同学们好，今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏第二十节，函数Y等于A倍的sine欧米X加斐的图像与性质。这一节是咱们高考很多综合题型爱考的一些一节，所以说这个基础知识特别的重要。首先咱们看一下Y等于A倍的sine欧米伽X加斐的有关概念。这里实际上就是由Y等于这个函数，它就是由Y等于sine x经过平移变换和伸缩变换得到的函数图像。首先这里面我们先认识几个概念，形容这类函数的这个大A我们在物理学上称之为正负，T就是周期2派除以欧米伽，所以这里面的欧米伽我们规定是大于零的。F就是T分之一，也称之为频率这个相位。我们把欧米伽X加斐这个整体称之为相位，特别是当X等于零的时候，这个斐我们称之为图像，这是基本的概念。下面我们来看一下五点做图法怎么来做这个函数图像的一般步骤。一般来说我们就让欧米伽X加Y的整体取02分之派派2分之3派和2派这样五个值对应的。因为我们知道如果这个整体取零派2派的时候对应的值都是零，取二分之派处对应的是sine，这个整体取最大值一一乘以A就会得到A倍的sine，欧米X加fine取得最大值大A如果取2分之3派的时候，对应的就是负A然后再反解环节的。比如说第一个，那么就让欧米伽X加斐取0，我们可以算出这个X值是负的欧米伽分之派。同理欧米伽X加斐取二分之派的时候，可以解出X值是欧米伽分之二分之派减斐。同理以此类推，上面的这几其他的点的这个横坐标值都可以算出来。那么对应的横坐标就是它纵坐标就是零。第二个点对应的横坐标就是欧米伽分之二分之派减派变成坐标就是A其他的三个点，以此类推，这是取出了五个点就定点之后我们来在描点作图。所以第二个作图在坐标系中描出这五个关键点，我们再用光滑的曲线顺次连接这些点，就可以得到一个它在一个周期内的图像扩展。就是将所得图像按照周期向两侧扩展就可以了，就可以得到在R就稍微出个头就可以了。好，这是五点法作图的一个一般步骤。下面咱们来看一下第三个知识点，由函数Y等于sin x的图像标得到Y等于AB的sine欧米X加斐这个图像的一般步骤。这里面有这样几个步骤，我们首先看方法一。第一个我们可以先平移，我们在平移的时候，我们以坏大于零为例，如果斐也大于0，我们就向左平移对吧？左加一点，如果匪小于零就向右平移，匪的单位得到sine x加斐。得到这个图像之后，我们直接注意X直接变成欧米伽X变都只变X这个时候我们只要保证函数图像所有的点的纵坐标保持不变，横坐标变成欧米伽分之一，这个X就变成这个欧米伽X了。最后在整个函数外面加个大AB，就是纵坐标变成原来的大AB就可以了的。方法一我们再看方法2，方法二可以先伸缩变换，由它到它是相当于变成原来的欧米伽分之一倍，对吧？但是你注意，你在平移的时候，如果说由Y等于sine欧米伽X到sine欧米伽X加斐不是向左平移匪的单位，而是向左平移欧米伽分之派的绝对值的单位，要注意。那么换句话举个例子，Y等于sine 2X到Y等于sine这个2X加三分之派，你如果说假如说你向左平移三分之派的单位变值变X它就变成了Y等于sine 2倍的X加三分之派。所以说它就变成了Y等于sine 2X加3分之2派，那就得不到是得不到这个2X加三分之派。所以说你这只能向左拼多少单位数，向左拼六分之派个单位就是2乘以六分之派，就等于这个三分之派，要注意。这是我们刚才所讲的。然后从最后一步跟前面是一样的，就是横坐标保持不变，纵坐标原来大一倍。所以说这也是有两个伸缩变换的一个基本知识点。一个是FAX如果A是大于零的话，一个是A倍的FX比如说这个A柱是大于零的，这个是纵坐标不变，把图上所有点的横坐标注意变成原来的A分之一。而第二个是上下伸缩变换，代表的是横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍，这是咱们这两个变化。下面我们来看一下重要的结论。第一个在五点做图法中，相邻两点的横向距离均为10分之7，这个比较简单。第二个在正弦函数图像余弦函数图像中，相邻的两个对称中心以及相邻的两个对楼之间的间距都是半个周期。这个前面课咱们已经讲过，这跟它是一样的，因为它都是这个波浪线。第三个，正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值，确实是一个对应的最高点，一个最低点。好，下面咱们来练几道题。首先看第一题，这个是判断函数图像的或者是求解析式，由已知函数图像来求解析式。像这种类型题，我们首先求大A再求欧米伽，最后再求这个斐。如果有一个上移下移，我们再由中心线来求就可以了。就是用最大值减最小值除2，就是那个中心线，就是上移下移的这个值。