同学们好，今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理的第六十二节参数方程。这个和极坐标一样，都是新高考地区不做考试要求。而且极坐标与参数方程往往结合起来是出一道选做的大题。就是在老高考的，全国一卷的地区的同学，要注意了。这里面我们先看一下曲线的参数方程。一般的在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标XY都是某个变数T的函数，那么并且允许对于T的每一个允许值上市所确定的点MXY都在这个曲线上，我们就称上市为这个曲线的参数方程叫参数方程。其中大家注意变数T为参变数简称为参数。这里面一般写的时候，我们这里面要求一下就是TV参数，所以我们会加一个小括号加以说明的。我们来看一下直线圆椭圆的参数方程。首先对于直线的方程，就是一般来说告诉我们一个定点，倾斜角是阿尔法。那么直线的参数方程就可以写成X等于X0加T乘cosine法，Y等于Y0加T乘3阿尔法。这里面我特别强调一下这个T有几何意义的。大家看啊，如果说对于这个定点M是X0Y0，如果这个M这个动点跑到上方去了，这XY就是这个是M0，这是M点。假如说这个是N点，这个动点N点XY那么这个MN之间的间距它就是T如果说N点在这个直线的右上方或者是右方，T大于在下方起小于，所以正和负只是一个方向，这个大家一定要注意，因为这个它是由直线的单位向量cosine阿尔法sine阿尔法与MN就是这个一向量。实际上上虞MN向量就是X减X0Y减Y0贡献，就是应用MN等于T倍的一向量取得出来的。所以他俩要反向就是个负值。好，这是第一个，我们就解出来了。第二个很简单，X就等于圆心坐标，X0加上一个二倍的cosine西塔，来表示这个西塔为参数。这个前面的X0Y0代表的是圆心，这个常数代表的是半径，西塔为参数，一般来说我们规定这个西塔就属于0到2派，这个范围刚好转一周。第三个，如果圆心在原点，半径为R，那就是R倍的cosine西塔，R倍的sine西塔。这个也比较简单，椭圆就是X等于A倍的cosine斐，Y等于B倍的sine斐。同样这个斐我们一般来说有规定在0到2派范围之内。这里大家要注意，其实都是根据三角换元推出来这个参数方程。我们学这个参数方面有个好处，就是解有些最值的问题的时候，只看一个参数，解起来非常方便。好，下面咱们来看一下第三个直线的参数方程的标准形式的应用。首先看过M0、H0、Y0倾角为R的直线的参数方程，刚才已经说过，不再说了。他说如果M1M2是上面两点对应的参数是T1和T2，那么M1M2 2点的坐标，就是直接把TT2代到参数方程里面就可以了，这是两个坐标。那么M1M2的长是多少呢？就是T1点T2这个原因我们简单的说一下。比如说你这个是M0X0Y0，你这个是M1，这个是M2。大家由图可以看出，这个M0M1就是T1M2，M0就是T2。所以说M1M2长就是用T1减T2绝对值来表示。因为T1T2中有一个有可能是负值，但要注意同样线段的终点，那么我们就用现在终点这一段的，这个题就是用二分之T加T2，要注意终点到定点的距离就是二分之T加T2，绝对值一定要注意加绝对值。还有如果M0为7T2的，如果M0为M1M2的中点，就是T1和T2刚好是反向，反向的话要长到它的距离都是一样的，所以说会有T加T2等于0，这是直线的参数方程的应用。你像2021年的这个新高考地区的这个解析个大题，我们如果要用直线的参数方程来解的话，是相当简单的。在此我们就不再说了。下面我们来看一下相关的一些对点自测题。首先看第一题，已知曲线的参数方程告诉我们了这曲线，那我们就消它就行了。交三把下面变成一个乘一个三乘1个3。我们两个相减X减3Y等于那么这个3Y我们可以变成3T方减3两个1减3，T方加2减3，T方减3就是5。那三平方消掉就是2加3就是5。但是注意，这个题只有一段，只有一段，那就说明你这个T方的范围也只有一段，就是大于等于0，小于等于25。所以说X范围也是一段，X一段它就不是一条直线了，这是一条线段。就此时的答案选A好，我们再看一下第二题，椭圆的参数方程告诉我们了这它两个交点坐标，那我们化成由这个参数方程我们化成普通方程。好，我们现在消参怎么消呢？就是利用cosine方西塔方加sine方等于一的话，所以说由这个我们看啊，五分之X就等于cosine西塔，三分之Y是等于sine西塔，两个平方和为一。所以说我们可以得到5分之X的平方加三分之Y的平方是等于cosine方加sine方，就是一。整理一下就是25分之X方加九分之Y方等于很明显可以推出这个C方，是等于A方25减B方九等于16C就是4。所以说这个焦点坐标就是应该是正-40，所以此题当谁就要先判断，先求方程之后，两焦点在哪个轴上一目了然，所以W选B选A我们看第三题，已知直线L的参数方程为告诉我们了，那么曲线C的参数方程也告诉我们了，那么它们的公点我们直接都化成什么，都化成这个普通话，就是普通方程来看。对于第一个，我们相差我们下面乘以根号3，那么根号3Y，就等于3T2个一加，所以说X加根号3Y就等于4，这是第一个。