小不均等，不满足各个样本点出现的可能性相等，所以不是古典概型． 故选 B. 题型剖析 题型六、古典概型的概率运算 【例6】先后抛掷一枚质地均匀的硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( ) D 采用列举法写随机试验的结果时，要按照一定的顺序，注意不能重复也不能遗漏 【解析】由题意，先后抛掷一枚质地均匀的硬币三次，所有可能的情况有,，共8种，其中至少一次正面向上所包含的情况有,共7种，所以至少一次正面朝上的概率故D正确 题型剖析 题型七、用频率估计概率 【例7】(多选)中国篮球职业联赛(CBA)中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况(不包括罚球)如表： 记该运动员在一次投篮中，"投中两分球"为事件A,"投中三分球"为事件B,"没投中"为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论，正确的是( ) A. B. C. D. ABC 【解析】依题意，, A,B,C正确；,D错误故选ABC. 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 题型剖析 题型八、相互独立事件的判断 【例8】如图是一个古典概型的样本空间2和事件A,B,C，其中 ，则( ) A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C互为对立事件 D．事件A与事件C相互独立 B 【解析】对于A,事件A与事件 B可以同时发生，故错误； 对于B,事件A与事件B相互独立，故正确； 题型剖析 题型八、相互独立事件的判断 【解析】对于C,,又事件A与事件C不互为对立事件，故错误； 对于D，由图可知, ∴事件A与事件C不相互独立，故错误． 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即对应集合交集为空集 概率公式 若事件A与事件B相互独立，则 若事件A与B互斥，则,反之不成立 题型剖析 题型九、求相互独立事件的概率 【例9】某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记"合格"与"不合格"，两部分成绩都合格者则被公司录取．已知甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为,在面试部分合格的概率分别为所有考试是否合格相互之间没有影响．假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是( ) A. B. C. D. D 【解析】依题意，甲被录取的概率乙被录取的概率丙被录取的概率所以三人中只有一人被录取的概率,故D正确． 题型剖析 【练1】如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且向左或向右的可能性相等，则小球从F出口落出的概率是( ) B 【解析】由题图可知，小球下落的路线有共四种，且每种路线的可能性都相等，所以小球从F出口落出的概率为故B正确． 针对训练 【练2】高一年级某同学参加了学校"数学社""物理社""话剧社"三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的.假设该同学能够进入"数学社""物理社""话剧社"三个社团的概率分别为该同学只进入两个社团的概率为且三个社团都进不了的概率为则 ( ) 【解析】由该同学只可以进入两个社团的概率为得由三个社团都进不了的概率为得( 整理得解得故D正确. D 针对训练 【练3】抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件，事件，则_______. 【解析】由题意，可得根据相互独立事件的概率乘法公式，可得 针对训练 【练4】如果一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，那么当且仅当时称之为"凹数"（如等）．在由构成的比大的无重复数字的三位数中任取一个数，恰好取到"凹数"的概率为________. 【解析】用树状图列出由1,2,3,4,5构成的比400大的无重复数字的三位数，即为全体样本点.由树状图可知,样本点共有24个,其中"凹数"有12个． 记"在由构成的比大的无重复数字的三位数中任取一个数，恰好取到'凹数'"为事件，则. 针对训练 【练5】(多选)素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了"广义孪生素数猜想"：对所有自然数，存在无穷多个素数对其中当时，称(为"孪生素数";时，称(为"表兄弟素数".在不超过30的素数中，任选两个不同的素数，令事件,,，记事件A,B,C发生的概率分别为，则下列关系式不成立的是( ) ABC 针对训练 【解析】根据题意，不超过30的素数有共10个，从中任意取两个不同的素数时，有9个，时，q有8个；时，q有7个；时，q有6个；时，q有5个；时，q有4个；时，q有3个；时，q有个；时，q有1个，所以共有个样本点．共4个样本点； ,共4个样本点； 共10个样本点．所以,，显然故D正确．A.B.C错误. 针对训练 【练6】中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长(单位：时)，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过17小时，则称为"过度熬夜". (1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；(2)从样本甲、乙两班所有"过度熬夜"的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率. 甲班 8 13 18 22 26 乙班 12 17 16 24 26 针对训练 【解析】(1)甲班样本数据的平均值为，由此估计甲班学生每周平均熬夜时长为17.4小时；乙班样本数据的平均值为 ，由此估计乙班学生每周平均熬夜时长为19小时． (2)由题知，甲班"过度熬夜"的有3人，记为；乙班"过度熬夜"的有2人，记为．从中任取2人，有，共10个样本点，其中都来自甲班的有，共3个样本点，所以所求概率 针对训练 【练7】已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. (1)分别求盒中红球、黄球、蓝球的个数． (2)随机试验：从盒中有放回地取球两次，每次任取一球记下颜色． (i)写出该试验的样本空间; (ii)设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度，判断这个游戏是否公平？请说明理由． 针对训练 【解析】(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件,因为事件两两互斥,所以由已知得 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是 (2)(i)由(1)知红球、黄球、蓝球的个数分别为2,1,1，用1,2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，(表示试验的样本点，则样本空间 (ii)由(i)得，记"取到两个球颜色相同"为事件,"取两个球颜色不相同"为事件N，则，所以所以所以此游戏不公平． 针对训练 一、随机现象与随机事件 1. 随机现象：一定条件下试验结果不唯一，且事先无法预知，核心是“多结果+不可预知”. 2. 样本空间：试验所有可能结果的集合，样本点求法分三类： ①列举法：适用于样本点少的简单情境，需有序不重不漏； ②列表法：适用于多元素试验，转化为有序实数对，直观全面； ③树状图法：适用于分步进行的复杂问题，避免重复遗漏. 课堂总结 一、随机现象与随机事件 3. 随机事件：样本空间的子集，包括必然事件(一定发生)、不可能事件(一定不发生)和随机事件(可能发生). 4. 事件运算与关系： ①并事件()：A或B发生；交事件()：A且B发生； ②互斥事件：为不可能事件(不能同时发生)； ③对立事件：为不可能事件且为必然事件(不能同发且必有一发生)，对立必互斥，互斥不一定对立. 课堂总结 二、概率核心模型与计算 1. 古典概型： ①特征：样本点有限+每个样本点发生可能性相等； ②公式： . 2. 频率与概率：频率是多次试验中事件发生的次数占比，随着试验次数增加，频率会逐渐稳定在概率附近，可通过频率估计概率. 3. 相互独立事件： ①定义：一个事件的发生与否不影响另一个事件的概率； ②概率计算：若独立，则 . 课堂总结 三、核心素养与应用 1.关键能力：从实际情境抽象概率模型，有序列举样本点，辨析事件关系，选择恰当模型计算概率； 2.核心素养：培养随机思维（用概率视角看待不确定现象）和数学建模素养（用概率模型解决实际问题). 课堂总结 感谢聆听! $