好，首先看啊这个正负是一，很简单，正负这个大A等于由图像观察可以值这个最大值。然后半个周期大家看啊半个周期就是用最相邻两层对轴之间的水平间距，那就半个中心用三分之派减去负的六分之派，就是三分之派加6分之9、十二分之派。所以说可以推出T等于派，T也等于2，派除以欧米伽，所以说这个欧米伽等于2，这个很重要。我们把几个关键的A和欧米伽都推出来，所以说这个FX我们就变成了sine 2X加斐然后，我们再由特殊点你取最高点或者最低点都行。比如说你取最高点，那我们由F3分之派等于sine 3分之2派加斐等于1，所以说3分之2派加斐取最高点，取一，那不就等于2K派加二分之派，所以说我们可以解出这个斐的值是等于2K派。二分之派减三分之派就6分之3，减6分之4就是负的六分之派。所以说我们不妨让K取零的时候刚好满足全面，所以说斐就取负的六分之派，所以答案选B好，这是第一题。下面我们来看一下第二题同样的类型，我们看一下如图，已知函数FX等于根号三倍的cos欧米伽X加斐，欧米伽大于0。斐的范围也告诉我们了它的部分图像，他说与X轴的一个交点是负六分之派0，注意这个点A点坐标已经告诉我们了，这个位置对应是负的六分之派。与Y轴的一个交点B告诉我们是02分之302分之3，那么求F2分之派。你看两个特殊点，两个未知数，两个方程，我们先把它列出来对吧？所以说由T我们可以得到F负的六分之派应该等于根号三倍的cosine。将这个负六分之派带进来，那就是负六分之派欧米伽X加斐加斐这个应该是等于零的。这样的话我们可以推出这个负的六分之派欧米伽X加斐，欧米伽加斐应该是等于K派加二分之派。因为我们知道这个整体为零的话，只有让这个整体值取的是K派加二分之派才可以。好，下面我们来看第二个式子，这是第一个式子，先放着，那我们来看第二个式子，第二个式子由F0是等于2分之3，我们带进去，F0就等于根号三倍的cosine斐，这个是等于济南，F0就等于2分之3，两边同时除以根号3，所以cosine斐应该等于二分之根号3，这是一个突破口。因又因为又因为这个饭，它是属于负二分之派到零之间的角。像这样的话，我们看它是第四项的角，那只能取负的。注意，cosine负的，因为我们是cosine，三分之派是2分之1，cosine 6分之派是二分之根号3，所以说cosine负的六分之派，这是最后答案，所以我们可以解出斐的值，斐的值解出来，我们带到前面这个值，所以负的六分之派欧米伽，那么应该是等于K派对。把负六分之移过来，就加上一个六分之派，那就是加上一个3分之2派，3分之2派，两边再同时除以负的六分之派。所以说欧米伽就等于首先约去派R然后乘以-6就是-6K，约去派R两边乘-6K然后约去派乘以-6，然后减去一个四，减去一个四。这样的话我们因为欧米伽大于0，我们取最近的一个整数，随便取一个，反正这个不影响值，对吧？所以说我们不妨取，注意，不妨取K取负一，学生不妨取K为负一。K为负一的时候，这个时候我们算出这个欧米伽的值就等于2，所以说这个FX我们可以算出来是根号三倍的。Cosine 2X减去一个六分之派，这样的话我们来算一下F2分之派，所以F2分之派的值是等于根号三倍的。Cos 2分之派就是派减去一个六分之派，就cosine 6分之5派。Cosine 6分之5派就是负的二分之根三，结果就是负的2分之3。所以说此题的答案选D这是第二题。下面我们来看一下第三题，若X属于零到派，求它的增区间，这里面我们还是一样的，用辅角公式化简FX就等于根号二倍的。这个我们可以写成，随便你用哪一个，跟刚才那个是一样的。比如说我们用推导轴，那么写成二分之根二就是cosine 4分之派cosine x减去sine 4分之派sine x那么我们可以写成根号二倍的cos 4X加四分之派，X加四分之派。注意，这个写的不是特别好看。现在你要求它的增区间，那就让X加四分之派。在整个余弦上的增区间上，我们的余弦正弦数负派到0，那么就大于等于2K派减派小于等于2K派加0。然后我们来解X范围，就小于等于2K派减去一个四分之派，大于等于2K派减去一个4分之5派。这里大家注意，我们只要用这些区间和领导派去交集就注意了，就是与领导派取的是什么交集，责任取交集，剩下的部分就是增区间，K取零不行，可以取一。我们看啊当K取一的时候，那么这个区间就变成二派，就是4分之8派减4分之5派，就是4分之3派到4分之7派，这是一段。所以说如果你再取二就超过这个区间。没有，只有这个区间和领导派有交集，所以他要取交集之后，我们看啊就交领导派之后，这个是等于4分之3，派到谁呢？都派就直接答案选D好，这是第三题。下面我们来看一下第四题，设函数FX等于三角明函X加斐的图像关于三分之派零对称。