对于第二个曲线C的参数方程，我们看一下曲线C的参数方程，我们还是一样的消三消西塔利用sine方加cos方等于一来转化写成X减2的平方，加上Y的平方就等于一，也可以看出是直线和圆的公点。那么这个公点坐标我们可以直接联立，对吧？联立的解。好，我们将直线的方程和圆的方程联立，X加根号3Y等于4与X减2的平方加Y方等于100消去先消X，这个X好像好消一些，消X那么消去X得这个X就等于4减根号3Y好，整理一下，得到4减根号3Y再减2，那就是2减根号3Y的平方加上Y方等于一。整理这边有个3Y方加Y方4Y方减四倍根号3Y这个是四把一移过来合并就再加三等于0。好，然后我们整理一下，这个是可以拆成，它实际上就是一个完全平方式，就是2万的平方2Y减去根号三的平方等于0。所以说我们可以推出Y是等于二分之根号3，那么X就等于4减根号3，Y就是4减根号3乘以二分之根号3，就是4减2分之3，那就是2分之5。所以说这个工点的坐标就是2分之5，二分之根号3，这是第三题。下面我们看第四题，如图一过原点的直线的倾斜角西塔为参数，那么圆的参数方程应该是多少？这里面我们看啊P我们可以设成XYP设成XY之后，这里面我们连接圆心，我们把它配方下写成X减2分之1的平方，再加Y方等于4分之1，圆心坐标就是2分之1，零半径就是2分之1。好，连接这个圆心，假如这个圆心为O撇连接O撇P，O撇P连接起来之后，我们来看你要求参数方程，你要求参数方程，我们就以西塔为参数来做。注意这里面的X和Y我们怎么来界定呢？现在我们由P向他向着谁做垂直线呢？把这个向X轴做垂线，向X轴做垂线，我连接力就是图画的不够协。我现在这样来写，这样来写，我现在有这个P向干脆向外轴做垂线也可以，向外轴做垂线，向Y轴做垂线，这一段的长就是X大家看啊这段长是X这段长是X那有时候老师这个OP怎么搞呢？OP我们可以用那个半径来表示出来，你看你用O撇向它做垂线，垂足为M加这个垂足为N在三角形OO撇M中，我们用余弦cosine西塔就等于OM比上一个半径O瞥那就等于2分之1OP的长比上一个OP的长就是一个2分之1，那么就等于OP你看这样我们就推出来了。由这个我们可以发现，你这个cosine西塔就是谁呢？就是OP的差。好，然后我们再看，做了垂线之后，这个就是西塔这个件事实际上我们可以推出这个用余弦用这个余弦来表示，或者是用这个cosine西塔就等于看看cosine西塔。在三角形OPN中，cosine西塔就等于这个邻边，就是X比上斜边OP。所以说可以推出X就等于OP乘上一个cosine西塔。这个OP就是cosine西塔，结果就等于cosine方西塔。推出X那么Y可以用sine西塔，这个sine西塔就等于这个ON的长比上一个OP的长。所以说这个Y就等于OP乘上一个sine西塔，OP就是cosine西塔，结果就等于sine西塔乘以cosine西塔。有同学老师如果在下方不是负值了吗？我们看啊如果说在下方，如果说在下方，那么这个倾斜角它就变成钝角了。切了变成钝角，自然而然这个课程加入负值，它刚刚好是成立的。所以说这个参数方程我们可以写成X等于cosine方西塔，Y等于sine西塔乘以cosine西塔，其中这个西塔为参数。要注意，刚才正经的情况没有推导是一样的。下面我们来讲第五题，第五题说在极坐标系中圆C的方程是柔等于2a cosine西塔A大于0。第二个告诉我们直线的参数方程说L一元很有共点，求A的范围。这个我们都化成这个普通方程。那么第一个化普通方程，两边同时乘以柔，转化成柔方等于2A柔cosine西塔整理一下，就是X方加Y方，就是左端右端就变成2AX化成标准方程形式就是X减A的平方加上一个Y方等于A方，可以看出这个圆心坐标为A0，半径R就等于A注意，A是一个正值，所以说不用加绝对值。那么直线的两边就是把上式同时乘以12就是12X就等于5乘12T加上一个12下方同时乘以5，那变成5Y等于12乘以57减5两式一减就可以得到12X减5Y2式一减就是12，减负五就是十七，移过来就是减17等于0。我们要判断直线和圆很有共点，就是让圆心到直线的距离D小于等于半径就可以了。好，我们现在看D，D就等于根号下A方加B方，就是12方加-5的平方。然后把A零带到直线方程里面，那就是12A减5乘0，就是减0减去17的绝对值，小于等于半径A就可以了。然后解这个不等式，即12A减17的绝对值小于等于13A所以我们直接去绝对值。第一个，如果12A减七大于等于0，大于等于零不变化，那就是减12A减17小于等于13A这是第一类情况。那么第二类情况就是12A减17，然后小于0，小于零的话变过来就是17减12A小于等于13A那么前一段前段我们看啊A大于等于-17，这个口算一下，A大于等于12分之17，所以说你要取交集，就是A大于等于12分之17。那么第二段，就是A小于12分之17这一段，我们口算一下，A大于等于25分之17，量取交集就大于等于25分之17，小于12分之17，最后两个一起并集，所以最后这个范围就是25分之17到正的无穷大。今天的这个探讨我们就讲到这里，感谢大家的收看。如果还没有关注我百家号的卓越，抓紧关注。有任何学习的问题都可以私信我，谢谢大家。