这个点M到函数图像的对轴之间的距离最小值是四分之派。则下面四个选项符合题意的是，首先这个函数图像关于三分之派零对称，这是一个对称中心，点M到函数图像对轴的距离最小值。我们知道一个对称中心到相邻对称轴，这个距离是肯定是最小的，这个间距是4分之1个周期。对，距离最小值是4分之1个周期，所以说4分之1个周期应该等于四分之派。所以说T为派，T等于派，T就等于2，派除以欧米伽，所以说可以推出欧米伽等于2，这样的话我们可以推出欧米伽等于2。我的推出欧米伽等于2，这个A选项是错了。欧米伽等于2，那么我这个FX可以变成sine 2X加斐，那么再由它关于三分之派零对称，所以说F3分之派就等于C3分之2派，加上个匪等于0。所以说3分之2派加斐根据正弦函数对称中心是K派，零它应该等于K派，所以说斐就等于K派减去一个3分之2派。又因为斐的范围是零到派，所以说K不能取0，只能取一，所以说斐只能取这个三分之派取2的话也超过这个零到派范围，所以说这个FX这个解析式就变成了sine 2X再加上一个三分之派，所以说这个B选项抽象也是错的。好，下面我们来看一下C选项。由刚才所讲所所讲这个单调递减区间的范围就应该是2X加三分之派，小于等于2K派，我们知道单调递减区间就是二分之派到2分之3派，两边同时加2K派。那就这样加上一个2分之3派，大于等于2K派，减去一个二分之派就是普通解法，两边同时减去三分之派就小于等于2K派，2分之3派就是6分之9派减6分之2派就是6分之7派就等于6分之7派大于等于2K派，减二分之派再减个三分之派就减去一个6分之5派。两边同时C2，所以说X范围就小于等于K派加，12分之7派，大于等于K派减去12分之5派减去12分之5派。好，这样的话我们看一下有没有一个区间，全部让这个区间是它的子集就可以了。比如说H0，H0的话有第一段，K取负一就不行了，都是负的，肯定不行。H一那有一个负的12分之5派，K取0，说错了，K取零就是负的12分之5派到12分之7派这段可以我们发现12分之7派的话，就是这个时候12分之8派这个不行了。我们再看H1，H一的话就是12分之7派这里我写错了，就是加二分之派，就是加6，不对，是加六分之派。二分之派减3分加六分之派。这应该是加12分之派，那应该第一段，这里我把它改改一下就可以了。好，稍等片刻，用橡皮擦把它擦掉。要不然等一下对不上这个答案，这是就K取零的时候，大家注意这一段应该是12分之派到12分之7派，我们看行不行？12分之派比比这个左边大，但是12分之7派这个是12分之8派，这个不行，那这个肯定是错的。因为你在下一段你可以取一的话，就是已经超过派了，没什么意义了，对吧？这个研究所以说这个就错了。我们看D选项为什么是正确答案？我们看D选项定向上说将FX图像向左平移12分之派。好，那向左平移之后，那就变成FX加12分之派，那就变成了sine注意我刚才说的辫子辫X就变成二倍的X加12分之派，再加上一个三分之派，这个整理一下就变成sin 2X你看加2乘12分的六分之派，六分之派加三分之派就是加二分之派。根据诱导公式，这个就变成cosine 2X所以说跟原来的跟那个平移之后，跟这个Y等于cosine 2X刚好是重合的。好，下面我们来看一下第五题，就刚才这个答案选D此题的答案选D我们来看一下第五题，关于函数Y等于二倍的sine 3X加四分之派加1，下列叙述有误的是？那我们就要判断跳过。既然这样的话，我们一个个尝试。首先看图像关于X等于负十分之派对称，就是带进去，只要让这个三取最高的最大值和最小值都可以。好，我们看X取四分之派的时候，3X加四分之派，这个值就变成了3乘上负四分之派，再加上一个四分之派，它就变成负的二分之派。因为-40那不是负二轮之派，负二轮之派刚好对应的是二分之派的奇数倍，那就是-1OK它是对的，这个是成立的。然后关于12分之派一对称，因为它后面有个一，上一下一。那也就是说我只要能把这个12分之派带进去，那这个对应的是零就可以了，或者是让3X加四分之派用的是K派就行了。好，把12分钟带进去，那就是12分之派乘以3加上四分之派，那就是二分之派。这个就错了。你们看啊这个就是四分之派，是不是二分之派？所以说X等于12分的应该是对称对轴，不是对称中心，所以B就错了。所以说此题的答案就是选B，这是要选的答案。我们看值域是-1到3，很简单，取负一对应的就是负一取正一是最大值就是3。这个C也是对的。D图像可以由这个函数图像所有点的后面为变成原来的3分之1，确实可以得到，这个D也是对的，因为X变成3X了。今天的课就上到这里，感谢大家的收看。下一期我们继续来讲解高中数学基础知识梳理，像其他的专栏，感谢大家收看，再见。